第03讲 反比例函数的应用（3个知识点+8类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（浙教版）

第03讲 反比例函数的应用 （3个知识点+8类热点题型讲练+习题巩固） 课程标准 学习目标 ①反比例函数的实际应用； 1. 掌握反比例函数的实际应用问题； 知识点01 用反比例函数解决问题的两种思路： 1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式； 2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题. 知识点02 列反比例函数解决问题的步骤： 1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式； 3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值； 4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 知识点03 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 【即学即练1】 1．已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的区间段的平均行驶速度与行驶完段所需时间是反比例函数关系，小聪的爸爸按照此规定通过该区间段的时间可能是（   ） A． B． C． D． 【即学即练2】2．一定体积的面团做成拉面，面条的总长度是面条粗细（横截面积）的反比例函数，假设其图像如图所示，则y与x之间的函数表达式为 ． 【即学即练3】 3．如图是某反比例函数图像的一支，根据图像回答下列问题： (1)举出一个合乎情理且符合图像的生活实例； (2)写出你所举的例子中两个变量的函数表达式，并指出自变量的取值范围； (3)说出图像中点A在你所举例子中的实际意义． 【即学即练4】 4．已知长方体的体积是，底面积为，高为． (1)写出y关于x的函数表达式． (2)完成下表： x … 1 2 3 4 5 6 … y … … (3)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象． 【即学即练5】 5．燃气公司要在地下修建一个容积为的圆柱形燃气储存室． (1)储存室的底面积与其深度之间的函数表达式是_______________． (2)公司决定把储存室的底面积S定为，施工队施工时应该向下掘进多少米？ (3)当施工队按（2）中的计划掘进到地下时，碰上了坚硬的岩石．为了节约资金，公司临时改变计划，把储存室的深度改为，则储存室的底面积应该改为多少才能满足需要？ 【即学即练6】 6．小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛．经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量（毫克/立方米）与时间（月）成正比例．施工结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示．请根据图中信息，回答下列问题： (1)求施工结束后关于的函数解析式； (2)已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于毫克/立方米，按照这个标准．请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？ 题型一 销售问题 1．某公司今年推出一款产品．根据市场调研，发现如下信息． 信息1：每月的销售总量y（件）和销售单价x（元/件）存在函数关系，其图象由部分双曲线和线段组成． 信息2：该产品2月份的单价为66元/件，3月份的单价降低至45元/件，在生产成本不变的情况下，这两月的销售利润相同． 根据以上信息，解答下列问题： (1)求该产品的生产成本； (2)该公司计划在4月份通过技术改造，使生产成本降低，同时继续降低销售价格，使得4月份的销售利润不低于3月份．求4月份该产品销售单价的范围． 2．某商店有一批进价为2元的练习本，此练习本的日销售单价x（元/个）与日销售量y（个）之间有如下关系： x（元/个） 3 4 5 6 y（个） 20 15 12 10 设销售此种练习本的利润为w元，试求w与x之间的函数关系式；如果物价局规定这种练习本的售价最高不能超过10元/个，那么日销售单价x定为多少时，才能获得最大的日销售利润？ 3．某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装一批空调，计划是每天组装的数量y（台/天）与组装的时间x（天）之间的关系如下表： 组装的时间x（天） 30 45 60 每天组装的数量y（台/天） 300 200 150 (1)求y关于x的关系式； (2)某商场以进货价为每台2500元购进这批空调．调查发现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；当销售价每降低100元时，平均每天就能多售出4台．商场要想这批空调的销售利润平均每天达到3500元，且让顾客得到最大优惠，每台空调的定价为多少元？ 4．铜仁市第五中学组织学生到某品牌运动鞋直销店参加社会实践活动，他们参与了该品牌运动鞋的销售工作，已知该运动鞋每双的成本价为130元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如下表所示： 第1天 第2天 第3天 第4天 售价（元/双） 225 300 375 450 销售量（双） 40 30 24 20 (1)观察表中数据，，满足什么函数关系？请求出这个函数关系式； (2)在（1）的条件下，若直销店计划每天的销售利润为4500元，则其售价应定为多少元？ 题型二 行程问题 5．某海轮以每小时10千米的速度从港行驶到港，共用小时（不考虑水流速度）． (1)写出时间(时）与速度(千米/时）之间的函数表达式； (2)若返航速度增至每小时千米，则该海轮从港返回港（沿原水路）需几小时？ 6．一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以千米/小时的平均速度从甲地出发，经过小时可达乙地． (1)甲、乙两地相距多远？ (2)如果汽车的速度（千米/小时）提高，那么从甲地到乙地所需的时间将怎样变化？ (3)由于某种原因，这辆汽车需要在小时内从甲地到乙地，则此地时汽车平均速度应至少为多少？ 7．红红一家人自驾从昆明到丽江游玩，途径一段高速公路，假设汽车在该高速公路上匀速行驶，记行驶时间为t小时，行驶速度为v千米/时．若红红爸爸驾车速度为90千米/时，则6小时可以行完该高速公路． (1)求v与t的函数关系式． (2)他们是早上驶入该高速公路，中午驶离该高速公路，求红红爸爸在该高速公路上的行驶速度． 8．某公司将A地生产的农副产品运往B地市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时(汽车行驶速度不超过100千米/小时且不低于60千米/小时)．根据经验，v，t的一组对应值如下表： v（千米/小时） 75 80 85 90 95 t（小时） 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16 (1)请你根据表中的数据建立适当的平面直角坐标系并描出对应的点，由此判断v与t之间成什么函数关系； (2)求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式并写出自变量t的取值范围 (3)若汽车到达B市场的行驶时间t满足，求平均速度v的取值范围． 题型三 物理问题 9．如图①，实验课上，小明同学设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在天平的固定托盘A中放置一些大小不等的立方体，在活动托盘B中放置一定质量的砝码，使得天平平衡．改变活动托盘B与点O的距离，观察活动托盘B中砝码的质量的变化情况．实验数据记录如表： (1)把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，如，……在图②的坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接这些点； (2)观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式； (3)当砝码的质量为时，活动托盘B与点O的距离是多少？ 10．如图1，利用杆秤研究杠杆平衡条件.用细绳绑在秤杆上的点处并将其吊起来，在点右侧的秤钩上挂一个物体，在点左侧的秤杆上有一个动点（最长为），在点处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数（单位：）与的长度（单位：）的五组对应值如图表所示． (1)由表格中数据判断与之间是什么函数，并求关于的函数表达式． (2)当的长度为时，求弹簧秤的示数． (3)嘉嘉在做实验时记录一个数据为，淇淇认为这个数据有问题，请你帮助淇淇说明理由． 11．如图是一款可调节亮度的台灯，可通过调节台灯的电阻，控制电流的变化实现亮度的调节．该台灯工作时电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．它的图象如图所示． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)若该台灯工作的最小电流为，最大电流为，求该台灯的电阻的取值范围． 12．我们知道，蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的电流与电阻成反比例． (1)先补全表格再确定与之间的函数关系式； (2)请你在所给的平面直角坐标系中画出该函数图象，并直接写出以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过时，用电器的电阻应控制在什么范围内？ 题型四 几何图形问题 13．某工人打算利用一块不锈钢加工一个面积为的矩形模具．假设模具的长与宽分别为y与x． (1)你能写出y与x之间的函数表达式吗？变量y与x之间是什么函数？ (2)若想使此模具的长比宽多，分别求它的长和宽． 14．如图，学校生物兴趣小组的同学们用围栏围了一个面积为平方米的矩形饲养场地．设为米，为米． (1)求与的函数关系式； (2)延长至，使比少米，围成一个新的矩形，结果场地的面积增加了平方米，求的长． 15．生活中处处充满着趣味数学，如图是河南省某海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图坐标系，其中段可以看成是反比例函数图象的一段，为水面，矩形为向上攀爬的梯子，每节梯子高米，宽1米．其中点A，E，D均在坐标轴上，且轴．      (1)求反比例函数的表达式； (2)求出口C点到的距离的长； (3)若滑梯上有一个小球Q，要求Q到水面的距离不高于3米，则Q到的距离至少是多少米？ 16．如图，一次函数（）的图像与反比例函数（）的图像交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集； (3)已知点在轴上，点在反比例函数图像上．若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标． 题型五 工程问题 17．某工程队修建一条公路，所需时间（单位：天）与每天修建该公路的长度（单位：米）是反比例函数关系，如图，该函数关系的图象经过点． (1)求与之间的函数解析式（不用写出自变量的取值范围）； (2)其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建25米提前多少天完成此项工程？ 18．一工程中，某工程队工人每天需要挖掘20吨土的深沟，整个工程完毕恰好用了6天. (1)在工程结束后，工人需要把所有的土进行回填，在整个回填过程中，平均回填速度v（单位：吨/天）与回填天数t之间有怎样的函数关系? (2)由于遇到紧急情况，要求整个回填工程不超过4天完毕，那么平均每天至少要回填多少吨土? 19．在伊通河治理工程实验过程中，某工程队接受一项开挖水架的工程，所需天数（单位：天）与每天完成的工程量（单位：m/天）之间的函数关系图象是如图所示的双曲线的一部分．    (1)请根据题意，求关于的函数解析式； (2)若该工程队有台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠，则该工程队需用多少天才能完成此项任务？ 20．某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数（单位：天）是每天完成的工程量（单位：天）的反比例函数，其图象经过点（如图）． (1)求与的函数关系式； (2)已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠，若要求该工程队恰好20天完成此项任务，那么需要几台这样的挖掘机? 题型六 表格问题 21．水池中有若干吨水，开一个出水口将全池水放光，所用时间（单位：时）与出水速度（单位：吨/时）之间的关系如下表： 出水速度（吨/时） 10 8 5 4 … 时间（时） 1 1.25 2 2.5 … 请结合表格解答下列问题： (1)池子中原有水 吨； (2)出水口打开后，出水速度是怎样随着时间的变化而变化的？ (3)用式子表示与之间的关系，并求出水口打开多长时间，出水速度是2吨/时． 22．为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0．环保局要求该企业立即整改，在15天内(含15天)排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y与时间天的变化规律如图所示，其中线段表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x(天) 3 5 6 8 …… 硫化物的浓度 4 2.4 2 1.5 ……    (1)在整改过程中，当时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (2)在整改过程中，当时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (3)该企业所排污水中硫化物的浓度在第几天降为？ 23．汛期到来，下表记录了某水库内水位的变化情况，其中表示时间（单位：），表示水位高度（单位：），当时，达到警戒水位，开始开闸放水． 0 2 4 6 8 10 12 16 18 20 14 15 16 17 18 14.4 12 9 8 7.2 (1)在给出的平面直角坐标系中，根据表格中的数据描出相应的点； (2)求开闸放水前符合表中数据的函数关系式； (3)求放水后符合表中数据的函数关系式； (4)求出水库水位达到的时间． 24．【综合实践】 如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力阻力臂动力×动力臂.如图1，即）.受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置；其中，杠杆可绕支点在竖直平面内转动，支点距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体． 10 20 30 40 50 … … 8 2 … (1)若在杠杆右端挂重物，杠杆在水平位置平衡时，重物所受拉力为____________； (2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为，的长度为．则： ①关于的函数解析式是________________． ②完成表格：______________；________________． ③在图2的直角坐标系中画出该函数的图象． (3)在（2）的条件下，若点的坐标为，点的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点，使得，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 题型七 反比例函数的达标问题 25．为了预防季节性流感，某校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为，请你根据题中提供的信息，解答下列问题： (1)药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式呢？ (2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于时，师生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，生才能进入教室？ (3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于且持续时间不低于时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？ 26．钢丝退火是指将钢丝加热到一定温度，保温一段时间后缓慢冷却的过程，主要目的是软化钢丝材料，以便切削加工．如图是某钢丝退火过程中钢丝的温度 与退火时间 之间的函数关系，整个过程分为加热，保温，冷却三个部分． (1)已知加热过程中与成一次函数关系，求这个函数关系式； (2)当冷却开始时，工人便可对钢丝材料进行加工，已知钢丝温度在及以上时，加工效果最好．若工人师傅要想效果最好，应该在冷却开始后几分钟内完成操作？ 27．驾驶员血液中每毫升的酒精含量大于或等于微克即为酒驾，某研究所经实验测得，成人饮用某品牌度白酒后血液中酒精浓度（微克毫升）与饮酒时间（小时）之间函数关系如图所示（当时，与成反比例）． (1)根据图象直接写出：血液中酒精浓度上升阶段的函数解析式为 ；下降阶段的函数解析式为 ；（并写出的取值范围） (2)问血液中酒精浓度不低于微克毫升的持续时间是多少小时？ 28．小禾将要搬新家，小禾爸爸选择使用甲醛检测仪来检测家里的甲醛浓度是否超标，以此来确定搬新家的时间．甲醛检测仪中的核心部件为电阻，经过测量发现，电阻的阻值与空气中甲醛浓度之间的变化关系如下表： (1)根据表中数据，求电阻的阻值与空气中甲醛浓度之间的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） (2)查阅资料发现，当空气中甲醛浓度低于时，该环境不会对人体造成伤害．若小禾一家检测后确定新家安全，可以入住，则该甲醛检测仪中核心部件电阻的阻值在什么范围内？ 题型八 反比例函数新定义问题 29．定义：把横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，反比例函数的图象与直线：交于整点，与直线交于整点和整点，直线与交于整点，若线段上有7个整点（包括端点），且，则的值为 ． 30．哈顿距离是一种重要的距离模型，用以标明在平面直角坐标系中两点间水平距离与竖直距离之和，其定义为：平面直角坐标系中两点和之间的曼哈顿距离记作，满足． (1)已知点，则__________； (2)函数的图象如图①所示，是图象上一点，，求点的坐标； (3)函数的图象如图②所示，请判断该函数的图象上是否存在一点，使？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 31．阅读下列材料 定义运算：，当时，；当时，．例如：；．完成下列任务 (1)①______；②______． (2)如图，已知反比例函数和一次函数的图象交于A、B两点． ①当时，请直接写出x的取值范围； ②当时，．求这两个函数的解析式． 32．如图，直线与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点． (1)求直线和反比例函数的解析式； (2)将直线平移得到直线，若直线与两坐标轴围成的三角形面积是面积的倍，求直线的解析式； (3)对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上?若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 1．生物兴趣小组探究酒精对某种鱼类的心率是否有影响，实验得出心率与酒精浓度的关系如图所示，下列说法正确的是（   ） A．酒精浓度越大，心率越高 B．心率与酒精浓度是反比例函数关系 C．酒精对这种鱼类的心率没有影响 D．当酒精浓度是时，心率是168次/分 2．如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．水温从加热到，需要 B．刚开机时，水温上升过程中，与的函数关系式是 C．在一个加热周期内水温不低于的时间为 D．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 3．小明从地到地的平均速度与行驶时间成反比例函数关系，其函数图象如图所示．若某天他从地出发，在到这段时间内到达地，则他的平均速度可能是（    ） A． B． C． D． 4．当温度不变时，某气球内的气压与气体体积成反比例函数关系，其图象如图所示．当气球内的气压大于时，气球会爆炸．为了安全，气球内气体体积应满足不小于 （）． 5．某校举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班级竞赛成绩的优秀率（该班优秀人数与该班参加竞赛人数的比值）与该班参加竞赛人数的情况，其中描述乙、丁两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四个班级在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是 ． 6．验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到了0.4米，则近视眼镜的度数减少了 度． 7．视力表是眼科常用的检查工具，通常让患者辨认视力表上的视标，可以评估患者的视力水平，其中视力值是该行字母的宽度值的反比例函数．已知某视力表中视力值和字母的宽度值的部分对应数据如下表所示．若某行字母的宽度值，则该行对应的视力值是 ． 宽度值 70 28 14 3.5 视力值 0.1 0.25 0.5 2.0 8．某服装厂承揽一项生产短袖T恤1600件的任务，原计划用天完成． (1)按原计划，每天生产短袖T恤数量（件）与生产时间（天）有怎样的函数关系？ (2)由于气温提前升高，商家与服装厂商议，决定比原计划提前4天交货，那么服装厂每天要比原计划多做多少件短袖T恤才能完成任务？ 9．面积为的直角三角形，设两条直角边的长分别为和． (1)与有怎样的函数关系？ (2)画出这个函数的图像． (3)当时，求的值． (4)当的值为多少时，该三角形是等腰直角三角形？ 10．某工厂去年月的利润为万元．记去年月为第个月，设第个月的利润为万元．由于机器老化，该厂决定从去年月底起适当限产，并投入资金对机器更新换代，月利润明显下降．从月到月，与成反比例．到月底，机器全部完成更新，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加万元（如图）． (1)分别求该厂更新机器期间及机器全部更新后与之间的函数表达式． (2)机器全部更新后几个月，该厂月利润才能达到去年月的水平？ (3)当月利润少于万元时为该厂资金紧张期，该厂资金紧张期共有几个月？ 11．某农户共摘收草莓，为寻求合适的销售价格，进行了天试销，试销中发现这批草莓每天的销售量与售价（元/）之间成反比例关系，已知第天以元/的价格销售了．现假定在这批草莓的销售中，每天的销售量与销售价格（元/）之间都满足这一关系． (1)求与之间的函数表达式； (2)在试销期间，第天的销售价格比第天低了元/，但销售量却是第二天的倍，求第二天的销售价格； (3)试销天共销售草莓，该农户决定将草莓的售价定为元/，并且每天都按这个价格销售，问余下的草莓预计还需多少天可以全部售完？ 12．学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示，数值越高表示注意力越集中．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间变化的图像如图所示．上课开始时注意力指数为30，时注意力指数为40，前内注意力指数是时间的一次函数．以后注意力指数是的反比例函数． (1)当时，求与之间的函数表达式； (2)当时，求与之间的函数表达式； (3)如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课讲完这道题不能超过多少分钟？ 13．某便利店售卖一种进价为2元/根的鸡肉串，在实际销售中发现此鸡肉串的日销售量y（根）与每根售价x（元）之间有如下关系： x/元 3 4 5 6 y/根 20 15 12 10 (1)以表中x、y的对应值为点的坐标，在平面直角坐标系中描点，猜想y与x之间具有怎样的函数关系． (2)根据上述猜想，进一步确定y与x之间的函数表达式． (3)设此鸡肉串的日销售利润为w元（日销售利润单件利润日销售量），试求w与x之间的函数表达式．若规定此鸡肉串的售价最高不超过8元/根，问售价定为多少时，能获得最大销售利润？ 14．某商户购进苹果1575千克，为寻求合适的销售价格，进行了5天试销， 试销情况如下： 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 售价（元/千克） 18 15 12 10 9 销售量（千克） 50 60 75 90 100 (1)根据表中的数据，从一次函数和反比例函数中选择一个函数模型，使得它能近似的反映试销期间这批苹果每天的销售量（千克）与售价（元/千克）之间的函数关系，并求出这个函数关系式（不要求写出的取值范围）; (2)若在这批苹果的后续销售中，每天的销售量（千克）与售价（元/千克）之间都满足（1）中的函数关系．在试销5天后，该商户决定将这批苹果的售价定为10元/千克，但销售10天后，该商户为清空库存，计划用不超过2天的时间全部售完，则新的售价最高定为多少元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完？ 15．某校对教室采用药薰法进行灭蚊．根据药品使用说明，药物燃烧时，室内每立方米空气中含药量与药物点燃后的时间成正比例，药物燃尽后，y与x成反比例（如图）．已知药物点燃后燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为． (1)求药物燃烧时，y与x之间函数的表达式； (2)求药物燃尽后，y与x之间函数的表达式； (3)根据灭蚊药品使用说明，当空气中每立方米的含药量低于时，对人体是安全的．那么从开始药薰，至少经过多少时间，学生才能进入教室？ (4)根据灭蚊药品使用说明，当每立方米空气中含药量不低于且持续时间不低于时，才能有效杀灭室内的蚊虫，那么此次灭蚊是否有效？为什么？ 11 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 反比例函数的应用 （3个知识点+8类热点题型讲练+习题巩固） 课程标准 学习目标 ①反比例函数的实际应用； 1. 掌握反比例函数的实际应用问题； 知识点01 用反比例函数解决问题的两种思路： 1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式； 2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题. 知识点02 列反比例函数解决问题的步骤： 1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式； 3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值； 4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 知识点03 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 【即学即练1】 1．已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的区间段的平均行驶速度与行驶完段所需时间是反比例函数关系，小聪的爸爸按照此规定通过该区间段的时间可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的图像性质和路程与速度时间之间的关系，分别求出最高车速时的时间以及最低车速的时间，即可求出答案．本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键在于熟练掌握反比例函数的关系式和图像性质以及路程公式． 【详解】解：由题图②得，限速区间段的总路程为， 最高车速为， 在最高车速下的行驶时间， 同理可得，在最低车速下的行驶时间为， 通过段限速区间的行驶时间应该在之间． ， B选项符合题意． 故选：B． 【即学即练2】 2．一定体积的面团做成拉面，面条的总长度是面条粗细（横截面积）的反比例函数，假设其图像如图所示，则y与x之间的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求函数解析式，根据图象找出函数图象经过的点的坐标是解题的关键．设反比例函数图象设解析式为，根据反比例函数图象经过点，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设反比例函数图象设解析式为， 由图得，反比例函数上一点坐标为， ∴， 又题中实际意义需， ∴． 故答案为：． 【即学即练3】 3．如图是某反比例函数图像的一支，根据图像回答下列问题： (1)举出一个合乎情理且符合图像的生活实例； (2)写出你所举的例子中两个变量的函数表达式，并指出自变量的取值范围； (3)说出图像中点A在你所举例子中的实际意义． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）根据的值都是，可以联系到：矩形面积一定时长和宽之间的关系； （2）结合，即，自变量的范围：，即可作答； （3）观察图象得点，此时矩形的宽为，长为， 本题考查了反比例函数的应用，求反比例函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：观察图象，得， 即的值都是， 则矩形面积为，函数图象中的为该矩形的宽，为该矩形的长． 该函数图象表示面积为的矩形的宽和长之间的关系． （2）解：依题意，， 即， ∴自变量的范围：， （3）解：由A点的坐标为， 根据表达式的实际意思，则A点的实际意义就是矩形的宽为，长为． 【即学即练4】 4．已知长方体的体积是，底面积为，高为． (1)写出y关于x的函数表达式． (2)完成下表： x … 1 2 3 4 5 6 … y … … (3)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）由长方体的体积公式列式整理即可； （2）根据（1）的式子求解即可填空； （3）根据根据（1）的结论，利用描点，连线，两点法作出函数图象即可． 【详解】（1）解：由题意得， 即； （2）解：填表如下， x … 1 2 3 4 5 6 … y … 12 6 4 3 2 1 … （3）解：描点，连线，该函数的图象如下， ． 【即学即练5】 5．燃气公司要在地下修建一个容积为的圆柱形燃气储存室． (1)储存室的底面积与其深度之间的函数表达式是_______________． (2)公司决定把储存室的底面积S定为，施工队施工时应该向下掘进多少米？ (3)当施工队按（2）中的计划掘进到地下时，碰上了坚硬的岩石．为了节约资金，公司临时改变计划，把储存室的深度改为，则储存室的底面积应该改为多少才能满足需要？ 【答案】(1) (2)20 (3) 【分析】（1）根据圆柱的体积公式，即可求解； （2）把代入，即可求解； （3）把代入，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：把代入， 得， 解得； （3）解：根据题意，把代入，得， ∴储存室的底面积应该改为 【即学即练6】 6．小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛．经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量（毫克/立方米）与时间（月）成正比例．施工结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示．请根据图中信息，回答下列问题： (1)求施工结束后关于的函数解析式； (2)已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于毫克/立方米，按照这个标准．请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？ 【答案】(1) (2)个月 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的应用，理解题意，结合函数图像获取所需信息是解题的关键． （1）利用待定系数法，将点代入，求出反比例函数解析式即可； （2）利用（1）求出的解析式，当时，，解得，即可求出答案． 【详解】（1）解：当时，设此阶段关于的函数解析式为， 将点代入，可得，解得：， 所以施工结束后关于的函数解析式为； （2）解：当时，，解得：， 答：小明一家从施工开始计算，至少经过个月才可以入住． 题型一 销售问题 1．某公司今年推出一款产品．根据市场调研，发现如下信息． 信息1：每月的销售总量y（件）和销售单价x（元/件）存在函数关系，其图象由部分双曲线和线段组成． 信息2：该产品2月份的单价为66元/件，3月份的单价降低至45元/件，在生产成本不变的情况下，这两月的销售利润相同． 根据以上信息，解答下列问题： (1)求该产品的生产成本； (2)该公司计划在4月份通过技术改造，使生产成本降低，同时继续降低销售价格，使得4月份的销售利润不低于3月份．求4月份该产品销售单价的范围． 【答案】(1)该产品的生产成本为38元/件 (2)4月份该产品销售单价的范围是 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解不等式，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． （1）根据题意得到．把代入解析式得到，设该产品的生产成本为元件，列方程即可得到结论； （2）根据题意得到3月份利润为元．由题意得4月份成本为元件，列不等式即可得到结论． 【详解】（1）解：由图象得曲线解析式为． 令，则， 即3月份销售量为400件， 设该产品的生产成本为元件，则， 解得， 答：该产品的生产成本为38元件； （2）解：3月份利润为：元． 由题意得4月份成本为元件， 则， 解得， 月份该产品销售单价的范围是． 2．某商店有一批进价为2元的练习本，此练习本的日销售单价x（元/个）与日销售量y（个）之间有如下关系： x（元/个） 3 4 5 6 y（个） 20 15 12 10 设销售此种练习本的利润为w元，试求w与x之间的函数关系式；如果物价局规定这种练习本的售价最高不能超过10元/个，那么日销售单价x定为多少时，才能获得最大的日销售利润？ 【答案】w与x之间的函数关系式为，日销售单价x为10元/个时，才能获得最大的日销售利润48元 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数的性质、根据题意确定相等关系并据此列出函数解析式． 由表知，据此可得， 根据总利润＝每个贺卡的利润×贺卡的日销售数量可得函数解析式；进而根据反比例函数的性质求解可得最大利润． 【详解】解：设，则， 解得， ． 把x、y的实数对代入函数关系式都能满足， 的函数关系式为． ， ∴当时，w有最大值， 最大值为（元）． 答：w与x之间的函数关系式为， 日销售单价x为10元/个时，才能获得最大的日销售利润48元． 3．某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装一批空调，计划是每天组装的数量y（台/天）与组装的时间x（天）之间的关系如下表： 组装的时间x（天） 30 45 60 每天组装的数量y（台/天） 300 200 150 (1)求y关于x的关系式； (2)某商场以进货价为每台2500元购进这批空调．调查发现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；当销售价每降低100元时，平均每天就能多售出4台．商场要想这批空调的销售利润平均每天达到3500元，且让顾客得到最大优惠，每台空调的定价为多少元？ 【答案】(1)y关于x的关系式为； (2)每台空调的定价为2750元． 【分析】（1）由表格知，y关于x的函数关系为反比例函数关系，利用待定系数法即可求解； （2）设销售单价降低x元，则每台的销售利润为元，平均每天的销售量为台，利用每天销售冰箱获得的利润=每台的利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴y关于x的函数关系为反比例函数关系， 设y关于x的函数解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴y关于x的关系式为； （2）解：设销售单价降低x元，则每台的销售利润为元，平均每天的销售量为台， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 让顾客得到最大优惠，销售单价应降低150元， ∴每台空调的定价为(元)． 答：每台空调的定价为2750元． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．铜仁市第五中学组织学生到某品牌运动鞋直销店参加社会实践活动，他们参与了该品牌运动鞋的销售工作，已知该运动鞋每双的成本价为130元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如下表所示： 第1天 第2天 第3天 第4天 售价（元/双） 225 300 375 450 销售量（双） 40 30 24 20 (1)观察表中数据，，满足什么函数关系？请求出这个函数关系式； (2)在（1）的条件下，若直销店计划每天的销售利润为4500元，则其售价应定为多少元？ 【答案】(1)反比例函数  ， (2)260元 【分析】本题考查了反比例函数的定义，分式方程的应用； （1）根据表格中数据可知，然后可得函数关系式； （2）根据每天的销售利润为4500元得出方程，解方程可得答案． 【详解】（1）解：由表格中数据可知：， ∴y是x的反比例函数， ∴y与x函数关系式为； （2）由题意得：， 把代入得：， 解得：，经检验，是原方程的解且符合题意， 答：其售价应定为260元． 题型二 行程问题 5．某海轮以每小时10千米的速度从港行驶到港，共用小时（不考虑水流速度）． (1)写出时间(时）与速度(千米/时）之间的函数表达式； (2)若返航速度增至每小时千米，则该海轮从港返回港（沿原水路）需几小时？ 【答案】(1) (2)该海轮从港返回港需小时 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，正确理解路程不变时，时间与速度是反比例函数关系是解决本题的关键． （1）货船行驶的路程不变，因而时间与速度成反比例函数关系，利用待定系数法即可求得函数解析式； （2）在解析式中令，即可求得时间． 【详解】（1）设函数的解析式是，把，得：， 则函数的解析式是：； （2）当时，． 从港返回港（沿原水路）需5小时． 6．一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以千米/小时的平均速度从甲地出发，经过小时可达乙地． (1)甲、乙两地相距多远？ (2)如果汽车的速度（千米/小时）提高，那么从甲地到乙地所需的时间将怎样变化？ (3)由于某种原因，这辆汽车需要在小时内从甲地到乙地，则此地时汽车平均速度应至少为多少？ 【答案】(1)300千米 (2)从甲地到乙地所需的时间将减小 (3)60千米/小时 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用： （1）根据路程等于速度乘以时间进行求解即可； （2）根据汽车的速度与从甲地到乙地所需的时间的乘积等于甲、乙两地的距离进行求解即可； （3）设（v为汽车的速度，t为到达时间），求出当时，v的值即可得到答案． 【详解】（1）解：千米， 答：甲、乙两地相距300千米； （2）解：∵汽车的速度与从甲地到乙地所需的时间的乘积等于甲、乙两地的距离， ∴当汽车的速度提高时，到达的时间将减小； （3）解：设（v为汽车的速度，t为到达时间）， 当时，， ∵， ∴v随t增大而减小， ∴当这辆汽车需要在小时内从甲地到乙地时，汽车平均速度应大于等于60千米/小时， ∴汽车平均速度应至少为60千米/小时． 7．红红一家人自驾从昆明到丽江游玩，途径一段高速公路，假设汽车在该高速公路上匀速行驶，记行驶时间为t小时，行驶速度为v千米/时．若红红爸爸驾车速度为90千米/时，则6小时可以行完该高速公路． (1)求v与t的函数关系式． (2)他们是早上驶入该高速公路，中午驶离该高速公路，求红红爸爸在该高速公路上的行驶速度． 【答案】(1) (2)108千米/时 【分析】本题考查反比例函数的实际应用： （1）根据高速公路的路程一定，得到，即可得出结果； （2）先求出行驶时间，代入（1）中的解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴； （2）（小时）， ∴当时，千米/时； 答：红红爸爸在该高速公路上的行驶速度为108千米/时． 8．某公司将A地生产的农副产品运往B地市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时(汽车行驶速度不超过100千米/小时且不低于60千米/小时)．根据经验，v，t的一组对应值如下表： v（千米/小时） 75 80 85 90 95 t（小时） 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16 (1)请你根据表中的数据建立适当的平面直角坐标系并描出对应的点，由此判断v与t之间成什么函数关系； (2)求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式并写出自变量t的取值范围 (3)若汽车到达B市场的行驶时间t满足，求平均速度v的取值范围． 【答案】(1)根据图象判断为反比例函数，画图见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据表格建立直角坐标系，描点，画出图象，根据图象进行判断即可； （2）待定系数法求函数解析式，根据汽车行驶速度不超过100千米/小时且不低于60千米/小时，求出自变量t的取值范围； （3）根据反比例函数的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示：    由图可知：v与t之间成反比例函数； （2）设，将代入，得：， ∴； ∵， ∴； （3）由图象可知，时，随着的增大而减小； ∴当时，取最大值为：；当时，取最小值为：； ∴． 【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，正确的求出函数解析式． 题型三 物理问题 9．如图①，实验课上，小明同学设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在天平的固定托盘A中放置一些大小不等的立方体，在活动托盘B中放置一定质量的砝码，使得天平平衡．改变活动托盘B与点O的距离，观察活动托盘B中砝码的质量的变化情况．实验数据记录如表： (1)把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，如，……在图②的坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接这些点； (2)观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式； (3)当砝码的质量为时，活动托盘B与点O的距离是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解题的关键． （1）在坐标系中描点连线即可； （2）根据图象猜测是反比例函数，利用待定系数法求解； （3）将代入（2）中结论，求出x的值即可． 【详解】（1）解：由题意，可画出图象如下： （2）解：猜测y与x之间的函数关系为反比例函数，设函数关系式为， ∵当时，， ， 解得， ∴函数关系式为； （3）解：当时， 解得， 即活动托盘B与点O的距离是． 10．如图1，利用杆秤研究杠杆平衡条件.用细绳绑在秤杆上的点处并将其吊起来，在点右侧的秤钩上挂一个物体，在点左侧的秤杆上有一个动点（最长为），在点处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数（单位：）与的长度（单位：）的五组对应值如图表所示． (1)由表格中数据判断与之间是什么函数，并求关于的函数表达式． (2)当的长度为时，求弹簧秤的示数． (3)嘉嘉在做实验时记录一个数据为，淇淇认为这个数据有问题，请你帮助淇淇说明理由． 【答案】(1)是的反比例函数，关于的函数表达式为 (2)弹簧秤的示数为 (3)理由见解析 【分析】本题考查反比例函数的应用： （1）根据表格数轴可知为定值，得出y与x之间是反比例函数，再将一组数据代入即可求解； （2）将代入（1）中解析式即可求解； （3）将代入（1）中解析式，求出对应的x的值，即可判断． 【详解】（1）解：是的反比例函数. 设函数表达式为， 将代入上式，得， 解得， 关于的函数表达式为； （2）当时，. 答：弹簧秤的示数为. （3）解：将代入中，得， 解得. ， 不可能等于. 11．如图是一款可调节亮度的台灯，可通过调节台灯的电阻，控制电流的变化实现亮度的调节．该台灯工作时电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．它的图象如图所示． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)若该台灯工作的最小电流为，最大电流为，求该台灯的电阻的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，已知函数值求自变量值． （1）设，代入即可求出； （2）将和分别代入（1）中反比例解析式求出的值，即可求出本题答案． 【详解】（1）解：设由函数图象可知，其经过点． 把代入，得，解得． ∴这个反比例函数的解析式为； （2）解：当时，，解得． 当时，，解得． 所以该台灯的电阻的取值范围是． 12．我们知道，蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的电流与电阻成反比例． (1)先补全表格再确定与之间的函数关系式； (2)请你在所给的平面直角坐标系中画出该函数图象，并直接写出以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过时，用电器的电阻应控制在什么范围内？ 【答案】(1)见解析， (2)见解析, 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，根据表格信息得出反比例函数解析式是解题的关键． （1）因为，所以，，设，得到，即可得到函数关系式； （2）根据表格信息用描点法画出函数图象，根据题意得，，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：， ，， 填表如下： 设， 把代入得：， 与之间的函数关系式； （2）解：如图，描点，连线， ，， ， ． 题型四 几何图形问题 13．某工人打算利用一块不锈钢加工一个面积为的矩形模具．假设模具的长与宽分别为y与x． (1)你能写出y与x之间的函数表达式吗？变量y与x之间是什么函数？ (2)若想使此模具的长比宽多，分别求它的长和宽． 【答案】(1)，y是x的反比例函数 (2)长为，宽为 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用． （1）根据矩形的面积公式，即可得出结论； （2）根据长比宽多，结合（1）中得出的函数关系式，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得： ， 整理得：， ∴y是x的反比例函数； （2）解：根据题意可得：， ∴， 解得：（舍去）， 经检验，是原分式方程的解． ∴， 答：它的长为，宽为． 14．如图，学校生物兴趣小组的同学们用围栏围了一个面积为平方米的矩形饲养场地．设为米，为米． (1)求与的函数关系式； (2)延长至，使比少米，围成一个新的矩形，结果场地的面积增加了平方米，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用、矩形的面积以及分式方程的求解等， （1）利用矩形的面积公式，可得出与的函数关系式； （2）由的长可得出的长，再利用矩形的面积公式，结合矩形的面积为平方米，即可得出关于的方程． 【详解】（1）解：矩形饲养场的面积为平方米． 即： （2）比少米，为米． 为米． 此时新增加的面积为矩形的面积． 即： 又 化简得： 解得：． 经检验，是所列方程的解，符合题意， 所以的长为米． 15．生活中处处充满着趣味数学，如图是河南省某海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图坐标系，其中段可以看成是反比例函数图象的一段，为水面，矩形为向上攀爬的梯子，每节梯子高米，宽1米．其中点A，E，D均在坐标轴上，且轴．      (1)求反比例函数的表达式； (2)求出口C点到的距离的长； (3)若滑梯上有一个小球Q，要求Q到水面的距离不高于3米，则Q到的距离至少是多少米？ 【答案】(1) (2)4 (3)1米 【分析】（1）先根据题意求出点B的坐标，进而利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先求出的长，从而求出点C的坐标，进一步求出的长即可； （3）先求出当时，，再根据反比例函数的性质可得点Q的横坐标要大于等于2，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵， ∴点C的纵坐标为， 在中，当时，， ∴， ∴； （3）解：在中，当时，， ∵， ∴y随x增大而减小， ∴当时，，即点Q的横坐标要大于等于2， ∴点Q到的距离至少是米． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系是解题的关键． 16．如图，一次函数（）的图像与反比例函数（）的图像交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集； (3)已知点在轴上，点在反比例函数图像上．若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为：；一次函数的表达式为：； (2)或； (3)点的坐标为：或或时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形 【分析】本题考查函数与几何的综合，解题的关键是掌握一次函数的图像和性质，反比例函数的图像和性质，一次函数与反比例函数的交点问题，平行四边形存在性问题，进行解答，即可． （1）根据点，在一次函数和反比例函数的图像上，利用待定系数法，即可； （2）由函数图像，当一次函数的图像在反比例函数的图像上时，，即可； （3）根据平行四边形的性质，分类讨论：①当，是对角线；②当，是对角线时；③当，是对角线时，根据中点坐标，进行解答，即可． 【详解】（1）解：∵，在反比例函数图像上， ∴， 解得：， ∴反比例函数的表达式为：； ∴， ∴， ∴点， ∵点，在一次函数， ∴， 解得：， ∴， ∴一次函数的表达式为：． （2）解：由（1）得，， 当一次函数的图像在反比例函数的图像上时，， ∴当或时，． （3）解：∵点在轴上，点在反比例函数图像， ∴设点，， ∵四边形是平行四边形， ∴①当，是对角线， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； ②当，是对角线时， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； ③当，是对角线时， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为：或或时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 题型五 工程问题 17．某工程队修建一条公路，所需时间（单位：天）与每天修建该公路的长度（单位：米）是反比例函数关系，如图，该函数关系的图象经过点． (1)求与之间的函数解析式（不用写出自变量的取值范围）； (2)其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建25米提前多少天完成此项工程？ 【答案】(1)； (2)提前8天完成此项工程． 【分析】本题考查的是反比例函数的实际应用； （1）把代入，再进一步解答即可； （2）把与分别代入，再进一步计算即可； 【详解】（1）解：设反比例函数关系式为． 把代入得，， ． （2）解：把代入得，， 把代入得，， ． 答：提前8天完成此项工程． 18．一工程中，某工程队工人每天需要挖掘20吨土的深沟，整个工程完毕恰好用了6天. (1)在工程结束后，工人需要把所有的土进行回填，在整个回填过程中，平均回填速度v（单位：吨/天）与回填天数t之间有怎样的函数关系? (2)由于遇到紧急情况，要求整个回填工程不超过4天完毕，那么平均每天至少要回填多少吨土? 【答案】(1) (2)平均每天至少要回填30吨土 【分析】本题考查反比例函数的应用，根据题意列出反比例函数解析式是解题关键. （1）首先根据题意可知总工作量为吨不变，故回填速度v与回填天数t之间为反比例关系，即，变形即可得出v关于t的函数关系式； （2）由得出，再将代入，即可求出v的取值范围． 【详解】（1）设总工作量为k吨，根据已知条件得， ∴v关于t的函数表达式为； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 那么平均每天至少要回填30吨土． 19．在伊通河治理工程实验过程中，某工程队接受一项开挖水架的工程，所需天数（单位：天）与每天完成的工程量（单位：m/天）之间的函数关系图象是如图所示的双曲线的一部分．    (1)请根据题意，求关于的函数解析式； (2)若该工程队有台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠，则该工程队需用多少天才能完成此项任务？ 【答案】(1) (2)天 【分析】（1）将点代入反比例函数的解析式，即可求得反比例函数的解析式； （2）用工作效率乘以工作时间即可得到工作量，然后除以工作效率即可得到工作时间． 【详解】（1）解：设解析式为， ∵点在其图象上， 将代入反比例函数的解析式，得, 解得：， ∴所求函数关系式为． （2）解：由题意知，台挖掘机每天能够开挖水渠（米）， 当时，， 故该工程队需要用天才能完成此项任务． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从中整理出解决实际问题的函数模型． 20．某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数（单位：天）是每天完成的工程量（单位：天）的反比例函数，其图象经过点（如图）． (1)求与的函数关系式； (2)已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠，若要求该工程队恰好20天完成此项任务，那么需要几台这样的挖掘机? 【答案】(1) (2)需要4台这样的挖掘机 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键. （1）设出反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）求出当时，x的值，再用x的值除以15即可得到答案. 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 点在函数图象上， ， ， 所求函数关系式为． （2）解：当时，， ， ， 答：需要4台这样的挖掘机． 题型六 表格问题 21．水池中有若干吨水，开一个出水口将全池水放光，所用时间（单位：时）与出水速度（单位：吨/时）之间的关系如下表： 出水速度（吨/时） 10 8 5 4 … 时间（时） 1 1.25 2 2.5 … 请结合表格解答下列问题： (1)池子中原有水 吨； (2)出水口打开后，出水速度是怎样随着时间的变化而变化的？ (3)用式子表示与之间的关系，并求出水口打开多长时间，出水速度是2吨/时． 【答案】(1) (2)出水速度是随着时间的增大而减少； (3)水口打开5小时，出水速度是2吨/时． 【分析】本题考查了反比例函数的应用． （1）利用表格数据即可作答； （2）根据表格数据可知，出水速度是随着时间的增大而减少； （3）根据（1）知，令，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴池子中原有水吨； 故答案为：； （2）解：由表格知，出水口打开后，出水速度越大，所用时间越短， ∴出水速度是随着时间的增大而减少； （3）解：由（1）知，， ∴， 令，则， ∴水口打开5小时，出水速度是2吨/时． 22．为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0．环保局要求该企业立即整改，在15天内(含15天)排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y与时间天的变化规律如图所示，其中线段表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x(天) 3 5 6 8 …… 硫化物的浓度 4 2.4 2 1.5 ……    (1)在整改过程中，当时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (2)在整改过程中，当时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (3)该企业所排污水中硫化物的浓度在第几天降为？ 【答案】(1)； (2)； (3)第15天 【分析】（1）设线段的函数表达式为：，把A、B两点坐标代入求出k、b的值即可； （2）设函数的表达式为：，把B点坐标代入，求出k的值即可； （3）令，即可得知企业所排污水中硫化物的浓度在第15天降为． 【详解】（1）解：设线段的函数表达式为， ∵在线段上， ∴将A，B两点坐标代入函数表达式， 得，解得， ∴当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式为； （2）解：∵， ∴当时，与成反比例， 设函数的表达式为：， 将点B代入得：， 解得：， ∴当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式为； （3）解：令． 解得． ∴该企业所排污水中硫化物的浓度在第15天降为． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的综合应用，熟练掌握根据坐标确定解析式的一次项系数和常数项是解题关键． 23．汛期到来，下表记录了某水库内水位的变化情况，其中表示时间（单位：），表示水位高度（单位：），当时，达到警戒水位，开始开闸放水． 0 2 4 6 8 10 12 16 18 20 14 15 16 17 18 14.4 12 9 8 7.2 (1)在给出的平面直角坐标系中，根据表格中的数据描出相应的点； (2)求开闸放水前符合表中数据的函数关系式； (3)求放水后符合表中数据的函数关系式； (4)求出水库水位达到的时间． 【答案】(1)见解析 (2) (3)(x>8)． (4)出水库水位达到的时间为9h． 【分析】（1）根据表中数据在直角坐标系中描出相应的点即可； （2）据描点的趋势，发现当时，y与x是一次函数关系，再利用待定系数法求出关系式即可； （3）通过观察数据发现y与x的关系最符合反比例函数，然后用待定系数法求出函数解析式即可； （4）把y＝16代入反比例函数解析式求出x即可． 【详解】（1）描点如图， （2）观察图象可知，当0≤x≤8时，y与x是一次函数关系． 设y=kx+b(k≠0)，把(0，14)，(8，18)代入得：， 解得， ∴y与x的关系式． ∴放水前y与x的关系式为； （3）通过观察数据发现：8×18=10×14.4=12×12=16×9=18×8=20×7.2=144， ∴放水后y与x的关系符合反比例函数，关系式为， ∴放水后最符合表中数据的函数解析式为(x>8)； （4）将y=16代入反比例函数解析式，得： 解得： ，且符合题意， ∴出水库水位达到的时间为9h． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的实际应用．会利用待定系数法求函数解析式，根据图象猜测函数类型是解决此题的关键． 24．【综合实践】 如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力阻力臂动力×动力臂.如图1，即）.受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置；其中，杠杆可绕支点在竖直平面内转动，支点距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体． 10 20 30 40 50 … … 8 2 … (1)若在杠杆右端挂重物，杠杆在水平位置平衡时，重物所受拉力为____________； (2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为，的长度为．则： ①关于的函数解析式是________________． ②完成表格：______________；________________． ③在图2的直角坐标系中画出该函数的图象． (3)在（2）的条件下，若点的坐标为，点的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点，使得，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②，；③见解析 (3)或 【分析】本题考查反比例函数的应用，理解题意，求得函数的解析式是解答的关键． （1）根据题意，直接根据求解即可； （2）①由公式可得关于的函数解析式；②将和代入①中解析式中求解即可；③根据表格数据进行描点、连线即可画出图象； （3）由题意，设，利用坐标与图形性质得，进而由解方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴， ∴重物所受拉力为， 故答案为：； （2）解：①由得，则， ∴关于的函数解析式为； ②当时，； 当时，； 故答案为：； ③列表： 10 20 30 40 50 … … 8 4 2 … 描点，连线，可得该函数的图象： （3）解：如图， 由题意，设， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴, 由得， 解得，， 经检验，和是所列方程的解， 当时，，当时，， ∴点C的坐标为或． 题型七 反比例函数的达标问题 25．为了预防季节性流感，某校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为，请你根据题中提供的信息，解答下列问题： (1)药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式呢？ (2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于时，师生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，生才能进入教室？ (3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于且持续时间不低于时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？ 【答案】(1)； (2)30分钟 (3)有效，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． （1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式，把点代入即可，从图上读出x的取值范围；药物燃烧后，设出y与x之间的解析式，把点代入即可； （2）把代入反比例函数解析式，求出相应的x即可； （3）把代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与10进行比较，大于等于10就有效． 【详解】（1）解：设药物燃烧时y与x之间的解析式为， 把点代入， 得 解得：， 设药物燃烧后y与x之间的解析式为， 把点代入， 得， 解得：， 故药物燃烧时y与x的函数关系式为； 药物燃烧时y与x的函数关系式为． （2）解：把，代入，得； ∵， ∴随的增大而减小， 当时，， 即从消毒开始，至少需要30分钟后员工才能回到办公室． （3）解：把代入， 解得：， 把代入， 解得：， ∵， ∴这次消毒是有效的． 26．钢丝退火是指将钢丝加热到一定温度，保温一段时间后缓慢冷却的过程，主要目的是软化钢丝材料，以便切削加工．如图是某钢丝退火过程中钢丝的温度 与退火时间 之间的函数关系，整个过程分为加热，保温，冷却三个部分． (1)已知加热过程中与成一次函数关系，求这个函数关系式； (2)当冷却开始时，工人便可对钢丝材料进行加工，已知钢丝温度在及以上时，加工效果最好．若工人师傅要想效果最好，应该在冷却开始后几分钟内完成操作？ 【答案】(1) (2)3分钟 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，正确地求出一次函数和反比例函数的解析式是解题的关键． （1）用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）先用待定系数法求出冷却过程中y与x的函数关系式，再把代入解析式求出x即可． 【详解】（1）解：设加热过程中y与x的函数解析式为， 把，代入解析式得， 解得：， ∴加热过程中y与x的函数解析式为； （2）设在冷却过程中y与x的函数关系式为， 将点代入解析式， 解得． ∴在冷却过程中y与x函数关系式， 将代入， 解得， ， 答：工人师傅要想效果最好，应该在3分钟的时间内完成操作． 27．驾驶员血液中每毫升的酒精含量大于或等于微克即为酒驾，某研究所经实验测得，成人饮用某品牌度白酒后血液中酒精浓度（微克毫升）与饮酒时间（小时）之间函数关系如图所示（当时，与成反比例）． (1)根据图象直接写出：血液中酒精浓度上升阶段的函数解析式为 ；下降阶段的函数解析式为 ；（并写出的取值范围） (2)问血液中酒精浓度不低于微克毫升的持续时间是多少小时？ 【答案】(1)， (2)血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间小时 【分析】本题考查一次函数的应用、反比例函数的应用等知识. （1）当时，设直线解析式为：，当时，设反比例函数解析式为：，利用待定系数法即可解决问题； （2）分别求出时的两个x值，再求时间差即可解决问题． 【详解】（1）解：当时， 由图象可知，y是x的正比例函数，令，代入 ∴ ∴ ∴ 当时，y与x成反比例，令，代入 ∴ ∴ ∴ （2）解：当，则， 解得：， 当，则， 解得：， （小时）， 血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间小时． 28．小禾将要搬新家，小禾爸爸选择使用甲醛检测仪来检测家里的甲醛浓度是否超标，以此来确定搬新家的时间．甲醛检测仪中的核心部件为电阻，经过测量发现，电阻的阻值与空气中甲醛浓度之间的变化关系如下表： (1)根据表中数据，求电阻的阻值与空气中甲醛浓度之间的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） (2)查阅资料发现，当空气中甲醛浓度低于时，该环境不会对人体造成伤害．若小禾一家检测后确定新家安全，可以入住，则该甲醛检测仪中核心部件电阻的阻值在什么范围内？ 【答案】(1)电阻的阻值与空气中甲醛浓度之间的函数关系式为； (2)该甲醛检测仪中核心部件电阻的阻值． 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （）根据表格可知电阻的阻值与空气中甲醛浓度之间的函数关系式为反比例函数，设电阻的阻值与空气中甲醛浓度之间的函数关系式为，然后代入求解即可； （）由空气中甲醛浓度低于时，该环境不会对人体造成伤害，则，求出范围即可． 【详解】（1）解：根据表格可知电阻的阻值与空气中甲醛浓度之间的函数关系式为反比例函数， 设电阻的阻值与空气中甲醛浓度之间的函数关系式为， 当时，， ∴， ∴， ∴电阻的阻值与空气中甲醛浓度之间的函数关系式为； （2）解：由， ∵空气中甲醛浓度低于时，该环境不会对人体造成伤害， ∴， ∴， 答：该甲醛检测仪中核心部件电阻的阻值． 题型八 反比例函数新定义问题 29．定义：把横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，反比例函数的图象与直线：交于整点，与直线交于整点和整点，直线与交于整点，若线段上有7个整点（包括端点），且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，先求出点的坐标为，过点作轴的平行线，与过点作轴的平行线交于点，则，联立，求出，则可得，所以，又线段上有个整点，点，，都是整点，故，然后代入解析式即可求解，读懂图象中的交点及其他特殊点的坐标和性质是解题的关键． 【详解】解：联立， 解得， ∴点的坐标为， 过点作轴的平行线，与过点作轴的平行线交于点，则， 联立，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵线段上有个整点，点，，都是整点， ∴， ∵点，都在反比例函数的图象上， ∴， 解得， 故答案为：． 30．哈顿距离是一种重要的距离模型，用以标明在平面直角坐标系中两点间水平距离与竖直距离之和，其定义为：平面直角坐标系中两点和之间的曼哈顿距离记作，满足． (1)已知点，则__________； (2)函数的图象如图①所示，是图象上一点，，求点的坐标； (3)函数的图象如图②所示，请判断该函数的图象上是否存在一点，使？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在点，使，理由见解析 【分析】（1）根据曼哈顿距离公式求解即可； （2）设，则，根据一次函数得到、的范围，进而得到，联 立 ，求出、的值即可求解； （3）假设函数的图象上存在点，使，则，根据反比例函数的图象与性质可得、的范围，进而将化简并整理得，结合一元二次方程根的判别式即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：； （2）设，则， ， ，    ，                    联立 ：， 解得：， 点； （3）不存在点，使，理由如下：                  假设函数的图象上存在点，使， 根据题意得：，                   ， ，   ， 化简并整理得：，                 ， 方程没有实数根，假设不成立， 函数的图象上不存在点，使． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，平面直角坐标系，一元二次方程，以及新定义，解题的关键是掌握相关知识． 31．阅读下列材料 定义运算：，当时，；当时，．例如：；．完成下列任务 (1)①______；②______． (2)如图，已知反比例函数和一次函数的图象交于A、B两点． ①当时，请直接写出x的取值范围； ②当时，．求这两个函数的解析式． 【答案】(1) (2)①或  ② 【分析】本题主要考查了新定义运算和反比例函数图象的性质，熟练掌握新定义运算的法则和反比例函数的性质是解答本题的关键. （1）根据定义运算的法则解答即可； （2）①根据时，可得一次函数的解析式，然后呢求出点的坐标代入反比例函数解析式计算解题． ②根据①的结论和定义运算的法则解答即可； 【详解】（1）解：①∵， ∴ ②∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①由图象得：当或时，； ②当时，， ∵， ∵一次函数， 当 时，， ， 将点代入中， 得， ， 故答案为：． 32．如图，直线与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点． (1)求直线和反比例函数的解析式； (2)将直线平移得到直线，若直线与两坐标轴围成的三角形面积是面积的倍，求直线的解析式； (3)对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上?若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，； (2)或； (3)存在，点的坐标为或． 【分析】把代入，求出值，即可得到反比例函数的解析式，把代入，求出值，即可得到一次函数的解析式； 将直线沿轴方向向上平行移动时，根据平移的性质可得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得，的长度就是直线中的；将直线沿轴方向向下平行移动时，根据平移的性质可得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：，其中的长度是直线中的的相反数； 根据等和点的关系和点、点所在的解析式，设点，点，根据等和点的坐标之间的关系可得方程，解方程求出的值，再把的值代入反比例函数解析式，即可求出符合要求的点的坐标． 【详解】（1）解：把代入， 可得：， ， 反比例函数的解析式为， 把代入， 可得：， ， 直线的解析式为； （2）解：， 点的坐标是， ， 如下图所示， 将直线沿轴方向向上平行移动时， 设直线与，轴分别交于点，，则， ， ， ， ， 直线与直线平行，， 直线的解析式为； 将直线沿轴方向向下平行移动时， 设直线与，轴分别交于点，，则， ， ， ， ， 直线与直线平行，， 直线的解析式为； 综上所述，直线的解析式为或； （3）解：点的坐标为或， 点在图象上，点在直线上， 设点，点， 点是点的等和点， ， ， ， ，， 经检验，，均是原分式方程的根， 当时，，此时点的坐标为， 当时，，此时点的坐标为， 综上所述，在的图象上存在点，使点的等和点在直线上，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合性、求一次函数的解析式、求反比例函数的解析式、相似三角形的判定与性质、函数图象的平移，解决本题的关键是根据函数的图象与性质找到相应的点的坐标，再根据坐标求出解析式． 1．生物兴趣小组探究酒精对某种鱼类的心率是否有影响，实验得出心率与酒精浓度的关系如图所示，下列说法正确的是（   ） A．酒精浓度越大，心率越高 B．心率与酒精浓度是反比例函数关系 C．酒精对这种鱼类的心率没有影响 D．当酒精浓度是时，心率是168次/分 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象、反比例函数，从函数图象中正确获取信息是解题关键．根据函数图象可得酒精浓度越大，心率越低，由此即可判断A和C错误；任意取两个点的坐标，计算横、纵坐标的乘积是否相等，由此即可判断B错误；根据函数图象即可判断D正确． 【详解】解：由函数图象可知，酒精浓度越大，心率越低，则选项A错误； 任意取两个点的坐标，， ∵，， ∴， ∴心率与酒精浓度不是反比例函数关系，则选项B错误； 由函数图象可知，酒精浓度越大，心率越低， 则酒精对这种鱼类的心率有影响，则选项C错误； 由函数图象可知，当酒精浓度是时，心率是168次/分，则选项D正确； 故选：D． 2．如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．水温从加热到，需要 B．刚开机时，水温上升过程中，与的函数关系式是 C．在一个加热周期内水温不低于的时间为 D．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的应用，理解题意、掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键． A．根据“从加热到水温升高的温度加热时每分钟上升的温度”计算即可； B．利用待定系数法求出y与x的函数关系式即可； C．根据x的取值范围对应的函数关系式，分别计算当时对应的x的值，求出两个x值的差即为在一个加热周期内水温不低于的时间； D．求出将水温从加热到，再降到一处循环需要的时间，写出这个过程中y与x的函数关系式并据此计算即可． 【详解】解：水温从加热到，需要的时间为， ∴A正确，不符合题意； 设水温上升过程中，y与x的函数关系式是， 将坐标，代入， 得， 解得， ∴水温上升过程中，y与x的函数关系式是， ∴B正确，不符合题意； 当时，当时，得， 解得， 当时，当时，得， 解得， ， ∴在一个加热周期内水温不低于的时间为， ∴C正确，不符合题意； 当时，得， 解得， ∴水温从加热到，再降到所用时间为，即一个循环是， ∴水温y与通电时间x之间的函数关系式为， 上午10点到共90分钟，则（分钟）， 当时，得， ∴上午10点接通电源，可以保证当天水温为， ∴D不正确，符合题意； 故选：D． 3．小明从地到地的平均速度与行驶时间成反比例函数关系，其函数图象如图所示．若某天他从地出发，在到这段时间内到达地，则他的平均速度可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出当和时，的值，然后根据反比例函数的增减性求解即可得． 【详解】解：设平均速度与行驶时间之间的函数关系式为， 将点代入得：， ∴， 从到，行驶时间为；从到，行驶时间为， 当时，， 当时，， ∵反比例函数中的， ∴在第一象限内，随的增大而减小， ∴当时，， 观察四个选项可知，只有选项B符合， 故选：B． 4．当温度不变时，某气球内的气压与气体体积成反比例函数关系，其图象如图所示．当气球内的气压大于时，气球会爆炸．为了安全，气球内气体体积应满足不小于 （）． 【答案】/ 【分析】本题考查反比例函数的应用，正确理解题意是解题的关键．先用待定系数法求出反比例函数的解析式，再根据第一象限中反比例函数的增减性求解即可． 【详解】解：某气球内的气压与气体体积成反比例函数关系， 可设， 把代入，得， 解得， 与成反比例函数关系为， 令，则， 解得， ， 在第一象限中，随着得增大而减小， 当气球内的气压大于时，气球会爆炸， 为了安全，， 当时，， 当气球内的气压小于等于时，气球内气体体积应满足不小于． 故答案为：． 5．某校举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班级竞赛成绩的优秀率（该班优秀人数与该班参加竞赛人数的比值）与该班参加竞赛人数的情况，其中描述乙、丁两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四个班级在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是 ． 【答案】丙 【分析】本题考查反比例函数图像与性质的实际应用题，读懂题意，并熟练掌握反比例函数的图像与性质是解决问题的关键． 根据反比例函数图像与性质求解即可得到结论． 【详解】解：描述乙、丁两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，设反比例函数表达式为，则令甲、乙、丙、丁， 过甲点作轴平行线交反比例函数于，过丙点作轴平行线交反比例函数于，如图所示： 由图可知， 、乙、、丁在反比例函数图像上， 根据题意可知优秀人数，则 ①，即乙、丁两个班级优秀人数相同； ②，即甲班级优秀人数比乙、丁两个班级优秀人数少； ③，即丙班级优秀人数比乙、丁两个班级优秀人数多； 综上所述：甲班级优秀人数乙班级优秀人数丁班级优秀人数丙班级优秀人数， 在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙班级， 故答案为：丙． 6．验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到了0.4米，则近视眼镜的度数减少了 度． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数的实际应用，读懂题意，掌握课本知识是解决问题的关键．由已知设，则有图象知点满足解析式，代入求，则解析式为：，令，时，分别求的值后作差即可． 【详解】解：设， 把代入， ， 函数解析式为， 当时，， 当时，， 度数减少了（度， 故答案为：． 7．视力表是眼科常用的检查工具，通常让患者辨认视力表上的视标，可以评估患者的视力水平，其中视力值是该行字母的宽度值的反比例函数．已知某视力表中视力值和字母的宽度值的部分对应数据如下表所示．若某行字母的宽度值，则该行对应的视力值是 ． 宽度值 70 28 14 3.5 视力值 0.1 0.25 0.5 2.0 【答案】0.4 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，正确求出反比例函数解析式是解题的关键． 先求出反比例函数的解析式，再把代入函数解析式即可求解． 【详解】解：由题意设， 当时， ， ∴， ∴当时，， 故答案为：0.4． 8．某服装厂承揽一项生产短袖T恤1600件的任务，原计划用天完成． (1)按原计划，每天生产短袖T恤数量（件）与生产时间（天）有怎样的函数关系？ (2)由于气温提前升高，商家与服装厂商议，决定比原计划提前4天交货，那么服装厂每天要比原计划多做多少件短袖T恤才能完成任务？ 【答案】(1)，反比例函数 (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，分式的减法等知识． （1）根据实际意义可列出每天生产短袖T恤数量（件）与生产时间（天）的函数关系式； （2）用现在每天做的短袖数量减去原计划每天做的短袖数量计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴； （2）解：， 则服装厂每天要比原计划多做件短袖T恤才能完成任务． 9．面积为的直角三角形，设两条直角边的长分别为和． (1)与有怎样的函数关系？ (2)画出这个函数的图像． (3)当时，求的值． (4)当的值为多少时，该三角形是等腰直角三角形？ 【答案】(1) (2)见详解 (3) (4)10 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用． （1）根据三角形面积即可得出与的反比例函数关系式． （2）求出三个点，，，然后画出反比例函数图像即可． （3）求出当时，y的值即可． （4）根据等腰直角三角形的定义可知时即时是等腰直角三角形，求出x值即可． 【详解】（1）解：∵直角三角形的面积为 ∴， ∴ （2）解：当，则，当，则，当，则， 则反比例函数图像如下： （3）解：当时，则 （4）∵， ∴， ∴（负值舍去）， 故当时，三角形是等腰直角三角形． 10．某工厂去年月的利润为万元．记去年月为第个月，设第个月的利润为万元．由于机器老化，该厂决定从去年月底起适当限产，并投入资金对机器更新换代，月利润明显下降．从月到月，与成反比例．到月底，机器全部完成更新，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加万元（如图）． (1)分别求该厂更新机器期间及机器全部更新后与之间的函数表达式． (2)机器全部更新后几个月，该厂月利润才能达到去年月的水平？ (3)当月利润少于万元时为该厂资金紧张期，该厂资金紧张期共有几个月？ 【答案】(1) (2)个月 (3)个月 【分析】本题考查了反比例函数混合与一次函数的应用，解题的关键是掌握相关知识． （1）利用待定系数法先求出反比例函数解析式，再求出第五个月的利润，然后根据每月的利润比前一个月增加万元，设出函数解析式，根据待定系数法即可求出函数解析式； （2）把万元代入函数解析式求得的值，由此即可求出机器全部更新后所经过的月数，该厂月利润才能达到去年月的水平； （3）求出机器更新换代期间和机器全部更新后利润为万元的月数，再求出两个月数的差，即可求出答案． 【详解】（1）解：当时，设，把代入，得，即， 当时，，当时，， ； （2）当时，， 解得：， ， 机器全部完成更新个月后，利润达到万元； （3）对于，当时，； 对于，当时，， ， 资金紧张的时间为个月． 11．某农户共摘收草莓，为寻求合适的销售价格，进行了天试销，试销中发现这批草莓每天的销售量与售价（元/）之间成反比例关系，已知第天以元/的价格销售了．现假定在这批草莓的销售中，每天的销售量与销售价格（元/）之间都满足这一关系． (1)求与之间的函数表达式； (2)在试销期间，第天的销售价格比第天低了元/，但销售量却是第二天的倍，求第二天的销售价格； (3)试销天共销售草莓，该农户决定将草莓的售价定为元/，并且每天都按这个价格销售，问余下的草莓预计还需多少天可以全部售完？ 【答案】(1) (2)元/ (3)天 【分析】本题考查了反比例函数的应用以及分式方程的应用，正确得出反比例函数解析式是解答本题的关键． （1）根据“第天以元/的价格销售了”，得出函数解析式即可； （2）设第二天的销售价格是元/，根据“第天的销售价格比第天低了元/，但销售量却是第二天的倍”，列出分式方程，求解即可； （3）把代入得出的值，进而求出答案即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 将，代入，得， 解得：， 与之间的函数表达式为； （2）解：设第二天的销售价格是元/，则 ， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 答：第二天的销售价格为元/； （3）解：草莓的销售价格定为元/，每天的销售量为：（千克）， （天）， 答：余下的草莓预计还需天可以全部售完． 12．学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示，数值越高表示注意力越集中．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间变化的图像如图所示．上课开始时注意力指数为30，时注意力指数为40，前内注意力指数是时间的一次函数．以后注意力指数是的反比例函数． (1)当时，求与之间的函数表达式； (2)当时，求与之间的函数表达式； (3)如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课讲完这道题不能超过多少分钟？ 【答案】(1) (2) (3)本节课讲完这道题不能超过 【分析】主要考查了一次函数和反比例的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． （1）根据图象设出直线的解析式后代入两点坐标即可求得解析式； （2）根据图象设出反比例函数的解析式代入经过的一点的坐标即可求得其解析式； （3）分别令一次函数和反比例函数值大于等于50求得的取值范围后相减即可得到答案． 【详解】（1）解：设当时，与之间的函数表达式为， 将代入得， 解得， 当时，与之间的函数表达式为； （2）解：当时，， 设当时，与之间的函数表达式为， 将代入得， 当时，与之间的函数表达式为； （3）解：当时，， 解得； 当时，， 解得， ， 答：本节课讲完这道题不能超过． 13．某便利店售卖一种进价为2元/根的鸡肉串，在实际销售中发现此鸡肉串的日销售量y（根）与每根售价x（元）之间有如下关系： x/元 3 4 5 6 y/根 20 15 12 10 (1)以表中x、y的对应值为点的坐标，在平面直角坐标系中描点，猜想y与x之间具有怎样的函数关系． (2)根据上述猜想，进一步确定y与x之间的函数表达式． (3)设此鸡肉串的日销售利润为w元（日销售利润单件利润日销售量），试求w与x之间的函数表达式．若规定此鸡肉串的售价最高不超过8元/根，问售价定为多少时，能获得最大销售利润？ 【答案】(1)描点画图见解析，猜想：反比例函数 (2) (3)销售单价x定为8元时，才能获得最大日销售利润，最大日销售利润为 45元． 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，待定系数法以及利用反比例关系式求最大值的问题，解题的关键是知道两个变量的乘法是定值时是反比例关系． （1）建立坐标系直接描点画图，再猜想即可； （2）要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现y与x的乘积是相同的，都是60，所以可知y与x成反比例，用待定系数法求解后再验证即可； （3）先确定与的函数关系式，然后根据售价最高不超过8元/根，利用函数的增减性即可得出答案． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系描点，如图所示： 猜想：y与x之间具有反比例函数关系． （2）解：由题意设y与x之间的函数关系式为（且k为常数）， 把代入，得， 将，，分别代入，均成立， 所以y与x之间的函数关系式为. （3）解：， 当时，w随x的增大而增大， 又因为， 所以当时，， 所以，销售单价x定为每根8元时，才能获得最大日销售利润，最大日销售利润为 45元． 14．某商户购进苹果1575千克，为寻求合适的销售价格，进行了5天试销， 试销情况如下： 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 售价（元/千克） 18 15 12 10 9 销售量（千克） 50 60 75 90 100 (1)根据表中的数据，从一次函数和反比例函数中选择一个函数模型，使得它能近似的反映试销期间这批苹果每天的销售量（千克）与售价（元/千克）之间的函数关系，并求出这个函数关系式（不要求写出的取值范围）; (2)若在这批苹果的后续销售中，每天的销售量（千克）与售价（元/千克）之间都满足（1）中的函数关系．在试销5天后，该商户决定将这批苹果的售价定为10元/千克，但销售10天后，该商户为清空库存，计划用不超过2天的时间全部售完，则新的售价最高定为多少元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完？ 【答案】(1) (2)新的售价最高定为6元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完 【分析】本题考查了反比例函数的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据表格数据可知乘积恒为900，说明y与x成反比例函数，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）根据题意，先求出新售价前的剩余量300千克，再设新售价为a元/千克，则每天的销量为千克，根据题意列出方程求出a值即可． 【详解】（1）与之间满足反比例函数关系，设解析式为． 把代入，得． 关于的函数表达式为． （2）试销6天共销售苹果千克 苹果的售价定为10元/千克时，每天的销售量为90千克， 销售10天后，还剩下苹果（千克）． 由，得． 把代入中得， ，随的增大而减小， 当时，， 新的售价最高可以定为6元/千克， 答：新的售价最高定为6元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完． 15．某校对教室采用药薰法进行灭蚊．根据药品使用说明，药物燃烧时，室内每立方米空气中含药量与药物点燃后的时间成正比例，药物燃尽后，y与x成反比例（如图）．已知药物点燃后燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为． (1)求药物燃烧时，y与x之间函数的表达式； (2)求药物燃尽后，y与x之间函数的表达式； (3)根据灭蚊药品使用说明，当空气中每立方米的含药量低于时，对人体是安全的．那么从开始药薰，至少经过多少时间，学生才能进入教室？ (4)根据灭蚊药品使用说明，当每立方米空气中含药量不低于且持续时间不低于时，才能有效杀灭室内的蚊虫，那么此次灭蚊是否有效？为什么？ 【答案】(1) (2) (3)从药薰开始，至少需要经过30分钟后，学生才能回到教室 (4)能有效杀灭室内的蚊虫，见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数和正比例函数的应用，正确数形结合得出函数解析式是解题关键． （1）依据题意，利用待定系数法可得出答案； （2）依据题意，利用待定系数法可得出答案； （3）依据题意，当时，求得反比例函数的值，可得出答案； （4）依据题意，将分别代入两个解析式，得出答案． 【详解】（1）解：由题意，设药物燃烧时y关于x的函数关系式是，将点代入， ， ， 药物燃烧时y关于x的函数关系式是，自变量 x的取值范围是； （2）解：由题意，设药物燃烧后y关于x的函数关系式是，把代入， ， 药物燃烧后y与x的函数关系式为，自变量 x的取值范围是； （3）解：由题意，当时，代入， ， 从药薰开始，至少需要经过30分钟后，学生才能回到教室； （4）解：此次灭蚊有效，将分别代入，， 和， 持续时间是， 能有效杀灭室内的蚊虫． 36 / 54 学科网（北京）股份有限公司 $$