8.6.2直线与平面垂直（第一课时）导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.2《直线与平面垂直（第一课时）》导学案 一、学习目标 1. 从生活实例和几何模型中抽象出直线与平面垂直的概念，理解点到平面距离的概念，提升数学抽象素养。 1. 深入理解并熟练掌握直线与平面垂直的判定定理，能准确运用定理进行逻辑推理，证明直线与平面垂直，增强逻辑推理能力。 1. 通过观察、实验，直观感知直线与平面垂直的形象，准确找出直线在平面上的射影，理解直线与平面所成角的概念，提升直观想象素养。 1. 掌握求直线与平面所成角的方法，在计算过程中提高运算能力，确保计算准确规范，提升数学运算素养。 二、知识回顾 1. 空间中直线与直线的位置关系有哪些？ 1. 平面与平面平行的判定定理和性质定理分别是什么？ 三、合作探究 （一）直线与平面垂直的概念 1. 观察日常生活中直线与平面垂直的实例，如旗杆与地面、建筑物的柱子与地面等，思考这些直线与平面位置关系的共同特点。 1. 阅读直线与平面垂直的定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线与平面互相垂直，记作。其中直线是平面的垂线，平面是直线的垂面，它们唯一的公共点是垂足。 1. 对比“任意” “所有” “无数条”直线，理解“任意一条直线”的含义。观察直线与平面垂直的图形，学习画图时把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直。 （二）点到平面的距离 1. 回顾在同一平面内，过一点与已知直线垂直的直线的情况，思考在空间中过一点垂直于已知平面的直线的数量。 1. 理解点到平面的距离的概念：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离。在正方体模型中指出点到平面的垂线段和距离。 （三）直线与平面垂直的判定定理 1. 拿出三角形纸片，过顶点翻折纸片，得到折痕，将翻折后的纸片竖起放在桌面上（、与桌面接触）。思考：折痕与桌面垂直吗？如何翻折才能使折痕与桌面垂直？为什么？ 1. 学习直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。用符号语言表示为，，，， 。 思考定理中“两条相交直线”能否改为“两条平行直线”或“无数条直线”，从向量角度理解原因。 （四）直线与平面所成角的概念 1. 阅读直线与平面所成角的相关概念：一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足。过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影。平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角。 1. 在正方体模型中，指出对角线在不同平面上的射影，直观理解射影的概念。明确一条直线垂直于平面，它们所成的角是；一条直线和平面平行，或者在平面内，它们所成的角是，直线与平面所成的角的取值范围是 。 四、学以致用 （一）例题讲解 1. 例1：求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。已知，，求证 。 分析思路： · 法1：根据线面垂直的判定定理，在平面内取两条相交直线，，由得，，再利用平行线的性质证明，。 · 法2：根据线面垂直的定义，在平面内任取一条直线，由得，再结合证明。 证明过程：书写两种证明方法的过程，注意逻辑和规范。 1. 例2：在正方体中，求直线和平面所成的角。 · 分析关键：找出直线在平面上的射影。 · 解题步骤：连接与相交于点，连接。证明平面，得出为斜线在平面上的射影，为与平面所成的角。设正方体棱长为，在中计算的大小。 · 总结求线面角的一般步骤： 1　 作（作出线面角）、 2　 证（证明所作的角是线面角）、 3　 指（指出线面角）、 4　 算（计算角的大小）。 （二）课堂练习 完成课本152页第2题；课本155页第3题。 （三）新增训练题 1. 在三棱柱中，，是的中点，求证：平面。（自行作图） 1. 已知正方体，求直线与平面所成角的正切值。 1. 在四棱锥中，底面是矩形，底面，，，求直线与平面所成的角。（自行作图） 1. 在直三棱柱中，，，求直线与平面所成角的正弦值。（自行作图） 五、课堂小结 1. 回顾直线与平面垂直的概念、点到平面的距离、直线与平面垂直的判定定理、直线与平面所成角的概念及求法。 1. 总结证明线面垂直的方法和求线面角的一般步骤。 六、作业布置 1. 必做题：完成课本152页第2题和155页第3题的书面作业。 1. 选做题：思考在三棱锥中，如何判断一条侧棱与底面是否垂直；预习直线与平面垂直的性质，思考直线与平面垂直后会有哪些性质。 七、教学反思 1. 成功之处：借助生活实例和几何模型，帮助学生直观理解了抽象的概念和定理，激发了学生的学习兴趣。在讲解判定定理时，通过实验操作引导学生自主探究，培养了学生的探究能力和逻辑思维能力。在练习环节，及时发现并解决了学生在应用知识过程中出现的问题，强化了学生对知识的理解和掌握。 1. 不足之处：部分学生在理解直线与平面垂直的概念时，对“任意一条直线”的理解不够深入，导致在运用定义进行判断时出现错误。在应用判定定理证明线面垂直时，部分学生难以在复杂图形中准确找出两条相交直线与已知直线垂直。在求线面角时，部分学生作辅助线和计算能力有待提高。 1. 改进措施：针对学生理解困难的知识点，增加更多实例和练习，强化对概念的理解。加强对学生在复杂图形中分析问题的训练，引导学生学会寻找关键的相交直线。在求线面角方面，增加专项练习，提高学生作辅助线的技巧和计算能力。根据学生的学习情况，灵活调整教学进度和内容，增加拓展性练习，满足不同层次学生的学习需求，提升整体教学效果。 学科网（北京）股份有限公司 $$