第4章 数列 讲义-2024-2025学年高二上学期数学沪教版（2020）选择性必修第一册

【选择性必修一：第4章数列学案】 【4.3 数列】 通用公式： 【定义比较】：集合新定义和数列新定义压轴的问题往往交织在一起，我们需要清楚辨析其概念。 数列的定义： 按一定顺序排列起来的一列数，称之为数列 应用范围：数 集合的定义：把一些确定的对象的全体叫做集合 应用范围：所有确定对象 【性质差异】：集合：无序性（元素不重复，有互异性） 数列：有序性（数字可重复，无互异性） 【数列性质】： 项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列。从第2项起，每一项都不小于其前一项的数列叫做增数列，此时（n为正整数）成立。特别地，从第2项起，每一项都大于其前一项的数列叫做严格增数列，此时。相对于地，第2项起，每一项都不大于其前一项的数列叫做减数列，此时（n为正整数）成立。特别地，从第2项起，每一项都小于其前一项的数列叫做严格减数列，此时。增数列和减数列统称为单调数列，特别地，各项均相等的数列叫做常数列。 1．从现在开始仰望数列星空吧！下列图案关于星星的数量构成一个数列，该数列的一个通项公式是（     ） A． B． C． D． 【4.1 等差数列及其通项公式】 注：所有的2级结论的前提条件是等差数列，部分2级结论属于充要条件 【定义】： 如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差。公差通常用小写字母d 表示。 【基本公式】： ①：通项公式： （可利用累加法推导） （一次函数型可判定数列等差） 【二级结论】： ①：通项公式： （推广通项公式，其中m , n均为正整数） ②：若（左右项数一致都成立） 【基本公式】： ①：求和公式： （梯形求和公式） （两个基本量求和公式） 【二级结论】： ①：抛物线求和公式：（等差数列的图像：抛物线上离散的点，一定过原点） 思考：如果数列的前n项和为，则何时该数列为等差数列？ 答案：当且仅当r =0 时成立（充要条件） 由于书本上有所出现，这些结论均可以直接使用。 【必背结论】： 对于一些常考二级结论必须掌握，其余小众结论不要过度记忆。 ①：若数列为等差数列，则 也为等差数列。 ②：若数列为等差数列，则也为等差数列。 ③：若等差数列的前n项和为则 （前奇数项求和公式） 【基本公式运用题】：夯实双基 1．在中，若角A、B、C成等差数列，则角 ． 2．若数列为等差数列，，，则 ． 4．若与a的等差中项为18，则实数a的值为 ． 5．已知等差数列，，，…， 若，则 ． 6．已知，成等差数列，则 ． 7．已知等差数列中，，那么（ ） A． B． C． D． 8． 若关于的方程与的四个根组成首项为的等差数列，则的值是 ． 9．在数列中，，若，则实数的取值范围为 ． 10．新定义：对于函数f(x)（x∈Z）上的所有因变量的值可以一同构成等差数列的函数叫做“差函数”，请你写出一条“差函数”的解析式： ． 11．已知数列，，…，，其中，，…，是首项为1，公差为1的等差数列；，，…，是公差为的等差数列；，，…，是公差为的等差数列，则的最小值为 ． 12．函数，若数列为等差数列，且等差数列的公差d为，若，则 ． 13．已知，在等差数列中，，，，求：数列的通项. 14．设等差数列的公差为，其前项和为，且满足. （1）求：的值； （2）当为何值时最大，并求出此最大值． 15．设数列{an}的前n项和为Tn （1）若对于任意正整数n，均满足：an+1=3an ，a1=1；{bn}是等差数列，Sn为前n项和，且b1=a2，b3=a1+a2+a3， 求：S10 （2）若对于任意正整数n，均满足：an+1=3Tn，数列{an}为等差数列，求：数列{an} 16．设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． （1）若，求的通项公式； （2）若为等差数列，且，求． 17．某工厂年初用98万元购买一套设备，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年收益50万元 （1）问第几年开始获利； （2）若干年后有两种处理方案：①年平均利润最大时，以26万元出售该船；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该船．问哪种方案更合算． 18．小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元.小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25-x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）. （1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？ （2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？ （利润=累积收入+销售收入-总支出） 【二级结论运用题】：根深叶茂 1．已知等差数列{an}的前9项和为T9=18，则a3+ a7=_______． 2．已知等差数列满足，则 ． 3．已知等差数列的前项和为，若则 ． 4．已知等差数列{an}满足：a2 +2a3+ a8=32，则a4= ． 5．在等差数列中，，，则 ． 6．设等差数列中，，前项和为，则 ． 7．如果一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有_______项． 8．若等差数列满足：，则的取值范围为 ． 9．已知数列的前项和，则它的通项公式 ． 10．已知等差数列{an}的前n项和为Tn=2n2+7n，则关于n的不等式：an2-(2an+1-1) an-2an+1＞0的解集为 ． 【特殊题型练】：单一知识点的中档题和压轴题（结合数列单调性和二级结论等） 1．若等差数列满足，则当 时，的前项和最大． 2．已知等差数列的前n项和为，，，则当取得最大值时，n的值为________． 3． 若是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最大自然数是（     ） A．2021 B．2022 C．4042 D．4043 4．等差数列中，已知，且，则数列的前项和中最小的是（      ） A．或 B． C． D． 5．等差数列的前项和分别是，若，则 ． 【4.2 等比数列及其通项公式】 注：所有的2级结论的前提条件是等比数列，部分二级结论属于充要条件 【定义】：如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项的比都等于同一个非零常数，这个数列就叫做等比数列，而这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用小写字母q（q≠0）表示 【性质】：如果三个数成等比数列，那么等比中项的平方必等于其前后两项的积 【基本公式】： ①：通项公式： （可利用累加法推导） ②：求和公式： ③：极限求和公式（所有项的和，各项和）： 【二级结论】： 若数列为等比数列的前n项和为， 所以，形如等比数列的前n项和为 （充要条件） 特别注意：等比数列的公式记忆特别要关注公比q的幂，如：， 等。 【必背结论】： 对于一些常考二级结论必须掌握，其余小众结论不要过度记忆。 ①：若数列为等比数列，则也为等比数列。 ②：若（左右项数一致都成立） 对于结论②，我们可以用口诀：等差数列等和性，等比数列等积性来记忆。 【基本公式运用题】：夯实双基 1．若，，2成等比数列，则 ． 2．小数化分数：= ． 0.23232323…= ． 0.41313131313…= ． 3．等比数列中，且，则公比为 ． 4．在等比数列中，已知，，则公比 ． 5．若，，，成等比数列，且，，则公比 . 6．在等比数列中，其前n项和为，若，，则 ． 7．设公比为2的等比数列的前项和为，若，则 ． 8．在数列中，，，则 ． 9．已知等比数列满足，，则 ．（小众结论，了解即可） 10．已知正项等比数列{an}的前n项和为Tn，若a4a8=2a10，则T3的最小值为 ． 11．计算： ． ． 12．设数列为无穷等比数列，，且，则数列的公比 ． 13．已知数列的通项公式为，则 ． 14．无穷等比数列的前n项和为，且，则首项的取值范围是 ． 15．设无穷数列的前项和为．若，则 ． 16．已知数列为无穷等比数列，若，则的取值范围为 ． 17．如图是一块半径为1的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形、、……、…，设纸板的面积的大小为，则 ． 18．设是公比为的无穷等比数列，为其前项和．若，则“”是“数列存在最小项”的（     ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 19．已知等比数列的首项，公比为，前项和为，则“”是“”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 20．平面螺旋是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案，如图（1）.它的画法是这样的：正方形的边长为4，取正方形各边的四等分点作第二个正方形，然后再取正方形各边的四等分点作第三个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，设正方形边长为，后续各正方形边长依次为；如图（2）阴影部分，设直角三角形面积为，后续各直角三角形面积依次为，.则下列判断中不正确的是（    ） A．数列是以4为首项，为公比的等比数列 B．从正方形开始，连续3个正方形的面积之和为32 C．使得不等式成立的的最大值为 D．数列的前项和 21．已知等比数列的前项和为，若，公比. （1）求：数列的通项公式； （2）求：数列{an2}所有项的和：； 【二级结论运用题】：根深叶茂 1．已知等比数列的前项和，则 ． 2．若正项等比数列满足：，则的最大值为 ． 3．已知正项等比数列{an}满足a2a4+ a4a6+2a3a5=25，则a3+a5= ． 4．在由正数组成的等比数列 中，若 ，= ． 【等差等和数列混合运用题】：涉及两个数列的性质，不在单一考一个知识点，属于正常考试题难度 1．若依次成等差数列的三个实数a，b，c之和为12，而a，b，又依次成等比数列，则a＝ ． 2．已知等差数列的公差不为零，若，，成等比数列，则这个等比数列的公比为 ． 3．已知等比数列是严格减数列，其前n项和为，，若，，成等差数列，则 ． 4．等差数列中，，若，则 ． 5．设等差数列的公差不为零，若是与的等比中项，则 ． 6．在等差数列中，若，，则．类比此性质，在等比数列中，，，可得、、、之间的一个不等关系为 ． 7．下面关于等差､等比数列的说法正确的是（    ） A．前项和的数列是等差数列 B．证明数列是等比数列时，只需证明 C．若是等差数列，则也一定成等差数列 D． 8．若不为1的正数a，b，c依次成公比大于1的等比数列，则当时，，，（    ）． A．依次成等差数列 B．依次成等比数列 C．各项的倒数依次成等差数列 D．各项的倒数依次成等比数列 9．对于不为常数数列的无穷数列，其中，设其前项的和为，若满足；对任意的正整数，均存在正整数，使得成立，则称为“可控数列”．现给出下列两个命题： （1）存在等差数列为“可控数列”； （2）存在等比数列为“可控数列”．则下列说法正确的是（    ） A．命题（1）（2）均成立 B．命题（1）成立，命题（2）不成立 C．命题（1）不成立，命题（2）成立 D．命题（1）（2）均不成立 10．已知等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列． （1）求：的通项公式； （2）计算：． 11．设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和.已知，且､构成等差数列，令. （1）求：数列的通项公式； （2）令，求：数列的前项和． 12．已知是等差数列，是等比数列，且，，，. （1）求：的通项公式； （2）设，求：数列的前2n项和． 13．设数列的前项和为．已知，且． （1）求：数列的通项公式； （2）若是公比为4的等比数列，且，，也是等比数列．设，若数列是严格减数列，求的取值范围． 【4.4 数学归纳法】 注：在现行高考下，几乎不会再考察数学归纳法的证明 （特别地，仅本讲义中所有的 N* 表示正整数，请不要在正规考试使用） 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： （1）证明当n取第一个值n0（n0为正整数时）命题成立 （注释：证明逻辑开头） （2）假设n=k （k≥n0，k为正整数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立 （注释：证明逻辑递推关系） 那么，命题对于从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法叫做数学归纳法 数学归纳法是证明有关正整数命题的一种方法。步骤（1）是命题论证的基础，而步骤（2）是判断命题的正确性能否递推下去的保证，这两个步骤缺一不可 （总结口诀：算凑猜证，两步一结论） 【二级结论】： ①：连续正整数平方的和：Tn ②：连续正整数立方的和：13+23+…+n3=[]2=(1+2+…+n)2 均为平方数 【基本定义运用题】： 1．用数学归纳法证明等式的过程中，从到时，等式左边所需添加的项是（     ） A． B． C． D． 2．用数学归纳法证明“对任意偶数，能被整除时，其第二步论证应该是（     ） A．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 B．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 C．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 D．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 3．记，在用数学归纳法证明对于任意正整数，的过程中，从到时，不等式左边的比增加了 项。 【二级结论运用题】： 马建斌老师的评价：这题目简直是仙女下凡 （请在学有余力的情况下尝试） 1．数学的浪漫难以言表，今年是2025年，2025=452，2025=13+23+43+53+63+73+83+93，我们将可以表示成某个整数的平方且可以表示为连续正整数的立方和的年份成为“完美平方年”，小张同学想给下一个完美平方年的人写一封信，则标题可起为______年之约。 2．设函数y＝f（x）对任意实数x，yZ都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2xy （1）若 f（1）=1，猜想f（x）的函数解析式，并用数学归纳法对其进行证明； （2）设（1）中函数f（x）值域中所有正值从小到大依次排列的数列为{an}，设{an}的前n项和为Tn，小张同学猜想：Tn，请你运用数学归纳法对其进行证明； （3）设f（1）=a，若f（x）在区间[2024, 2025]上严格递增，求：a的取值范围． 【特殊法求通项公式与求和类】： 构造法（整体法） 累加法 累乘法 裂项相消法 错位相减法 【构造法（整体法）】：题型1：题目的提示构造（1~2题） 题型2：敏锐的观察力（注意到）（压轴题3~5题） 1．已知数列中，，，则通项公式 ． 2．已知为正项数列的前n项和，且，当时，. （1）证明为等差数列，并求的通项公式； （2）若，求：数列的前项和. 3．等比数列的首项，公比为，数列满足（是正整数），若当且仅当时，的前项和取得最大值，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知点是函数（且）的图象上一点,等比数列的前项和为,数列的首项为,且前项和满足． （1）求：数列和的通项公式； （2）若数列前项和为,问使得成立的最小正整数是多少？ 5．已知数列和满足，，，成立 （1）求：和的通项公式 （2）设，，求证：. （3）令，求：数列的前项和的通项公式，并直接写出数列的最大值、最小值，并指出分别是第几项. 注意：利用错位相减法和裂项相消法的题目一定是求和 【错位相减法】：使用标志：出现“等差乘等比” 二级结论：爱奇艺公式 【爱奇艺公式】：若，则的其前n项和，其中， 1．已知数列，求其前n项和 2．已知数列，求其前n项和 3．已知函数的所有正数零点构成递增数列． （1）求：数列的通项公式； （2）设，求：数列的前n项和． 4．已知等比数列的前项和，且． （1）求：等比数列的通项公式； （2）若，求：数列的前项和． 5．已知数列是各项均为正数的等比数列,且. （1）求：数列通项公式； （2）数列为各项非零的等差数列,其前n项和，已知,求数列的前n项和. 【裂项相消法】：对于常见裂项相消法的标志要有所了解： ①： ②： ③： ④： ⑤： ⑥： 1．在数列中，已知，且，则 ． 2．已知数列的通项公式为，其前项和为，则在数列，…，S2024中，有理数项的个数有______个． 3．已知数列满足 ，数列的前项和为，则 ． 4．已知函数；在数列中，，，记数列的前项积为，数列的前项和为，则的取值范围为 ． 5．设数列的前项和为，已知，数列是以为公差的等差数列. （1）求：数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：. 6．在数列中，已知． （1）求：的通项公式；（构造法，题型1：题目提示构造） （2）计算：． 7．已知数列为等比数列，且， （1）求：数列的通项公式与前项和公式 （2）若， 数列 的前项和为，求：使得成立时的取值集合. 8．已知等差数列和等比数列满足. （1）求：数列和的通项公式； （2）记，求：数列的前项和. 【累加法，累乘法】：累加法和累乘法主要利用等差，等比数列的求和，如果有敏锐观察力，往往也可用构造法 基础累加： 中档累加： 【使用标志】：使用累加法，遇到：，两边同除后使用累加法 1．已知an+1- 3an=2n，a1=1，则数列{an}的通项公式为 ． 2．已知an+1=，a1=1，则数列{an}的通项公式为 ． 3．已知数列的前项和为，，其中是正整数． （1）求：的通项公式； （2）数列满足，且，，求：数列的前项和． 4．已知中，，．是的前项和． （1）求：的通项公式； （2）求：的取值范围； （3），，求：的通项公式. 5．数列满足：，，等比数列的前项和为，. （1）求：数列，的通项公式； （2）若数列的前项和为，求：. 6．已知数列的前项和为. （1）求：数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：． 【数列压轴题】：题型1：数列新定义 题型2：正常数列（难度较大，涉及数学归纳法） 1．新定义：若数列满足条件：存在正整数，使得对一切，都成立，则称数列为级等差数列． （1）若数列为1级等差数列，，，求：数列的前项和； （2）已知数列为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，求：数列的前2025项和S2025； （3）若（为常数），且是3级等差数列，求：所有可能值的集合． 2．已知数列{bn}是等差数列，设{bn}的公差为d，前n项和为Tn，b1＜10，T10=145 （1）若b1，，求：数列{|an|}的前n项和An （2）若数列{bn}中的任意项bn均为正整数，无穷等比数列{cn}满足c1=b1，公比q，求：数列{cn}中所有项的和 （3）在（2）的条件下，设数列{an}的通项公式为an（其中a＞0且a≠1），设数列{an}的前n项和为Sn，试比较Sn与的大小，并证明你的结论 学科网（北京）股份有限公司 $$