二次函数压轴之线段周长问题—三角函数类归纳练-2026年中考数学三轮复习备考

二次函数压轴之线段周长问题—三角函数类归纳练-2026年中考数学三轮复习备考 1．（2024·河南洛阳·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式和点的坐标． (2)是抛物线上的两个动点． ①若，求的取值范围； ②过点作轴，过点作轴的平行线与交于点，若，请直接写出的值． 2．（2026·河北邯郸·一模）已知二次函数的最大值是5，其图象记为抛物线． (1)直接写出的对称轴及的值； (2)当时，函数的最大值是，最小值是，若，求的值； (3)如图，将抛物线：先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线． ①直接写出抛物线的解析式； ②已知直线与轴交于点，与直线：交于点，与抛物线，分别交于点，．当时，直接写出点的坐标． 3．（25-26九年级下·甘肃张掖·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线（）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，且，P为直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点Q．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图①，当点P为抛物线的顶点时，求线段的长； (3)如图②，过点P作于点M，设点P的横坐标为t． ①用含t的代数式表示线段的长； ②连接，求四边形面积的最大值，并直接写出此时的长． 4．（2024九年级上·河南濮阳·月考）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图甲，若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线的距离最大时，求点P的坐标； (3)图乙中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2024·重庆·模拟预测）如图1所示，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C． (1)求的面积； (2)如图2所示，点P是直线下方抛物线上的动点，过点P作直线轴交于点Q，过点P作直线交于点G，请求出的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将原抛物线沿着x轴水平向左平移1个单位长度，M是新抛物线对称轴上一点，N是平面内任意一点，请直接写出所有使得以P、B、M、N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标． 6．（2024九年级下·重庆·月考）如图1，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，过点的直线交抛物线的另一个交点为，已知，点是直线上方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作交于点，作轴分别交、于点、点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，将抛物线向右平移4个单位，向上平移4个单位，得到新抛物线，点是新抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系内一点，直接写出所有使得以点、、为顶点的菱形的点的坐标，并写出其中一个点坐标的求解过程． 7．（25-26九年级下·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，经过点的抛物线（，为常数）与轴交于点，顶点为点．点为点右侧抛物线上一点，其横坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)在抛物线的对称轴上找一点E，使得取得最小值，求E点坐标； (3)若点坐标为，连接，取线段的中点，将点绕点顺时针方向旋转得到点，连接，以，为邻边构造矩形． ①设的长为l，求l关于m的函数解析式； ②请直接写出当点P在矩形外部时，m的取值范围． 8．（2024九年级下·江苏盐城·月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形的三个顶点，，，抛物线经过，两点．动点从点出发，沿线段向终点运动，同时点从点出发，沿线段向终点运动，运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，过点作交于点． (1)求点的坐标及抛物线的函数表达式； (2)过点作于点，交抛物线于点．当为何值时，线段的长有最大值？最大值是多少？ (3)连接，是否存在的值使为等腰三角形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 9．（2026·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，交y轴于点C，连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作于点Q，点K为直线上一动点，连接，当取得最大值时，求的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点R为新抛物线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点R的横坐标，并写出求解点R横坐标的其中一种情况的过程． 10．（2024·江苏扬州·模拟预测）综合与探究 如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点P是直线上方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上找一点P，作，当为最大值时，求线段的长； (3)连接，当时，求点P的坐标． (4)若点M为直线上一点，N为平面内一点，是否存在这样的点M和点N使得以C、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M坐标；若不存在，说明理由． 11．（2026·江苏无锡·一模）抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接．点为第一象限内抛物线上的动点，过点作轴于点，交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，当线段最短时，求点的坐标； (3)当时，设函数的最大值为，最小值为，若，直接写出的值． 12．（25-26九年级下·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线下方抛物线上的一动点，连接与直线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点D在点E的上方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线平移个单位长度得到新抛物线，点G为点A的对应点，连接，，．点M为新抛物线上的动点．若，请直接写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的其中一种情况的过程． 13．（2024九年级下·重庆江北·期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，已知点坐标为，顶点的坐标为，抛物线的对称轴与轴的交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，一条长度为2的线段在线段上平移，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点．请求出的最大值以及此时点的坐标； (3)如图3，将抛物线沿轴正方向平移得到新抛物线，当新抛物线经过点时，记与的交点为．点为原抛物线对称轴上一点，点为平面内一点．若以为顶点的四边形是菱形且为菱形的边，请直接写出点的坐标并选择其中一个坐标写出求解过程． 14．（2024九年级下·贵州遵义·开学考试）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，与y轴交于点D，与x轴交于点．是上的动点，设点P的横坐标为，过点P作直线轴． (1)求抛物线的函数表达式及点A、D的坐标； (2)如图2，连接，直线l交直线于点M，连接交于点N，求的长（用含m的代数式表示）及的最大值； (3)在点P运动过程中，将抛物线沿直线l对称得到抛物线，与y轴交于点E，F为上一点，试探究是否存在点P，使是以D为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)，顶点的坐标为 (2)①；②的值为或 【分析】（1）把点代入中得，得出，待定系数法求解析式，即可求解； （2）①由得，解不等式，即可求解； ②由题意可得点的坐标为，根据建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入中得，， ∴抛物线的解析式为． ， ∴抛物线的顶点的坐标为． （2）解：①由得， 解得， 的取值范围是． ②的值为或． 由题意可得点的坐标为， 则，． ， ，解得， 的值为或． 2．(1)对称轴为直线， (2) (3)；或 【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线计算即可得到对称轴，再根据当时，，列式即可得出的值； （2）先得到当和对应的的值，再得到二次函数图象在时的增减性，即可得到、的值，最后根据列式计算即可； （3）先将抛物线的解析式表示为顶点式，再根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”，得到平移后的抛物线的解析式；根据题意得到点，，，的坐标，进而可表示出，的长，最后根据列式计算即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ∵二次函数的最大值是5， ∴当时，， 解得； （2）解：由（1）知，抛物线的表达式为：， 当时，， 当时，， 抛物线的对称轴为直线，抛物线的开口向下， 当时，随的增大而减小， 当时，函数的最大值是，最小值是， 当时，取最大值，当时，取最小值， 即，， ， ， 解得，（负值舍去）， ； （3）解：， 则， 解：由题意点，则点，，， ， ， 当时，即， 解得或或（不合题意，舍去）， 当时，点的坐标为或． 3．(1) (2) (3)①；②四边形面积的最大值为9， 【分析】（1）求出的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出顶点的坐标以及的解析式，进而求出点的坐标，即可得出结果； （3）①先求出的长，解直角 ；②利用分割法求出四边形面积，利用二次函数的性质求出最值，进而求出此时的值，代入①中代数式求出的长即可． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为，且， ∴，， ∴， 设抛物线的解析式为，把代入，得， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为，把，代入，得， 解得， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴； （3）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意，，， ∴， ∴； ②由题意，四边形面积 ， ∴当时，四边形的面积最大为，此时． 4．(1) (2) (3)存在；点M的坐标为或或 【分析】（1）将A的坐标，点C的坐标代入，即可得抛物线的解析式为； （2）过P作轴于D，交于Q，过P作于H，由可得，故，是等腰直角三角形，可证明是等腰直角三角形，即知，当最大时，最大，待定系数法求出直线解析式为，设，则，，故当时，最大，即点P到直线的距离最大，此时； （3）先求出抛物线的对称轴为直线，设，，而，，分三种情况：①以、为对角线；②以、为对角线；③以、为对角线，分别根据中点坐标公式列出方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：将A的坐标，点C的坐标代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过P作轴于D，交于Q，过P作于H，如图所示： 在中，令得：， 解得：或， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当最大时，最大， 设直线解析式为，将代入得， 解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，最大为， ∴时，最大，即点P到直线的距离最大，此时； （3）解：存在，理由如下： 抛物线对称轴为直线， 设，，而，， ①以、为对角线，则、的中点重合，如图： ∴， 解得：， ∴； ②以、为对角线，则、的中点重合，如图所示： ∴， 解得， ∴； ③以、为对角线，则、中点重合，如图所示： ， 解得， ∴； 综上所述，M的坐标为：或或． 5．(1)12 (2)最大值为，此时点P的坐标 (3)或或或 【分析】（1）分别求解抛物线与坐标轴的交点坐标即可得到答案； （2）求出直线的解析式为，设点，可得点，从而得到，再证明，可得，从而得到，即可求解； （3）根据平移的性质可得新抛物线的解析式，可得到新抛物线的对称轴为y轴，设点，，再求出直线的解析式，然后分三种情况，结合菱形的性质解答即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴， 当时，， 解得：， ∴点， ∴， ∴的面积为； （2）解：根据题意得：， 设直线的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点， ∵轴， ∴点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为，此时点P的坐标； （3）解：∵， ∴将原抛物线沿着x轴水平向左平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为， 即新抛物线的对称轴为y轴， 设点，， ∵， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 当为对角线时，则四边形为菱形，此时， ，解得：或0， 当时，，此时点在直线上，不符合题意，舍去； 此时点M的坐标为， ∴，解得：， 此时点N的坐标为； 当为对角线时，则四边形为菱形，此时， ，解得：， 此时点M的坐标为或， 同理点N的坐标为或； 当为对角线时，则四边形为菱形，此时， ，解得：， 此时点M的坐标为， 同理点N的坐标为； 综上所述，点N的坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是求解抛物线与坐标轴的交点坐标，建立线段长度和的二次函数关系式，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定与性质，本题难度大，属于压轴题，准确的运算，清晰的分类讨论都是解本题的关键． 6．(1) (2)最大为11； (3)或或；求解过程见解析 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）分别求得直线的解析式，根据为等腰直角三角形得出，，则，得出的表达式，进而根据二次函数的性质，即可求解； （3）根据平移得出设，，进而分别表示出，根据菱形的性质分类讨论，即可求解． 【详解】（1）抛物线过 解得： 抛物线解析式为： （2）令解得： ∴ 令得 设直线的解析式为代入， ∴， 解得： ∴ ∵ 设直线的解析式为，代入 ∴ 解得：， 轴 为等腰直角三角形 ，故 设 ． ，开口向下，对称轴 而 当，即时，最大为11． （3）满足条件：或或 抛物线向右平移4个单位，向上平移4个单位，得到新抛物线， ∴对称轴 设， ∵ ∴，， 当为对角线时，由菱形的性质 ，即 解得 ∵ ∴ 同理得：或 综上：或或 7．(1) (2) (3)①；②点P在矩形外部时，或或 【分析】（1）把，点分别代入抛物线，后利用待定系数法确定解析式即可． （2）确定点A、B是关于对称轴的对称点，连接点B与点C，与对称轴的交点就是线段和最小的位置，解得即可． （3） ①根据点M坐标为，点，线段的中点Q，得到，当即时，点在点A的右侧，此时；当即时，点在点A的左侧，此时，解答即可；②根据题意，分类讨论，数形结合分析即可求解． 【详解】（1）解：把，点分别代入抛物线， 得， ∴， 故抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵，点满足， ∴两点是关于直线的对称点， 连接，交直线于点，则点就是满足取得最小值的点， ∵，令，则， ∴， 设直线的解析式为， 将代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． （3）解：①∵点坐标为，点， ∴线段的中点的横坐标为， ∴， 如图所示，点在点右边， ∴，即时，点在点A的右侧， 此时； 如图所示，点在点左边， ∴，即时，点在点A的左侧， 此时． 综上所述，l关于m的函数解析式为； ②点为点右侧抛物线上一点，其横坐标为， 点坐标为，点是线段的中点，且， 第一种情况，当点在点右边，此时矩形在直线下方，点在直线上方，此时点在矩形外部， ∴在点中，，则，在点中，， ∴此种情况不存在； 第二种情况，如图所示，当点在点右边，此时矩形在直线下方，点在直线下方，过点作于点，当时点在矩形外部，， ∴，即， ∴，， ∴， 解得，或， ∴； 第三种情况，如图所示，点在点左边，则，即，点在点右边，则，此时点在矩形外部， ∴； 第四种情况，如图所示，点在点左边，则，即，点在点左边，点右边，则，当时点在矩形外部，， ∴，， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，点在矩形外部时，或或． 8．(1)， (2)当时，有最大值是1 (3)存在，或或 【分析】（1）利用矩形的性质即可得到点A的坐标；用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）由题意可得的长，且用待定系数法可求得直线的解析式，易得，由相似三角形的性质可求得的长，从而可求得点E、G的坐标，得到关于t的二次函数关系式，即可求得的最大值及此时的t值； （3）分三种情况：；利用两点间的距离公式可得关于t的一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：矩形的三个顶点，，， 轴，轴，点的坐标为， 将、两点坐标分别代入得： ， 解得：， 故抛物线的解析式为：； （2）解：如图1，由题意得：， ， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， 直线的解析式为：， ， ， ，即， ， 当时，， ，，，， ， ， 当时，有最大值是1； （3）解：有三种情况： ①当时， ，，，， 根据两点间距离公式，得： ． 整理得， ， 解得或（此时、重合，不能构成三角形，舍去）； ②当时， ，，，， 根据两点间距离公式，得： ， 整理得， 解得：，（此时不在矩形的边上，舍去）； ③当时， ，，， 根据两点间距离公式，得：， 解得（此时、重合，不能构成三角形，舍去）或． 综上，的值是或或． 9．(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法将点A，B代入可得a，b的值，即可求得抛物线的解析式； （2）过点P作交直线于点M，交x轴于点N，先根据抛物线在x，y轴的交点情况求出各交点的坐标，再利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出，，，利用待定系数法求得直线解析式，再设，，，得出，的表达式，将进行转化得到开口向下的二次函数解析式，进而求得最大值时a的值，过点A作轴，过点P作，的最小值即为线段的长度，即可得解； （3）先求出平移后的新抛物线解析式，利用轴对称的性质作出相应的点，并画出相关的辅助线，结合已知条件并通过相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用得出相关线段的值并求得相关点坐标，利用待定系数法得出对应直线的一次函数解析式，并联立新抛物线解析式即可得出点R的横坐标． 【详解】（1）解：∵，在抛物线上， 将点A，B代入可得，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，过点P作交直线于点M，交x轴于点N， 由抛物线解析式可得点C坐标为， ∴， 在中，， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，，， 设直线解析式为， 将点B，C代入得，， 解得， ∴直线的解析式为：， 设，，则， ∴，， ∴，， ∴ ∴ ∴当时，取得最大值， ∴， 过点A作轴，过点P作， ∵， ∴ ∴， ∴，即， ∴ ∴的最小值即为线段的长度， ∵ ∴的最小值为． （3）解：∵沿射线方向平移个单位， ∴新抛物线解析式为， 如图，过点C作x轴对称点，连接，将绕点A逆时针旋转得，交y轴于点D，交于点R， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，解得， ∴， 设直线解析式为， 代入点A，D得，，解得， ∴直线解析式为， 联立与得，， 解得：，（舍去）， ∴， 过点D作的对称点E，连接并延长交于点，再过点O作的对称点F，连接，连接交于点N，连接交于点M， ∴，， ∴， 过点D作x轴对称点，连接， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 过点F作， ， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 将②代入①得，，， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点D代入得，，解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 联立直线与直线得：， 解得：， ∴点M的坐标为， ∵M为中点， ∴点E坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 联立与得，， 解得：，（舍去）， ∴， 综上所述，点R的横坐标为或． 10．(1) (2) (3)点P的坐标为 (4)存在，点M的坐标为或或或． 【分析】（1）将点，代入，即可求解； （2）过点作轴交于点，连接，先求出直线 的解析式为，设，则，则，可得，当时，有最大值，即可求解； （3）作点关于直线的对称点，交于点，连接，过点作轴的垂线交轴于点，则在直线上，分别求出，，则，可知点与点重合，，用待定系数法求出直线的解析式为，联立方程组，即可求； （4）设，，，，分三种情况讨论：①当为菱形对角线时，；②当为菱形对角线时，；③当为菱形对角线时，． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，点， ∴， 解得 ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图1，过点作轴交于点，连接， 令，则， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 设，则， ， ，， ， ， ， ， 点是直线上方抛物线上， ， 当时，有最大值，此时； ∵二次函数对称轴与x轴交于点D，且二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴当为最大值时，线段的长． （3）解：， 抛物线的对称轴为直线， ， 作点关于直线的对称点，交于点，连接，过点作轴的垂线交轴于点， ， ， ， 在直线上， ， ， ， ， ， ， ， ， 点与点重合， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 联立方程组， 解得或（舍， ； （4）解：存在点和点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设，，，， ①当为菱形对角线时，， ， 解得， ，； ②当为菱形对角线时，， ， 解得， ，或，； ③当为菱形对角线时，， ， 解得或（舍， ； 综上所述：点的坐标为或或或． 11．(1) (2)点P的坐标为； (3)的值为或 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）根据点B和点C的坐标可得直线的解析式为，设，则，求得，利用二次函数的性质求解即可； （3）求出当和时的函数值，利用配方法得到顶点坐标，然后分为，，三种情况，利用二次函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：把和代入得： ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵和 ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设， 又∵轴， ∴， 令，则， 解得或， ∴， ∴， 整理得， ∵， ∴当时，最短， ∴当时，； ∴点P的坐标为； （3）解：当时，； 当时，； ， ∴抛物线的对称轴为； ①当时，即，在对称轴左侧，y随x的增大而增大， ∴最大值与最小值的差为， 解得，不符合题意舍去； ②当时，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴最大值与最小值的差为， 解得，不符合题意舍去； ③当时，即，此时最大值为， ∴最小值为， 若，则或（舍去）； 若，则或（舍去）； 故的值为或． 12．(1) (2)点的坐标为，的最小值为 (3)的横坐标为或 【分析】（1）根据抛物线的对称轴是直线，设抛物线的解析式为，代入，求解即可． （2）先求出点的坐标为，直线的解析式，设点的坐标为，过点作轴交于点，交轴于点，则点的坐标为，，证明，则，得出当时，取得最大值为，此时点的坐标为，把点向下平移2个单位长度得到点，点的坐标为，连接，证出四边形是平行四边形，则，即，得出的最小值为的长，的最小值，勾股定理求出，即可求解； （3）根据（2）可知点的坐标为，根据题意可得，，，则将抛物线沿射线方向平移个单位长度，即为向右平移两个单位长度，向下平移一个单位长度得到抛物线，即，，得出，如图，过点作，过点作，则，根据，得出，则，再分为当点位于直线下方时和当点位于直线上方时，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， 设抛物线的解析式为， 把，代入得， 解得， ． （2）解：在中，令，则， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 把和代入得， 解得， ， 设点的坐标为， 过点作轴交于点，交轴于点，如图， 则点的坐标为， ， ∵轴， ， ， ∴当时，取得最大值为， ∴点的坐标为， 把点向下平移2个单位长度得到点，点的坐标为，连接， 则， ∴四边形是平行四边形， ， 即， 由关于对称性可得点的坐标为， 连接，则， 故的最小值为的长，的最小值， ∵， 故的最小值为； （3）解：根据（2）可知点的坐标为， 根据题意可得，，， ∵如图，， ∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度，即为向右平移两个单位长度，向下平移一个单位长度得到抛物线， 即， ∵点G为点A的对应点， ∴， ∴轴， ∴， 如图，过点作，过点作， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点位于直线下方时，如图， 连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 延长交抛物线于点， 则， 设直线解析式为， 则，解得：， ∴直线解析式为， 联立和， 解得：（舍去）或， 则； 当点位于直线上方时， 过点作交抛物线于点，连接，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴点的横坐标为， ∴； 综上，的横坐标为或． 13．(1) (2)有最大值3，此时 (3)点坐标为或或或 【分析】（1）设抛物线的解析式为，将代入解得，即可求出解析式； （2）先求出，直线的解析式为，设，则，，，，，求出，即可得到当时，有最大值3，此时； （3）设平移后的函数解析式为，联立解析式求出，设，，当为菱形的对角线时，由求出，由对角线与互相平分，根据中点公式得到，；同理当为菱形的对角线时，，对角线与互相平分，求得，，即可得到点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点的坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 将代入，可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，则， 解得， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∵一条长度为2的线段在线段上平移，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，过点作轴， ∴，，，即，， ∴，， ∴， ∴当时，有最大值3， 此时，则； （3）解：∵顶点的坐标为， ∴，对称轴为直线， ∴设原抛物线对称轴上一点为， ∵将抛物线沿轴正方向平移得到新抛物线， ∴设平移后的抛物线解析式为，， 将代入，可得， 解得， ∵， ∴； ∴平移后的函数解析式为， 联立方程组， 解得， ∴， 设， ∵， ∴，，， ∵以为顶点的四边形是菱形且为菱形的边， 当为菱形的对角线时，，对角线与互相平分， ∴， 解得， ∴或， ∵与互相平分， ∴， 解得，， ∴或； 当为菱形的对角线时，，对角线与互相平分， ∴， 解得， ∵与互相平分， ∴， 解得，， ∴或； 综上所述：点坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，菱形的性质，分类讨论是解题的关键． 14．(1)；点A的坐标为；点的坐标为 (2)； (3)或或． 【分析】（1）利用待定系数法求出对应的函数解析式，再把解析式化为顶点式可得点A的坐标，求出时，y的值即可得到点D的坐标； （2）求出直线的函数表达式为，根据题意可得，则，，证明，得到，据此可得答案； （3）根据题意可得抛物线的解析式为，则；根据等腰直角三角形的定义可得，则；当点E在点D下方时，则，则或，且要满足；把点F的坐标代入中解方程即可得到答案；同理求出当点E在点D上方时m的值即可得到答案 【详解】（1）解：将点B和点C的坐标代入得 解得 ∴抛物线的函数表达式为， ∴点A的坐标为； 在中，当时，， ∴点的坐标为； （2）解：设直线的函数表达式为， ，解得 ∴直线的函数表达式为， 把代入，得， ， ∵直线轴， ∴， 把代入，得 ， ． ， ． ∵直线轴，即， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：由（2）可知，， ∴直线l的解析式为； 设点为抛物线上的一点， ∵点关于直线的对称点的横坐标为，纵坐标为， ∴点是抛物线上的一点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴； ∵是以D为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴轴， ∴， 如图所示，当点E在点D下方时，则， ∴或， ∵， ∴或， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴或， 解方程得（此时点D和点E重合，舍去）或（此时点D和点E重合，舍去）， 解方程得或（不满足，舍去）， ∵， ∴ ∴， ∴点P的坐标为； 当时，， ∴， ∴， ∴或， 解方程得（此时点D和点E重合，舍去）或（此时点D和点E重合，舍去）， 解方程，（舍去）或（舍去）； ∴此种情况下，点P的坐标为； 如图当点E在点D上方时，同理可得只有和满足题意，即满足， ∴， ∴， ∴， ∴此种情况下，点P的坐标为或； 综上所述，点P的坐标为或或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $