1.3　一元二次方程的根与系数的关系课件 2024-2025学年 苏科版数学九年级上册

九年级上册 苏科版 数学 *1.3　一元二次方程的根与系数的关系 第1章 一元二次方程 - *1.3　一元二次方程的根与系数的关系 探究与应用 第1章　一元二次方程 活动一　理解一元二次方程的根与系数的关系 [尝试操作] (1)填一填: -3 方程 x1 x2 x1+x2 x1·x2 x2+3x+2=0 -1 -2     x2-3x+2=0 1 2     x2-5x+6=0 2 3     x2+5x+6=0 -2 -3     x2+3x=0 0 -3     2 3 2 5 6 -5 6 -3 0 探究与应用 (2)观察表格,请你说说,二次项系数为1的一元二次方程的两根之和及两根之积与系数有什么关系. 方程 x1 x2 x1+x2 x1·x2 x2+3x+2=0 -1 -2     x2-3x+2=0 1 2     x2-5x+6=0 2 3     x2+5x+6=0 -2 -3     x2+3x=0 0 -3     解:两根之和与一次项系数互为相反数,两根之积与常数项相等. 探究与应用 (3)方程2x2-3x+1=0的两根是x1=,x2=1,这两根的和、两根的积与系数有什么关系? 解:二次项系数为2,一次项系数为-3,常数项为1. x1+x2==-(-3)÷2,x1·x2==1÷2. 探究与应用 [猜想证明] 先求出方程3x2-7x+4=0的根,再验证这个方程的根与系数是否有[尝试操作](3)中发现的关系. 探究与应用 解:3x2-7x+4=0. ∵a=3,b=-7,c=4,b2-4ac=(-7)2-4×3×4=1, ∴x=,∴x1=,x2=1. x1+x2==-(-7)÷3, x1·x2==4÷3, 即这个方程的根与系数有[尝试操作](3)中发现的关系. 探究与应用 [概括新知] 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),如果b2-4ac≥0,那么它的 两个根分别是x1=　　　　　　　,x2=　　　　　　　.  于是,x1+x2=　　　　　　+　　　　　　=　 　;  x1·x2=　　　 　　　·　　　　　　 =　　　　　　 　= 　　　　=　　　　.  　 　 　 - 　 　 　 探究与应用 活动二　会用一元二次方程的根与系数的关系求两根之和与两根之积 例1 (教材典题)求下列方程两根的和与两根的积: (1)x2+2x-5=0;　　　　　 (2)2x2+x=1. 解:(1)设方程x2+2x-5=0的两根分别为x1,x2. 因为a=1,b=2,c=-5, 所以x1+x2=-=-2,x1·x2==-5. 探究与应用 (2)把方程2x2+x=1化为一般形式,得2x2+x-1=0. 设它的两根分别为x1,x2. 因为a=2,b=1,c=-1, 所以x1+x2=-=-,x1·x2==-. 探究与应用 学 方法 (1)求方程两根的和与两根的积,首先要把它化成一般形式,然后,得出a,b,c的值,代入公式即可求得结果; (2)在使用公式求两根之和时,要注意“-”不要漏写. 探究与应用 变式1 设一元二次方程x2-2x-1=0的两个根为x1,x2,则x1-x1x2+ x2的值为 (　　) A.1　　　　　　B.-1　　　　　　C.0　　　　　　D.3 D 探究与应用 利用根与系数的关系解题时的前提条件 运用根与系数的关系解题的前提条件是原一元二次方程有实数根,即只有b2-4ac≥0时,才有x1+x2=-,x1x2=成立. 防 易错 探究与应用 变式2 已知关于x的一元二次方程x2-6x+k=0的一个根为2,求方程的另一个根及k的值. 解:设方程的另一个根为m.由根与系数的关系,得 2+m=6,2m=k, 解得m=4,k=8, 所以方程的另一个根为4,k的值为8. 探究与应用 例2 设m,n为方程2x2-3x-4=0的两个根,求下列各式的值: (1);　　　　(2)(m+1)(n+1);　　　　(3)m2n+mn2; 解:由方程根与系数的关系可得m+n=,mn=-2. (1)=-. (2)(m+1)(n+1)=mn+(m+n)+1=. (3)m2n+mn2=mn(m+n)=-3. 探究与应用 (4)(m-n)2; (5)2m2+3n. 解:(4)(m-n)2=(m+n)2-4mn=. (5)由m为方程2x2-3x-4=0的根,得2m2-3m-4=0, 则有2m2=3m+4, 所以2m2+3n=3m+3n+4=3(m+n)+4=. 探究与应用 谢 谢 观 看！ $$