【精准提分】专题02 计算题专项集训（二元一次方程组、整式、因式分解、分式、分式方程10个题型）-2024-2025学年七年级下册数学期末专项培优（浙教版2024）（原卷+解析版）

【精准提分】专题02 计算题专项集训（浙教2024） 【二元一次方程组、整式、因式分解、分式、分式方程10个题型】 【基础题型一】“代入消元法”解二元一次方程组 1 【基础题型二】“加减消元法”解二元一次方程组 11 【基础题型三】选择适合的方法解二元一次方程组 19 【基础题型四】解较为复杂的二元一次方程组 28 【基础题型五】解三元一次方程组 39 【基础题型六】整式的混合运算 49 【基础题型七】因式分解的相关计算 53 【基础题型八】含乘方的分式乘除运算 61 【基础题型九】含乘方的分式乘除运算 69 【基础题型十】可化为一元一次方程的分式方程 73 【基础题型一】“代入消元法”解二元一次方程组 例题1（24-25七年级下·山东聊城·期中）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）， 把②代入①，得， 解得， 把代入②，得， ∴； （2）， ，得 ， ∴， ∴把代入①，得 ， ∴， ∴． 【变式1-1】（24-25七年级下·重庆北碚·期中）解二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）解：， 把①代入②得：， 解得， 把代入①得：， ∴方程组的解为：； （2）解：方程组整理得 ， 得：③， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 【变式1-2】（24-25七年级下·天津·期中）解下列方程组． (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： 由①得， 把③代入②，得，则， 把代入③，得， 所以这个方程组的解为； （2）解：化简，得， ，得， 由，得，则， 把代入①，得， 所以这个方程组的解为． 【变式1-3】（24-25七年级下·吉林·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：， 将①代入②，得， 解得：， 将代入①，得， 方程组的解为：； （2）解：， 整理得， 将②代入①，得， 解得：， 将代入②，得， 方程组的解为：． 【变式1-4】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：， 把②代入①，得， ∴， 把代入②，得， ∴方程组的解为； （2）解：， ，得， 把代入②，得， ∴， ∴方程组的解为． 【变式1-5】（24-25七年级下·贵州·期中）解下列方程组： (1)； (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： 把代入得， 解得， 将代入得， 原方程组的解为； （2）解： 得， 解得， 将代入得， 解得， 原方程组的解为． 【变式1-6】（24-25七年级下·浙江衢州·期中）解下列一元二次方程 (1)； (2)． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）解：， 将代入②得：， 解得：， 把代入得：， 则方程组的解为； （2）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 则方程组的解为． 【变式1-7】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）解方程组∶ (1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： 把①代入②得：，解得， 把代入①得：， ∴原方程组的解为； （2）解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 【变式1-8】（24-25九年级下·广东广州·期中）（1）解方程组； （2）解方程组：； 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1）解方程组； 将①代入②得， ， ， ， 将代入①得， 是方程组的解； （2）解方程组： ①＋②×2得， ， 将代入①得，，， 是方程组的解． 【变式1-9】（24-25七年级下·北京·期中）解下列方程组． (1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：， 把①代入②，得， 解得：， 把代入①，得， 方程组的解为； （2）解：， 由①，得③， 把③代入②，得， 去括号，得， 解得：， 把代入③，得， 方程组的解为． 【变式1-10】（24-25七年级下·福建厦门·期中）解方程组： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：， ①代入②，可得： ， 解得， 把代入①， 解得， ∴原方程组的解是； （2）解：， ，可得， 解得， 把代入①，可得：， 解得， ∴原方程组的解是． 【变式1-11】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）解： 把①代入②，得：， 解得：， 将带入①，得：， 解得：， ∴原方程组的解是； （2）解：， ，得：， 解得：， 将带入②，得， 解得：， ∴原方程组的解是． 【基础题型二】“加减消元法”解二元一次方程组 例题2（24-25七年级下·福建厦门·期中）解二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ②代入①得， 解得： 将代入①得， ∴方程组的解为； （2）解： ①②得： 解得：， 将代入①得， 解得： ∴方程组的解为 【变式2-1】（24-25七年级下·河南南阳·期中）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴这个方程组的解为； （2）解：， 整理，得， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴这个方程组的解为． 【变式2-2】（24-25七年级下·北京·期中）解方程组：． 【答案】 【详解】解：， ①×3得：③， ②×4得：④， ③+④得：，解得： 将代入①得 所以该方程组得解为 【变式2-3】（24-25七年级下·河南南阳·期中）用适当的方法解方程组． (1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：； （2）解： 整理得， 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：． 【变式2-4】（24-25七年级下·四川南充·期中）解方程组： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：， 由①得， 把③代入②得：，解得， 把代入③得：， ∴原方程组的解为； （2）解： 整理得： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 【变式2-5】（24-25七年级下·重庆长寿·期中）解方程组 (1) (2) 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）解：， 将方程①与方程②相加，可得，解得：， 将代入方程①：，解得：， 该二元一次方程组的解为； （2）解： 方程①：展开并整理得：③， 方程②：展开并整理得：④， 将方程③与方程④相加，可得：，解得：， 将代入方程③：，解得：， 该二元一次方程组的解为． 【变式2-6】（24-25七年级下·新疆喀什·期中）解下列方程组： (1)； (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：， ，得， 解得， 将代入①，得， 解得， 所以原方程组的解为； （2）解：， ，得， 解得， 将代入①，得， 解得， 所以原方程组的解为． 【变式2-7】（24-25七年级下·四川南充·期中）解二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： 得， 得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 得， 得， 解得， 将代入②得， 解得 ∴原方程组的解为． 【变式2-8】（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）解二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 把①代入②得：，解得， 把代入①得：， ∴原方程组的解为． 【变式2-9】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：， 由，得，解得：， 将代入①得， 故方程组得解为； （2）解：， 将②化简得③， 由得， 将代入①得， 故方程组得解为． 【基础题型三】选择适合的方法解二元一次方程组 例题3（24-25七年级下·山东烟台·期中）解下列方程组： (1)（请用代入消元法来解） (2)； 解题思路：【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组，是解题的关键： （1）将①变形得到，代入②进行求解即可； （2）利用加减消元法进行求解即可． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：由①，得， 把③代入②得：，解得， 把代入③，得， ∴原方程组的解为； （2）原方程组可整理为， 得，解得， 把代入③，得，解得， ∴原方程组的解为． 【变式3-1】（24-25七年级下·重庆忠县·期中）解下面各题： (1)解方程组； (2)用代入法解方程组： 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： 整理得： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 由②得， 把③代入①得：，解得， 把代入③得：， ∴原方程组的解为． 【变式3-2】解下列方程组： （）；                         （）． 【答案】（）；（） 【详解】解：（）， 由②得，③， 把③代入①得，， 解得， 把代入③，得， ∴方程组的解是； （）， ①得，③， ②得，④， ③+④得，， 解得， 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解是． 【变式3-3】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）解二元一次方程组： (1)用代入法解方程组 (2)用适当方法解方程组 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：， 由①得，③， 将③代入②得，， 解得， 将代入③得，， 所以原方程组的解为； （2）解：原方程组可变为， 得，， 解得， 将代入得，， 解得， 所以原方程组的解为． 【变式3-4】（24-25七年级下·河南开封·期中）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解； 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为； （2）解； 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 【变式3-5】（24-25七年级下·江苏南京·期中）解下列方程组 (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：， ，得 ， 把代入①，得 ， ∴， ∴； （2）解：， 化简，得 ， ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， ∴． 【变式3-6】（24-25七年级下·浙江湖州·期中）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： 由①式得：， 把代入②式得：， 解得：， 把代入， 解得：， ∴方程组的解为： （2）解： 由①②得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 【变式3-7】（24-25七年级下·湖南长沙·期中）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：， 把②代入①得： ， 把代入②得：， 原方程组的解为； （2）解：， 方程组整理得：， 得： ， 把代入②得： ， 则方程组的解为． 【变式3-8】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）解方程组： (1)（用代入消元法） (2)（用加减消元法） 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：， 由①，得．③ 将③代入②，得， ， ， ． 将代入③，得． 所以原方程组的解是； （2）解：， ，得， ． 将代入①，得， ． 所以原方程组的解是． 【变式3-9】（24-25七年级下·广东珠海·期中）解方程组： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：得： ， 解得， 把代入①得：， 解得， 故原方程组的解是． （2）解：得： ， 解得， 把代入①得：， 解得， 故原方程组的解是． 【变式3-10】（24-25六年级下·上海闵行·期中）解下列二元一次方程组 (1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ①②，得， 解得． 将代入②，得， 解得． 所以方程组的解是； （2）解：， 整理得：， ②①得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 【基础题型四】解较为复杂的二元一次方程组 例题4（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）解方程组 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解： ，得：，解得：； 把代入，得：，解得：； ∴方程组的解为：； （2） 解：，得：，解得：； 把代入②，得：，解得：； ∴方程组的解为：； （3）原方程组可化为： ，得：，解得：； 把代入，得：，解得：； ∴方程组的解为：； （4） 原方程组可化为： ，得：，解得：； 把代入，得：，解得：； ∴方程组的解为：． 【变式4-1】（2025七年级下·全国·期中）用加减法解下列方程组． (1)． (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：把得，， 解得：， 把代入①得，， 解得：， 故此不等式组的解集为：； （2）解：原方程组可化为， 得，，解得：， 把代入④得，，解得：， 故此方程组的解为． 【变式4-2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：， 由①得，然后代入②， 得， 展开得：， 解得：， 把代入， 得：， ∴这个方程组的解是． （2）， 方程组整理得：， 由得：③， 由得： ， 解得：， 把代入①得： ， 解得． ∴这个方程组的解是． 【变式4-3】（24-25七年级上·吉林长春·期中）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：在中 由得， 解得， 把代入得， 方程组的解是； （2）解：将原方程组变形为， 由得， 解得， 将代入得， 解得， 原方程组的解是． 【变式4-4】（24-25七年级下·山东泰安·期中）解方程组： (1)； (2) 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）解： ①②，得：， 解得：， 把代入①， 得：， 解得：， 原方程组的解为； （2）解：方程组整理，得， ③④得：， 解得：， 将代入③得：， 解得：， 原方程组的解为． 【变式4-5】（23-24七年级下·全国·期中）解方程组： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）， 化简，得 ， ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， ∴； （2）， 化简，得 ， ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， ∴． 【变式4-6】（23-24七年级下·全国·期中）解下列方程组： (1) (2) (3) 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：， 由①得：， 将③代入②，可得：； 解得：； 将代入③，可得：； 故该方程组的解为：； （2）解：整理成； 得：， 解得：； 把代入①得：， 解得：； 故该方程组的解为：； （3）解：整理成； 由得：； 将③代入②，可得：； 解得：； 将代入③，可得：； 故方程组的解为：； 【变式4-7】（24-25七年级下·天津和平·期中）解方程组 (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 整理得： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 【变式4-8】（2024七年级下·全国·期中）解下列二元一次方程组： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6) 【详解】（1）解：， ，得：，解得：， 把代入，得：，解得：， ∴方程组的解为：； （2） ，得：，解得：； 把代入，得：，解得：， ∴方程组的解为：； （3） ，得：，解得：； 把代入，得：，解得：， ∴方程组的解为：； （4） ，得：，解得：； 把代入，得：，解得：， ∴方程组的解为：； （5）原方程组可化为：， ，得：，解得：； 把代入，得：，解得：， ∴方程组的解为：； （6）原方程组可化为： ，得：，解得：； 把代入，得：，解得：， ∴方程组的解为：． 【变式4-9】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程的解为：； （2）解：， 原方程组可变为：， 由①得， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， ∴原方程组的解为：． 【基础题型五】解三元一次方程组 例题5（24-25七年级下·北京·期中）解方程组： (1)；（用代入法解） (2)； (3)． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：， 将①代入②，得：， 解得：， 将代入①，得：， ∴方程组的解为； （2）解：， ，得：， 解得：， 将代入①，得：， 解得：， ∴方程组的解为； （3）解：， 得：， 得：， 将代入①得， 解得：， 将，代入②，得， 解得：， ∴方程组的解为． 【变式5-1】（24-25七年级下·全国·期中）解下列三元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）， 将①代入②，得 ， ∴， ， 解得， 把代入①，得， ∴； （2）， 由，得， ，得， 由④⑤得到 将代入①可得， ， ∴原方程组的解为． 【变式5-2】（23-24七年级下·四川遂宁·期末）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：对于方程组 由①得，③ 把③代入②得 解得． 把代入③得， 故原方程组的解为； （2）解：， ，得， ，得， ，得：， 解得：， 把代入④得：， 解得：， 把，代入①，得：， 解得：． 所以原方程组的解为． 【变式5-3】（23-24六年级下·上海长宁·期末）解方程组：． 【答案】 【详解】解：把①代入②得，， ， 把代入①③得，， 将④代入⑤得，， ， 把代入④得，， 原方程组的解为： ． 【变式5-4】（24-25七年级下·四川资阳·期中）解方程组： (1)； (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：方程组整理得：， 得：，解得：， 把代入①得：， 解得：， 故方程组的解为； （2）解：， 得：， 解得：， 得：， 把代入④得：， 解得：， 把，代入①得：， 解得：， 故方程组的解为． 【变式5-5】（23-24七年级下·湖北孝感·期末）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ，得， ∴， 将代入①，得， ∴， ∴方程组的解为； （2）解： 由①得③， 由②得④， 将③代入④得，， 解方程组， ∴， ∴， ∴方程组的解为． 【变式5-6】（22-23七年级下·江西宜春·期末）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ②代入①，可得， 解得，， 将代入②，可得， 故方程组的解为． （2）解：． ①+②，得④， ②+③，得⑤， ④⑤，得，解得． 把代入④，得，解得． 把，代入③，得，解得． 所以原方程组的解为． 【变式5-7】（23-24六年级下·上海松江·期末）解方程组： 【答案】 【详解】由得：④ 由得：⑤ 由得： 将代入④得： 将，代入①得： 所以，原方程组的解为． 【变式5-8】（23-24六年级下·上海杨浦·期末）解方程组：． 【答案】 【详解】解：②+③，得④， 由①④组成方程组， 解得， 把代入②，得， 解得， ∴原方程组的解是． 【变式5-9】（23-24六年级下·上海宝山·期末）解方程组：． 【答案】 【详解】解：①③得：， 化简，得 ②-①得： ④+⑤得：，解得， 把代入④得，， 把，代入③得： ∴原方程组的解为 【变式5-10】（23-24六年级下·上海黄浦·期末）解方程组：． 【答案】 【详解】解：， 由得， 由得， 由得， 得， ∴ 将代入③得 将，代入①得 ， 解得： ∴原方程组解为． 【变式5-11】（23-24七年级下·江苏南通·期中）（1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【详解】解：（1）， 整理得：， ①+②得：，解得：， 把代入①得：， ∴， ∴． （2）， ①+②得：④， ②+③得：⑤， ④⑤得：， 把代入， ∴， 把，代入①得：， ∴． 【基础题型六】整式的混合运算 例题6（24-25八年级上·吉林长春·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，3 【详解】 ∵， ∴原式． 【变式6-1】（24-25七年级下·山东枣庄·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式6-2】（2025七年级下·全国·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】；8 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式6-3】（24-25七年级下·吉林·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式6-4】（2025·湖南长沙·二模）先化简，再求值：，其中 【答案】；6 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式6-5】（24-25七年级下·山东菏泽·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式6-6】（24-25七年级下·山东青岛·期中）先化简，再求值 ，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【变式6-7】（24-25九年级下·重庆·期中）计算： 【答案】 【详解】解： ． 【变式6-8】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）先化简，再求值． ，其中，． 【答案】， 【详解】解： ， 当，时，原式． 【变式6-9】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）（1）化简：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）；. 【详解】解：（1） ； （2） 当时，原式． 【变式6-10】（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ； 当时， 原式． 【基础题型七】因式分解的相关计算 例题7（24-25七年级下·吉林·期中）因式分解： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1） ； （2） ． 【变式7-1】（24-25八年级下·广东深圳·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式7-2】（24-25八年级下·山东青岛·期中）因式分解 (1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式7-3】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）因式分解： (1) (2) (3) 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ； （3）解： ， ． 【变式7-4】（24-25八年级上·山东滨州·期中）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1） （2） （3） （4） 【变式7-5】（24-25八年级上·山东滨州·期中）分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解； ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式7-6】（24-25八年级下·河南驻马店·期中）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1） （2） ． 【变式7-7】（24-25八年级下·河北保定·期中）因式分解 (1)； (2)； (3) 【答案】(1)(2)(3)2500 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式7-8】（24-25八年级下·河北保定·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)． (4)利用因式分解进行简便计算：； 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 【变式7-9】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）分解因式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式7-10】（24-25八年级下·山东济南·期中）分解因式： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ； （3）解：， ； （4）解：， ， ． 【变式7-11】（24-25八年级下·陕西西安·期中）分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式7-12】（24-25八年级上·河南南阳·期末）把下列多项式分解因式 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：． （2）解： ． （3）解：． （4）解：． 【基础题型八】含乘方的分式乘除运算 例题8（23-24八年级下·全国·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 【变式8-1】（23-24八年级上·山东烟台·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式8-2】（23-24八年级上·四川自贡·期末）计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式8-3】（23-24八年级上·辽宁大连·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：； ； （2）解： ． 【变式8-4】（23-24八年级上·吉林·期中）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式8-5】（23-24八年级上·湖北黄石·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式8-6】（24-25八年级下·湖南常德·期中）计算： 【答案】 【详解】解： ． 【变式8-7】（23-24八年级上·湖南怀化·期中）计算题 (1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）， ， ， ． 【变式8-8】（23-24八年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1） ； （2） ． 【变式8-9】（23-24八年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式8-10】（23-24八年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． （4）解： ． 【变式8-11】（23-24八年级上·全国·期中）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)(2)(3)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【基础题型九】含乘方的分式乘除运算 例题9（2025·广东深圳·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】． 【详解】解：， ， ， ， 当时，原式． 【变式9-1】（2025·安徽合肥·二模）先化简，再求值，其中． 【答案】 【详解】解：， 当时，原式=． 【变式9-2】（24-25八年级下·甘肃天水·期中）化简求值，，其中． 【答案】； 【详解】解： ， 当，原式． 【变式9-3】（24-25八年级下·河南南阳·期中）先化简再求值．，请在，1，2，3中选择一个适当的数作为的值代入求值． 【答案】，4 【详解】解： ， ∵ ∴， 故把代入， 得． 【变式9-4】（24-25八年级下·四川眉山·期中）化简，然后从，1，2中选择一个数代入求值． 【答案】，2 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴原式． 【变式9-5】（2025·山东滨州·一模）先化简，再求值：，其中是方程的解． 【答案】，3 【详解】解：原式= = = =； 由方程，得：． ∴原式． 【变式9-6】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】；1 【详解】解： 当时，． 【变式9-7】（2025·重庆·一模）先化简再求值：，其中是从，0，2中选取的一个合适的数． 【答案】；0 【详解】解：原式， ， ， 且， 当时，原式， 【变式9-8】（24-25九年级下·江苏宿迁·期中）先化简：，再从中选择一个你喜欢的数代入求值． 【答案】，当时，值为（答案不唯一） 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴当时，原式 【变式9-9】（2025八年级下·全国·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，3． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 【变式9-10】（2025·北京·一模）已知，求代数式的值． 【答案】2 【详解】解： ， ∴ 当时，原式 ． 【基础题型十】可化为一元一次方程的分式方程 例题10（24-25八年级下·甘肃天水·期中）解分式方程： (1) (2) 【答案】(1)无解(2) 【详解】（1）解： 去分母得，， 解得：， 当时，， ∴是原方程的增根，此方程无解； （2）解： 去分母得， 解得： 当时，， ∴是原方程根． 【变式10-1】（2025·福建南平·二模）解分式方程：． 【答案】 【详解】解：方程两边乘得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：当时，， 所以原分式方程的解为． 【变式10-2】（2025·陕西西安·模拟预测）解方程： 【答案】 【详解】解： 去分母，得． 整理，得． 解得． 检验：当时，． 原分式方程的解为． 【变式10-3】（24-25八年级下·重庆·期中）解下列分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为：； （2）解： ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为：． 【变式10-4】（24-25九年级下·福建福州·期中）解分式方程：． 【答案】 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 【变式10-5】（24-25八年级下·全国·期末）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)（增根），原方程无解(2) 【详解】（1）解： 方程两边同乘，得， 移项、合并同类项得， 解得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的增根， 所以原分式方程无解． （2）解： 方程两边同乘，得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 解得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 【变式10-6】（24-25八年级下·四川眉山·期中）解方程：． 【答案】原分式方程无解 【详解】解：， 整理得， 去分母得， ， 经检验：当时，， 原分式方程无解． 【变式10-7】（2025八年级下·全国·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)(2)无解 【详解】（1）解：， ∴， 去分母得：， ∴， 解得：， 检验，当时，， 所以该分式方程的解为：； （2）解：， 去分母得：， ∴ 解得：， 检验，当时，， 所以该分式方程无解． 【变式10-8】（2025八年级下·全国·期中）解方程： (1)； (2) 【答案】(1)方程无解(2) 【详解】（1）解： 化为整式方程得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验：把代入， ∴是原方程的增根，原方程无解； （2）解： 化为整式方程得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 检验：把代入， ∴是原方程的解． 【变式10-9】（2025八年级下·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2)分式方程无解． 【详解】（1）解：， ∴， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． （2）解：， ∴， 解得：， 检验，当时，， ∴是原方程的增根，原方程无解． 【变式10-10】（24-25八年级上·山东淄博·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)(2)无解 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 检验，当时，， 所以该分式方程的解为：； （2）解：， ， ， 检验，当时，， 所以该分式方程无解． 【变式10-11】（24-25八年级下·重庆·期中）解分式方程： (1) (2) 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）解： ∴， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为：； （2）解：， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为：． 第 1 页 共 97 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【精准提分】专题02 计算题专项集训（浙教2024） 【二元一次方程组、整式、因式分解、分式、分式方程10个题型】 【基础题型一】“代入消元法”解二元一次方程组 1 【基础题型二】“加减消元法”解二元一次方程组 4 【基础题型三】选择适合的方法解二元一次方程组 5 【基础题型四】解较为复杂的二元一次方程组 7 【基础题型五】解三元一次方程组 10 【基础题型六】整式的混合运算 12 【基础题型七】因式分解的相关计算 13 【基础题型八】含乘方的分式乘除运算 16 【基础题型九】含乘方的分式乘除运算 18 【基础题型十】可化为一元一次方程的分式方程 19 【基础题型一】“代入消元法”解二元一次方程组 例题1（24-25七年级下·山东聊城·期中）解方程组： (1)； (2)． 【变式1-1】（24-25七年级下·重庆北碚·期中）解二元一次方程组： (1)； (2)． 【变式1-2】（24-25七年级下·天津·期中）解下列方程组． (1)； (2)． 【变式1-3】（24-25七年级下·吉林·期中）解方程： (1) (2) 【变式1-4】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）解下列方程： (1) (2) 【变式1-5】（24-25七年级下·贵州·期中）解下列方程组： (1)； (2) 【变式1-6】（24-25七年级下·浙江衢州·期中）解下列一元二次方程 (1)； (2)． 【变式1-7】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）解方程组∶ (1) (2) 【变式1-8】（24-25九年级下·广东广州·期中）（1）解方程组； （2）解方程组：； 【变式1-9】（24-25七年级下·北京·期中）解下列方程组． (1) (2) 【变式1-10】（24-25七年级下·福建厦门·期中）解方程组： (1) (2) 【变式1-11】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）解方程： (1) (2) 【基础题型二】“加减消元法”解二元一次方程组 例题2（24-25七年级下·福建厦门·期中）解二元一次方程组： (1) (2) 【变式2-1】（24-25七年级下·河南南阳·期中）解下列方程组： (1) (2) 【变式2-2】（24-25七年级下·北京·期中）解方程组：． 【变式2-3】（24-25七年级下·河南南阳·期中）用适当的方法解方程组． (1) (2) 【变式2-4】（24-25七年级下·四川南充·期中）解方程组： (1) (2) 【变式2-5】（24-25七年级下·重庆长寿·期中）解方程组 (1) (2) 【变式2-6】（24-25七年级下·新疆喀什·期中）解下列方程组： (1)； (2) 【变式2-7】（24-25七年级下·四川南充·期中）解二元一次方程组： (1)； (2)． 【变式2-8】（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）解二元一次方程组： (1)； (2)． 【变式2-9】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）解方程组： (1)； (2)． 【基础题型三】选择适合的方法解二元一次方程组 例题3（24-25七年级下·山东烟台·期中）解下列方程组： (1)（请用代入消元法来解） (2)； 解题思路：【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组，是解题的关键： （1）将①变形得到，代入②进行求解即可； （2）利用加减消元法进行求解即可． 【变式3-1】（24-25七年级下·重庆忠县·期中）解下面各题： (1)解方程组； (2)用代入法解方程组： 【变式3-2】解下列方程组： （）；                         （）． 【变式3-3】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）解二元一次方程组： (1)用代入法解方程组 (2)用适当方法解方程组 【变式3-4】（24-25七年级下·河南开封·期中）解方程组： (1)； (2)． 【变式3-5】（24-25七年级下·江苏南京·期中）解下列方程组 (1)； (2)． 【变式3-6】（24-25七年级下·浙江湖州·期中）解下列方程组： (1) (2) 【变式3-7】（24-25七年级下·湖南长沙·期中）解下列方程组： (1)； (2)． 【变式3-8】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）解方程组： (1)（用代入消元法） (2)（用加减消元法） 【变式3-9】（24-25七年级下·广东珠海·期中）解方程组： (1) (2) 【变式3-10】（24-25六年级下·上海闵行·期中）解下列二元一次方程组 (1) (2) 【基础题型四】解较为复杂的二元一次方程组 例题4（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）解方程组 (1) (2) (3) (4) 【变式4-1】（2025七年级下·全国·期中）用加减法解下列方程组． (1)． (2)． 【变式4-2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【变式4-3】（24-25七年级上·吉林长春·期中）解下列方程组： (1) (2) 【变式4-4】（24-25七年级下·山东泰安·期中）解方程组： (1)； (2) 【变式4-5】（23-24七年级下·全国·期中）解方程组： (1) (2) 【变式4-6】（23-24七年级下·全国·期中）解下列方程组： (1) (2) (3) 【变式4-7】（24-25七年级下·天津和平·期中）解方程组 (1)； (2)． 【变式4-8】（2024七年级下·全国·期中）解下列二元一次方程组： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【变式4-9】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）解下列方程组： (1) (2) 【基础题型五】解三元一次方程组 例题5（24-25七年级下·北京·期中）解方程组： (1)；（用代入法解） (2)； (3)． 【变式5-1】（24-25七年级下·全国·期中）解下列三元一次方程组： (1) (2) 【变式5-2】（23-24七年级下·四川遂宁·期末）解下列方程组： (1) (2) 【变式5-3】（23-24六年级下·上海长宁·期末）解方程组：． 【变式5-4】（24-25七年级下·四川资阳·期中）解方程组： (1)； (2) 【变式5-5】（23-24七年级下·湖北孝感·期末）解下列方程组： (1)； (2)． 【变式5-6】（22-23七年级下·江西宜春·期末）解下列方程组： (1) (2) 【变式5-7】（23-24六年级下·上海松江·期末）解方程组： 【变式5-8】（23-24六年级下·上海杨浦·期末）解方程组：． 【变式5-9】（23-24六年级下·上海宝山·期末）解方程组：． 【变式5-10】（23-24六年级下·上海黄浦·期末）解方程组：． 【变式5-11】（23-24七年级下·江苏南通·期中）（1）； （2）． 【基础题型六】整式的混合运算 例题6（24-25八年级上·吉林长春·期末）先化简，再求值：，其中，． 【变式6-1】（24-25七年级下·山东枣庄·期中）计算： (1)； (2) 【变式6-2】（2025七年级下·全国·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式6-3】（24-25七年级下·吉林·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式6-4】（2025·湖南长沙·二模）先化简，再求值：，其中 【变式6-5】（24-25七年级下·山东菏泽·期中）计算： (1) (2) 【变式6-6】（24-25七年级下·山东青岛·期中）先化简，再求值 ，其中． 【变式6-7】（24-25九年级下·重庆·期中）计算： 【变式6-8】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）先化简，再求值． ，其中，． 【变式6-9】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）（1）化简：． （2）先化简，再求值：，其中． 【变式6-10】（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）先化简，再求值：，其中． 【基础题型七】因式分解的相关计算 例题7（24-25七年级下·吉林·期中）因式分解： (1) (2) 【变式7-1】（24-25八年级下·广东深圳·期中）因式分解： (1)； (2)． 【变式7-2】（24-25八年级下·山东青岛·期中）因式分解 (1) (2) 【变式7-3】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）因式分解： (1) (2) (3) 【变式7-4】（24-25八年级上·山东滨州·期中）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式7-5】（24-25八年级上·山东滨州·期中）分解因式： (1)； (2)； (3)． 【变式7-6】（24-25八年级下·河南驻马店·期中）分解因式： (1)； (2)． 【变式7-7】（24-25八年级下·河北保定·期中）因式分解 (1)； (2)； (3) 【变式7-8】（24-25八年级下·河北保定·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)． (4)利用因式分解进行简便计算：； 【变式7-9】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）分解因式： (1) (2) (3) (4) 【变式7-10】（24-25八年级下·山东济南·期中）分解因式： (1)． (2)． (3)． (4)． 【变式7-11】（24-25八年级下·陕西西安·期中）分解因式： (1)； (2)； (3)． 【变式7-12】（24-25八年级上·河南南阳·期末）把下列多项式分解因式 (1)； (2)； (3)； (4)． 【基础题型八】含乘方的分式乘除运算 例题8（23-24八年级下·全国·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式8-1】（23-24八年级上·山东烟台·期末）计算： (1)； (2)． 【变式8-2】（23-24八年级上·四川自贡·期末）计算： 【变式8-3】（23-24八年级上·辽宁大连·期末）计算 (1)； (2)． 【变式8-4】（23-24八年级上·吉林·期中）计算：． 【变式8-5】（23-24八年级上·湖北黄石·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【变式8-6】（24-25八年级下·湖南常德·期中）计算： 【变式8-7】（23-24八年级上·湖南怀化·期中）计算题 (1) (2) 【变式8-8】（23-24八年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)． 【变式8-9】（23-24八年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)． 【变式8-10】（23-24八年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式8-11】（23-24八年级上·全国·期中）计算： (1)． (2)． (3)． 【基础题型九】含乘方的分式乘除运算 例题9（2025·广东深圳·二模）先化简，再求值：，其中． 【变式9-1】（2025·安徽合肥·二模）先化简，再求值，其中． 【变式9-2】（24-25八年级下·甘肃天水·期中）化简求值，，其中． 【变式9-3】（24-25八年级下·河南南阳·期中）先化简再求值．，请在，1，2，3中选择一个适当的数作为的值代入求值． 【变式9-4】（24-25八年级下·四川眉山·期中）化简，然后从，1，2中选择一个数代入求值． 【变式9-5】（2025·山东滨州·一模）先化简，再求值：，其中是方程的解． 【变式9-6】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【变式9-7】（2025·重庆·一模）先化简再求值：，其中是从，0，2中选取的一个合适的数． 【变式9-8】（24-25九年级下·江苏宿迁·期中）先化简：，再从中选择一个你喜欢的数代入求值． 【变式9-9】（2025八年级下·全国·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式9-10】（2025·北京·一模）已知，求代数式的值． 【基础题型十】可化为一元一次方程的分式方程 例题10（24-25八年级下·甘肃天水·期中）解分式方程： (1) (2) 【变式10-1】（2025·福建南平·二模）解分式方程：． 【变式10-2】（2025·陕西西安·模拟预测）解方程： 【变式10-3】（24-25八年级下·重庆·期中）解下列分式方程： (1)； (2)． 【变式10-4】（24-25九年级下·福建福州·期中）解分式方程：． 【变式10-5】（24-25八年级下·全国·期末）解分式方程： (1)； (2)． 【变式10-6】（24-25八年级下·四川眉山·期中）解方程：． 【变式10-7】（2025八年级下·全国·期中）解方程： (1) (2) 【变式10-8】（2025八年级下·全国·期中）解方程： (1)； (2) 【变式10-9】（2025八年级下·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)． 【变式10-10】（24-25八年级上·山东淄博·期中）解方程： (1) (2) 【变式10-11】（24-25八年级下·重庆·期中）解分式方程： (1) (2) 第 1 页 共 97 页 学科网（北京）股份有限公司 $$