二次函数部分解答题专项练习-2025年九年级中考数学三轮冲刺训练

二次函数部分解答题专项练习 2025年九年级中考数学三轮冲刺训练 1．如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，．点是该抛物线上一动点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，若点在第一象限，点在的延长线上，当时，求点的坐标： (3)如图2，若点在第四象限，直线与交于点，过点作轴交于点，当是等腰三角形时，求线段的长． 2．已知，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且对称轴为直线，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，在第二象限的抛物线上作点D，连接交直线于点E，若与相似，求点D的横坐标； (3)如图2，经过点的直线l：（）交抛物线于M，N两点（M在第三象限，N在第一象限），直线：交线段于点Q（不与M，P重合），设的面积为，求的取值范围． 3．已知抛物线交x轴于点，点，交y轴于点，连接． (1)求该抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上一动点，且在直线的上方（不与点重合），连接． ①求的面积的最大值； ②若，求的取值范围． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为P，且与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点C关于x轴的对称点为点D． (1)求出A，B，C三个点的坐标； (2)求四边形的面积； (3)将抛物线沿对称轴上下平移后的抛物线记为，与y轴交点为，设抛物线顶点的纵坐标为m． ①线段的长度记为l，求l关于m的函数解析式； ②如图，以为邻边作矩形，若抛物线在上下平移的过程中，与矩形的四条边恰好共有两个交点，直接写出m的取值范围． 5．如图1，已知抛物线经过点，C，与y轴交于点A，顶点为D． (1)求该抛物线的表达式，并写出其顶点坐标； (2)如图2，连接，若点P为直线上方抛物线上的一个动点，且，求点P的横坐标； (3)当时，y的取值范围是，且，求a的值． 6．如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，且交轴于另一点． (1)求该抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上是否存在点，使四边形面积最大？若存在，求出四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由； (3)将线段绕轴上的动点顺时针旋转得到线段．若线段与抛物线只有一个公共点，求的取值范围． 7．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，一次函数与抛物线交于，两点，与直线交于点，分别过点，，作轴的垂线，其垂足依次为点，，，若，求的值； (3)如图2，点为第一象限抛物线上一动点，连接，，将线段绕点逆时针旋转得到，点落在第一象限，连接，点关于的对称点为，连接，，分别交于点，点，请问，是定值吗？如果是，请分别求出定值；如果不是，请说明理由． 8．已知二次函数． (1)若二次函数上的点恒成立不等式，请求出的最小值． (2)若，直线与二次函数图象交于，两点（假设点在点左侧）． ①若，点是二次函数图像上一点，且介于点，之间，求的最大值． ②已知定点，求证． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧）．与轴交于点，顶点为，抛物线：经过点． (1)当点的坐标为时，求抛物线的表达式； (2)在（）的条件下，在第二象限内抛物线上是否存在一点，使得的面积是的面积的一半？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由： (3)若抛物线和抛物线构成的封闭图形内部（不包含边界）有个整点（横、纵坐标都是整数），请求出的取值范围． 10．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接、，求四边形的面积的最大值，并写出此时点P的坐标． (3)在（2）的条件下，点N是x轴上一动点，求当N点坐标为 时，的值最小，最小值为 ． (4)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B的坐标是，． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴交直线于点Q，求的最大值及此时P点的坐标； (3)点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与相似，求出符合条件的点D的坐标． 12．如图，直线与x，y轴分别交于B，C两点，抛物线经过B，C两点，且交x轴于另一点A． (1)求B，C两点的坐标及该抛物线所表示的二次函数的表达式； (2)如图1，若直线l为抛物线的对称轴，请在直线l上找一点M，使得最小，求出点M的坐标； (3)如图2，若在直线上方的抛物线上有一动点P（与B，C两点不重合），过点P作轴于点N，与线段交于点N，当点N是线段的三等分点时，求点P的坐标． 13．如图，抛物线与轴相交于点和点，与轴交于点，顶点为．过点作轴交直线于点，作轴交直线于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，连接，求的面积； (3)如图2，若点在线段上运动，点在线段上运动，且满足，求的最小值． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，求点的坐标． 15．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于两点，为抛物线顶点． (1)求的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《二次函数部分解答题专项练习-2025年九年级中考数学三轮冲刺训练》参考答案 1．(1) (2) (3)或或 【分析】（1）根据待定系数法解答即可； （2）先利用勾股定理的逆定理判断，继而可得，在轴上取点，连接，易得是等腰直角三角形，可得，进一步可推出，可得，然后利用待定系数法分别求出直线与的解析式，再与抛物线的解析式联立方程组求解即可； （3）设直线交y轴于点，如图，由题意可得为等腰三角形，则也为等腰三角形，设，求出直线和直线的解析式后，再解方程组求出点的坐标，然后分三种情况求出的值，再求出直线的解析式，进而可求出点的坐标和点的坐标，问题可求解． 【详解】（1）解：已知抛物线与轴交于点，，设抛物线的交点式为， 把代入，可得：即，解得， 所以抛物线的表达式为． （2）解：如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在轴上取点，连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，把点代入，可得， ∴直线的解析式为， 解方程组，得或，， ∵点在第一象限， ∴点的坐标是． （3）解：设直线交y轴于点，如图， 轴， ，， 若为等腰三角形，则也为等腰三角形， ，， 直线的解析式为， 设， ， 直线的解析式为， 解方程组，得， 点的坐标是， ，，， 当时，，解得：（舍去正值）， 此时直线的解析式为， 解方程组，得或， 点的坐标是，此时点的坐标是， ， 当时，，解得或（舍）或（舍）， 此时直线的解析式为， 解方程组，得或， 点的坐标是，此时点的坐标是， ； 当时，，解得或（舍去）， 此时直线的解析式为， 解方程组，得或， 点的坐标是，此时点的坐标是， ； 综上，或或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、直线与抛物线的交点以及等腰三角形的判定和性质等知识，具有相当的难度，熟练掌握二次函数的图象和性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键． 2．(1)； (2)或； (3)． 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）分两种情况：①当时，，②当时，，分别求解即可； （3）根据经过点，则，得到，代入得，联立与， 解得，再根据三角形面积公式得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 又∵对称轴为直线， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图1，①当时，，则， 设直线解析式为， 将代入得： ， 解得：， ∴直线解析式为， ∴， ∴直线解析式为：， 联立抛物线与直线得：， 整理得：， 解得：，（舍去）； ②当时，，作，如图2， ∵，对称轴为直线， ∴， ∴，， ∴，， ，， 作，则， 设，， ∴， ∴， ∴点， ∴直线解析式为：， 联立抛物线与直线，得：， 解得，（舍去）， 综上所述点的横坐标为或； （3）解：直线：交线段于点（不与重合）， 当时，， ∴点， ∴， ∵直线：经过点， ， ∴， ∴直线：， 联立直线：与直线：，得： ， 解得：， 又∵， ， ，随的增大而减小， ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的性质，解直角三角形，一次函数的图象与性质，求函数解析式等知识，掌握相关知识是解题的关键． 3．(1)； (2)①；② 【分析】（1）利用待定系数法即可求出二次函数解析式； （2）①先求出直线的解析式，过点P作轴于点R，交于点Q，设点P的坐标为，则点Q的坐标为，由，然后结合二次函数的性质即可解答； ②根据轴，轴，推出，在中，由即可得解答． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，点， ∴二次函数的表达式可写为， ∵点在抛物线上， ∴，解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）解：①设直线的表达式为， 把和代入，得： ， 解得：， ∴直线的表达式为． 如图：过点P作轴于点R，交于点Q， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为， ∴． ∴ ． ∵动点P在直线的上方（不与B，C重合）， ∴． ∴当时，面积取得最大值，最大值是； ②∵轴， ∴轴， ∴． ∴ ∵，， ∴在中， ， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数与面积综合、二次函数与角度综合问题、待定系数法求抛物线解析式、抛物线的最值、解直角三角形等知识点，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． 4．(1)A点坐标为，B点坐标为；C点坐标为； (2) (3)①；②或． 【分析】（1）令可求出点A和点B的坐标，令可求出点C的坐标； （2）根据求解即可； （3）① ②分顶点在x轴上到顶点在上和图象经过点E到图象经过点D两种情况，求出临界点即可． 【详解】（1）当时，， 解得， ∴A点坐标为，B点坐标为； 当时，， ∴C点坐标为； （2）∵， ∴抛物线的顶点为． ∵A点坐标为，B点坐标为， ∴． ∵C点坐标为， ∴， ∴ ； （3）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线沿对称轴上下平移后的抛物线记为，抛物线顶点的纵坐标为m， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为， 当时，点在x轴的上方，此时， 当时，点与原点重合，此时， 当时，点在x轴的下方，此时， ∴； ②如图， 当顶点在x轴上到顶点在上时： 把代入，得， 把代入，得， ∴； 当图象经过点E到图象经过点D时： 把代入，得， 把代入，得， ∴ 综上可知，或． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，二次函数的平移，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键． 5．(1)，； (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）两点式写出函数解析式，转化为顶点式，求出顶点坐标即可； （2）取的中点，连接，过点作的平行线，交轴于点，求出的坐标，将直线向上平移个距离，平移后的直线与抛物线的交点即为点，进行求解即可； （3）根据二次函数值的增减性，分2种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，C， ∴， ∵， ∴顶点坐标为：； （2）∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 取的中点，连接，过点作的平行线，交轴于点，则：， ∵， ∴， ∴点到的距离等于点到的距离， 由（1）知：， ∴， ∴设直线的解析式为：， 把代入，得：，解得：， ∴，当时，， ∴， ∴， ∴将直线向上平移2个单位得到，点即为直线与抛物线的交点， 令，解得：或； 故点的横坐标为：； （3）∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当时，有最小值为， ∵， ∴当时，，当时，， ∵， ∴当时，，解得：或（舍去）； 当时，则：，解得：（舍去）或； 综上：或． 6．(1)； (2)当时，四边形面积最大，其最大值为8； (3)当或时，线段与抛物线只有一个公共点． 【分析】（1）令，由，得点坐标，令，由，得点坐标；将、的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式， （2）由二次函数解析式令，求得点坐标；过点作轴，与交于点，设，则，由三角形的面积公式表示出四边形的面积关于的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得的值，便可得点的坐标； （3）根据旋转性质，求得点和点的坐标，令点和点在抛物线上时，求出的最大和最小值便可． 【详解】（1）解：令，得， ∴， 令，得，解得，， ∴， 把、两点坐标代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，得， 解得，，或， ∴； 过点作轴于X，与交于点，如图，    设，则， ∴， ∵， ∴， ∴当时，四边形面积最大，其最大值为8； （3）解：∵将线段绕x轴上的动点顺时针旋转得到线段，如图，    ∴，， ∴，， 当在抛物线上时，有， 解得，， 当点在抛物线上时，有， 解得，或2， ∴当或时，线段与抛物线只有一个公共点． 【点睛】本题是一个二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，待定系数法，求函数图象与坐标轴的交点，求函数的最大值，三角形的面积公式． 7．(1) (2) (3)，都是定值，， 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法求解即可得； （2）设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，先结合函数图象判断出，，，，则，，，再利用二次函数与一元二次方程的关系可得，，联立两条直线的解析式可得，代入化简计算即可得； （3）如图（见解析），过点作轴的垂线，交于点，连接，先求出，从而可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，，根据平行线的判定与性质可得，根据三角形的外角性质即可得；然后根据等腰三角形的判定可得，，设，，利用勾股定理可得，，最后求出的长，由此即可得． 【详解】（1）解：将点，代入抛物线得：， 解得， 则抛物线的解析式为． （2）解：设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 将代入抛物线得：，即， 将代入一次函数得：， 一次函数与轴的交点坐标为，位于点的上方， 由函数图象可知，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∵一次函数与抛物线交于，两点，与直线交于点， ∴点，，的横坐标均大于0， ∵分别过点，，作轴的垂线，其垂足依次为点，，， ∴，，，，，， 联立，得， ∴，， ∴， 联立，得， ∴，解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． （3）解：如图，过点作轴的垂线，交于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∴， 由轴对称的性质得：垂直平分， ∴，， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，（等腰三角形的三线合一）， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 设，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 综上，，都是定值，，． 【点睛】本题考查了二次函数的应用、二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程的根与系数的关系、旋转的性质、轴对称的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，较难的是题（3），通过作辅助线，构造等腰三角形，熟练掌握旋转和轴对称的性质是解题关键． 8．(1) (2)①；②见解析； 【分析】（1）由题意可知，，即，由可知，与轴的交点最多为1个时，不等式恒成立，利用判别式小于等于0即可； （2）①联立直线与抛物线，先求得点和，过点作轴交直线于，过点作于，过点作于，设点，那么，通过，表示出，从而得到的最大值；②设点，，作轴于，作轴于，联立直线和抛物线，得到，通过根与系数的关系，得到，，，通过计算可知，，得到，利用 ，，可知，推出，得证． 【详解】（1）二次函数上的点恒成立不等式， ∴ ∴ ∴ （2）解：①， ， ， ， 联立直线和抛物线，得到 解得，， 当时，，那么 当时，，那么 过点作轴交直线于，过点作于，过点作于，设点，那么，如图所示： 时，有最大值，最大值为， 此时，且介于点，之间，符合题意； 的最大值为； ②证明：设点，，作轴于，作轴于，如图所示： 联立直线和抛物线，得到 ， ， ， ， 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值，二次函数与一次函数的交点问题，解直角三角形，一元二次方程与根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 9．(1) (2)存在，点的坐标为 (3) 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）过点作 交轴于点，利用平行线间的面积处处相等，可将转化为，再根据和的关系，可得三角形底之比，从而确定点的坐标，再确定的解析式，最后求交点坐标即可得到结论； （）根据抛物线经过抛物线的顶点，从而将点代入抛物线可得，由抛物线经过抛物线的顶点，可得个整点分布在 和上，从而可得的取值范围； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，三角形的面积等知识，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：存在，点的坐标为，理由如下： 过点作 交轴于点，则， ∵， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴为， ∴点和点的中点坐标为， 即点坐标为， 设过点和的直线解析式为, 则， 解， ∴的解析式为， ∵， ∴可设的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴的解析式为， 联立，可得， 解得，， ∵点在第二象限， ∴点的横坐标为， 把代入， 得， ∴点的坐标为； （3）解：把代入，得， ∴， ∴抛物线， ∴顶点的坐标为， ∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线的顶点坐标为， 把代入抛物线，得， ∴点也在抛物线上， 即点为抛物线和抛物线的交点， 设抛物线与轴交于点， 过点作轴，交抛物线于点，则，， 又∵，， ∴， ∵抛物线和抛物线构成的封闭图形内部(不包含边界)有个整点， ∴， ∴． 10．(1) (2)四边形的面积最大为16；点P的坐标为 (3)， (4)点的坐标为或或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）把，代入，求出b和c的值，即可得出函数解析式； （2）易得，设，则，求出，则，根据四边形的面积，结合二次函数的增减性，即可解答； （3）作C点关于x轴的对称点，连接与x轴相交于点N，此时的值最小，根据两点间距离公式即可求出的最小值，再求出直线的解析式为，即可得到点N的坐标； （4）设，根据两点之间距离公式得出，，，然后分情况根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ∴该二次函数的解析式； （2）解：∵，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∴四边形的面积， ∵， ∴当时，四边形的面积最大为16，此时点P的坐标为； （3）解：作C点关于x轴的对称点，连接与x轴相交于点N， 此时的值最小，， 设直线的解析式为，则， 解得：， 则直线的解析式为， 令， 解得：， 此时点； （4）解：设， ∵，， ∴，，， 当斜边为时，， 即，整理得：， 解得：； 当斜边为时，， 即， 解得：； ∴ 当斜边为时，， 即， 解得：； ∴ 综上：点的坐标为或或或． 11．(1) (2)的最大值为，此时点P的坐标为 (3)点D的坐标为或 【分析】（1）由抛物线解析式可求得点C的坐标，从而由可求得点A的坐标，再用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）过点Q作轴于点H，易得为等腰直角三角形，则，因而有；求出直线的解析式为，设点P的坐标为，求得，则得关于m的二次函数，利用二次函数的知识即可求解； （3）设点D的坐标为，由题意得，，；分两种情况讨论：①当时，②当时；利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点C， 令，得， ∴点C的坐标为， ∴， ∵， ∴， 即点A的坐标为， ∵点， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式是； （2）解：过点Q作轴于点H，如图1所示： ∵点B的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为， ∵轴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴ ， ∴当时，有最大值，且最大值为， ∴的最大值为，此时点P的坐标为： （3）解：如图2， 设点D的坐标为， ∵， ∴为的锐角三角形，所以也是锐角三角形， ∴点D在点C的上方， ∴， ∴， ∵，，， ①当时， ∴，即， 解得：， 即点， ②当时， ∴，即， 解得：， 即点， 综上所述：符合条件的点D的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，注意分类讨论，灵活运用这些知识是解题的关键． 12．(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数综合应用，涉及待定系数法求解析式、线段和最值问题、动点问题，解题的关键是表示P的坐标及列方程解决问题． （1）令，可求出点的坐标，令，可求出点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线解析式； （2）设直线交直线于点，由对称性可知，当三点共线时， 取得最小值，故直线与直线的交点即为所求； （3）设，则， 则 ，，由题意可知点是线段的三等分点，分或两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：令得即， 令得 ，解得：，即， 把，两点坐标代入得， ，解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∴对称轴是直线， 设直线交直线于点， 由对称性可知， 当三点共线时，取得最小值，故直线与直线的交点即为所求， 当，， ∴； （3）解：设，则， ，， 由题意可知：点是线段的三等分点， 或 ， ①当时，， 即：， 解得：， 经检验：不合题意舍去， ； ②当时，， 即：解得：， 经检验：不合题意舍去， ∴， 由①②可知：当点是线段的三等分点时，点的坐标为或． 13．(1) (2)4 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数点的坐标特征，二次函数的最值问题，全等三角形等知识点，解题的关键是熟练准确掌握各知识点． （1）利用待定系数法即可求出抛物线表达式； （2）利用抛物线顶点坐标公式求出顶点坐标，根据题意求出相关点的坐标，并求出相应线段的长度，最后可求三角形面积； （3）构造辅助线，利用全等三角形的判定和性质求出对应边相等，利用两点之间线段最短，最后可求出线段和的最小值． 【详解】（1）解：将，代入中，得 解得 抛物线的函数表达式为． （2）解：点为抛物线的顶点， ， ， 设直线的函数表达式为， 将代入得， 直线的函数表达式为． 将代入得，， ． （3）解：， ，即， 轴，轴， ， ． 如图，过点作直线轴，在上取，连接， 则， （SAS）， ， ， 当在上时，取得最小值，最小值为的长， 在中，． 故的最小值为． 14．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设，求得最大，点，再证明四边形是平行四边形，得到，推出当共线时，取最小值，即取最小值，据此求解即可； （3）求得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，再分点Q在下方和上方两种情况讨论，计算即可求解． 【详解】（1）解：把，代入中得：， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：在中，当时，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴, ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当,即时，有最大值，此时， ∴， ∴，， ∴，， 如图所示，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当共线时，取最小值，即取最小值， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：由（2）得点的横坐标为，代入，得， ∴， ∵将该抛物线沿射线方向平移得到一个新的抛物线，且， ∴可设新抛物线由向左平移个单位，向下平移个单位得到， ∴新抛物线解析式为， ∵新抛物线经过点D， ∴， 解得或（舍去）， ∴新抛物线解析式为， 联立，解得或， ∴； 同理可得直线解析式为； 过点作交抛物线于点， ∴， 同理求得直线的解析式为， ∵， ∴当点Q    在下方时，满足， ∴可设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵当点Q在上方时，，故此种情形不成立； 综上所述，. 【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． 15．(1)， (2) (3) 【分析】（1）通过长度先得到点坐标，再将两点代入函数解析式，解方程即可； （2）先求出直线的函数表达式，设出点坐标为，进而得到两点坐标，再通过列出方程，解方程即可； （3）取取，连接，，先证得，得到，进而可得到，再通过两点坐标求得长度． 【详解】（1）解：， 点坐标为， 将，代入， 得， 解得， （2）解：设直线的表达式为， 由（1）可知抛物线的表达式为， 故点坐标为， 直线的表达式为 设点坐标为， 则， ， ， 若， 则， 解得， ， 故，此时点坐标为； （3）如图，取，连接， ，，， 又， ， ， ， ， ， 故的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，能够熟练掌握二次函数的基本性质以及相似三角形的应用是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$