几何模型研究大讲堂专题二 2-2 三角形中的“双角平分线”模型2024-2025学年北师大版数学七年级下册

初中数学几何模型研究大讲堂 专题二：双角平分线模型 2-2：三角形中的双角平分线模型 PART 1——模型认知. 已知 图示 结论(性质) 在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB. 1. 在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB的邻补角. 1. 在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC的邻补角、∠ACB的邻补角. 1. 考法 常考设问 考查题型 解题思路 考 法 1 根据“双角平分线”模型求角度 求角度 1.在选择题或填空题中考查. 角平分线的定义 考法2 根据“双角平分线”模型求线段 求线段长 1.在选择题或填空题中考查 作垂直,用角平分线上的点分到角两的边的距离相等解题 PART 2——模型思路. 这是一种常考的模型，难度适中，运用了整体思想，如果不了解该模型做题较困难，本模型需要熟记结论. PART 5——模型解析. 1.（2023·重庆育才定时）如图，在中，点D在延长线上，，分别平分，，，垂足为F．若，则（　　）. A. B. C. D. 2.（2024·内蒙古通辽校级期中）如图，中分别是的角平分线且相交于O点，则的度数为 ． 3.（2024·内蒙古通辽校级期中）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，，则 ． 4.（2023·重庆巴蜀作业）如图，在中，是边上的高，，分别是和的角平分线，它们相交于点O，，则的度数为（       ）. A. B. C. D. 5.（2023·广西南宁校级期中）如图，在中，已知和的平分线相交于点，过点作，交于点，交于点，若，则线段的长为（   ）. A． B． C． D． 6.（2024·重庆南开定时）如图，在中，平分交于点，延长至点平分，且的延长线交于点，若∠A=33°，∠DFE=63°，则为____°.    7.（2023·重庆巴蜀月考）如图，的角平分线，相交于点，，则______．   8.（2025·湖北襄阳期末）如图，已知的两条角平分线相交于点是外角的平分线，的延长线与交于点，连接，若，有下列结论：①；②；③；④点到直线，直线，直线的距离相等．上述结论正确得是（   ） A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 9.（2021·山东威海期末）如图，平分，平分，与交于点，若，，则（       ）. A．80° B．75° C．60° D．45° 10.（2025·河北保定校级期末）如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；；与的平分线相交于点，得，则______． 11.（2024·湖北孝感校级联考月考）. 如图①，在 中，与的平分线相交于点P． (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索，之间的数量关系． (3)如图③，延长线段，交于点E，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求的度数． 12.（2025·重庆渝北校级期末模拟）如图，分别是的高和角平分线，与相交于，平分交于，交于，连接交于，且．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的有（   ）个 A． B． C． D． 13.（2023·重庆永川期末）如图，在中，，，的平分线与的外角平分线交于点，连接，则的大小等于_______________． 14.（2022·广东惠州校级月考）（1）在锐角中，边上的高所在直线和边上的高所在直线的交点为，，求的度数． （2）如图，和分别平分和，当点在直线上时，且B、P、D三点共线，，则_________． （3）在（2）的基础上，当点在直线外时，如下图：，，求的度数． 15.（2025·四川成都校级期中）直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）． （1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线， ①当∠ABO＝60°时，求∠AEB的度数； ②点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出∠AEB的大小； （2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO的度数． PART 4——模型变式. 【变式1】（2022·广东华师附中期中）如图在中，，分别平分，，交于O，为外角的平分线，的延长线交于点E，记，，则以下结论①，②，③，④正确的是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④ 【变式2】（2022·广东惠州校级期中） 如图，在中，已知，、的平分线、相交于点O，则的度数为_______________．     【变式3】（2021·河南商丘期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO与∠ACB的外角平分线交于点D，若∠BOC＝130°，则∠D＝_____. 【变式4】（2024·广东广州期末模拟）如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F=________． 【变式5】（2024·宁夏中卫期中） 如图，五边形在处的外角分别是分别平分和且相交于点P．若，则________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初中数学几何模型研究大讲堂 专题二：双角平分线模型 2-2：三角形中的双角平分线模型 PART 1——模型认知. 已知 图示 结论(性质) 在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB. 1. 在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB的邻补角. 1. 在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC的邻补角、∠ACB的邻补角. 1. 考法 常考设问 考查题型 解题思路 考 法 1 根据“双角平分线”模型求角度 求角度 1.在选择题或填空题中考查. 角平分线的定义 考法2 根据“双角平分线”模型求线段 求线段长 1.在选择题或填空题中考查 作垂直,用角平分线上的点分到角两的边的距离相等解题 PART 2——模型思路. 这是一种常考的模型，难度适中，运用了整体思想，如果不了解该模型做题较困难，本模型需要熟记结论. PART 5——模型解析. 1.（2023·重庆育才定时）如图，在中，点D在延长线上，，分别平分，，，垂足为F．若，则（　　）. A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线性质、三角形外角定理和三角形内角和定理，由题意得，，利用三角形外角定理得求得，即可求得答案． 【详解】解：∵，分别平分，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2.（2024·内蒙古通辽校级期中）如图，中分别是的角平分线且相交于O点，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理和角平分线的性质是解决本题的关键．利用三角形的内角和定理先求出与的和，再根据角平分线的性质求出，最后再利用三角形的内角和求出． 【详解】解：， ． ，分别是和的平分线， ． ， ． 故答案为：. 3.（2024·内蒙古通辽校级期中）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，，则 ． 【答案】30 【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P的度数． 【详解】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线， ∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°， ∵∠PCM是△BCP的外角， ∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°， 故答案为：30． 4.（2023·重庆巴蜀作业）如图，在中，是边上的高，，分别是和的角平分线，它们相交于点O，，则的度数为（       ）. A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据∠AOB=125°和三角形内角和，可以得到∠OAB+∠OBA的度数，再根据AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，即可得到∠BAC+∠ABC的度数，进而得到∠C的度数，再根据AD是BC边上的高，即可得到∠CAD的度数． 【详解】解：∵∠AOB=125°， ∴∠OAB+∠OBA=55°， ∵AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O， ∴∠BAC+∠ABC=2（∠OAB+∠OBA）=110°， ∴∠C=70°， ∵AD是BC边上的高， ∴∠ADC=90°， ∴∠CAD=20°， 即∠CAD的度数是20°． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形内角和，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 5.（2023·广西南宁校级期中）如图，在中，已知和的平分线相交于点，过点作，交于点，交于点，若，则线段的长为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用角平分线和平行可以证明△BME和△CNE是等腰三角形，而可得BM+CN=MN即可解答． 【详解】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E， ∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB， ∵MNBC， ∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB， ∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN， ∴BM=ME，EN=CN， ∴MN=ME+EN， 即MN=BM+CN． ∵BM+CN=9 ∴MN=9， 故选D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握角平分线和平行可以证明等腰三角形是解题的关键． 6.（2024·重庆南开定时）如图，在中，平分交于点，延长至点平分，且的延长线交于点，若∠A=33°，∠DFE=63°，则为____°.    【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、三角形的外角的性质，根据角平分线及三角形外角的性质得出，，则，将已知条件代入，即可求出的度数． 【详解】 ，平分， ， 平分， ， ， ， ， ． ，，， ， ， ． 7.（2023·重庆巴蜀月考）如图，的角平分线，相交于点，，则______．   【答案】 【分析】根据三角形的角平分线定义和三角形的内角和定理求出的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进而求解即可． 【详解】∵， ∴， ∵的角平分线，相交于点， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要利用角平分线的定义和三角形内角和定理求解，熟记概念和定理是解题的关键． 8.（2025·湖北襄阳期末）如图，已知的两条角平分线相交于点是外角的平分线，的延长线与交于点，连接，若，有下列结论：①；②；③；④点到直线，直线，直线的距离相等．上述结论正确得是（   ） A． ①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，掌握相关知识点是解题关键．根据平角和角平分线的定义，可判断①结论；根据三角形内角和定理和角平分线的定义，可判断②结论；根据角平分线的定义和平行线的性质，得出，可判断③结论；根据角平分线的性质定理，可判断④结论． 【详解】解：、分别平分、， ，， ， ， ，①结论正确； 、分别平分、， ，， ， ，②结论错误； 分别平分， ， ， ， ， ，③结论正确； 、分别平分、， 点G到直线的距离等于点G到直线的距离，点G到直线的距离等于点G到直线的距离， 点到直线，直线，直线的距离相等，④结论正确； 即结论正确得是①③④， 故选：C 9.（2021·山东威海期末）如图，平分，平分，与交于点，若，，则（       ）. A．80° B．75° C．60° D．45° 【答案】C 【分析】连接先求解 再求解 可得 再利用角平分线的定义可得： 从而可得： 再利用三角形的内角和定理可得的大小. 【详解】解：连接 平分，平分， 故选： 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，熟练利用三角形的内角和定理求解与之相关的角的大小是解题的关键. 10.（2025·河北保定校级期末）如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；；与的平分线相交于点，得，则______． 【答案】 【分析】结合题意，根据角平分线、三角形外角、三角形内角和的性质，得，同理得；再根据数字规律的性质分析，即可得到答案． 【详解】根据题意，，与的平分线交于点 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 同理，得； ； ； … ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、三角形外角、角平分线、数字规律的性质，从而完成求解． 11.（2024·湖北孝感校级联考月考）. 如图①，在 中，与的平分线相交于点P． (1) 如果，求的度数； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索，之间的数量关系． (3)如图③，延长线段，交于点E，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)的度数是或或或 【分析】本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，熟练掌握知识点及运用分类讨论思想是解题的关键． （1）在中，根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得出，，求出，再在中，根据三角形内角和定理求出即可； （2）根据三角形外角性质得出，，求出，根据角平分线的定义得出，，求出，根据三角形内角和定理求出即可； （3）根据角平分线的定义得出，，根据三角形外角性质得出，求出，求出，分为四种情况：①，②，③，④，再求出答案即可． 【详解】（1）， ， 点是和的角平分线的交点， ，， ， ； （2），， ， 点是和的角平分线的交点， ，， ， ； （3）延长得射线， 为的外角的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 是的外角的平分线， ， 平分， ， ， ， 即， ， ， 即， ， 如果中，存在一个内角等于另一个内角的倍，那么分为四种情况： ①，则，； ②，则，，； ③，则，； ④，则，， 综合上述，的度数是或或或． 12.（2025·重庆渝北校级期末模拟）如图，分别是的高和角平分线，与相交于，平分交于，交于，连接交于，且．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的有（   ）个. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高和角平分线，全等三角形的判定和性质，由三角形的高可得，进而由三角形角平分线的定义可得，即可判定①；证明，得到，，进而可证明，即可判定②；由得到，，可得，，可判定③④，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∵，， ∴，故②正确； ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，故③正确，④错误； 综上，正确的有个， 故选：． 13.（2023·重庆永川期末）如图，在中，，，的平分线与的外角平分线交于点，连接，则的大小等于_______________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形外角的性质等知识，先根据角平分线的判定与性质得出平分，然后利用三角形外角的性质，即可求解． 【详解】解：过点D作于H，于E，于F， ∵的平分线与的外角平分线交于点， ∴，， ∴平分， ∴， ∵， ∴ ， 故答案为：． 14. （2022·广东惠州校级月考）（1）在锐角中，边上的高所在直线和边上的高所在直线的交点为，，求的度数． （2）如图，和分别平分和，当点在直线上时，且B、P、D三点共线，，则_________． （3）在（2）的基础上，当点在直线外时，如下图：，，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）根据对顶角相等以及四边形的内角和进行判断即可； （2）法一：根据以及和分别平分和，算出和,从而算出； 法二：根据三角形的外角定理得到∠APC=∠B+∠PAB＋∠PCB，再求出∠PAB＋∠PCB，故可求解； （3）法一：连接AC，根据三角形的内角和与角平分线的性质分别求出，，故可求解； 法二：连接BD并延长到G根据三角形的外角定理得到∠ADC＝∠2＋∠4＋∠APC，再求出∠2＋∠4，故可求解． 【详解】（1）如图边上的高所在直线和边上的高所在直线的交点为 ∴ 又∵ ∴ ∵在四边形中，内角和为 ∴． （2）法一：∵和分别平分和 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴． 法二：连接BD，∵B、P、D三点共线 ∴BD、AF、CE交于P点 ∵∠APD=∠BAP+∠ABP，∠CPD=∠BCP+∠CBP， ∴∠APC=∠B+∠PAB＋∠PCB ∵和分别平分和， ∴∠PAC=∠PAB，∠PCA=∠PCB， ∵∠APC＝100°， ∴∠PAC＋∠PCA＝180°−100°＝80°， ∴∠PAB＋∠PCB＝80°， ∴∠B＝∠APC −（∠PAB＋∠PCB）＝100°−80°＝20°． （3）法一：如图：连接AC ∵， ∴ ∴ 又∵和分别平分和 ∴ ∴ ∴． 法二：如图，连接BD并延长到G， ∵∠ADG＝∠2＋∠APD，∠CDG＝∠4＋∠CPD， ∴∠ADC＝∠2＋∠4＋∠APC， ∴∠2＋∠4=30° 同理可得∠APC＝∠1＋∠3＋∠B，∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠B＝∠APC-∠2-∠4=100°-30°=70° ∴∠B＝70°． 【点睛】本题考查三角形的外角，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 15.（2025·四川成都校级期中）直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）． （1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线， ①当∠ABO＝60°时，求∠AEB的度数； ②点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出∠AEB的大小； （2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO的度数． 【答案】（1）①135°②∠AEB的大小不会发生变化，∠AEB＝135°，详见解析（2）∠ABO＝60°或45° 【分析】（1）①根据三角形内角和定理、角分线定义，即可求解； ②方法同①，只是把度数转化为角表示出来，即可解答； （2）根据三角形内角和定理及一个外角等于与它不相邻的两个内角和，利用角的和差计算即可求得结果，要对谁是谁的3倍分类讨论.. 【详解】（1）如图1，①∵MN⊥PQ， ∴∠AOB＝90°， ∵∠ABO＝60°， ∴∠BAO＝30°， ∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线， ∴∠ABE＝∠ABO＝30°，∠BAE＝∠BAO＝15°， ∴∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝135°． ②∠AEB的大小不会发生变化．理由如下： 同①，得∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝180°﹣∠ABO﹣∠BAO ＝180°﹣（∠ABO+∠BAO）＝180°﹣×90°＝135°． （2）∠ABO的度数为60°．理由如下：如图2， ∵∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，∴∠OAE+∠OAF＝（∠BAO+∠GAO）＝90°，即∠EAF＝90°， 又∵∠BOA＝90°， ∴∠GAO＞90°， ①∵∠E＝∠EAF＝30°， ∠EOQ＝45°，∠OAE+∠E＝∠EOQ＝45°， ∴∠OAE＝15°， ∠OAE＝∠BAO＝（90﹣∠ABO） ∴∠ABO＝60°． ②∵∠F＝3∠E，∠EAF=90° ∴∠E+∠F=90° ∴∠E=22.5° ∴∠EFA=90-22.5°=67.5° ∵∠EOQ＝∠EOM= ∠AOE= 45°， ∴∠BAO＝180°-(180°-45°-67.5°)×2=45° ∴∠ABO=90°-45°=45° 【点睛】本题考查了三角形内角和定理及外角的性质、角分线定义，解决本题的关键是灵活运用三角形内角和外角的关系. PART 4——模型变式. 【变式1】（2022·广东华师附中期中）如图在中，，分别平分，，交于O，为外角的平分线，的延长线交于点E，记，，则以下结论①，②，③，④正确的是（    ） A． ①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形外角的性质，先利用角平分线的定义得到，，，再利用三角形的外角的性质转化各角之间的关系即可求解． 【详解】解：∵平分， 为外角的平分线， ∴，， ∴，故①正确； ∵平分， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∵不一定是，故②不正确； 由于， ∴，故③不正确； 综上：正确的有①④； 故选：C． 【变式2】（2022·广东惠州校级期中） 如图，在中，已知，、的平分线、相交于点O，则的度数为_______________．     【答案】 【分析】根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解. 【详解】 在中, ， ∵与的角平分线相交于点， ∴， 在中, ， 故答案为:. 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键. 【变式3】（2021·河南商丘期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO与∠ACB的外角平分线交于点D，若∠BOC＝130°，则∠D＝_____. 【答案】40° 【分析】根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可得到结论． 【详解】解：∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O， ∴∠ACO=∠ACB， ∵CD平分∠ACE， ∴∠ACD=∠ACE， ∵∠ACB+∠ACE=180°， ∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=（∠ACB+∠ACE）=×180°=90°， ∵∠BOC＝130°， ∴∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°， 故答案为：40°． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，熟练掌握相关性质和概念正确推理计算是解题的关键． 【变式4】（2024·广东广州期末模拟）如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F=________． 【答案】15° 【分析】先由BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB得到∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，在△ABC中根据三角形内角和定理得∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=60°，则根据平角定理得到∠MBC+∠NCB=300°；再由BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN得∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB，两式相加得到∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°，在△BCE中，根据三角形内角和定理可计算出∠E=30°；再由BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ得到∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，根据三角形外角性质得到∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，利用等量代换得到∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，再进行等量代换可得到∠F=∠E． 【详解】解：如图： ∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∠A=60°， ∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB， ∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=×（180°-60°）=60°， ∴∠MBC+∠NCB=360°-60°=300°， ∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN， ∴∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB， ∴∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°， ∴∠E=180°-（∠5+∠6+∠1）=180°-150°=30°， ∵BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ， ∴∠5=∠6，∠2=∠3+∠4， ∵∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E， 即∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E， ∴2∠F=∠E， ∴∠F=∠E=×30°=15°． 故答案为：15°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线、三角形外角性质，解题的关键是掌握三角形内角和是180°. 【变式5】（2024·宁夏中卫期中） 如图，五边形在处的外角分别是分别平分和且相交于点P．若，则________． 【答案】105° 【分析】根据多边形内角和公式求出五边形的内角和，根据题意求出∠BCD＋∠CDE的度数，从而求出∠PCD＋∠PDC的度数，运用三角形内角和定理即可求出∠CPD的度数． 【详解】解：∵∠A＝160°，∠B＝80°，∠E＝90°， ∴∠BCD＋∠CDE＝（5−2）×180°−160°−80°−90°＝210°， ∴∠PCD＋∠PDC＝（180°×2−210°）＝75°， 在△CPD中，∠CPD＝180°−（∠PCD＋∠PDC）＝180°−75°＝105°， 故答案为：105°． 【点睛】本题主要考查多边形内角和公式，三角形内角和定理，以及外角的平分线，根据已知条件求出∠BCD＋∠CDE的度数是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$