【精准提分】专题05 平行线中常见的几何模型（4个模型+课后巩固）- 2024-2025学年七年级下册数学期末专项培优（人教版2024）（原卷+解析版）
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内容正文：
【精准提分】专题05 平行线中常见的几何模型（人教2024）
【“猪蹄”、“铅笔”、“鸡翅”、“综合”4个模型】
模型一：“猪蹄”模型（也称M字型或“内拐点”问题） 1
模型二：“铅笔”模型（“外拐点”模型） 15
模型三：“鸡翅”模型（“臭脚”模型） 28
模型四：三种模型综合压轴题 47
模型一：“猪蹄”模型（也称M字型或“内拐点”问题）
特点：点P在直线EF左侧且在直线AB、CD内部。
结论1：若AB∥CD，则∠AEP+∠PFC=∠EPF；
结论2：若∠AEP+∠PFC=∠EPF，则AB∥CD。
例题1（2025·河南周口·二模）如图，直线，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，作，
，
，，
故选：C．
【变式1-1】（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，，，则、、之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：作，，如图所示；
，
，
，
，
，
，
，
则；
故选：C
【变式1-2】（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，平行线，被直线所截，分别作和的角平分线，交点记为；分别作和的角平分线，交点记为；分别作和的角平分线，交点记为，按此规律继续操作，则的度数为 ．
【答案】
【详解】解：如图所示，过点作，
∵，
∴，，
又∵是和的角平分线，
∴，
∴，
同理可得，，
∴，
∴；
故答案为：．
【变式1-3】（24-25七年级下·四川德阳·期中）如图1，，的两边与，分别交于，两点．
(1)若，，求的度数；
(2)如图2，直线，相交于点，且满足，．
①当时，若，求的度数；
②试探究与的数量关系．
【答案】(1)(2)①；②
【详解】（1）解：如图所示，过点B作，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①如图所示，过点B作，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴；
∵，
∴；
如图所示，过点D作，则，
∴，
∴
；
②如图所示，过点B作，过点D作，则，
同理可得，，
∵，，
∴，
∴
．
【变式1-4】（24-25七年级下·山东青岛·期中）【提出问题】
（1）如图1，将长方形纸片剪两刀，其中，则与、度数之间有何等量关系？请说明你的理由．
【类比探究】
（2）如图2，将长方形纸片剪四刀，其中，则、、、、的度数之间的等量关系是________．
【综合应用】
（3）如图3，直线，，，，，则_______．
（4）如图4，直线，点、分别是上两点，点在之间，连接．点是下方一点，平分平分，已知，则______．
【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）；（4）
【详解】解：（1），理由如下：
如图1中，作，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
即．
（2）如图2中，
如图2中，作，，，
∵，
∴，
∴，，，，
∴，
即．
故答案为：．
（3）如图3中，作，，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，则，
∴．
故答案为：；
（4）如图，过点作
∴即，
∵，即
∵平分平分，
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
由（1）可得
∴
故答案为：．
【变式1-5】（24-25七年级下·江西抚州·期中）【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图，直线，求证：
（1）阅读下面的解答过程，并填上适当的理由
解：过点作直线，
已知，，
【方法运用】
（2）如图2，直线，若，，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）解：过点作直线，
两直线平行，内错角相等
已知，，
平行于同一条直线的两条直线平行
两直线平行，内错角相等
（2）解：过点作直线
，
，
，，
，
，
，
，
°．
【变式1-6】（24-25七年级下·天津西青·期中）先阅读再解答：
(1)如图1，，求证：．
（提示：可以考虑把变成两个角的和，过点作一条直线，则有，再设法证明，需证，这可通过已知和得到．）
(2)已知：如图2，，求证：．
(3)已知：如图3，，，求证：．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析
【详解】（1）证明：过点作直线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴；
（2）证明：过点E作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）证明：过点作，过点作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
【变式1-7】（24-25七年级下·山东潍坊·期中）（1）【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的．
如图一，已知，，请说明．
解：分别过点，作，．
因为①，所以．
由②，可知，，．
由题知，所以③．
则，即④．
由⑤，可得．
请根据自己的理解，将上述推理过程补充完整．
（2）【迁移应用】如图二，已知，，的交点为．判断，，之间的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…，第次操作，分别作和的平分线，交点为，如图三．若，求的大小．
【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）
【详解】解：（1）①，
②两直线平行，内错角相等；
③；
④；
⑤内错角相等，两直线平行．
（2），理由如下：
如图，过作，
，
，
，，
，
；
（3）如图，和的平分线交点为，
．
和的平分线交点为，
；
和的平分线，交点为，
；
以此类推，．
当时，等于．
故答案为：．
【变式1-8】（24-25七年级下·山东潍坊·期中）（1）【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的．
如图1，已知，，请说明．
证明：分别过点C，D作，．
因为 ① ，所以．
由 ② ，可知，，．
由题知，所以 ③ ．
则，即 ④ ．
由 ⑤ ，可得．
请根据自己的理解，将上述证明过程补充完整．
（2）【迁移应用】如图2，已知，的交点为E．判断，，之间的关系，并说明理由．
（3）【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图2作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…，第n次操作，分别作和的平分线，交点为，如图3．若，求的大小．
【答案】（1）①；②两直线平行，内错角相等；③；④；⑤内错角相等，两直线平行；（2），理由见解析；（3）
【详解】解：（1）证明：分别过点C，D作，．
因为，所以．
由两直线平行，内错角相等，可知，，．
由题知，所以．
则，即．
由内错角相等，两直线平行，可得．
故答案为：①；②两直线平行，内错角相等；③；④；⑤内错角相等，两直线平行；
（2），理由如下：
如图，过作，
，
，
，，
，
；
（3）如图，
和的平分线交点为，
．
和的平分线交点为，
；
和的平分线，交点为，
；
以此类推，．
当时，等于．
故答案为：．
模型二：“铅笔”模型（“外拐点”模型）
特点：点P在直线EF右侧且在直线AB、CD的内部
结论1：若AB∥CD，则∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；
结论2：若∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°，则AB∥CD；
例题2（2025·福建泉州·一模）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯．其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，
过点C作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【变式2-1】（24-25七年级下·山西晋中·期中）学习了平行线的性质之后，课间同学们进行了进一步的探究活动，如图，已知，若按图中规律，请你探究两平行线间出现n个折角，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，
∴由图①；
图②中过点E作，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
即，
同理可得图③，，
∴图4时，．
故选C．
【变式2-2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，已知,,分别平分和，且交于点，若，则 （含的代数式表示）
【答案】
【详解】解：过点作，过点作，如图：
，
，
，，
又∵，，
∴，，
，
，
，
∴，，
，
，
，
，
故答案为： ．
【变式2-3】（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，平行线，被直线所截，分别作和的角平分线，交点记为；分别作和的角平分线，交点记为；分别作和的角平分线，交点记为，按此规律继续操作，则的度数为 ．
【答案】
【详解】解：如图所示，过点作，
∵，
∴，，
又∵是和的角平分线，
∴，
∴，
同理可得，，
∴，
∴；
故答案为：．
【变式2-4】（24-25七年级下·甘肃定西·期中）（1）如图1，，点P为两直线间的一点，连接，求证：．小明的证明如下：
过点P作．
，
，
……
请你补全小明的证明过程
（2）如图2，，根据上面的推理方法，求的度数．
（3）如图3，，若，直接写出m的值（用含x，y，z的式子表示）．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【详解】解：（1）证明：过P作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）如图过点P作，过点Q作，
∵，
∴，
∴，，，
∴；
（3）如图：过点P作，过点Q作，
∵，
∴，
∴，
∴，
即
∴．
【变式2-5】（23-24七年级下·天津东丽·期中）问题情景：如图1，，，，求的度数．
（1）天天同学看过图形后立即口答出：，请你补全他的推理依据．
如图2，过点作，
，
．（______）
．
．（______）
，，
，
问题迁移：
（2）如图3，，当点在、两点之间运动时，，，求与、之间有何数量关系？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你直接写出与、之间的数量关系．
【答案】（1）平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行同旁内角互补；（2），见解析；（3）或
【详解】解：（1）如图2，过点作，
，
．
（两直线平行，同旁内角互补）
．（两直线平行，同旁内角互补）
，，
，，
；
（2），理由如下：
如图3所示，过P作交于E，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）当P在BA延长线时，如图4所示：
过P作交于E，
同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴；
当P在延长线时，如图5所示：
同（2）可知：，，
∴．
综上所述，与、之间的数量关系为：当P在BA延长线时，或当P在延长线时，．
【变式2-6】（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）【探究结论】如图1，，为平行线内一点，连接、得到，经推理证明可得．（不要求证明）
【探究应用】利用以上结论解决下面问题：
(1)如图2，和的平分线交于点，的度数是________；
(2)如图3，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和，试说明；
(3)如图4，点为线段（端点除外）上的一个动点，过点作的垂线交于，交于，、的平分线相交于，则________．
【答案】(1)(2)见解析(3)
【详解】（1）解：∵、分别平分和，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴,
故答案为：；
（2）证明：如图，过点I作，
∵，
∴，
由已知可得，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，
同理，且，
∵的平分线相交于P，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式2-7】（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图1，已知直线，点在直线之间，点分别在直线上，连接．
(1)若，，则的度数为___________；
(2)若，则与，之间存在什么数量关系？并说明理由；
(3)如图2，分别平分相交于点，请直接写出与之间的数量关系．
【答案】(1)(2)．理由见解析(3)
【详解】（1）解：过点P作，
，
，
，
，
，
∵，，
．
故答案为：；
（2）解：过点P作，
，
，
，
，
，
∵，
；
（3）由（2）可知，，，
∵分别平分，
∴，
∴，
，
即．
【变式2-8】（24-25七年级下·安徽芜湖·期中）如图，已知分别在上，点G在之间，连接．
(1)当平分平分时，
①如图1，若，则的度数为_______（直接写出结果）；
②如图2，在的下方有一点平分平分，求的值；
(2)如图3，在的上方有一点O，若平分．线段的延长线平分，且满足时，求的值．
【答案】(1)①；②(2)
【详解】（1）解：①如图，分别过点G、P作，
，
，
∴
，
，
同理可得: ，
∵，
∴，
∵平分平分；
，
∴．
故答案为：．
②如图，过点Q作，
∵平分平分，
，，
设，
∵，，
，
∵，
，
，
，
，
由（1）可知，
∴．
（2）解：如图，在的上方有一点O，若平分，线段的延长线平分，
设H为线段的延长线上一点，则，，
设，,，
如图，过点O作，则，
，，
，
，
由（1）可知：，
∵，
∴，即，
∴，
∵，，
∴．
模型三：“鸡翅”模型（“臭脚”模型）
特点：点P在直线EF的一侧且在直线AB、CD的外侧。
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP;
结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD。
例题1（24-25七年级下·重庆·期中）如图，已知，的平分线的反向延长线交的平分线于点F，若，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图所示，过点E作，过点F作，
∴，
∵平分，
∴，
设，则
∵，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【变式3-1】（24-25七年级下·四川泸州·期中）空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．2006年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．小洛在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：过作，
，
，
，
，
，
，
，
；
故选：C．
【变式3-2】如图，已知，E，F是直线上方两点，连接，，，，已知平分，且．若，，求的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，过作，过作，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【变式3-3】（24-25七年级下·四川德阳·期中）如图，已知，点在上，点在上，点在上方，，点在的反向延长线上，且，设，则的度数为 ．（用含的式子表示）
【答案】
【详解】解：如图所示，过点A作，过点E作，
∵，
∴，
∵，，
∴设，，
∵，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴.
故答案为：．
【变式3-4】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，，的顶点，顶点分别在直线，直线上，点在直线与直线之间，平分．
(1)如图（1），已知平分，，则_____；
(2)如图（2），已知点为延长线上一点，且，求的度数；
(3)在（2）间的条件下，将绕点顺时针以每秒的速度旋转得到，当落在射线上时停止旋转，求旋转过程中与的边平行时的值．
【答案】(1)(2)3)或或或
【详解】（1）解：过点作，如图所示：
，
，
，，，
，
，
平分，
，
平分，
，
，
；
（2）解：过点作，如图所示：
，
，
，，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：落在射线上的时间为：，
如图，当第一次时，
，
由旋转知，，
，
解得：；
如图，当时，
由（2）知，，，
，
，
，
由旋转知，，
，
解得：；
当时，，
，
，
，
由旋转知，，
，
解得：；
当第二次时，旋转角，
又，
，
解得：；
综上所述，或或或．
【变式3-5】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知，直线交，于，．
(1)如图1，点在直线与直线之间，证明：；
(2)如图2，点在直线上，位于点右侧，点在直线上，且在直线上方，点在直线与直线之间，，，若，求．
(3)如图3，，点在直线上（在点左侧），点在直线与直线之间，与的角平分线交于点，请直接写出与的数量关系．
【答案】(1)见解析(2)
(3)或或
【详解】（1）证明：如图所示，过点作
∴
∵
∴
∴
∴
（2）解：如图所示，过点作，
设，
∵
∴
设
∵，
∴，
∴，
∴
∵
∴
由（1）可得
∵
∴
∴
∴
（3）解：∵，
∴，
设
∵与的角平分线交于点，
设
如图所示，
∵
由（1）可得，
∴
；
如图所示，
由（1）可得，
∴
如图所示，
由（1）可得，
∴
综上所述，或或
【变式3-6】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）【问题提出】
（1）如图①，，，，求的度数；
（2）如图②，，点在直线上，点在直线上方，连接，，请写出，，之间的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图③，，点在直线上，点在直线上方，连接，，的平分线与的平分线所在直线交于点，求的值．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）
【详解】解：（1）如图①，过点作．
因为，，
所以，．
所以．
因为，，
所以．
（2），理由如下：
如图②，过点作．
因为，
所以．
所以，．
所以．
即．
所以
（3）如图③，过点作．
因为，，
所以．
所以，．
所以．
所以．
又因为，分别是与的平分线，
所以，．
所以．
由（2）知，，
所以．
所以．
即．
【变式3-7】（24-25七年级下·江西南昌·期中）（1）【问题发现】
①如图1，直线，，分别在，上，点为其内部一点，求证：．
②如图2，直线，点，分别在，上，点为其外部一点，猜想，，之间的数量关系是__________．（直接写出结论，不需要证明）
（2）【尝试应用】
如图3，直线，点，分别在，上，，的角平分线与的角平分线交于点，求的度数．
（3）【拓展延伸】
如图4，直线，点，分别在，上，点为其内部一点，，，交的延长线于点，交的延长线于点，请你探究，与的数量关系．
【答案】（1）①见解析；②；（2）；（3）
【详解】（1）①证明：过点作，则，
，
，
，
，
．
②过点作，则，
，
，
，
．
故答案为：．
（2）如图，
的角平分线与的角平分线交于点
设，，
则，，
，
，
，
，
，即，
，
由（1）知， ．
（3）
由（1）可得，
，
，
设，，
则，，
∴，，，
∴，
．
【变式3-8】（24-25七年级下·湖北孝感·期中）已知，点M、N分别是上的点，点G在之间，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点H是延长线上一点，连接，若平分，试探究与的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，点P是下方一点，平分平分，已知，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)，理由见解析(3)
【详解】（1）解：过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴．
（2）解：，理由如下：
过点H作，设，
∵平分，
∴，
∴，
由（1）可知：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴
∴．
（3）解：过作，过点P作，设，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴．
模型四：三种模型综合压轴题
例题4（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．
(1)【问题初探】
如图1，两直线，和直角三角形，其中，，，若，则的度数为______________；
(2)【实践探究】
如图2，创新小组的同学把直线向上平移，发现是一个定值，这个定值是________________；
为了说明理由，同学们根据“过拐点作平行线”的思路，很快想到辅助线的作法，过点作，请你在图2中补全辅助线并完成关于这个定值的证明过程．
(3)【拓展延伸】
如图3，，点在上，，，设，请直接用含的代数式表示．
【答案】(1)(2)，见解析(3)
【详解】（1）解：如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：，证明如下，
证明：如图所示，过点作，则，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，过点作，过点作，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，则，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【变式4-1】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1，，．
(1)如果，求的度数；
(2)如图2，、的角平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数；
(3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接，已知，求的度数．
【答案】(1)(2)不发生变化；，理由见解析
(3)当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时，
【详解】（1）解：过点作，
，
，
，，
又，
，
；
（2）解：不发生变化；，理由为：
过点作，过作，
，
，
，，
又，
，即，
；
，
，
，，
、的角平分线交于点，
，，
，，
；
（3）解：由（2）得，，，
，
，
过点作，
，
，
，，
，
当点在点的左侧时，如图，
则，
，
；
当点在点的右侧时，如图，
则，
，
．
综上所述，当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时，．
【变式4-2】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）探究感知
（1）如图1，，，，求的度数；
类比应用
（2）如图2是一盏可以伸缩的台灯达到最佳照明角度的示意图，已知灯头与支架平行，与平行，支架与水平线的夹角，两支架和的夹角．请分别求出和的度数．
【答案】（1）；（2），
【详解】解：（1）如图，过点作直线，
，
，
．
，
，
，且，
，
，
；
（2）如图，过点作直线，
，
，
．
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【变式4-3】（24-25七年级下·天津和平·期中）已知，点M、N分别是、上两点，点G在、之间，连接、．
(1)如图1，，，求的度数；
(2)如图2，点P是下方一点，平分，平分，，，求的度数；
(3)在（2）的图形中，若把的度数翻译为“光耀中华”，则的度数为多少（请直接写出结果）．
【答案】(1)(2)(3)3倍的“光耀中华”
【详解】（1）解：，，
，
，，
，
，
；
（2）解：设，
，，
，
，
，，
，
平分，平分，
，即，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
（3）解：设，，
，，
，
，
，，
，
平分，平分，
，即，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
∵的度数翻译为“光耀中华”，
∴的度数为3倍的“光耀中华”．
【变式4-4】（24-25七年级下·山东·期中）（1）【探究感知】如图1，，求的度数是_______．
（2）【类比应用】如图2，，求的度数；
（3）【拓展延伸】如图3，与的平分线相交于点，求的度数．
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】解：解：[探究感知]
过点C作，
，
，
，
，，
，
，
，
，
；
[类比应用]
如图，过点C作直线，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
；
[拓展延伸]
如图，过点F作，
，，平分，平分，
，，
，
，
，，
，
，
．
【变式4-5】（24-25七年级下·福建福州·期中）已知点均为定点，直线，点为射线上一个动点（点不与点A重合），连接．
(1)如图1，当点在线段上时，若，求的度数．
(2)点为直线下方的动点，连接，使得平分，
①如图2，当点在线段上时，连接，若平分，探究与之间的数量关系，并证明；
②如图3，当点在直线的下方运动时（点在射线上），射线平分，点在直线的下方，且满足射线，若，请直接写出的度数．
【答案】(1)(2)①，证明见解析；②或
【详解】（1）解：过点P作．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①，证明如下：
设，，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
过点P作，过点M作，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当点P在线段上时，过点P作，而，则，
设，设，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得；
当点P在线段延长线上时，
过点P作，则，设，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
综上：的度数为或．
【变式4-6】（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）综合与实践
【探究发现】
（1）小明家有一款可折叠的护眼台灯如图1，是灯头，，是支架，是底座，连接部分可分别绕连接点B，E，D旋转，当旋转至时，图2是其平面示意图，小明发现，请证明小明的发现．
【拓展延伸】
（2）保持，当旋转到如图3所示位置时，判断，，之间的数量关系，并证明．
【学以致用】
（3）如图4，，，和的平分线相交于点P，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）
【详解】解：（1）证明：如图1，过点E作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）
证明：作．
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（3）∵，
∴，
∵和的平分线相交于点P，
∴，，
由（1）可知，，，
∴，即，
，
=
．
【变式4-7】（24-25七年级下·山东临沂·期中）问题情境：
找两根长度差不多的木棒和平行放置在桌面上并固定，用一根橡皮筋将两根木棒的一个端点连接起来，并在橡皮筋上打一个结，如图1，，点在上．
探究一：一组同学是这样进行操作的：将橡皮筋点向外拉，变成如图2，使点在的右侧，同学们称这种模型为“铅笔头模型”，探究，，之间的关系，同学们的思路是：如图3，过点作的平行线，通过平行线性质和判定，可得之和是________，请你在图3中作出图形，并说明理由．
探究二：二组同学的操作正好相反，将橡皮筋向里推，变成如图4，点在的左侧，同学们称这种模型为“猪脚模型”，仿照一组同学们的思路可得，，之间的数量关系是________．
同学们随后结合一、二两个小组的探究结论进行深度探究．
探究三：三组的同学同时进行把橡皮筋向外拉和向里推两种操作，变成如图5所示的图形，通过分析研究，它们提出了如下的问题：已知，，求的大小（用含有，的代数式表示）．
探究四：四组的同学不甘示弱，提出如下问题：如图6，的平分线与的平分线相交于点，且，，探究与之间的数量关系，请你直接写出结果：________．
【答案】探究一：，理由见解析；探究二：；探究三：；探究四：或
【详解】解：
探究一：，理由如下，
如图所示，过点作，
又∵，
，
∴，
即，
故答案为：；
探究二：，理由如下，
如图所示，过点作，
又∵，
，
∴，
即；
探究三：，理由如下，
如图所示，过点作，过点作，过点作，
又∵，
，
，
即；
探究四：或，理由如下，
如图所示，过点作，过点作，
又∵，
，
,
，
∵平分，平分，
，
又∵，，
，
故或．
【变式4-8】（24-25七年级下·重庆·期中）经过平行线中的拐点作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路．
(1)如图1．，，，则______；
(2)如图2．，点在直线上方，探究、、的数量关系，并证明．
(3)如图3．，点在直线上方，的角平分线所在的直线和的角平分线所在的直线交于点（点在直线的下方）．请写出和之间的数量关系．并证明．
【答案】(1)(2)，见解析(3)，见解析
【详解】（1）解：如图1，过作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：；证明如下；
如图2，过作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
（3）解：，证明如下；
∵平分，平分，
∴，
设，则，，，
如图3，过作，过作，
由（2）可知，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
1．（23-24七年级下·湖北荆州·期中）如图1，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线与之间的一点，．
(1)求证：；
(2)如图2，作，与的角平分线交于点F．若，求的度数；
(3)如图3，平分，平分，，已知，直接写出的度数．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【详解】（1）如图，作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）∵平分，
∴，．
∵，
∴．
由（1）可得，，
∴，
∵，
∵，
∴；
（3）∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由（1）知，，
∴
．
2．（24-25七年级下·上海闵行·期中）（1）问题：如图（1），若，，，求的度数．
（2）问题迁移：如图（2），，点在的上方，问：、、之间有何数量关系?请说明理由．
（3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线相交于点，用含有的式子表示的度数．（直接写答案）
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）
【详解】解：如图，过点作，
．
∵，
∴，
．
，
．
，即．
（2），理由如下：
如图，过点作，
，
∵，
∴，
，
，
，
，
（3）如图，过点作的平行线．
∵，，
∴，
，，
又的平分线和的平分线交于点，
，，
由（2）得：，
，
．
即．
3．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）已知．
(1)如图1，请确定，和之间的数量关系并证明；
(2)如图2，平分，直线与的邻补角的平分线交于点．若，求的度数；
(3)如图3，在（2）的条件下，BM平分的邻补，平分，作，求的度数．
【答案】(1)，证明见解析；(2)；(3)．
【详解】（1）解：，理由如下：
如图1，过点作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）解：设，，则，
由（1）得，
如图2，过点作，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴；
（3）解：如图3，连接，
∵，，
∴，，
∴，即，
设，
则．
由（1）得
即，
∴，
∴，
∴．
4．（24-25七年级下·广东惠州·期中）如图1，，在、内有一条折线．
(1)求证：；
(2)在图2中，画的平分线与的平分线，两条角平分线交于点，请你补全图形，试探索与之间的关系，并证明你的结论；
【答案】(1)见解析(2)，证明见解析
【详解】（1）证明：如图1：过点P作，
∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴．
（2）解：，证明如下：
如图2：平分，平分，交点为Q，
由（1）可得：，；
∵平分，平分，交点为Q，
∴
，
∴．
5．（24-25七年级下·重庆·期中）“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，
将图1抽象成一个数学问题：
(1)如图2，若，求的度数．
(2)【拓展延伸】已知，点为之外任意一点．
①如图3，探究与之间的数量关系，并说明理由；
②如图4，探究与之间的数量关系，请直接写出结果．
【答案】(1)(2)①；②
【详解】（1）解：过点作，
∵
∴
∴
∵
∴，
∵
∴，
即，
故答案为：．
（2）①，
理由如下：过点作，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②，
理由如下：过点作，则，
∴
∵
∴
∴．
6．（24-25七年级下·山东聊城·期中）已知分别是上的动点，也为一动点．
(1)如图1，若，试说明：；
(2)如图2，若，试说明：；
(3)如图3，，移动、，使，若，则___________．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)2
【详解】（1）证明：过作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（2）证明：过作，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（3）解：过点作，
由（1）可得：，即，
∵，
∴，
∴，
故答案为：2．
7．（24-25七年级下·广东汕头·期中）【阅读·领会】在几何图形学习过程中，为了帮助解题，可在原图的基础上添加直线或线段比如要证明直线a、b是否平行，可添加“第三条直线”（即图1中的截线），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系．我们称直线为“辅助线”．
【实践·体悟】如图2，已知，．求证：．
(1)小明同学想到通过连接，作出平行线的截线，请你延续他的思路，完成证明过程：证明：如图，连接．
(2)请你试用其他方法进行推理，并书写证明过程，
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）证明：连接，
∵（已知），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵（已知），
∴（等式性质），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行）．
（2）证明：延长交直线于点M，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
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$$
【精准提分】专题05 平行线中常见的几何模型（人教2024）
【“猪蹄”、“铅笔”、“鸡翅”、“综合”4个模型】
模型一：“猪蹄”模型（也称M字型或“内拐点”问题） 1
模型二：“铅笔”模型（“外拐点”模型） 6
模型三：“鸡翅”模型（“臭脚”模型） 10
模型四：三种模型综合压轴题 15
模型一：“猪蹄”模型（也称M字型或“内拐点”问题）
特点：点P在直线EF左侧且在直线AB、CD内部。
结论1：若AB∥CD，则∠AEP+∠PFC=∠EPF；
结论2：若∠AEP+∠PFC=∠EPF，则AB∥CD。
例题1（2025·河南周口·二模）如图，直线，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，，，则、、之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，平行线，被直线所截，分别作和的角平分线，交点记为；分别作和的角平分线，交点记为；分别作和的角平分线，交点记为，按此规律继续操作，则的度数为 ．
【变式1-3】（24-25七年级下·四川德阳·期中）如图1，，的两边与，分别交于，两点．
(1)若，，求的度数；
(2)如图2，直线，相交于点，且满足，．
①当时，若，求的度数；
②试探究与的数量关系．
【变式1-4】（24-25七年级下·山东青岛·期中）【提出问题】
（1）如图1，将长方形纸片剪两刀，其中，则与、度数之间有何等量关系？请说明你的理由．
【类比探究】
（2）如图2，将长方形纸片剪四刀，其中，则、、、、的度数之间的等量关系是________．
【综合应用】
（3）如图3，直线，，，，，则_______．
（4）如图4，直线，点、分别是上两点，点在之间，连接．点是下方一点，平分平分，已知，则______．
【变式1-5】（24-25七年级下·江西抚州·期中）【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图，直线，求证：
（1）阅读下面的解答过程，并填上适当的理由
解：过点作直线，
已知，，
【方法运用】
（2）如图2，直线，若，，求的度数．
【变式1-6】（24-25七年级下·天津西青·期中）先阅读再解答：
(1)如图1，，求证：．
（提示：可以考虑把变成两个角的和，过点作一条直线，则有，再设法证明，需证，这可通过已知和得到．）
(2)已知：如图2，，求证：．
(3)已知：如图3，，，求证：．
【变式1-7】（24-25七年级下·山东潍坊·期中）（1）【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的．
如图一，已知，，请说明．
解：分别过点，作，．
因为①，所以．
由②，可知，，．
由题知，所以③．
则，即④．
由⑤，可得．
请根据自己的理解，将上述推理过程补充完整．
（2）【迁移应用】如图二，已知，，的交点为．判断，，之间的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…，第次操作，分别作和的平分线，交点为，如图三．若，求的大小．
【变式1-8】（24-25七年级下·山东潍坊·期中）（1）【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的．
如图1，已知，，请说明．
证明：分别过点C，D作，．
因为 ① ，所以．
由 ② ，可知，，．
由题知，所以 ③ ．
则，即 ④ ．
由 ⑤ ，可得．
请根据自己的理解，将上述证明过程补充完整．
（2）【迁移应用】如图2，已知，的交点为E．判断，，之间的关系，并说明理由．
（3）【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图2作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…，第n次操作，分别作和的平分线，交点为，如图3．若，求的大小．
模型二：“铅笔”模型（“外拐点”模型）
特点：点P在直线EF右侧且在直线AB、CD的内部
结论1：若AB∥CD，则∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；
结论2：若∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°，则AB∥CD；
例题2（2025·福建泉州·一模）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯．其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（24-25七年级下·山西晋中·期中）学习了平行线的性质之后，课间同学们进行了进一步的探究活动，如图，已知，若按图中规律，请你探究两平行线间出现n个折角，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，已知,,分别平分和，且交于点，若，则 （含的代数式表示）
【变式2-3】（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，平行线，被直线所截，分别作和的角平分线，交点记为；分别作和的角平分线，交点记为；分别作和的角平分线，交点记为，按此规律继续操作，则的度数为 ．
【变式2-4】（24-25七年级下·甘肃定西·期中）（1）如图1，，点P为两直线间的一点，连接，求证：．小明的证明如下：
过点P作．
，
，
……
请你补全小明的证明过程
（2）如图2，，根据上面的推理方法，求的度数．
（3）如图3，，若，直接写出m的值（用含x，y，z的式子表示）．
【变式2-5】（23-24七年级下·天津东丽·期中）问题情景：如图1，，，，求的度数．
（1）天天同学看过图形后立即口答出：，请你补全他的推理依据．
如图2，过点作，
，
．（______）
．
．（______）
，，
，
问题迁移：
（2）如图3，，当点在、两点之间运动时，，，求与、之间有何数量关系？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你直接写出与、之间的数量关系．
【变式2-6】（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）【探究结论】如图1，，为平行线内一点，连接、得到，经推理证明可得．（不要求证明）
【探究应用】利用以上结论解决下面问题：
(1)如图2，和的平分线交于点，的度数是________；
(2)如图3，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和，试说明；
(3)如图4，点为线段（端点除外）上的一个动点，过点作的垂线交于，交于，、的平分线相交于，则________．
【变式2-7】（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图1，已知直线，点在直线之间，点分别在直线上，连接．
(1)若，，则的度数为___________；
(2)若，则与，之间存在什么数量关系？并说明理由；
(3)如图2，分别平分相交于点，请直接写出与之间的数量关系．
【变式2-8】（24-25七年级下·安徽芜湖·期中）如图，已知分别在上，点G在之间，连接．
(1)当平分平分时，
①如图1，若，则的度数为_______（直接写出结果）；
②如图2，在的下方有一点平分平分，求的值；
(2)如图3，在的上方有一点O，若平分．线段的延长线平分，且满足时，求的值．
模型三：“鸡翅”模型（“臭脚”模型）
特点：点P在直线EF的一侧且在直线AB、CD的外侧。
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP;
结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD。
例题1（24-25七年级下·重庆·期中）如图，已知，的平分线的反向延长线交的平分线于点F，若，则为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（24-25七年级下·四川泸州·期中）空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．2006年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．小洛在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】如图，已知，E，F是直线上方两点，连接，，，，已知平分，且．若，，求的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（24-25七年级下·四川德阳·期中）如图，已知，点在上，点在上，点在上方，，点在的反向延长线上，且，设，则的度数为 ．（用含的式子表示）
【变式3-4】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，，的顶点，顶点分别在直线，直线上，点在直线与直线之间，平分．
(1)如图（1），已知平分，，则_____；
(2)如图（2），已知点为延长线上一点，且，求的度数；
(3)在（2）间的条件下，将绕点顺时针以每秒的速度旋转得到，当落在射线上时停止旋转，求旋转过程中与的边平行时的值．
【变式3-5】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知，直线交，于，．
(1)如图1，点在直线与直线之间，证明：；
(2)如图2，点在直线上，位于点右侧，点在直线上，且在直线上方，点在直线与直线之间，，，若，求．
(3)如图3，，点在直线上（在点左侧），点在直线与直线之间，与的角平分线交于点，请直接写出与的数量关系．
【变式3-6】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）【问题提出】
（1）如图①，，，，求的度数；
（2）如图②，，点在直线上，点在直线上方，连接，，请写出，，之间的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图③，，点在直线上，点在直线上方，连接，，的平分线与的平分线所在直线交于点，求的值．
【变式3-7】（24-25七年级下·江西南昌·期中）（1）【问题发现】
①如图1，直线，，分别在，上，点为其内部一点，求证：．
②如图2，直线，点，分别在，上，点为其外部一点，猜想，，之间的数量关系是__________．（直接写出结论，不需要证明）
（2）【尝试应用】
如图3，直线，点，分别在，上，，的角平分线与的角平分线交于点，求的度数．
（3）【拓展延伸】
如图4，直线，点，分别在，上，点为其内部一点，，，交的延长线于点，交的延长线于点，请你探究，与的数量关系．
【变式3-8】（24-25七年级下·湖北孝感·期中）已知，点M、N分别是上的点，点G在之间，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点H是延长线上一点，连接，若平分，试探究与的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，点P是下方一点，平分平分，已知，求的度数．
模型四：三种模型综合压轴题
例题4（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．
(1)【问题初探】
如图1，两直线，和直角三角形，其中，，，若，则的度数为______________；
(2)【实践探究】
如图2，创新小组的同学把直线向上平移，发现是一个定值，这个定值是________________；
为了说明理由，同学们根据“过拐点作平行线”的思路，很快想到辅助线的作法，过点作，请你在图2中补全辅助线并完成关于这个定值的证明过程．
(3)【拓展延伸】
如图3，，点在上，，，设，请直接用含的代数式表示．
【变式4-1】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1，，．
(1)如果，求的度数；
(2)如图2，、的角平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数；
(3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接，已知，求的度数．
【变式4-2】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）探究感知
（1）如图1，，，，求的度数；
类比应用
（2）如图2是一盏可以伸缩的台灯达到最佳照明角度的示意图，已知灯头与支架平行，与平行，支架与水平线的夹角，两支架和的夹角．请分别求出和的度数．
【变式4-3】（24-25七年级下·天津和平·期中）已知，点M、N分别是、上两点，点G在、之间，连接、．
(1)如图1，，，求的度数；
(2)如图2，点P是下方一点，平分，平分，，，求的度数；
(3)在（2）的图形中，若把的度数翻译为“光耀中华”，则的度数为多少（请直接写出结果）．
【变式4-4】（24-25七年级下·山东·期中）（1）【探究感知】如图1，，求的度数是_______．
（2）【类比应用】如图2，，求的度数；
（3）【拓展延伸】如图3，与的平分线相交于点，求的度数．
【变式4-5】（24-25七年级下·福建福州·期中）已知点均为定点，直线，点为射线上一个动点（点不与点A重合），连接．
(1)如图1，当点在线段上时，若，求的度数．
(2)点为直线下方的动点，连接，使得平分，
①如图2，当点在线段上时，连接，若平分，探究与之间的数量关系，并证明；
②如图3，当点在直线的下方运动时（点在射线上），射线平分，点在直线的下方，且满足射线，若，请直接写出的度数．
【变式4-6】（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）综合与实践
【探究发现】
（1）小明家有一款可折叠的护眼台灯如图1，是灯头，，是支架，是底座，连接部分可分别绕连接点B，E，D旋转，当旋转至时，图2是其平面示意图，小明发现，请证明小明的发现．
【拓展延伸】
（2）保持，当旋转到如图3所示位置时，判断，，之间的数量关系，并证明．
【学以致用】
（3）如图4，，，和的平分线相交于点P，求的度数．
【变式4-7】（24-25七年级下·山东临沂·期中）问题情境：
找两根长度差不多的木棒和平行放置在桌面上并固定，用一根橡皮筋将两根木棒的一个端点连接起来，并在橡皮筋上打一个结，如图1，，点在上．
探究一：一组同学是这样进行操作的：将橡皮筋点向外拉，变成如图2，使点在的右侧，同学们称这种模型为“铅笔头模型”，探究，，之间的关系，同学们的思路是：如图3，过点作的平行线，通过平行线性质和判定，可得之和是________，请你在图3中作出图形，并说明理由．
探究二：二组同学的操作正好相反，将橡皮筋向里推，变成如图4，点在的左侧，同学们称这种模型为“猪脚模型”，仿照一组同学们的思路可得，，之间的数量关系是________．
同学们随后结合一、二两个小组的探究结论进行深度探究．
探究三：三组的同学同时进行把橡皮筋向外拉和向里推两种操作，变成如图5所示的图形，通过分析研究，它们提出了如下的问题：已知，，求的大小（用含有，的代数式表示）．
探究四：四组的同学不甘示弱，提出如下问题：如图6，的平分线与的平分线相交于点，且，，探究与之间的数量关系，请你直接写出结果：________．
【变式4-8】（24-25七年级下·重庆·期中）经过平行线中的拐点作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路．
(1)如图1．，，，则______；
(2)如图2．，点在直线上方，探究、、的数量关系，并证明．
(3)如图3．，点在直线上方，的角平分线所在的直线和的角平分线所在的直线交于点（点在直线的下方）．请写出和之间的数量关系．并证明．
1．（23-24七年级下·湖北荆州·期中）如图1，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线与之间的一点，．
(1)求证：；
(2)如图2，作，与的角平分线交于点F．若，求的度数；
(3)如图3，平分，平分，，已知，直接写出的度数．
2．（24-25七年级下·上海闵行·期中）（1）问题：如图（1），若，，，求的度数．
（2）问题迁移：如图（2），，点在的上方，问：、、之间有何数量关系?请说明理由．
（3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线相交于点，用含有的式子表示的度数．（直接写答案）
3．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）已知．
(1)如图1，请确定，和之间的数量关系并证明；
(2)如图2，平分，直线与的邻补角的平分线交于点．若，求的度数；
(3)如图3，在（2）的条件下，BM平分的邻补，平分，作，求的度数．
4．（24-25七年级下·广东惠州·期中）如图1，，在、内有一条折线．
(1)求证：；
(2)在图2中，画的平分线与的平分线，两条角平分线交于点，请你补全图形，试探索与之间的关系，并证明你的结论；
5．（24-25七年级下·重庆·期中）“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，
将图1抽象成一个数学问题：
(1)如图2，若，求的度数．
(2)【拓展延伸】已知，点为之外任意一点．
①如图3，探究与之间的数量关系，并说明理由；
②如图4，探究与之间的数量关系，请直接写出结果．
6．（24-25七年级下·山东聊城·期中）已知分别是上的动点，也为一动点．
(1)如图1，若，试说明：；
(2)如图2，若，试说明：；
(3)如图3，，移动、，使，若，则___________．
7．（24-25七年级下·广东汕头·期中）【阅读·领会】在几何图形学习过程中，为了帮助解题，可在原图的基础上添加直线或线段比如要证明直线a、b是否平行，可添加“第三条直线”（即图1中的截线），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系．我们称直线为“辅助线”．
【实践·体悟】如图2，已知，．求证：．
(1)小明同学想到通过连接，作出平行线的截线，请你延续他的思路，完成证明过程：证明：如图，连接．
(2)请你试用其他方法进行推理，并书写证明过程，
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