精品解析：山东省济南市莱芜区2024-2025学年下学期二模考试九年级数学试题　

2025年初中学业水平考试数学模拟试题（二） 本试题分试卷和答题卡两部分．第Ⅰ卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将试卷、答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 注意事项： 第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 2025的绝对值是（ ） A. 2025 B. ﹣2025 C. D. 2. 2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，在近月轨道时飞行大约需要．数据0.0000893用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列几何体的俯视图是圆的是（ ） A. 圆柱 B. 三棱柱 C. 正方体 D. 圆锥 4. 下列运算结果正确的是（　　） A. a2•a4＝a8 B. （3b2）2＝3b4 C. （a4）2＝a8 D. a6÷a2＝a3 5. “致中和，天地位焉，万物育焉”． 对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑，器物，绘画，标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年．下面四个标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取10名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间（单位：分钟）：55，57，65，55，65，70，65，78，68，70．对这组数据判断正确的是（ ） A. 方差为3 B. 平均数为65 C. 众数为65 D. 中位数为67.5 7. 化简 得（ ） A. B. C. D. 8. 如图，“石头、剪刀、布”是一种猜拳游戏，游戏时，双方每次任意出“石头”“剪刀”“布”这三种手势中的一种，那么双方出现相同手势的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，点E，F分别是边的中点，连接．点G，H分别是的中点，连接．若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，，则，其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ②③⑤ D. ②③④⑤ 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项： 所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等． 不按以上要求作答，答案无效． 二、填空题（本大题共5个小题．每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的横线上．） 11. 分解因式：______． 12. 一只蚂蚁在如图所示的正方形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为_____． 13. 小益将平放在桌面上的正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），如图所示则形成的______度． 14. 如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点、在 轴上，若四边形为矩形，则它的面积为______ 15. 已知菱形中，，，E为边的中点，F为边上一点，将F点沿过C点的直线翻折，翻折后的对应点G恰好落在直线上，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算： 17. 解不等式组，并写出满足条件的正整数解． 18. 如图，在平行四边形中， 、分别垂直于对角线的延长线，垂足分别为E、F．求证：． 19. 植树节是按照法律规定宣传保护树木，并组织动员群众积极参加以植树造林为活动内容的节日．按时间长短可分为植树日、植树周和植树月，共称为国际植树节．提倡通过这种活动，激发人们爱林造林的热情、意识到环保的重要性．1928年，国民政府为纪念孙中山逝世三周年，将植树节改为3月12日．新中国成立后的1979年，在邓小平提议下，第五届全国人大常委会第六次会议决定将每年的3月12日定为植树节．某学校在植树节到来之际，举办了一场环保主题的知识竞赛，八年级其中一个班级的成绩作如下整理，部分信息如下： 组别 成绩m/分 频数 A 2 B a C 14 D b E 10 完成下面问题： （1）________，________； （2）在扇形统计图中，A组对应的圆心角的度数为________； （3）补全条形统计图； （4）八年级一共有480人，请根据以上数据估计八年级中分数在80分到90分的人数． 20. 某市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，车轮半径为， ，坐垫 与点的距离为． （1）求坐垫 到地面的距离； （2）根据经验，当坐垫到的距离调整为人体腿长的倍时，坐骑比较舒适，小明的腿长约为，现将坐垫E 调整至坐骑舒适高度位置，请直接写出 的长．（结果精确到 ．参考数据∶ ） 21. 如图，在 中；点为 边上一点，经过两点，交于点，交 于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 22. 某中学组织师生共人去参观博物院，阅读下列对话： 李老师：“客运公司有座和座两种型号的客车可供租用，且租用 辆座客车和 辆座客车到河南省博物院，一天的租金共计元．” 小明说：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了辆座和辆座的客车到河南省博物院，一天的租金共计元．” （1）客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ （2）若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位；且每辆客车恰好坐满，共有哪几种租车方式？其中最省钱的租车方式，租车费用为多少元？ 23. 如图，在平面直角坐标中，点是坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于、两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象回答，当时， 的取值范围为______； （3） 轴上有一点，当以点、、、为顶点的四边形的面积为时，求点的坐标． 24. 二次函数的图象与 轴交于，两点，与 轴交于点． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图1，点是第三象限内的抛物线上的动点，过作轴，交 轴于点，四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由； （3）如图2，点是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与 轴交于点，已知点，连接，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 如图 ，已知为 中位线，，现将绕顶点旋转． （1）若，旋转至如图 中位置，求证：； （2）若，． ①将绕旋转至如图中位置，求的值； ②直接写出的值； ③如图，为平面内一点，现将 平移至的位置，此时、、共线，、、共线，为等边三角形，然后将绕旋转（）至，连接，为关于的中心对称点，在旋转过程中，是否存在最小值，若存在，直接写出该最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平考试数学模拟试题（二） 本试题分试卷和答题卡两部分．第Ⅰ卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将试卷、答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 注意事项： 第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 2025的绝对值是（ ） A. 2025 B. ﹣2025 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，理解绝对值的定义是解题的关键，根据绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：的绝对值是 故选： A． 2. 2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，在近月轨道时飞行大约需要．数据0.0000893用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂的科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 【详解】解：数据0.0000893用科学记数法表示为， 故选：A． 3. 下列几何体的俯视图是圆的是（ ） A. 圆柱 B. 三棱柱 C. 正方体 D. 圆锥 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据圆柱、圆锥、三棱柱、正方体的俯视图的形状进行判断即可，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法和形状是解题的关键． 【详解】解：、圆柱体的俯视图是圆形，符合题意； 、三棱柱的俯视图是三角形，不符合题意； 、正方体的俯视图是正方形，不符合题意； 、圆锥的俯视图是圆形和一个点，不符合题意； 故选：． 4. 下列运算结果正确的是（　　） A. a2•a4＝a8 B. （3b2）2＝3b4 C. （a4）2＝a8 D. a6÷a2＝a3 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解． 【详解】解：A、a2•a4＝a6，故本选项错误； B、（3b2）2＝9b4，故本选项错误； C、（a4）2＝a8，故本选项正确； D、a6÷a2＝a4，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题． 5. “致中和，天地位焉，万物育焉”． 对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑，器物，绘画，标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年．下面四个标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．轴对称图形：将图形沿一条直线折叠两边完全重合的图形是轴对称图形．根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意， 故选：D． 6. 某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取10名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间（单位：分钟）：55，57，65，55，65，70，65，78，68，70．对这组数据判断正确的是（ ） A. 方差为3 B. 平均数为65 C. 众数为65 D. 中位数为67.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平均数、方差、众数、中位数，根据平均数、方差、众数、中位数的定义计算即可得解． 【详解】解：数据排序为：55，55，57，65，65，65，68，70，70，78， 数据出现的次数最多，故众数为65，故C正确； 中间位置的两个数为65，65，故中位数为，故D错误； 平均数为，故B错误； 方差为，故A错误； 故选：C． 7. 化简 得（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是分式的约分，先把分式的分子与分母分解因式，再约去公因式即可． 【详解】解：， 故选B． 8. 如图，“石头、剪刀、布”是一种猜拳游戏，游戏时，双方每次任意出“石头”“剪刀”“布”这三种手势中的一种，那么双方出现相同手势的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是列表法或画树状图求解随机事件的概率，先画树状图得到所有的都可能的结果数以及符合条件的结果数，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中双方出现相同手势的结果有3种，故所求概率是． 故选：B 9. 如图，在矩形 中，点E，F分别是边的中点，连接．点G，H分别是的中点，连接．若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接并延长交 于 ，连接，根据矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论． 【详解】解：连接并延长交 于 ，连接， 四边形 是矩形， ，， ， 分别是边 ， 的中点，，， ，， ， 在与中， ， ，， ， ， 点 是 的中点，是的中点， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 10. 知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，，则，其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ②③⑤ D. ②③④⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b=2a＞0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；根据判别式的意义对②进行判断；利用x=1时得到a+b+c＞0，把b=2a代入得到3a+c＞0，然后利用a＞0可对③进行判断；利用二次函数当时有最小值可对④进行判断；由于二次函数y=ax2+bx+c与直线y=2的一个交点为，利用对称性得到另一个交点坐标，从而得到x1、x2的值，则可对⑤进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴为直线， 即， ∴b=2a＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴abc＜0，所以①错误； ∵物线与x轴有2个交点， ∴，所以②正确； ∵x=1时，y＞0， ∴a+b+c＞0， 而b=2a， ∴3a+c＞0， ∵a＞0， ∴4a+c＞0，所以③正确； ∵时，y有最小值， ∴（t为任意实数）， 即，所以④正确； ∵图象经过点时，方程的两根为x1，x2（x1＜x2）， ∴二次函数y=ax2+bx+c与直线y=2的一个交点为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴二次函数y=ax2+bx+c与直线y=2的另一个交点为， 即x1=，x2=， ∴，所以⑤正确． 综上所述，正确的是：②③④⑤， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项： 所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等． 不按以上要求作答，答案无效． 二、填空题（本大题共5个小题．每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的横线上．） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】将原式整理为平方差的形式，再套用公式分解即可． 【详解】解： ． 12. 一只蚂蚁在如图所示的正方形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为_____． 【答案】． 【解析】 【分析】用阴影部分的面积除以正方形的总面积即可得． 【详解】由图形知， S①＝S②， ∴阴影部分的面积为正方形面积的一半， ∴蚂蚁停在阴影部分的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查几何概率.解题的关键是熟练掌握几概率的公式.用阴影区域表示所求事件（A）；计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 13. 小益将平放在桌面上的正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），如图所示则形成的______度． 【答案】132 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和，正多边形的内角问题，熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 先求出正五边形和正六边形的内角，再由即可． 【详解】解：如图： 由题意得：，， ∴， 故答案为：132． 14. 如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点 、在 轴上，若四边形 为矩形，则它的面积为______ 【答案】8 【解析】 【分析】设A的坐标为（a，），则B的坐标为（3a，），然后求解面积即可. 【详解】解：设A的坐标为（a，） ∴ ∵四边形 为矩形 ∴ ∴B的纵坐标为 ∴B的横坐标为 ∴ ∴矩形ABCD的面积= 故答案为：8. 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与矩形的面积公式，反比例函数的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 15. 已知菱形 中，，，E为边 的中点，F为边 上一点，将F点沿过C点的直线翻折，翻折后的对应点G恰好落在直线上，则的最小值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】设折痕为，连接，由题意得，，．证明 是等边三角形得，，求出，可得，即当E，G，G共线时，的值最小，然后证明是 的中位线，是的中位线，进而可求得结论． 【详解】解：如图，设折痕为，连接，由题意得，，． ∵菱形 中，， ∴，， ∴ 是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵当E，G，G共线时，的值最小， ∴此时值最小，， ∴． ∵E为边 的中点， ∴是 的中位线，是的中位线， ∴， ∴， ∴，即的最小值为6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行线分线段成比例定理，三角形的中位线，折叠的性质，证明是 的中位线，是的中位线是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是求一个数的绝对值、求一个数的立方根、特殊角的三角函数值、整数指数幂、实数的混合运算，解题关键是熟练掌握相关知识点． 先根据求一个数的绝对值、求一个数的立方根、特殊角的三角函数值、整数指数幂计算，再结合实数的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式， ． 17. 解不等式组，并写出满足条件的正整数解． 【答案】，该不等式组的正整数解为1，2 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及整数解．先求出不等式组中每一个不等式的解集，利用数轴求出它们的交集，即可求得整数解． 【详解】解：由，得， 由，得， ∴此不等式组的解集是， ∴此不等式组所有正整数解是1，2． 18. 如图，在平行四边形 中，、分别垂直于对角线的延长线，垂足分别为E、F．求证：． 【答案】 证明：∵四边形 是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是证明出，即可求解． 【详解】略 19. 植树节是按照法律规定宣传保护树木，并组织动员群众积极参加以植树造林为活动内容的节日．按时间长短可分为植树日、植树周和植树月，共称为国际植树节．提倡通过这种活动，激发人们爱林造林的热情、意识到环保的重要性．1928年，国民政府为纪念孙中山逝世三周年，将植树节改为3月12日．新中国成立后的1979年，在邓小平提议下，第五届全国人大常委会第六次会议决定将每年的3月12日定为植树节．某学校在植树节到来之际，举办了一场环保主题的知识竞赛，八年级其中一个班级的成绩作如下整理，部分信息如下： 组别 成绩m/分 频数 A 2 B a C 14 D b E 10 完成下面问题： （1）________，________； （2）在扇形统计图中，A组对应的圆心角的度数为________； （3）补全条形统计图； （4）八年级一共有480人，请根据以上数据估计八年级中分数在80分到90分的人数． 【答案】（1）4；20 （2） （3） 补全条形统计图如下： （4）人 【解析】 【分析】本题考查频数分布表、扇形统计图、条形统计图、样本估计总体，解题的关键是从频数分布表和扇形统计图中获取关键信息． （1）根据E组频数及所占百分数求出班级的总人数，进而可求出a、b ； （2）先求出本次调查中A组的占比，再与相乘，即可作答． （3）根据（1）中求出的a、b补全即可， （4）先求出本次调查中八年级中分数在80分到90分的占比，再与相乘，即可作答． 【小问1详解】 解：班级总人数为：， ，， 故答案为：4；20； 【小问2详解】 解：依题意，， ∴A组对应的圆心角的度数为， 故答案为：； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：依题意，（人）， ∴估计八年级中分数在80分到90分的人数为人． 20. 某市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，车轮半径为， ，坐垫 与点的距离为． （1）求坐垫 到地面的距离； （2）根据经验，当坐垫 到的距离调整为人体腿长的倍时，坐骑比较舒适，小明的腿长约为，现将坐垫E 调整至坐骑舒适高度位置，请直接写出 的长．（结果精确到 ．参考数据∶ ） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用， （1）作于点 ，由可得答案； （2）作于点，先根据求得的长度，再根据可得答案 【小问1详解】 如图1，过点E作于点 ， 由题意知、， ∴， 则单车车座 到地面的高度为； 【小问2详解】 如图2所示，过点作于点， 由题意知， 则， ∴． 21. 如图，在 中；点为 边上一点，经过两点，交 于点 ，交 于点 ，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， ， ， 为直径， ，即， ∴， 为半径， 为的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定定理，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，得到，推出，由为直径，得到，继而得到，即可得到结论； （2）设的半径为，则，得到，利用勾股定理计算即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为，则 由（1）得， ，， ， 在中，， ， 解得， ∴的半径为． 22. 某中学组织师生共人去参观博物院，阅读下列对话： 李老师：“客运公司有座和座两种型号的客车可供租用，且租用辆座客车和辆座客车到河南省博物院，一天的租金共计元．” 小明说：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了辆座和辆座的客车到河南省博物院，一天的租金共计元．” （1）客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ （2）若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位；且每辆客车恰好坐满，共有哪几种租车方式？其中最省钱的租车方式，租车费用为多少元？ 【答案】（1）客运公司座的客车每辆每天的租金是元，座的客车每辆每天的租金是元 （2）共有三种租车方式；最省钱的租车方式，租车费用为元 【解析】 【分析】此题主要考查了二元一次方程（组）的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）设客运公司座的客车每辆每天的租金是 元，座的客车每辆每天的租金是元，根据租用辆座客车和辆座客车到河南省博物院，一天的租金共计元，租了辆座和辆座的客车到河南省博物院，一天的租金共计元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设座的客车租用辆，座的客车租用辆，根据每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，列出二元一次方程，求出非负整数解，即可解决问题； 【小问1详解】 解：设客运公司座的客车每辆每天的租金是 元，座的客车每辆每天的租金是元， 由题意得： 解得：， 答：客运公司座的客车每辆每天的租金是元，座的客车每辆每天的租金是元； 【小问2详解】 解：设座的客车租用辆，座的客车租用辆， 由题意得：， 整理得：， 、均为非负整数， 或或， 有种租车方式：①座的客车租用辆，费用为：(元)； ②座的客车租用辆，座的客车租用辆，费用为： (元)； ③座的客车租用辆，座的客车租用辆，费用为： (元)； ， 最省钱的租车费用为元； 故共有三种租车方式；最省钱的租车方式，租车费用为元 23. 如图，在平面直角坐标中，点是坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于、两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象回答，当时， 的取值范围为______； （3）轴上有一点 ，当以点、 、、为顶点的四边形的面积为时，求点 的坐标． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； （2）或； （3）点 的坐标或． 【解析】 【分析】（）把代入得，可得反比例函数的解析式为，然后求出，最后把，代入求出解析式即可； （）根据函数图象即可得到不等式的解集； （）由得，当时，，当时，，求出，，然后分当时，和当时，两种情况可得关于的一元一次方程，然后解方程即可； 本题考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，解一元一次方程，正确地求出函数的解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入得， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得，， ∴， 把，代入得，， ∴， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由图象得，当时，即时， 的取值范围为或， 故答案为：或； 【小问3详解】 解：设， 由得，当时，，当时，， ∴，， 当时， ， ∴， ∴点 的坐标为， 当时， ， ∴， ∴点 的坐标为， 综上可知：点 的坐标或． 24. 二次函数的图象与 轴交于，两点，与轴交于点 ． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图1，点 是第三象限内的抛物线上的动点，过 作轴，交 轴于点，四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由； （3）如图2，点 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与 轴交于点，已知点，连接，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，最大值是6 （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）把，分别代入抛物线，确定解析式即可； （2）设，则，则， 则 ，根据抛物线的性质解答即可． (3) 取点，过点Q作轴，交于点M，确定，连接并延长交对称轴直线于点，确定一个位置；过点C作轴，过点N作轴，二线交于点G，则四边形是矩形，在上取一点，使得，则，连接并延长交对称轴直线于点，确定第二个位置，解答即可． 【小问1详解】 解：把，分别代入抛物线，得 解得 抛物线的解析式为. 【小问2详解】 解：根据抛物线的解析式为， ∴，，， 设，则，则， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，且最大值为6． 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，将代入直线的解析式得：， 解得， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， ∴， ∴， 取点，过点Q作轴，交于点M， 则， ∴， 连接并延长交对称轴直线于点， 根据题意，，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴点符合题意， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， 当时，， 故； 过点C作轴，过点N作轴，二线交于点G， 则四边形是矩形， ∴,，， ∴， 在上取一点，使得， 则， ∴， 连接并延长交对称轴直线于点， 根据题意，，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴点符合题意， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， 当时，， 故； 综上所述，符合题意的点H坐标有，． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，三角形全等的判定和性质，构造二次函数求最值，角的和计算，平行线的函数思想判定，平行线的性质，一次函数解析式确定，解方程组，熟练掌握待定系数法，解方程组是解题的关键． 25. 如图，已知 为 中位线，，现将绕顶点旋转． （1）若，旋转至如图中位置，求证：； （2）若， ． ①将绕旋转至如图中位置，求的值； ②直接写出 的值； ③如图，为平面内一点，现将 平移至的位置，此时、、共线，、 、共线，为等边三角形，然后将绕旋转（）至，连接，为关于的中心对称点，在旋转过程中，是否存在最小值，若存在，直接写出该最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明：， 为 中位线， ∴， ∴， ∵旋转， ∴，， ， 即， 在和中， ， ， （2）①的值是；②；③存在，最小值为． 【解析】 【分析】（1）证明，即可得证； （2）①证明，即可得出结论；②作，交的延长线于点，解直角三角形求出的长，再利用勾股定理求出 的长即可；③连接并延长至点 使，连接，证明，得到，进而得到，根据平移的性质，旋转的性质，推出为等边三角形，进而推出，勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵， ， 为 中位线， ∴， 由旋转性质可得：，， ，， ∴， ， ； ②作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ③存在，连接并延长至点 使，连接，， ∵为关于的中心对称点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平移， ∴，， 由中位线定理，得：， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵旋转， ∴， ∴为等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查三角形的中位线，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握旋转的性质，构造全等和相似三角形，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $