北京市海淀区2024-2025学年高三下学期期末练习（二模）数学试题

海淀区2024—2025学年第二学期期末练习 高三数学 本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共40分） 一､选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知向量．若与共线，则（ ） A. B. C. D. 2 2. 已知集合．若，且，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 在的展开式中，的系数为，则（ ） A. B. C. D. 5. 圆心为且与轴相切的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 设、、，，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知为等差数列，为等比数列，其中，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知是非零平面向量，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 在锐角中，，则的一个可能的取值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 10. 中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：，其中，为被测试眼睛的视力值，为该眼睛能分辨清楚的最低一行“”形视标的笔划宽度（单位：毫米），为眼睛到视标的距离（单位：米），如图1所示，是与无关的常量．图2是标准视力表的一部分，一个右眼视力值为5.0的人在距离该视力表5米处进行检测，能分辨的最低一行视标为图2中虚线框部分．因条件所限，小明在距离该视力表3米处进行检测，若此时他的右眼能分辨的最低一行视标也为图2中虚线框部分，不考虑其它因素的影响，则与小明右眼的实际视力值最接近的为（ ）（参考数据：） A. 4.5 B. 4.6 C. 4.8 D. 5.0 第二部分（非选择题共110分） 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 若（为虚数单位），则__________． 12. 抛物线的焦点坐标为________. 13. 在平面直角坐标系中，若点绕原点逆时针旋转可得到点，则__________，点到直线的距离之和的最大值为__________． 14. 已知函数，则的值域为__________，曲线的对称中心为__________． 15. 如图，在正方体中，，、为上底面（包含边界）内的两个动点，且满足，．给出下面四个结论： ①当与重合时，五面体的体积为； ②记直线分别与平面和平面所成角为、，则的值不变； ③存在、，使得； ④存在、，使得五面体中，所在平面与其余四个面所在平面的四个夹角中，有三个彼此相等． 其中，所有正确结论的序号为__________． 三､解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数． （1）若，求及的单调递增区间； （2）已知在区间上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的最小正周期． 条件①：； 条件②：是的一个极值点； 条件③：是的一个零点． 17. 如图1，五边形中，．将三角形沿翻折，使得平面平面，如图2． （1）求证：平面； （2）记直线与平面所成角为．若，求的长． 18. 某运动品牌拟推出一款青少年新品跑鞋．在前期市场调研时，从某市随机调查了200名中小学生对黑、白两种颜色的新品跑鞋的购买意愿，统计数据如下（单位：人）： 颜色 小学生 初中生 高中生 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 黑色 80 20 40 20 20 20 白色 60 40 30 30 30 10 假设所有中小学生的购买意愿相互独立，用频率估计概率． （1）从该市全体中小学生中随机抽取1人，估计其愿意购买黑色新品跑鞋的概率； （2）从该市的初中生、高中生两个不同群体中各自随机抽取1人，记为这2人中愿意购买白色新品跑鞋的人数，求的分布列和数学期望； （3）假设该市学校内的小学生、初中生和高中生的人数之比为，从学校的全体中小学生中随机抽取1人，将其愿意购买黑色新品跑鞋的概率估计值记为，试比较与（1）中的的大小．（结论不要求证明） 19. 已知椭圆．设直线交椭圆于不同的两点、，与轴交于点． （1）当时，求的值； （2）若点满足且，求的大小． 20. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在区间上的极值点个数； （3）若且时，都有成立，直接写出的取值范围． 21. 记表示有穷集合的元素个数．已知是正整数，集合．若集合序列满足下列三个性质，则称是“平衡序列”： ①，其中； ②⫋，其中； ③对于中的任意两个不同元素，都存在唯一的，使得． （1）设，判断下列两个集合序列是否是“平衡序列”？（结论不要求证明） （2）已知且集合序列是“平衡序列”，对于，定义：证明： （i）当时，； （ii）． 海淀区2024—2025学年第二学期期末练习 高三数学 本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共40分） 一､选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】C 第二部分（非选择题共110分） 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分． 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 ①. ②. 【14题答案】 【答案】 ①. ②. ## 【15题答案】 【答案】①②④ 三､解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 【16题答案】 【答案】（1）， （2）答案见解析 【17题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）分布列见解析，； （3）. 【19题答案】 【答案】（1） （2） 【20题答案】 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【21题答案】 【答案】（1）是平衡的，不是平衡的； （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $