9.4探索三角形相似的条件　解答题专题训练　2024—2025学年鲁教版（五四制）八年级数学下册

2024-2025学年鲁教版（五四学制）八年级数学下册《9.4探索三角形相似的条件》 解答题专题训练（附答案） 1．如图，若，．求证： ． 2．如图，在△ABC中，点D在边上，且满足．请找出图中的一对相似三角形，并证明． 3．如图，△ADE与△ABC有公共顶点，．求证：． 4．如图，为△ABC的角平分线，的垂直平分线交的延长线于E，交于F，连接．求证：． 5．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE（为锐角），点D与点B对应，连接，．求证：． 6．如图，在平行四边形中，，若点分别为边上的两点，且．求证：．    7．如图，△ABC是等边三角形，点、分别在、的延长线上，． (1)请找出图中相似的三角形； (2)请选择其中一对说明理由． 8．如图，在四边形中，是的中点，交于点．，． (1)求证： (2)若，求的长． 9．如图，在△ABC中，平分，点E在上，且．    (1)求证：； (2)若，，求的值． 10．如图，点在平行四边形的边上，连接并延长与的延长线交于点． (1)求证：； (2)当，且时，求的长． 11．如图，△ABC的高，相交于点O．    (1)写出一个与相似的三角形（不添加其他线段），这个三角形是______； (2)请任选一对进行证明． 12．如图所示，在的正方形方格中，△ABC和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上． (1)填空：______，______； (2)判断△ABC与是否相似？并证明你的结论． 13．在矩形中，于点，连接，过点作交于点．    (1)求证：； (2)若，求的长． 14．如图1，中，，是的高． (1)△ADE与△ABC相似吗？为什么？ (2)如图2，若，，的中点为F，的中点为M，连接，求的长． 15．如图，在中，，平分，作交于点E，垂足为F．作，垂足为G．    (1)求证：． (2)求证：． 16．如图，在矩形中，连接，作的垂直平分线分别交于点，与的交点为，连接和．    (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，过点作的垂线，分别交于点，直接写出与相似但不全等的三角形． 17．在△ABC中，，． (1)如图1，若点D关于直线的对称点为点F，求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，若，求证：； (3)如图3，若，点E在的延长线上，则等式仍成立，请说明理由． 18．已知E是边长为7的正方形对角线上一点，过点E的直线平行于，交于M，交于N，于E，交于F，当时 (1)求证：． (2)求证：． (3)求的长． (4)求的值 19．如图1，在矩形中，，，点是边上一点，连接，．    (1)若时，求的长度； (2)如图2，以为边在的左侧作矩形，且，连接，． ①求证：； ②求证：． 20．（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．    【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 参考答案 1．证明：， ， ， ， ． 2．解：∵， ∴， ∵， ∴． 3．证明：∵， ∴，即， ∵，， 又∵， ∴， ∴． 4．解：∵是的平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又 ∴． 5．解：绕点旋转得到， ，，， ， ． 6．证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ，即， ． 7．（1）解：相似三角形有：，； （2）的理由： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 的理由： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．（1）证明：∵， ∴点是的中点， 又∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）知：，， ∴，， 又∵，， ∴，， 又∵， ∴四边形为平行四边形； ∴， 在中，， ∴的长为． 9．（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：作于点F，于点G，    ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 10．（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ 11．（1）与相似的三角形有，，， 故答案为：，，（写出一个即可）． （2） 证明：∵的高，相交于点O， ∴． ∵， ∴．    12．（1）解：， ； 故答案为； ； （2）解：． 证明：在的正方形方格中， ，， ． ，， ， ，． ∴ ． 13．（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵于点，交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ （2）解：∵，，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴． 14．解：（1）、是的高． ， ， ， ，即， ， ； （2）连接、， ∵是的高，为的中点， ∴在中，， 同理可得， ∴， ∵是的中点， ∴， 由，设， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵，且， ∴． ∴． 15．（1）证明：∵，， ∴． 又∵， ∴∽， ∴，即． （2）证明：∵平分， ∴． 又∵，， ∴≌， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴∽， ∴，即， ∴． 16．（1）解：四边形是菱形．理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：与相似但不全等的三角形有，，，，，,理由如下： ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，，，，, ∴与相似但不全等的三角形有，，，，,． 17．（1）解：关于直线对称， ，， ， ， 又， ， （2）证明：， ∴，即， 又，， ， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得         ； （3）解：结论仍然成立，理由如下： 解法一：作D，F关于直线对称， ，，， ， ∴，即 ，， ， ，， ， ，   ， 解法二：将绕点A顺时针旋转，得． ，， ，， ∴ 由旋转的性质，， ， ，， ， ，        ． 18．（1）证明：四边形是正方形， , , , ． （2）证明：是正方形的对角线， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； , , , , ． （3） 证明：， ， ， 在中，； （4）解：, . 19．（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴的长度为1或4； （2）证明：∵四边形和都是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；    解：延长，交于点，则， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由（2）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，延长到点，使，连接，   四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$