清单01 任意角和弧度制及任意角的三角函数（考点清单，知识导图+9个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（人教B版2019）

清单01 任意角和弧度制及任意角的三角函数 清单01 任意角 1.任意角 （1）角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． （2）角的表示 如图，射线的端点是圆心，它从起始位置按逆时针方向旋转到终止位置，形成一个角，射线分别是角的始边和终边． “角”或“”可以简记成“”． （3）角的分类 类型 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 如果一条射线没有作任何旋转，就称它形成了一个零角 （4）相等角与相反角 ①设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称. ②我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角的相反角记为. ③设是任意两个角．我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是. ④角的减法可以转化为角的加法． 2．象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 3．终边相同的角 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和． 温馨提示：（1）为任意角，“”这一条件不能漏； （2）与中间用“”连接，如可理解成． 清单02 弧度制 1．角的单位制 （1）角度制：规定1度的角等于周角的，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． （2）弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度． 2．角度与弧度的换算 角度化弧度 弧度化角度 度数弧度数 弧度数度数 清单03 扇形的弧长公式及面积公式 弧长公式 面积公式 角度制 弧度制 温馨提示：（1）运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是为弧度制． （2）在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用： ① 清单04 三角函数的概念 1．任意角的三角函数的定义 前提 如图，设是一个任意角，，它的终边与单位圆交于点 定义 正弦 点的纵坐标叫做的正弦，记作，即 余弦 点的横坐标叫做的正弦，记作，即 正切 把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即 三角 函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，记为 正弦函数；余弦函数 正切函数 温馨提示：（1）在任意角的三角函数的定义中，应该明确是一个任意角． （2）三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和所在终边上的位置无关，而由角的终边位置决定． 2．三角函数值的符号 如图所示： 正弦：一二象限正，三四象限负； 余弦：一四象限正，二三象限负； 正切：一三象限正，二四象限负． 简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦 清单05 特殊的三角函数值 角度 弧度 正弦值 余弦值 正切值 清单06 同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系:. （2）商数关系:. 这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角的正切. 温馨提示:(1)注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)都成立,即与角的表达形式无关,如成立,但是就不一定成立. （3）是的简写,读作“的平方”,不能将写成,前者是的正弦的平方,后者是的正弦. （4）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的,对一切恒成立,而仅对成立. 清单07 三角函数的诱导公式 诱导公式一：，，，其中 诱导公式二：，，，其中 诱导公式三：，，，其中 诱导公式四：，，，，其中 知识点诠释：（1）要化的角的形式为（为常整数）； （2）记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”； （3）必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”； （4）；． 【考点题型一】象限角、区域角（） 【例1】若角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则集合中的角的终边在图中的位置（阴影部分）是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】的终边在第 象限． 【变式1-2】用角度表示出第一、三象限的角平分线上角的集合为 . 【变式1-3】集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（      ） A． B． C． D． 【变式1-4】如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ）    A． B． C． D． 【考点题型二】确定或终边所在的象限（） 【例2】已知为第三象限角，则所在的象限是（    ） A．第一或第三象限 B．第二或第三象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 【变式2-1】在第一象限，则在第 象限. 【变式2-2】如果是第三象限的角，角终边所在的位置是 ． 【变式2-3】已知是钝角三角形中最大的角，则是（   ） A．第一象限角 B．第三象限角 C．第四象限角 D．小于的正角 【变式2-4】若，，试确定是第几象限角． 【考点题型三】扇形弧长与面积的计算（） 【例3】一个扇形的弧长和面积的数值都是6，则这个扇形圆心角的弧度数为（   ） A． B．2 C．3 D． 【变式3-1】已知甲同学手表的分针长2cm，把快了12分钟的该手表校准后，该手表的分针尖端所走过的弧长为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】折扇，又称“怀袖雅物”．如图，这是折扇的平面示意图，其中，，，则此扇面（扇环ABCD）的面积为 ． 【变式3-3】体育老师为了方便学生练习掷铅球，在操场上画了一块扇环形区域（图中阴影部分），其中和均以为圆心，．若，，且（表示弧长），则这块扇环形区域的面积最大值为（   ）    A． B． C． D． 【变式3-4】已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． (1)若，求扇形的弧长l； (2)若，求扇形的弧所在的弓形的面积； (3)若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【考点题型四】利用定义求三角函数值（） 【例4】在平面直角坐标系中，角与角均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于直线对称．若角的终边与单位圆交点的纵坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知点在角的终边上，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】设是第二象限角，为其终边上一点，且，则 ． 【变式4-3】已知的终边在直线（）上，则 ． 【变式4-4】如图，在平面直角坐标系中，从原点O引一条射线，设这条射线与x轴的正半轴的夹角为，若，则这条射线是 . 【考点题型五】条件等式求三角函数值（） 【例5】设，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知集合，且A=B，则（     ） A．－1 B．0 C．1 D．±1 【变式5-4】已知，其中是第三象限角. (1)化简； (2)若，求，. 【考点题型六】正余弦的齐次式（） 【例6】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知，则（   ） A． B．2 C．2或 D．不确定 【变式6-3】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若如图所示的角，且小正方形与大正方形的面积之比为，则的值为 ． 【考点题型七】、的关系（） 【例7】（多选）设，已知是方程的两根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】已知是第三象限角，则下列等式中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（多选）已知，则下列选项中正确的有（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】若，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-4】已知、是关于的方程的两根. (1)求实数的值； (2)求的值. 【考点题型八】利用诱导公式化简求值（） 【例8】已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】的值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知，则（    ） A． B． C． D．2 【变式8-3】（多选）定义：角和都是任意角，若，则称与“广义互余”．已知，下列角中，可能与角广义互余的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-4】已知，则的值为 . 【考点题型九】诱导公式中的拼凑角（） 【例9】已知则的值为 . 【变式9-1】已知，则 ． 【变式9-2】已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】已知，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-4】在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交一点. (1)求的值； (2)记点的横坐标为，若，求的值. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 任意角和弧度制及任意角的三角函数 清单01 任意角 1.任意角 （1）角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． （2）角的表示 如图，射线的端点是圆心，它从起始位置按逆时针方向旋转到终止位置，形成一个角，射线分别是角的始边和终边． “角”或“”可以简记成“”． （3）角的分类 类型 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 如果一条射线没有作任何旋转，就称它形成了一个零角 （4）相等角与相反角 ①设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称. ②我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角的相反角记为. ③设是任意两个角．我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是. ④角的减法可以转化为角的加法． 2．象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 3．终边相同的角 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和． 温馨提示：（1）为任意角，“”这一条件不能漏； （2）与中间用“”连接，如可理解成． 清单02 弧度制 1．角的单位制 （1）角度制：规定1度的角等于周角的，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． （2）弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度． 2．角度与弧度的换算 角度化弧度 弧度化角度 度数弧度数 弧度数度数 清单03 扇形的弧长公式及面积公式 弧长公式 面积公式 角度制 弧度制 温馨提示：（1）运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是为弧度制． （2）在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用： ① 清单04 三角函数的概念 1．任意角的三角函数的定义 前提 如图，设是一个任意角，，它的终边与单位圆交于点 定义 正弦 点的纵坐标叫做的正弦，记作，即 余弦 点的横坐标叫做的正弦，记作，即 正切 把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即 三角 函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，记为 正弦函数；余弦函数 正切函数 温馨提示：（1）在任意角的三角函数的定义中，应该明确是一个任意角． （2）三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和所在终边上的位置无关，而由角的终边位置决定． 2．三角函数值的符号 如图所示： 正弦：一二象限正，三四象限负； 余弦：一四象限正，二三象限负； 正切：一三象限正，二四象限负． 简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦 清单05 特殊的三角函数值 角度 弧度 正弦值 余弦值 正切值 清单06 同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系:. （2）商数关系:. 这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角的正切. 温馨提示:(1)注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)都成立,即与角的表达形式无关,如成立,但是就不一定成立. （3）是的简写,读作“的平方”,不能将写成,前者是的正弦的平方,后者是的正弦. （4）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的,对一切恒成立,而仅对成立. 清单07 三角函数的诱导公式 诱导公式一：，，，其中 诱导公式二：，，，其中 诱导公式三：，，，其中 诱导公式四：，，，，其中 知识点诠释：（1）要化的角的形式为（为常整数）； （2）记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”； （3）必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”； （4）；． 【考点题型一】象限角、区域角（） 【例1】若角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则集合中的角的终边在图中的位置（阴影部分）是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当为偶数时，设，则有，角的终边在介于角终边所在的区域内； 当为奇数时，设，则有，角的终边在介于角终边所在的区域内． 故选：C． 【变式1-1】的终边在第 象限． 【答案】三 【详解】因为，所以与终边相同， 故的终边在第三象限. 故答案为：三 【变式1-2】用角度表示出第一、三象限的角平分线上角的集合为 . 【答案】 【详解】因为第一象限的角平分线上的角的集合为， 第三象限的角平分线上的角的集合为， 所以第一、三象限的角平分线上角的集合为. 故答案为：. 【变式1-3】集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合中， 当为偶数时，此集合与表示终边相同的角，位于第一象限； 当为奇数时，此集合与表示终边相同的角，位于第三象限. 所以集合中角表示的范围为选项B中阴影所示. 故选：B. 【变式1-4】如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】阴影部分表示的集合是. 故选：C 【考点题型二】确定或终边所在的象限（） 【例2】已知为第三象限角，则所在的象限是（    ） A．第一或第三象限 B．第二或第三象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 【答案】C 【详解】由为第三象限角，得, 则, 当，此时在第二象限； 当，此时在第四象限. 故是第二或第四象限角. 故选：C. 【变式2-1】在第一象限，则在第 象限. 【答案】第一或第二或者y轴正半轴 【详解】因为在第一象限，所以， 则，故第一或第二象限或者y轴正半轴. 故答案为：第一或第二或者y轴正半轴. 【变式2-2】如果是第三象限的角，角终边所在的位置是 ． 【答案】第一、三、四象限 【详解】因为，所以． 当时，； 当时，； 当时，． 综上，的终边在第一、三，四象限． 故答案为：第一、三、四象限 【变式2-3】已知是钝角三角形中最大的角，则是（   ） A．第一象限角 B．第三象限角 C．第四象限角 D．小于的正角 【答案】A 【详解】因为是钝角三角形中最大的角，所以， 则，故是第一象限角． 故选：A 【变式2-4】若，，试确定是第几象限角． 【答案】为第一象限角 【详解】由得：， 为第一象限角． 【考点题型三】扇形弧长与面积的计算（） 【例3】一个扇形的弧长和面积的数值都是6，则这个扇形圆心角的弧度数为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【详解】设扇形的圆心角为，半径为， 由题意，弧长，面积， 由，则，即， 则. 故选：C. 【变式3-1】已知甲同学手表的分针长2cm，把快了12分钟的该手表校准后，该手表的分针尖端所走过的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】手表分针转动的弧度数为：， 又分针长2cm，所以分针尖端所走过的弧长为：. 故选：B 【变式3-2】折扇，又称“怀袖雅物”．如图，这是折扇的平面示意图，其中，，，则此扇面（扇环ABCD）的面积为 ． 【答案】 【详解】设，已知扇形的面积，扇形的面积，所以扇面的面积为. 故答案为：. 【变式3-3】体育老师为了方便学生练习掷铅球，在操场上画了一块扇环形区域（图中阴影部分），其中和均以为圆心，．若，，且（表示弧长），则这块扇环形区域的面积最大值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由扇形弧长公式可得， 即， 又， 所以 ， 所以当时，最大为， 故选：C. 【变式3-4】已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． (1)若，求扇形的弧长l； (2)若，求扇形的弧所在的弓形的面积； (3)若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）． （2）设弓形面积为．由题知． ． （3）由已知得，， 所以． 所以当时，S取得最大值， 此时． 【考点题型四】利用定义求三角函数值（） 【例4】在平面直角坐标系中，角与角均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于直线对称．若角的终边与单位圆交点的纵坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，角的终边与单位圆交点的纵坐标为，代入单位圆， 可得，或． ①若角的终边在第一象限，则， 关于对称点是角的终边与单位圆的交点， 此时； ②若角的终边在第二象限，则， 关于对称点是角的终边与单位圆的交点，， 此时． 故选：B 【变式4-1】已知点在角的终边上，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，结合，故， 故选：B 【变式4-2】设是第二象限角，为其终边上一点，且，则 ． 【答案】 【详解】由题：， 又是第二象限角，所以， 所以， 故答案为：. 【变式4-3】已知的终边在直线（）上，则 ． 【答案】 【详解】在角的终边上任取一点， 则. 故答案为：. 【变式4-4】如图，在平面直角坐标系中，从原点O引一条射线，设这条射线与x轴的正半轴的夹角为，若，则这条射线是 . 【答案】 【详解】由题意，得点，，，，则. 故答案为： 【考点题型五】条件等式求三角函数值（） 【例5】设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，显然，则， 又，所以， 即，解得或； 当时，不符合题意； 所以，则， 所以. 故选：C 【变式5-1】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，则，且， 联立方程，解得或（舍去）， 所以. 故选：A. 【变式5-2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以， 即，即， 显然，所以，则， 又，所以， 所以. 故选：D 【变式5-3】已知集合，且A=B，则（     ） A．－1 B．0 C．1 D．±1 【答案】A 【详解】因为，又即，所以， 则，又，所以， 所以. 故选：A. 【变式5-4】已知，其中是第三象限角. (1)化简； (2)若，求，. 【答案】(1)； (2)，. 【详解】（1）是第三象限角， ，，， ， ∴. （2）， ，则. 【考点题型六】正余弦的齐次式（） 【例6】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以. 因为，所以. 故选：C. 【变式6-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以. 故选：D. 【变式6-2】已知，则（   ） A． B．2 C．2或 D．不确定 【答案】B 【详解】方法一：因为且， 所以， 整理得， 所以， 所以，所以，所以． 方法二：因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以． 故答案为：2 【变式6-3】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 因为， 分子分母同时除以得：， 代入计算得：. 故选：D. 【变式6-4】《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若如图所示的角，且小正方形与大正方形的面积之比为，则的值为 ． 【答案】 【详解】大正方形的边长为，则小正方形的边长为， 故，故 所以， 故，所以， 即， 故或，因为，故， 所以， 故答案为：. 【考点题型七】、的关系（） 【例7】（多选）设，已知是方程的两根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，由，是方程的两根，则， ，即，解得， 此时，符合题意，因此，A错误； 对于B，由，，得，， ，B正确； 对于C，由选项B及已知得，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：BD 【变式7-1】已知是第三象限角，则下列等式中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以，所以， D选项正确；A，B选项错误； ，C选项错误； 故选：D. 【变式7-2】（多选）已知，则下列选项中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】将两边同时平方，整理得， 所以．故D正确． 又，所以， 所以由解得故C正确， 所以，故A，B错误． 故选：CD. 【变式7-3】若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由两边取平方，可得，解得， 则. 故选：B. 【变式7-4】已知、是关于的方程的两根. (1)求实数的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为、是关于的方程的两根， 则，解得， 由韦达定理可得，， 因为，即，解得，合乎题意， 综上所述，. （2） . 【考点题型八】利用诱导公式化简求值（） 【例8】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，故， ， . 故选：C 【变式8-1】的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知． 故选：A． 【变式8-2】已知，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】原式. 故选：C 【变式8-3】（多选）定义：角和都是任意角，若，则称与“广义互余”．已知，下列角中，可能与角广义互余的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】对于选项A：若角和广义互余，则，即． ，故A错误； 对于选项B：，解得，则，故B错误； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，即满足与广义互余，故D正确． 故选：CD 【变式8-4】已知，则的值为 . 【答案】 【详解】因为，所以. 故答案为： 【考点题型九】诱导公式中的拼凑角（） 【例9】已知则的值为 . 【答案】0 【详解】解：原式 ， 故答案为：0 【变式9-1】已知，则 ． 【答案】 【详解】． 故答案为：. 【变式9-2】已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，且， 所以，，所以 所以. 故选：B. 【变式9-3】已知，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 又 ∴， 则. 故选：D. 【变式9-4】在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交一点. (1)求的值； (2)记点的横坐标为，若，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点， 则，所以，， 原式. （2）由题意可知，，， 所以，. 20 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$