河北省沧州市盐山中学2024-2025学年高三下学期5月第二次模拟考试数学试题

盐山中学2025届5月第二次模拟考试 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，为异面直线，平面，平面若直线满足，，，，则(    ) A. ， B. 与相交，且交线平行于 C. ， D. 与相交，且交线垂直于 2.记为等比数列的前项和，若，，则(    ) A. B. C. D. 3.设函数，则(    ) A. 是奇函数，且在单调递增 B. 是奇函数，且在单调递减 C. 是偶函数，且在单调递增 D. 是偶函数，且在单调递减 4.用二分法研究函数的零点时，若零点所在的初始区间为，则下一个有解区间为(    ) A. B. C. D. 5.已知实数，，满足，，则的最大值是(    ) A. B. C. D. 6.第九届亚冬会在哈尔滨举行，参加自由式滑雪女子大跳台决赛的六位选手的得分下：，，，，，，则该组数据的第百分位数为(    ) A. B. C. D. 7.已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过的直线交于，两点若，则(    ) A. B. C. D. 8.设函数的定义域为，是的极大值点，则(    ) A. 是的极小值点 B. 是的极大值点 C. 是的极小值点 D. 是的极大值点 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.欧拉公式本题中为自然对数的底数，为虚数单位是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”依据欧拉公式，则下列结论中正确的是       ． A. 复数为纯虚数 B. 复数对应的点位于第二象限 C. 复数的共轭复数为 D. 复数在复平面内对应的点的轨迹是圆 10.下列命题中，正确的是(    ) A. 在中，若，则 B. 在锐角三角形中，不等式恒成立 C. 在中，若，则必是等腰直角三角形 D. 在中，若，，则必是等边三角形 11.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，设直线为抛物线在点处的切线，过点作的垂线交抛物线于另一点，若，则下列说法正确的是(    ) A. B. 直线的斜率为 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.如图，一只蚂蚁位于点处，去搬运位于处的糖块，的最短路线有          条． 13.已知，则          ． 14.已知函数为自然对数的底数，若关于的方程有且仅有四个不同的解，则实数的取值范围是          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.分 已知，，分别为三个内角，，的对边，向量，，，． 求 若，，求的面积． 16.分 已知函数 当时，求曲线在点处的切线方程 设函数的最小值是，求实数的值． 17.分 在等比数列中，，． 求数列的通项公式； 若，求数列的前项和． 18.分 已知双曲线，点到的两条渐近线距离之比为，过点的直线与交于两点，且当的斜率为时，． 求的方程； 若点都在的右支上，且与轴交于点，设，求的取值范围． 19.分 如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，底面为等边三角形，平面平面，点满足，点为棱上的动点含端点． 当与重合时，证明：平面平面； 是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 答案和解析 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.  9. 10. 11.  【解析】解：抛物线方程为，焦点，点在抛物线上，满足， 由抛物线定义，焦点到点的距离为， 故有：，故A错误； 抛物线方程为，在点处的切线斜率为，垂线斜率为， 直线的斜率为垂线斜率，故为，故B正确； 联立垂线方程与抛物线，解得：，故C正确； ， 所以，累加得， 又，所以， 所以，故D正确． 故选：． 12.  13.  14.  解：设，则，所以函数为偶函数， 又，则，所以当时，有两个零点， 且当时，，则， 令，令， 则，所以函数在上单调递增． 下面讨论直线与函数图象相切的情况， 设切点为， 则曲线在处的切线方程为，即， 有，解得   由图可知，当时，直线与函数图象在上有个交点， 即函数在上有个零点，所以实数得取值范围为． 故答案为． 15.解： 由正弦定理得，， 化简得， 即， ，， ，即， 又，， 故A，即； ， ， ， 又，，，即， ， ， 或舍， 故．  16.解：当时，，． ，， 曲线在点处的切线方程为， 即； ，， 当时，，在上单调递减，此时无最值； 当时，令，得， 当时，；当时，． 在上单调递减，在上单调递增， 的最小值为，则， ， 综上，时函数的最小值是．  17.解：等比数列中，，， 设公比为，则， 解得， 则； 数列， 则， ， 得：， 解得． 故数列的前项和为．  18.解：双曲线的渐近线方程为， 由已知得， 解得或， 斜率为时可得直线方程为：，代入双曲线方程可得：， ， 若，则可求得， 若，则代入得无实数解， ，的方程为； 设点， 由可得， 故：，代入双曲线方程得：， 同理，代入双曲线方程得：， 是一元二次方程的两个解， ， 由题意可知，直线有斜率，设直线斜率为，则直线方程为：， 与双曲线联立得：， 由直线与双曲线交于右支得： 解得：或， 又， 由于或，故或， ．   19.解： 如图，取中点，连接， 因为侧面为菱形，， 所以， 又因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又因为为的中点，所以四边形为平行四边形，所以， 所以平面，又平面，所以平面平面；   连接，因为为等边三角形，则， 所以两两垂直，则以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示： 令三棱柱的棱长为，所以， 故， ， 又，所以， 设，， 则， 即； 又， 设平面的法向量为， 则则，取，则， 故平面的法向量可为， 又，设直线与平面所成角为， 由题可得，即， 整理得：，解得， 故当时，直线与平面所成角的正弦值为．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$