精品解析：辽宁省沈阳市于洪区2024-2025学年八年级下学期5月期中考试数学试题

八年级数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在2024年巴黎奥运会上，中国体育代表队获得40金、27银和24铜共91枚奖牌，创造了中国参加境外奥运会的最佳战绩．下面巴黎奥运会部分比赛项目的图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列选项中不成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A B. C. D. 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，某小区的三栋单元楼分别位于的三个顶点处，要在内建一个快递站，并使快递站到每一栋单元楼的距离相等，则快递站应建在的（ ） A. 三条角平分线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三条中线的交点 7. 如图，为钝角三角形，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（ ） A B. C. D. 9. 如图，分别是的中线和高线．若则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在边上，连接．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 的最小值是的长 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 12. 命题“如果a2＞b2，则a＞b”的逆命题是____ 命题（填“真”或“假”） 13. 为了加强初中生对国防知识的了解，校内开展了一次竞赛活动，共设置30道选择题．评分标准为：答对1题得5分，不答或答错1题扣2分．小明至少要答对几道题，总分才能不低于100分呢？设小明要答对x道题，则根据题意可列不等式为______． 14. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意角，这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D、E可在槽中滑动．若，则的度数是______． 15. 如图，将含角的直角三角板沿着射线方向平移，得到三角形，连接，在平移过程中，若与之间存在两倍的数量关系，则______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）因式分解：； （2）先因式分解，再求值：，其中，． 17. 解不等式组：，把解集在数轴上表示出来，并写出所有的整数解． 18. 如图，的顶点都在边长为1的小正方形组成的网格格点上． （1）将向左平移3格，画出平移后的对应图形； （2）连接，线段与线段之间的数量关系和位置关系是______． （3）将绕点A顺时针旋转，画出旋转后的对应图形． 19. 如图，在等腰中，，，腰垂直平分线与底边交于点D，垂足为点E． （1）求的度数； （2）若，求长． 20. 辽宁省第十四届全民读书节暨读书市集于2025年4月19日正式拉开帷幕，本次市集以“书香辽宁——阅读新时代决胜筑华章”为主题，邀请200余家出版社参加，汇聚近万种精选图书及主题文创产品，其中辽博文创产品最受大家欢迎．已知购买3个“牡丹纹镜”和4个“玉猪龙”共需460元；购买5个“牡丹纹镜”和6个“玉猪龙”共需730元． （1）求购买一个“牡丹纹镜”和一个“玉猪龙”各需多少元？ （2）若某校决定购买一“牡丹纹镜”和“玉猪龙”共12个，总费用不高于880元，则最多能购买多少个“牡丹纹镜”？ 21. 定义：若一个整数能表示成（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“对称数” 例如：因为，所以13是“对称数”； 再如：因为，所以也是“对称数”． （1）填空： ①请直接写出一个小于10的“对称数”，这个“对称数”是______； ②判断45是否为“对称数”______（请填写“是”或“否”）； （2）已知（x是整数，k是常数，且），要使M为“对称数”，求出k值； （3）如果数m，n都是“对称数”，试说明也是“对称数”． 22. 在平面直角坐标系中，点，，点为轴正半轴上一动点，过点作交轴于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若点在轴正半轴上运动，且，连接． ①求证：平分； ②当时，求的值． 23. 如图1，在和中，，，且，则可证明得到． 【初步探究】（1）如图2，为等边三角形，过A点作的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接，把线段绕点C逆时针方向旋转得到，连接．请写出与的数量关系，并说明理由； 【思维提升】（2）如图3，在中，以为边在的左侧作等边，连接，，，，求的长； 【拓展应用】（3）如图4，在中，，，作交于点D，过点B作直线，点H是直线l上的一个动点，线段绕点A按顺时针方向旋转得到线段，直接写出，最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在2024年巴黎奥运会上，中国体育代表队获得40金、27银和24铜共91枚奖牌，创造了中国参加境外奥运会的最佳战绩．下面巴黎奥运会部分比赛项目的图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一进行判断即可，轴对称图形的关键是找到对称轴，中心对称图形的关键是找到对称中心． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； 故选D． 2. 若，则下列选项中不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式性质逐项判断即可． 【详解】解：∵， ，故A正确，不符合题意； ，故B正确，不符合题意； ，故C错误，符合题意； ，故D正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质． 3. 下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查判断是否是因式分解，根据因式分解的定义，把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，进行判断即可． 【详解】解：A、，是整式的乘法，不符合题意； B、，等式右边不是积的形式，不符合题意； C、，等式右边不是整式的积的形式，不符合题意； D、，是因式分解，符合题意； 故选D． 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式乘法的运算法则是解题的关键．根据分式乘法的运算法则即可解答． 【详解】解：． 故选：A． 5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 根据题意求出不等式的解集，再用数轴表示即可解决问题． 【详解】解：解不等式，得 ． 在数轴上表示如图 故选：A． 6. 如图，某小区的三栋单元楼分别位于的三个顶点处，要在内建一个快递站，并使快递站到每一栋单元楼的距离相等，则快递站应建在的（ ） A. 三条角平分线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三条中线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等是解题的关键． 要使快递站到的距离相等，说明快递站在的三边的垂直平分线的交点处，据此即可解答． 【详解】解：∵快递站到每一栋单元楼的距离相等， ∴快递站应建在的三边的垂直平分线的交点处． 故选B． 7. 如图，为钝角三角形，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角，平行线的性质，根据旋转，得到，等边对等角，求出的度数，平行线的性质求出的度数，再根据角的和差关系计算即可． 【详解】解：∵旋转， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 8. 如图，函数和图象相交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数与不等式，根据两条直线的交点，找到直线在直线上方时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知，不等式解集为； 故选C． 9. 如图，分别是的中线和高线．若则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三线合一，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理求出的度数，三线合一求出的度数即可． 【详解】解：∵是高线， ∴， ∵ ∴， ∵，是的中线， ∴； 故选D． 10. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在边上，连接．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 的最小值是的长 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，角平分线的性质，根据作图得到平分，根据作图方法，结合角平分线的定义和性质，垂线段最短，逐一进行判断即可． 【详解】解：由作图可知：，平分；故A选项正确； ∴；故B选项正确； 无法得到，故C选项错误； ∵平分，， ∴点到两边的距离相等，均为的长， ∵点E在边上， ∴当时，的长取最小值，为的长，故D选项正确； 故选C． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案． 【详解】根据题意得≠0， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键． 12. 命题“如果a2＞b2，则a＞b”的逆命题是____ 命题（填“真”或“假”） 【答案】假 【解析】 【详解】解：如果a2＞b2，则a＞b”的逆命题是：如果a＞b，则a2＞b2， 假设a=1，b=-2， 此时a＞b，但a2＜b2， 即此命题为假命题． 故答案为：假． 13. 为了加强初中生对国防知识的了解，校内开展了一次竞赛活动，共设置30道选择题．评分标准为：答对1题得5分，不答或答错1题扣2分．小明至少要答对几道题，总分才能不低于100分呢？设小明要答对x道题，则根据题意可列不等式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列不等式，根据得分规则以及总分不低于100分，列出不等式即可． 【详解】解：设小明要答对x道题， 由题意，得：； 故答案为：． 14. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意角，这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D、E可在槽中滑动．若，则的度数是______． 【答案】##105度 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，三角形的外角，根据等边对等角，求出，外角的性质，得到，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 15. 如图，将含角的直角三角板沿着射线方向平移，得到三角形，连接，在平移过程中，若与之间存在两倍的数量关系，则______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移后对应线段互相平行可得，再根据点在线段上时，，点在线段延长线上时，，两种情况结合与之间存在两倍关系分类讨论求解， 【详解】解：设， ∵， ∴ I．当点在线段上时，如图1， ①当时，即， ∵， ∴， 解得：， ∴； ②当时， ∴，解得：， ∴； II．点在线段延长线上时，如图2， ③当时，即， ∵， ∴， 解得：， ∴； ④当时， ∴，，不合题意舍去， 综上所述：等于、、． 故答案为：或或． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）因式分解：； （2）先因式分解，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键： （1）先提公因式，再利用完全平方公式，进行因式分解即可； （2）利用平方差公式法进行因式分解，再代值计算即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式 ； 当，时，原式． 17. 解不等式组：，把解集在数轴上表示出来，并写出所有的整数解． 【答案】，整数解为0，1，2，3，数轴见解析 【解析】 【分析】此题考查一元一次不等式组的整数解，先求出各不等式的解集并表示在数轴上，写出不等式组的解集，找到整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 在数轴上表示出来如下， ∴原不等式组的解集为 ∴原不等式组的所有的整数解为：0，1，2，3． 18. 如图，的顶点都在边长为1的小正方形组成的网格格点上． （1）将向左平移3格，画出平移后的对应图形； （2）连接，线段与线段之间的数量关系和位置关系是______． （3）将绕点A顺时针旋转，画出旋转后的对应图形． 【答案】（1）图见解析 （2） （3）图见解析 【解析】 【分析】本题考查图形变换—平移与旋转，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键： （1）根据平移规则，画出即可； （2）证明，利用全等三角形性质，进行判断即可． （3）根据旋转的性质，画出即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图， 由图可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 即线段与线段之间的数量关系是，位置关系是； 【小问3详解】 解：如上图，即为所求； 19. 如图，在等腰中，，，腰的垂直平分线与底边交于点D，垂足为点E． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关性质，是解题的关键： （1）等边对等角，求出的度数，中垂线的性质，得到，等边对等角，求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 由（1）可知：， ∴， ∴． 20. 辽宁省第十四届全民读书节暨读书市集于2025年4月19日正式拉开帷幕，本次市集以“书香辽宁——阅读新时代决胜筑华章”为主题，邀请200余家出版社参加，汇聚近万种精选图书及主题文创产品，其中辽博文创产品最受大家欢迎．已知购买3个“牡丹纹镜”和4个“玉猪龙”共需460元；购买5个“牡丹纹镜”和6个“玉猪龙”共需730元． （1）求购买一个“牡丹纹镜”和一个“玉猪龙”各需多少元？ （2）若某校决定购买一“牡丹纹镜”和“玉猪龙”共12个，总费用不高于880元，则最多能购买多少个“牡丹纹镜”？ 【答案】（1）购买一个“牡丹纹镜”为80元，一个“玉猪龙”为55元； （2）最多能购买8个“牡丹纹镜”． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键： （1）设购买一个“牡丹纹镜”为元，一个“玉猪龙”为元，根据买3个“牡丹纹镜”和4个“玉猪龙”共需460元；购买5个“牡丹纹镜”和6个“玉猪龙”共需730元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买个“牡丹纹镜”，根据购买“牡丹纹镜”和“玉猪龙”共12个，总费用不高于880元，列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 解：设购买一个“牡丹纹镜”为元，一个“玉猪龙”为元，由题意，得： ，解得：， 答：购买一个“牡丹纹镜”为80元，一个“玉猪龙”为55元； 【小问2详解】 设购买个“牡丹纹镜”，则购买个“玉猪龙”，由题意，得：， 解得：， ∵为整数， ∴最大为8； 答：最多能购买8个“牡丹纹镜”． 21. 定义：若一个整数能表示成（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“对称数” 例如：因为，所以13是“对称数”； 再如：因为，所以也是“对称数”． （1）填空： ①请直接写出一个小于10的“对称数”，这个“对称数”是______； ②判断45是否为“对称数”______（请填写“是”或“否”）； （2）已知（x是整数，k是常数，且），要使M为“对称数”，求出k值； （3）如果数m，n都是“对称数”，试说明也是“对称数”． 【答案】（1）①2或5或8②是 （2）或 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查因式分解应用，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）①根据新定义，写出一个对称数即可；②，即可得出结论； （2）结合完全平方公式，将转化为的形式，进行求解即可； （3）设，求出，并进行转化，判断即可． 【小问1详解】 解：①； 故这个“对称数”可以是2或5或8； ②∵， ∴45是“对称数”； 故答案为：是； 【小问2详解】 ， ∵M为“对称数”， ∴为一个完全平方数， ∵， ∴或． 小问3详解】 设， 则： ； ∴也是“对称数”． 22. 在平面直角坐标系中，点，，点为轴正半轴上一动点，过点作交轴于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若点轴正半轴上运动，且，连接． ①求证：平分； ②当时，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）由题意知，，，则，证明即可； （2）①如图2，作于，于，由，可知，，则，即是的平分线； ②如图3，在上截取，使，证明，由，可得，进而可求，，然后计算求解即可． 【小问1详解】 证明：由题意知，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴； 【小问2详解】 ①证明：如图2，作于，于， ∵， ∴，， ∴，解得， ∵，， ∴是的平分线； ②解：如图3，在上截取，使， 由①可知，是的平分线， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的判定与性质等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 23. 如图1，在和中，，，且，则可证明得到． 【初步探究】（1）如图2，为等边三角形，过A点作的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接，把线段绕点C逆时针方向旋转得到，连接．请写出与的数量关系，并说明理由； 【思维提升】（2）如图3，在中，以为边在的左侧作等边，连接，，，，求的长； 【拓展应用】（3）如图4，在中，，，作交于点D，过点B作直线，点H是直线l上的一个动点，线段绕点A按顺时针方向旋转得到线段，直接写出，最小值． 【答案】（1），理由见解析（2）（3） 【解析】 【分析】（1）证明 ，从而得出结论； （2）作等边三角形，连接，可得，同（1）可证，从而得出； （3）将绕点A按顺时针方向旋转得到线段，可证，从而得出，所以点在与定线段成的直线m上运动，作点A关于直线m的对称点F，交m于点G，连接，交直线m于点，此时的最小，最小值是的长，进一步得出结果． 【详解】解：（1），理由如下： 在等边中，， 由旋转可得，， ∴， ， 即， ， ； （2）如图， 作等边三角形，连接， ， ， ， ， ， ∴， 同（1）可证， ； （3）如图， ， ， ， ， 将绕点A按顺时针方向旋转得到线段， ， ∵线段绕点A按顺时针方向旋转得到线段， ， ， ， ， ， ∴点在与定线段成的直线m上运动， 作点A关于直线m的对称点F，交m于点G，连接，交直线m于点，此时的最小，最小值是的长， ， ， ， ， ， ， ， 即的最小值为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，旋转的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$