精品解析：2025届重庆市南开中学高三第八次质量检测数学试卷

重庆市高 2025 届高三第八次质量检测 数 学 试 题 注意事项： 1． 本试卷满分 150 分， 考试时间 120 分钟． 2． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 设集合，则（ ） A B. C. D. 2. 若，则“”是复数“”为纯虚数的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知 为单位向量，向量 ，若 ，则 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 已知 ，则 （ ） A B. C. D. 5. 鬼工球， 又称同心球， 要求制作者使用一整块完整材料， 将其雕成每层均同球心的数层空心球，已知鬼工球最内层的空心球上有 2 个雕孔，且向外每层雕孔数依次增加 2个． 现制作两个这样的鬼工球，层数分别为 层和 5 层 且 ，若 层鬼工球与 5 层鬼工球的雕孔总数的比值为 3 ，则 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 已知定义域为 的连续函数 满足： ① 为偶函数； ② ； ③ ． 则 的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 7. 正三棱台上、下底面的边长分别为 3、6、侧棱长为 ，则其外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线，倾斜角为的直线与的渐近线交于两点在第一象限，在第四象限)，线段的中点为为坐标原点，直线与的一个交点为．则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求． 全部选对得 6 分， 部分选对得部分分， 有选错得 0 分． 9. 已知函数与函数的图象有相同的对称轴，则（ ） A. B. C. 将的图象向左平移个单位可得到的图象 D. 函数在内有4个零点 10. 设 为一次随机试验中的两个事件，若，则（ ） A. B. C. D. 与相互独立 11. 已知 ，若 ，则下列关系式能成立是（ ） A. B. C. D. 三、填空题： 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分． 12. 的展开式的常数项是_____(用数字作答)． 13. 若圆与圆（）的公共弦的长为，则______. 14. 数列满足，则的前100项和_____． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记 的内角 的对边分别为 ，已知 ． （1）求 ； （2）若 ，点 在边 上，且 ，求 的长． 16. 如图，在四面体 中， 分别为 的中点，过 的平面 分别交棱 (不含端点) 于 两点． （1）证明： ； （2）若 ，求二面角 的正弦值． 17. 在平面直角坐标系 中，已知动点 与定点 的距离和 到定直线 的距离的比是常数 ． 记 的轨迹为 ． （1）求 的方程； （2）设点 ，过点 的直线 交 于 两点，连接 ，若 ，求直线 的方程． 18. 已知函数 ． （1）讨论函数 的单调性； （2）已知函数 ． ①若 ，求证： 当 时， ； ②若 ，函数 在区间上存在唯一零点，求 的取值范围． 19. 在一款冒险游戏中，共有编号为从 1 到 的 个平台从前至后排列，玩家从平台 1 出发． 玩家需投掷一个质地均匀的骰子(6 个面上的数字分别为 1，2，3，4，5，6)：若骰子向上的面的点数小于 3 ． 则移动到相邻的前一个平台；若骰子向上的面的点数不小于 3 ， 则移动到相邻的后一平台 投掷机会耗尽时到达的平台编号数即为其最终得分； 在挑战过程中， 当他处于平台 1 而需要移动到前一平台时， 游戏立刻结束， 得分为 0 ． 玩家在投掷机会耗尽前 (或因规则被迫结束挑战) 不会停止挑战． （1）若玩家拥有 3 次投掷机会，求在他的最终得分为 0 分的条件下，抛掷结果中有且仅有两次点数小于 3 的概率； （2）设玩家拥有 次投掷机会，其最终得分为 ． ①求 ； ② 设 ，证明： 当 偶数时， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市高 2025 届高三第八次质量检测 数 学 试 题 注意事项： 1． 本试卷满分 150 分， 考试时间 120 分钟． 2． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断出为奇数集，为整数集，从而可判断两者之间的关系. 【详解】∵集合，故为奇数集. 而，故为整数集， ∴. 故选：B. 【点睛】本题考查集合的包含关系，一般根据集合元素的特征确定出两个集合的包含关系，本题属于基础题. 2. 若，则“”是复数“”为纯虚数的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据纯虚数的概念进行判断即可. 【详解】若，则为纯虚数； 若为纯虚数，，则有，解得. 所以，当时，“”是复数“”为纯虚数的充要条件. 故选：C 3. 已知 为单位向量，向量 ，若 ，则 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律和定义直接计算即可. 【详解】，则. 故选：B. 4. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二倍角公式化简得，再结合即可. 【详解】，有， ，结合， . 故选：D. 5. 鬼工球， 又称同心球， 要求制作者使用一整块完整的材料， 将其雕成每层均同球心的数层空心球，已知鬼工球最内层的空心球上有 2 个雕孔，且向外每层雕孔数依次增加 2个． 现制作两个这样的鬼工球，层数分别为 层和 5 层 且 ，若 层鬼工球与 5 层鬼工球的雕孔总数的比值为 3 ，则 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列求和公式即可得到，解出即可. 【详解】由题意，这样的鬼工球第层的雕孔数为个， 则层鬼工球的雕孔总数为个， ，即， 解得或（舍）． 故选：D. 6. 已知定义域为 的连续函数 满足： ① 为偶函数； ② ； ③ ． 则 的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据①得关于直线对称，再得其关于点对称，则得到其周期性，再利用其单调性即可比较大小. 【详解】由①，有关于直线对称； 由②，令，则，有关于点对称； 则，又因为，则， 则，则，则， 则的周期为12，故； 由③，知在单调递增，关于点对称， 在单调递增，又在上连续， 在单调递增，故有， 即． 故选：C. 7. 正三棱台上、下底面的边长分别为 3、6、侧棱长为 ，则其外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出图形，由正三棱台的对称性可得，正三棱台的外接球的球心落在上底面中心与下底面中心的连线上，先求出三棱台的高，再由外切球的性质得到外接球的半径，即可求解. 【详解】如图，设正三棱台上、下底面的中心分别为的中点分别为， 连接，由正三棱台的性质可知 ， 易知正三棱台外接球的球心在直线上，设球心为，如图所示， 过作于， 因为正三棱台上、下底面边长分别为3、6，所以，， 因为分别为、的中心，所以， 根据梯形的性质结合勾股定理得出， ，两边平方整理得， 则由勾股定理得出， 设，则， 两边平方整理得， 则其外接球的表面积为. 故选：C 8. 已知双曲线，倾斜角为的直线与的渐近线交于两点在第一象限，在第四象限)，线段的中点为为坐标原点，直线与的一个交点为．则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】首先表示出渐近线方程，依题意设，，即可表示点坐标，从而得到，，再两式相乘得到，最后由离心率公式计算可得. 【详解】双曲线的渐近线为， 依题意设，，则， 所以，， 两式相乘得， 所以双曲线的离心率. 故选：B 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求． 全部选对得 6 分， 部分选对得部分分， 有选错得 0 分． 9. 已知函数与函数的图象有相同的对称轴，则（ ） A. B. C. 将的图象向左平移个单位可得到的图象 D. 函数在内有4个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】依题意两者具有相同的周期，即可求出，从而判断A，的图象是由的图象向左平移个单位后所得，即可判断B、C，将问题转化为的零点，即可判断D. 【详解】对于A：因为函数 与函数 的图象有相同的对称轴， 所以两者具有相同的周期，所以，故A正确； 对于B、C：因为， 又，最小正周期且 与 的图象有相同的对称轴且不重合， 所以的图象是由的图象向左平移个单位后所得， 所以，故B正确，C错误； 对于D：函数的零点，即方程的根，即为函数的零点， 对于，令，解得， 所以在内有，，，共个零点，故D正确. 故选：ABD 10. 设 为一次随机试验中的两个事件，若，则（ ） A. B. C. D. 与相互独立 【答案】AC 【解析】 分析】先由求出，利用条件概率公式得，进而得判断A，B；再由得出，算出判断C；最后根据与求，与比较判断D. 【详解】已知，则. 由可得， 因为，所以， 所以选项A正确，B错误； 因为，所以， 即，故C正确； 因为，所以， 故D错误； 故选：AC 11. 已知 ，若 ，则下列关系式能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】令，先求与的导数，通过导数判断其单调性与最值，再构造函数判断其单调性，最后结合函数值及图象分析时与的大小关系. 【详解】令，， ， 当时，， 当时，由，则，， 综上可知，在上单调递增， ，令，即，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 最小值为， 当时，，，即， 当时，令， ， 因，，所以， 单调递增，且，所以，即. 故二者图象如图所示，令， 当时，， 当时，或， 当时，或. 故选：BC 三、填空题： 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分． 12. 的展开式的常数项是_____(用数字作答)． 【答案】 【解析】 【分析】根据展开式通项得，再令即可解出. 【详解】设展开式的通项为， 令，解得，，为所求常数项． 故答案为：. 13. 若圆与圆（）的公共弦的长为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】将两圆的方程作差可得两圆的相交弦的直线方程，再求出圆心到相交弦所在直线的距离，根据弦心距三角形可建立方程，可求得的值. 【详解】已知两个圆的方程分别为与， 将两个圆作差可得相交弦的直线方程为， 所以可得：圆心到直线的距离， 由此可得：，又，解得：. 故答案为： 14. 数列满足，则的前100项和_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得当为偶数时，当为奇数时，进而求得奇数项与偶数项的和即可求解. 【详解】， ①当偶数时， ，，， ，， … ， . ②当为奇数时， ，， ， ，，…，， ， 故答案为： 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记 的内角 的对边分别为 ，已知 ． （1）求 ； （2）若 ，点 在边 上，且 ，求 的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，在条件下化简等式，通过三角函数关系求出角； （2）由余弦定理结合边的关系求出，再根据等面积即可求出. 【小问1详解】 由 和正弦定理，可得， 因，则，化简得， ，. 【小问2详解】 由（1）得，由余弦定理得，，即， 将代入化简：，解得， 因，由可得： ， 即，解得. 16. 如图，在四面体 中， 分别为 的中点，过 的平面 分别交棱 (不含端点) 于 两点． （1）证明： ； （2）若 ，求二面角 的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据中位线性质得，再利用线面平行的判定与性质即可证明； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，再利用面面角计算公式即可得到答案. 【小问1详解】 分别为的中点，， 因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以， 又. 【小问2详解】 取中点，连接， ， 又， 在中，， 则两两垂直； 以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向如图所示建立空间直角坐标系． ， 设平面的法向量， ，取， 设平面的法向量， ，取， ，记二面角的平面角为． 17. 在平面直角坐标系 中，已知动点 与定点 的距离和 到定直线 的距离的比是常数 ． 记 的轨迹为 ． （1）求 的方程； （2）设点 ，过点 直线 交 于 两点，连接 ，若 ，求直线 的方程． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（1）设，根据题意得到方程，化简即可； （2）首先考虑斜率不存在时是否满足题意，再设，联立椭圆得到韦达定理式，计算得的表达式，代入韦达定理式解方程即可. 【小问1详解】 设，由题意：， 化简得：； 【小问2详解】 设点， ①当直线的斜率不存在吋，， ，符合题意； ②当直线的斜率存在时，设， ， 恒成立， ， 由题：动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数， ， ， ， 综上：直线的方程为或． 18. 已知函数 ． （1）讨论函数 的单调性； （2）已知函数 ． ①若 ，求证： 当 时， ； ②若 ，函数 在区间上存在唯一零点，求 的取值范围． 【答案】（1）答案见解析； （2）①证明见解析；②. 【解析】 【分析】（1）求导得，再对分类讨论即可； （2）①，从而得到在下单调递增，则，则得到的单调性，即可证明； ②当时,分析得在上单调递增，再取点计算得，最后利用零点存在性定理即可得到答案. 【小问1详解】 ， ①当，即时，恒成立，在上单调递增． ②当，即或时，令，解得， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增． 即在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 (i)， ， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 则上单调递增，则，得证． （ii）当时，，同理有在上单调递增， 而， 故由零点存在定理可知，存在唯一的，使得． 当时，单调递减； 当时单调递增． ， 故由零点存在定理可知，在无零点，在上存在唯一零点．符合题意． 当时，由（i）可知不合题意，故舍去． 综上所述，的取值范围为． 19. 在一款冒险游戏中，共有编号为从 1 到 的 个平台从前至后排列，玩家从平台 1 出发． 玩家需投掷一个质地均匀的骰子(6 个面上的数字分别为 1，2，3，4，5，6)：若骰子向上的面的点数小于 3 ． 则移动到相邻的前一个平台；若骰子向上的面的点数不小于 3 ， 则移动到相邻的后一平台 投掷机会耗尽时到达的平台编号数即为其最终得分； 在挑战过程中， 当他处于平台 1 而需要移动到前一平台时， 游戏立刻结束， 得分为 0 ． 玩家在投掷机会耗尽前 (或因规则被迫结束挑战) 不会停止挑战． （1）若玩家拥有 3 次投掷机会，求在他的最终得分为 0 分的条件下，抛掷结果中有且仅有两次点数小于 3 的概率； （2）设玩家拥有 次投掷机会，其最终得分为 ． ①求 ； ② 设 ，证明： 当 为偶数时， ． 【答案】（1）； （2）①；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）写出，再利用条件概率公式即可得到答案； （2）①写出，再计算其分布列，最后利用期望公式即可得到答案； ②分析得，再利用期望公式计算即可. 【小问1详解】 由题可知，移动到前一个平台的概率为， 移动到后一个平台的概率为． 记第次移动到后一个平台为，移动到前一个平台则为． 设“拥有3次投郑机会的玩家最终得分为0”为事件， “抛掷结果中有且仅有两次点数小于3”为事件， 则； . 【小问2详解】 ①则， ， ， 作的分布列如下： 0 1 3 5 . ②由题意知，． 而， 当时，， . 因此， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $