精品解析：山东省济南第二中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

济南二中2024级高一期中考试数学试题 2025．5 说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第2页至第4页.考试时间120分钟，满分150分. 第Ⅰ卷（客观题，共58分） 一、单项选择题：（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 在中，为边上的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为为边上的中点， 所以. 故选：A 2. 已知向量，.若，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两向量垂直的坐标关系运算得解. 【详解】由，得，解得. 故选：D. 3. 半径为2的球内切于正三棱柱，则正三棱柱的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据球内切于正三棱柱求出高，然后内切球的性质求得底面正三角形的边长，最后利用柱体体积公式求解即可. 【详解】因为半径为2的球内切于正三棱柱， 所以正三棱柱的高，且该组合体过球心且平行于平面的截面为球的大圆内切于与全等的正三角形，如图. 由正三角形及其内切圆的性质，得， 所以的面积为， 所以正三棱柱的体积为. 故选：A 4. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则夹角为钝角 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】当时，可判断A；，可判断B；由已知可得或或，可判断C；由已知可得，可判断D. 【详解】对于A，若时，因零向量与任意向量是共线向量，故得不出，故A错误； 对于B，因，取，符合条件，但不是钝角，故B错误； 对于C，由，可得，可得或或， 所以或或，故C错误； 对于D，由，可得，所以， 所以，故D正确. 故选：D. 5. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的除法，根据模长公式，可得答案. 【详解】因，所以． 故选：D. 6. 在三角形中，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理求角，利用大边对大角确定角范围即可求解. 【详解】由可得：，所以， 又，则， 所以． 故选：A 7. 在三棱锥中，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件求得与的外接圆的半径为2，是等边三角形，由此作出过平面的截面，先在中求出，再利用勾股定理求得，从而求得三棱锥的外接球的表面积. 【详解】取中点，连接，如图， 因为，所以， 所以在中，，，， 所以， 设外接圆圆心为，半径为，则，即； 同理可得：，的外接圆半径也为2， 因为，所以是等边三角形， 则，即二面角为， 球心在平面上，过平面的截面如图所示，则， 所以在中，， 所以，即， 所以外接球的表面积． 故选：D. 【点睛】本小题主要考查几何体外接球的表面积的求法，考查三角形外心的求解方法.在解决有关几何体外接球有关的问题时，主要的解题策略是找到球心，然后通过解三角形求得半径.找球心的方法是先找到一个面的外心，再找另一个面的外心，球心就在两个外心垂线的交点位置. 8. 如图，有两个相同的直三棱柱，高为1，底面三角形的三边长分别为，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱，在所有可能组成的三棱柱中，表面积不可能为（ ） A. 36 B. 38 C. 40 D. 42 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何体的特征能拼成的三棱柱的情况有三种情况，分别求出其表面积即可求解. 【详解】当拼成三棱柱时有三种情况，如图①②③，表面积分别为. 故选：B. 二、多项选择题：（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 的内角，，的对边分别为，，，下列说法正确的是（ ） A. 若为钝角三角形，则 B. 若，则 C. 若，，，则有两解 D. ，则为等腰三角形或直角三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用余弦定理来计算判断A；利用大角对大边以及正弦定理边化角判断B；将条件转化为角的直接关系判断C；利用正弦定理及二倍角公式得，进而转化为角的关系判断D. 【详解】对于A，当为钝角时，为钝角三角形，由余弦定理得， 所以，A错误； 对于B，若，则，由正弦定理得，B正确； 对于C，若，，，由正弦定理得， 而，则可能是锐角也可能是钝角，因此有两解，C正确； 对于D，因为，所以，所以， 即，则或，即或， 为等腰三角形或直角三角形，D正确. 故选：BCD 10. 下列命题正确的有（ ） A. 如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线一定在这个平面内 B. 过直线外一点，只能作一个平面与这条直线平行 C. 如果一条直线与平面内的无数条直线平行，则该直线与平面平行 D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】AD 【解析】 【分析】由基本事实2判断A，由基本事实3判断D，由空间中点、线、面的位置关系判断B和C. 【详解】由基本事实2可知，如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线一定在这个平面内，故A正确； 因为过直线外一点可以作一条直线与已知直线平行， 所以经过这条直线且不经过已知直线的平面都与已知直线平行， 即过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行，故B错误； 一条直线平行于平面内的无数条直线，该直线与平面平行或直线在平面内，故C错误. 由基本事实3知，如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线，故D正确； 故选：AD. 11. 在棱长为2正方体中，为的中点，是侧面内的一点（包含边界），则以下结论正确的是（） A. 若，则的轨迹长度为 B. 与所成角的最大值为 C. 若三棱锥的体积为定值，则 D. 若在线段上，则三棱锥的外接球表面积的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，由题意可知其轨迹为圆弧；对于B，当点为的中点时，易证与所成角的为；对于C，因为三棱锥的体积为定值，找出轨迹，但此时可证与不垂直；对于D，关键在于求出的外接圆直径的范围，进而可求外接球半径的范围，进而可求外接球表面积的范围. 【详解】对于A，取的中点，此时满足， 因为点在侧面内，所以以为球心，为半径的球面与侧面的交线为四分之一圆弧， 该圆弧是以B为圆心1为半径的圆的，故其轨迹长度为，故A正确； 对于B，如图所示，连接，在中，，同理可求得， 所以为等腰三角形，当点为的中点时，连接，此时有， 在正方体中易知，故，此时与所成角的为，故B错误； 对于C，当F在上运动时，由于,所以平面, 此时为定值， 但与不垂直，故C错误； 对于D，设，当点为的中点时，最， 取中点，则， 所以； 当点与点或点重合时，最小，此时，所以 在球面上，的外接圆直径 三棱锥的外接球的直径为 三棱锥的外接球的半径为 三棱锥的外接球的表面积为，故D正确. 故选：AD. 第II卷（主观题，共92分） 三、填空题：（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.） 12. 设向量的夹角的余弦值为，且，则_____ 【答案】8 【解析】 【分析】由求解. 【详解】由，得， 又因为向量的夹角的余弦值为， 所以， ， 故答案为：8 13. 已知直线平面，，那么过点且平行于直线的直线有_______条． 【答案】1 【解析】 【分析】结合基本事实一的推论和线面平行的性质定理确定结论. 【详解】由已知，点不在直线上，故存在唯一平面过点和直线， 设，又直线平面，， 则， 所以过点且平行于直线的直线有只有1条． 故答案为： 1. 14. 已知正四棱锥的各棱长均为2，点E是棱SB的中点，动点P满足，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】分别取的中点，可证平面，进而分析可知点关于平面的对称点为点，根据对称性结合几何性质运算求解. 【详解】分别取的中点，连接，设， 因为为等边三角形，则， 且，平面，则平面， 可知点平面， 又因为分别为的中点，则∥，且点为的中点， 可得平面，即点关于平面的对称点为点， 则， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：（本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知向量． （1）求； （2）若与平行，求实数的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，结合向量的模的坐标运算公式，即可求解； （2）根据题意，求得且，根据向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 由向量，可得， 所以. 【小问2详解】 由向量， 可得且， 因为与平行，可得， 所以，解得. 16. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求角B； （2）设的垂心为H，若． （i）求的值； （ii）求的值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和化简即可得出，再根据的范围即可求出； （2）（i）利用垂心得，再用化简题干信息，即可得出； （ii）利用余弦定理求，并结合可得，最后利用余弦定理即可. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 又， 则，可得， 因，则，可得， 又因，所以． 【小问2详解】 （i）因点为的垂心，则， 则， 得； （ii）因，则由余弦定理得， 将代入上式可得， 则由余弦定理得． 17. 如图，正方体的棱长为，为的中点， （1）求证：平面； （2）求的面积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，令，连接，则，由此能证明平面. （2）由已知分别求出，，，由此能求出的面积. 【小问1详解】 证明：连接，令，连接. ∵正方体中，是的中点，又是的中点，∴， 又平面，平面，∴平面. 【小问2详解】 解：在正方形中，，，∴， 在直角中，，，∴，同理可得， 且四边形为正方形，则为的中点，所以，， 在中，， ∴. 18. 如图，中，，，D为中点，E为上一点，且，设，． （1）请用，来表示，； （2）若，求的值； （3）当时，求与夹角的余弦值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合图形，由向量的加法和减法法则可得； （2）由数量积的运算律结合向量垂直的条件可得； （3）由数量积运算律结合向量的模长和夹角的计算可得. 【小问1详解】 由题意知点D是的中点，故， 则；． 【小问2详解】 由题意，， 当时， ，∴，． 【小问3详解】 时， ， ． 19. 如图，在正三棱柱中，，点M为的中点. （1）求点A到平面的距离； （2）在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）利用等体积法即可求解； （2）在平面内过点A作，交于点Q，由面面垂直的性质定理可得平面，由题意得，根据相似三角形的性质即可求解. 小问1详解】 因为三棱柱是正三棱柱， 所以平面，所以， 又因为M是的中点，所以， 因为，平面， 所以平面，又平面， 所以， 点M为的中点，所以，， 所以， ， 设点A到平面的距离为h，则， 所以，解得， 所以点A到平面的距离为. 【小问2详解】 由（1）可知平面， 因为平面，则平面平面， 在中作边上的高，的延长线交于点Q，即有， 平面平面，平面， 因此平面， 于是点Q即为所要找的点， 在和中，，即， 所以，因此， 即有，于是，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 济南二中2024级高一期中考试数学试题 2025．5 说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第2页至第4页.考试时间120分钟，满分150分. 第Ⅰ卷（客观题，共58分） 一、单项选择题：（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 在中，为边上的中点，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，.若，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 3. 半径为2的球内切于正三棱柱，则正三棱柱的体积为（ ） A B. C. D. 4. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则夹角为钝角 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 6. 在三角形中，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 在三棱锥中，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，有两个相同的直三棱柱，高为1，底面三角形的三边长分别为，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱，在所有可能组成的三棱柱中，表面积不可能为（ ） A. 36 B. 38 C. 40 D. 42 二、多项选择题：（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 的内角，，的对边分别为，，，下列说法正确的是（ ） A. 若为钝角三角形，则 B. 若，则 C. 若，，，则有两解 D. ，则为等腰三角形或直角三角形 10. 下列命题正确的有（ ） A. 如果一条直线上有两个点一个平面内，那么这条直线一定在这个平面内 B. 过直线外一点，只能作一个平面与这条直线平行 C. 如果一条直线与平面内的无数条直线平行，则该直线与平面平行 D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 11. 在棱长为2正方体中，为中点，是侧面内的一点（包含边界），则以下结论正确的是（） A. 若，则的轨迹长度为 B. 与所成角的最大值为 C. 若三棱锥的体积为定值，则 D. 若在线段上，则三棱锥的外接球表面积的取值范围是 第II卷（主观题，共92分） 三、填空题：（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.） 12. 设向量的夹角的余弦值为，且，则_____ 13. 已知直线平面，，那么过点且平行于直线的直线有_______条． 14. 已知正四棱锥的各棱长均为2，点E是棱SB的中点，动点P满足，则的最小值为_________． 四、解答题：（本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知向量． （1）求； （2）若与平行，求实数的值 16. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求角B； （2）设的垂心为H，若． （i）求的值； （ii）求的值． 17. 如图，正方体的棱长为，为的中点， （1）求证：平面； （2）求的面积. 18. 如图，中，，，D中点，E为上一点，且，设，． （1）请用，来表示，； （2）若，求的值； （3）当时，求与夹角的余弦值． 19. 如图，在正三棱柱中，，点M为中点. （1）求点A到平面的距离； （2）在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$