8.1.1棱柱同步练习-2024～2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

人教A版高中数学必修第二册基础练习作业 8.1.1 棱柱 一、单选题 1. 如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是( ) A. ①是棱台 B. ②是圆台 C. ③是棱锥 D. ④是棱柱 2. 观察下面的几何体，哪些是棱柱？( ) A. (1)(3)(5) B. (1)(2)(3)(5) C. (1)(3)(5)(6) D. (3)(4)(6)(7) 3. 如图，在正方体中，，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为( ) A. B. C. D. 4. 如图，在长方体中，，，点为上的动点，则的最小值为( ) A. B. C. D. 5. 如图，在正方体中，为中点，为线段上一动点，过，，的平面截正方体的截面图形不可能是( ) A. 三角形 B. 矩形 C. 梯形 D. 菱形 二、多选题 6. 下列结论正确的是( ) A. 圆柱的每个轴截面都是全等矩形 B. 长方体是直四棱柱，直四棱柱也是长方体 C. 用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台 D. 四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体 7. 下列说法不正确的是( ) A. 底面是矩形的四棱柱是长方体 B. 有两个面平行，其余四个面都是平行四边形的几何体叫平行六面体 C. 棱柱的各个侧面都是平行四边形 D. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 8. 如图，在长方体中，，，点为的中点，过，作长方体的截面交棱于点，则( ) A. 截面可能是六边形 B. 若截面为平行四边形，则 C. 存在点，使得截面 D. 当点与点重合时，截面面积为 9. 一圆柱的侧面展开图是长，宽的矩形，则这个圆柱的体积可能为( ) A. B. C. D. 10. 如图，在棱长为的正方体中，为棱的动点（点不与点，重合），过点作平面分别与棱，交于，两点，若，则下列说法正确的是( ) A. 平面 B. 存在点，使得平面 C. 存在点，使得点到平面的距离为 D. 用过，，三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形 三、填空题 11. 正方体中，点，，分别在棱，，上，且，，，其中，若平面与线段的交点为，则______ 。 12. 在正方体上任意选择个顶点，然后将它们两两相连，则可能组成的几何图形为________（写出所有正确结论的编号）。 ①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体。 13. 如图，正方体的棱长为，是的中点，是的中点，是的中点，用平面截该正方体，则截面图形的周长是______ 。 四、简答题 14. 已知长方体中，，，，求。 15. 判断下列命题的真假。 (1) 四棱柱一定是平行六面体； (2) 六个面都是矩形的六面体一定是长方体； (3) 直平行六面体一定是长方体； (4) 底面是矩形的四棱柱一定是长方体。 16. 设计个不同的平面图形，使它们都能围成同一个正方体。 1. 答案：D 解析：A选项：棱台是棱锥用平行于底面的平面去截后，截面与底面之间的部分，且侧棱延长后需交于一点。图①不满足棱台的这些特征，不是棱台。 B选项：圆台是圆锥被平行于底面的平面所截后，截面和底面之间的部分，图②上下底面不平行，不符合圆台定义，不是圆台。 C选项：棱锥是有一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形。图③是圆锥，并非棱锥。 D选项：棱柱的定义为有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行。图④符合棱柱的定义，是棱柱。 2. 答案：A 解析：棱柱的定义为有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻四边形的公共边互相平行。 （1） 满足棱柱的定义，是棱柱。 （2） 不满足侧棱互相平行这一棱柱的重要特征，不是棱柱。 （3）满足棱柱的定义，是棱柱。 （4）是圆柱，不符合棱柱的定义，不是棱柱。 （5）满足棱柱的定义，是棱柱。 （6）不满足有两个面互相平行这一棱柱的基本特征，不是棱柱。 （7）是棱锥，不是棱柱。所以是棱柱的为(1)(3)(5) ，答案选A。 3. 答案：B 解析：连接、、 。在正方体中，平面 ，因为平面平面，所以平面与平面重合（或平行） ，那么平面截正方体所得的截面为 。 已知，根据勾股定理可得， ， 。 根据三角形面积公式底高，以为底，为高，可得 ，而面积与之相等，所以截面面积 。 4. 答案：D 解析：将矩形与矩形沿展开到一个平面上。 在长方体中，已知， ，展开后根据勾股定理可得 。 根据两点之间线段最短，的最小值就是展开后与两点间的距离。经计算可得最小值为 ，答案选D。 5. 答案：B 解析：三角形情况：当与重合时 ，此时截面为 ，是三角形，所以A选项可能。 梯形情况：当是中点时，取中点，连接、、 ，此时得到的截面是梯形，C选项可能。 菱形情况：当从向移动过程中，在适当的位置可以得到菱形截面，D选项可能。 由于正方体的结构特征，无论在上怎样移动，过、、的平面截正方体都不可能得到矩形，答案选B。 6. 答案：AD 解析：A选项：圆柱的轴截面是以底面直径和高为边的矩形，因为圆柱的底面直径和高都固定，所以每个轴截面都是全等矩形，该选项正确。 B选项：长方体是底面为矩形的直四棱柱，但直四棱柱底面不一定是矩形，所以直四棱柱不一定是长方体 ，该选项错误。 C选项：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，才会得到一个圆锥和一个圆台，不平行则得不到，该选项错误。 D选项：四棱柱、四棱台、五棱锥都有六个面，都是六面体 ，该选项正确。 7. 答案：ABD 解析：A选项：底面是矩形的直四棱柱才是长方体，若侧棱不垂直底面则不是，该选项错误。 B选项：有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体才叫平行六面体 ，该选项错误。 C选项：根据棱柱定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形 ，该选项正确。 D选项：有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体才叫棱柱 ，该选项错误。 8. 答案：BD 解析：A选项：连接，延长分别交延长线、延长线于点，再连接相关点与棱相交确定，截面最多是五边形，不可能是六边形，该选项错误。 B选项：当截面为平行四边形时，通过相似等知识分析，可得 ，该选项正确。 C选项：假设存在点使截面，通过线面垂直相关性质推理会产生矛盾，所以不存在，该选项错误。 D选项：当与重合时，通过计算相关边长，利用面积公式可得截面面积为 ，该选项正确。 9. 答案：AB 解析：若圆柱底面周长，高 ，由可得 ，根据圆柱体积公式，则 。 若圆柱底面周长，高 ，由可得 ，根据圆柱体积公式，则 。所以体积可能为或 ，选AB。 10. 答案：ACD 解析：A选项：可通过建立空间直角坐标系，利用向量法证明与平面内两相交向量垂直，从而得出平面 ，该选项正确。 B选项：由平面可知，不存在点使平面 ，该选项错误。 C选项：根据相关距离公式计算，存在点使点到平面的距离为 ，该选项正确。 D选项：通过分析平面与正方体各面的交线情况，可知得到的截面一定是梯形 ，该选项正确。 11. 答案： 解析：以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系。设正方体棱长为，则， ，。 因为，所以；，则；，所以。 设，，则。 ，，。 因为四点共面，则存在实数，使得，即： 将代入其他两式，消去，解得，所以。 12. 答案：①③④⑤ 解析：①：在正方体中，比如任意一个面的四个顶点相连，都能构成矩形，所以①正确。 ②：正方体的任意四个顶点相连构成的平行四边形，其边与正方体的棱或面对角线相关，由于正方体的特性，这些平行四边形的邻边一定垂直，所以一定是矩形，不存在不是矩形的平行四边形，②错误 。 ③：例如正方体同一顶点出发的三条棱的端点与该顶点构成的四面体，其中三个面是等腰直角三角形，另一个面是等边三角形，③正确。 ④：以正方体的面对角线为棱构成的四面体，每个面都是等边三角形，④正确。 ⑤：从正方体一个顶点出发，选取不共面的三条棱的端点构成的四面体，每个面都是直角三角形，⑤正确。 13. 答案： 解析：连接（为中点） 。因为分别是的中点，是的中点，所以，，。 通过分析可知截面图形是一个六边形，根据正方体棱长为以及勾股定理计算出各边长度，进而可得截面图形的周长为（、为截面与正方体棱的其他交点，通过中点及平行关系可确定其位置并计算相关边长）。 14. 答案 在长方体中，已知 ， ，。 在中，因为，所以，即，则。 在中，由于，所以，即，则。 根据长方体的体对角线公式，将，，代入可得： ， ， ， 所以。 15. 答案 (1) 四棱柱不一定是平行六面体。四棱柱是上下底面为四边形的棱柱，而平行六面体要求上下底面是平行四边形且侧棱平行且相等。所以该命题为假命题。 (2) 六个面都是矩形的六面体一定是长方体。因为六个面都是矩形，所以侧棱垂直于底面，符合长方体的定义，该命题为真命题。 (3) 直平行六面体一定是长方体。直平行六面体是侧棱垂直于底面的平行六面体，当底面是平行四边形时，不一定是矩形，只有底面是矩形的直平行六面体才是长方体，所以该命题为假命题。 (4) 底面是矩形的四棱柱不一定是长方体。当侧棱不垂直于底面时，它不是长方体，只有底面是矩形且侧棱垂直于底面的四棱柱才是长方体，所以该命题为假命题 。 16. 答案 （1） （2） （3） 学科网（北京）股份有限公司 $$