精品解析：辽宁省铁岭市开原市2024—2025学年八年级下学期5月期中数学试题

2024—2025学年度下学期随堂练习 八 年 数 学 (三) 北师大 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求) 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的性质，即可判断出． 【详解】解：A．此图形旋转180°后不能与原图形重合，则此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．此图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．此图形旋转180°后不能与原图形重合，则此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．此图形旋转180°后能与原图形重合，则此图形是中心对称图形，且是轴对称图形，故此选项正确． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形以及轴对称图形的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键． 2. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】题目主要考查因式分解的判断及应用提公因式法与公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 根据因式分解的方法，提公因式法及公式法依次进行计算判断即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、不能进行因式分解，选项错误，不符合题意； C、不能进行因式分解，选项错误，不符合题意； D、，选项正确，符合题意； 故选：D． 3. 如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称的性质及两点之间线段最短即可得出结论． 【详解】解：作点M关于直线l对称点，连接交直线l于点Q，则，由两点之间线段最短可知，此时管道长度最短． 故选：B． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解题的关键． 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若A、B关于直线对称，则垂直平分 B. 两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧 C. 成中心对称的两个图形中，对称点的连线被对称轴垂直平分 D. 中心对称图形绕对称中心旋转后能与自身重合 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称和中心对称的定义，根据轴对称和中心对称的定义逐项分析即可得解，熟练掌握轴对称和中心对称的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、若A、B关于直线对称，则垂直平分，故原说法错误，不符合题意； B、两个图形关于某直线对称，则这两个图形不一定分别位于这条直线的两侧，故原说法错误，不符合题意； C、成轴对称的两个图形中，对称点的连线被对称轴垂直平分，故原说法错误，不符合题意； D、中心对称图形绕对称中心旋转后能与自身重合，故原说法正确，符合题意； 故选：D． 5. 若点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据点所在的象限，求参数的范围，在数轴上表示不等式的解集，先根据第一象限内点的符号特征，列出不等式组，求出不等式组的解集，进而在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：∵点在第一象限， ∴，解得：， 数轴表示如图： 故选：D． 6. 如图，在中，，，将绕点旋转到的位置，使得，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质及平行线的性质，利用三角形内角和定理先求出，由旋转的性质得到，，，再根据平行线的性质推出，进而求出，，由三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由旋转的性质得，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图，为的角平分线，于点，，，则的面积是（ ） A. 5 B. 7 C. 7．5 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】过点D作DF⊥AB，垂足为F，由角平分线的性质，得，然后求出的面积即可． 【详解】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，如图： ∵为的角平分线，于点， ∴， ∴的面积为：； 故选：A 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，解题的关键是正确的作出辅助线，从而进行计算． 8. 清明节期间，枣庄某中学组织八年级同学到劳动教育基地参加实践活动，某小组任务是平整土地．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整完，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时，若他们在剩余时间内每小时平整土地，则x满足的不等关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列一元一次不等式的应用，因为他们在剩余时间内每小时平整土地，再根据“某小组的任务是平整土地．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整完，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时，”进行列式，即可作答． 【详解】解：∵他们在剩余时间内每小时平整土地，且他们在剩余时间内每小时平整土地， ∴则x满足的不等关系为， 故选：A． 9. 如图，、分别是的高线、中线，，，．则长为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线，高线，直角三角形的性质，勾股定理，先根据三角形高的定义结合，利用直角三角形两锐角互余，求出，利用直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半得到，再利用勾股定理求出，进而得到，求出，最后利用中线的定义求出，由即可求解． 【详解】解：∵是的高线， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴． 故选：B． 10. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．例如：，所以4，12，20都是“神秘数”．下面各个数中，是“神秘数”的是（ ） A. 60 B. 62 C. 66 D. 88 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是正确解答此题的关键． 利用“神秘数”的定义判断即可． 【详解】解：， 60是“神秘数”， 62、66、88不能表示为两个连续偶数的平方差， 故选：A． 二．填空题(共5小题，满分15分，每小题3分) 11. 若，，则的值是______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查代数式求值．熟练掌握因式分解，在已知代数式值的前提下求代数式值的方法步骤，是解决问题的关键． 将，再将，代入求值即可得到答案． 【详解】∵，， ∴． 故答案为：15． 12. 对于实数m， n定义一种新运算“※”为， 例如，若，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算、解一元一次不等式组，由新定义运算得出，结合题意得出，解不等式组即可得解． 【详解】解：由题意可得：， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 已知，，，把绕点C逆时针旋转至处，此时，的大小为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理和外角的性质，平行的性质，旋转的性质，掌握旋转的性质是解题关键．由三角形内角和定理可得，再根据两直线平行配套同旁内角互补求出，由旋转的性质可知，，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， 由旋转的性质可知，， ， 故答案为：． 14. 如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是________． 【答案】##25度 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质．先根据等边对等角求出，再由三角形外角性质求得，最后由三角形外角性质列式计算即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，即． 故答案为：． 15. 如图，在中，平分，，的面积为45，的面积为20，则的面积等于______． 【答案】25 【解析】 【分析】延长交于，由证明，得出，得出，，即可得出答案． 【详解】解：延长交于，如下图， ∵平分，垂直于， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：25． 【点睛】本题主要考查了角平分线、全等三角形的判定与性质、三角形面积的计算等知识，证明三角形全等得出是解题的关键． 三．解答题(共8 小题，满分75分) 16. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键： （1）先提公因式，再用完全平方公式法进行因式分解即可； （2）先提公因式，再用平方差公式法进行因式分解即可； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】；1，2，3 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式组的解集，分别求两个不等式的解集，再找不等式组的解集，即可得到整数解． 【详解】解：： 解①式得：， 解②式得：， 则不等式组的解集为：， 则它的整数解为：1，2，3． 18. 如图，在边长为1个单位长度的网格中，各顶点都在格点上，已知点A的坐标为．按要求完成下列各题： （1）将先向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，请画出平移后的，并直接写出的坐标； （2）若与关于某点成中心对称，且点 A 的对应点的坐标为，请直接写出对称中心的坐标，并画出； （3）能否由经旋转得到？若可以，请直接指出旋转中心及旋转角的度数；若不能，请说明理由． 【答案】（1）图形见解析，点； （2）对称中心为，图形见解析； （3）能，旋转中心的坐标为，旋转角为． 【解析】 【分析】本题考查了作图—平移变换、中心对称性质、旋转的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据平移的性质作图即可，再根据图形写出点的坐标； （2）先求出对称中心的坐标，再画出图形即可； （3）根据对应点连线的交点即为旋转中心即可得解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作，点； 【小问2详解】 解：∵点 A 的对应点的坐标为， ∴对称中心为，即，画出如图所示； 【小问3详解】 解：能，如图所示，连接、，、交于点，由图可得旋转中心坐标为，旋转角为． 19. 如图，在中，，，为延长线上一点，点在上，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． （1）根据可证明，从而得出答案； （2）由全等三角形的性质得出，则可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ， ， ． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 又∵， 由（1）知：， ∴， ∴． 20. 某中学组织学生到A场馆开展社会实践活动，其收费标准为：学生60元/人，教师100 元/人．现有两种优惠方案： 方案一： 买一张教师票送一张学生票； 方案二：对于超过48人 (含48人)的团体票价享受9折优惠． 小明所在队伍共有50人，其中带队教师x人． （1）若按方案一购票，售票处共收取了2940元，求带队教师的人数； （2）在优惠方案中，若按方案二购票更划算，则该队伍中的带队教师最多有多少人？ 【答案】（1）带队教师的人数为3人； （2）该队伍中的带队教师最多有5人． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出二元一次方程组以及一元一次不等式是解此题的关键． （1）设学生有y人，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）根据题意列出一元一次不等式，解不等式结合题意即可得解． 【小问1详解】 解：设学生有y人， 由题意得： 解得：， 答：带队教师的人数为3人； 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴的最大值为5， 答：该队伍中的带队教师最多有5人． 21. 若一个整数M能分成两个连续整数的平方和，那么我们称这个整数M为“连续平方和数”． 如：，，25和 5 都是“连续平方和数”． （1）举例说明，当M为13时，M是哪两个数的“连续平方和数”； （2）求证：任意整数 M(连续平方和数)为奇数． 【答案】（1）当M为13时，M是2和3的“连续平方和数” （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方、完全平方公式的应用，正确理解“连续平方和数”的定义是解答此题的关键． （1）根据结合“连续平方和数”的定义解答即可； （2）设两个连续整数分别为、，表示出，结合是偶数判断即可得解． 【小问1详解】 解：因为， 所以当M为13时，M是2和3的“连续平方和数”； 【小问2详解】 证明：设两个连续整数分别为：、， ， 因为是偶数， 所以是奇数， 所以任意整数M（连续平方和数）为奇数． 22. 我们曾研究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】： （1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是__________． （2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为__________；不等式的解集是__________． 【拓展延伸】： （3）如图3，一次函数和的图象相交于点，分别与轴相交于点和点． ①结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是__________． ②若在图像上有一动点，是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）， （3）① ②存在，或或或 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到直角三角形的性质、解不等式，等腰三角形的定义，数形结合和分类求解是解题的关键． （1）观察图象即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）①观察函数图象知，符合条件的点在点、之间，即可求解； ②分三种情况：当时， 当时， 当时，分别 求解即可． 【详解】解：（1）观察图象知，不等式的解集是， （2）观察函数图象知，两直线的交点坐标为：，不等式的解是 （3）①观察函数图象知，符合条件的点在点、之间， 联立两个一次函数得：， 解得：，即点， 令，则，即点； 故不等式组的解集为； ②存在，理由： 令，则，解得：， ∴ ∵ ∴ 设点， ∴，， 分三种情况：I）当时， ∴ 解得： ∴或， II）当时， ∴ 解得：，（舍去） ∴ III）当时，过点P作轴于D， ∴， ∴ ∴， ∴ 综上，或或或． 23. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，若，在纸片绕点A 旋转过程中，直线与，分别交于点 F，点 M，求证∶． 【深入探究】 （2）如图2，在(1)的条件下，在纸片绕点A 旋转过程中，若，求的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点 A 旋转过程中，试探究 C，D，E三点能否构成直角三角形，且，若能，直接写出直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）面积为16或64． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）证明，即可得解； （2）证明，同理可得，由勾股定理可得， 设，，则，，，，结合，得出，求解即可； （3）分两种情况：当在上时；当在的延长线上时；分别利用旋转的性质和三角形面积公式计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理， 在中，，， ∴， 设，，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； （3）当在上时，，此时是直角三角形，如图： ， 由旋转的性质可得：，， ∴此时； 当在的延长线上时，，此时是直角三角形，如图： ， 由旋转的性质可得：，， ∴此时 综上所述，的面积为16或64． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度下学期随堂练习 八 年 数 学 (三) 北师大 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求) 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（ ） A B. C. D. 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若A、B关于直线对称，则垂直平分 B. 两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧 C. 成中心对称的两个图形中，对称点的连线被对称轴垂直平分 D. 中心对称图形绕对称中心旋转后能与自身重合 5. 若点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，将绕点旋转到的位置，使得，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为的角平分线，于点，，，则的面积是（ ） A. 5 B. 7 C. 7．5 D. 10 8. 清明节期间，枣庄某中学组织八年级同学到劳动教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整完，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时，若他们在剩余时间内每小时平整土地，则x满足的不等关系为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，、分别是的高线、中线，，，．则长为（ ） A. B. C. D. 1 10. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．例如：，所以4，12，20都是“神秘数”．下面各个数中，是“神秘数”的是（ ） A 60 B. 62 C. 66 D. 88 二．填空题(共5小题，满分15分，每小题3分) 11. 若，，则的值是______． 12. 对于实数m， n定义一种新运算“※”为， 例如，若，则x的取值范围是______． 13. 已知，，，把绕点C逆时针旋转至处，此时，的大小为________． 14. 如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是________． 15. 如图，在中，平分，，的面积为45，的面积为20，则的面积等于______． 三．解答题(共8 小题，满分75分) 16. 分解因式： （1）； （2）． 17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 18. 如图，在边长为1个单位长度的网格中，各顶点都在格点上，已知点A的坐标为．按要求完成下列各题： （1）将先向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，请画出平移后的，并直接写出的坐标； （2）若与关于某点成中心对称，且点 A 的对应点的坐标为，请直接写出对称中心的坐标，并画出； （3）能否由经旋转得到？若可以，请直接指出旋转中心及旋转角度数；若不能，请说明理由． 19. 如图，在中，，，为延长线上一点，点在上，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 20. 某中学组织学生到A场馆开展社会实践活动，其收费标准为：学生60元/人，教师100 元/人．现有两种优惠方案： 方案一： 买一张教师票送一张学生票； 方案二：对于超过48人 (含48人)的团体票价享受9折优惠． 小明所在队伍共有50人，其中带队教师x人． （1）若按方案一购票，售票处共收取了2940元，求带队教师的人数； （2）在优惠方案中，若按方案二购票更划算，则该队伍中带队教师最多有多少人？ 21. 若一个整数M能分成两个连续整数的平方和，那么我们称这个整数M为“连续平方和数”． 如：，，25和 5 都是“连续平方和数”． （1）举例说明，当M为13时，M是哪两个数的“连续平方和数”； （2）求证：任意整数 M(连续平方和数)为奇数． 22. 我们曾研究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】： （1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是__________． （2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为__________；不等式的解集是__________． 【拓展延伸】： （3）如图3，一次函数和的图象相交于点，分别与轴相交于点和点． ①结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是__________． ②若在图像上有一动点，是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 23. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，若，在纸片绕点A 旋转过程中，直线与，分别交于点 F，点 M，求证∶． 【深入探究】 （2）如图2，在(1)的条件下，在纸片绕点A 旋转过程中，若，求的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点 A 旋转过程中，试探究 C，D，E三点能否构成直角三角形，且，若能，直接写出直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$