精品解析：辽宁省铁岭市开原市2024-2025学年七年级下学期5月期中数学试题

2024—2025学年度下学期随堂练习 七年数学（二）北师大 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求） 1. 石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性，被认为是本世纪发现的最具颠覆性的新材料之一，其理论厚度仅有0.00000000034m，请将数字0.00000000034用科学记数法表示为（ ） A. 34×1012 B. 34×10﹣12 C. 3.4×1010 D. 3.4×10﹣10 【答案】D 【解析】 【分析】用科学记数法表示较小的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】 故选：D 【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键． 2. 下列所示的四个图形中，和是同位角的是（ ） A. ②③ B. ①②③ C. ①②④ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同位角的定义，判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角． 【详解】解：图①、②、④中，和在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角； 图③中，和的两条边都不在同一条直线上，不是同位角． 故选：C． 3. 下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的结构，根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，由此逐项判断即可得出答案，熟练掌握平方差公式的结构是解此题的关键． 【详解】解：A，C，D符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算； B中两项互为相反数，故不能运用平方差公式进行运算． 故选 B． 4. 在一个不透明的箱子里装有白球和红球共12个，这些球除颜色外完全相同．每次从箱子中摸出一个球，记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则箱子中红球的个数约是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，掌握用频率的集中趋势来估计概率是解题的关键． 根据利用频率估计概率可知红球出现的概率为0.25，从而可以计算出红球的个数． 【详解】解：∵经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右， ∴箱子中红球的个数约是（个）． 故选：A． 5. 如图，由以下条件可以得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键． 利用平行线的判定方法判断即可得到结果． 【详解】解：A、由，可推出，不能得到，本选项不符合题意； B、由，可推出，本选项符合题意； C、由，可推出，不能得到，本选项不符合题意； D、由，不能推出，本选项不符合题意． 故选：B． 6. 一枚质地均匀的正方体骰子，各面上分别刻有1到6的点数，任意掷该骰子一次，下列情况出现的可能性最大的是（ ） A. 面朝上的点数是2 B. 面朝上的点数是偶数 C. 面朝上的点数小于2 D. 面朝上的点数大于2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查概率大小，涉及简单概率公式，根据选项，逐项得到相应事件的概率，比较大小即可得到答案，熟练掌握事件概率的求法是解决问题的关键． 【详解】解：A、面朝上的点数是2的概率是； B、面朝上的点数是偶数的数有2、4、6，从而得到概率是； C、面朝上的点数小于2的数有1，从而得到其概率是； D、面朝上的点数大于2的数有3、4、5、6，从而得到概率是； ， 四个选项中可能性最大的是D， 故选：D． 7. 下列生活实例中，数学原理解释错误的一项是( ) A. 从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 B. 两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短 C. 把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线 D. 从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂线段最短、直线和线段的性质即可得到结论． 【详解】解：A、从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：垂线段最短，故原命题错误； B、两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短，正确； C、一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中数学原理是：两点确定一条直线，正确； D、从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确． 故选A． 【点睛】考查了垂线段最短，直线和线段的性质，熟练掌握各性质是解题的关键． 8. 如图，平行线，被直线所截，平分，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据角平分线的性质可得，再由平行线的性质可得． 【详解】解：∵，且平分， ∴， ∵， ∴． 故选B 【点睛】本题考查了角平分线的性质和平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键． 9. 如图，过直线外一点作它的平行线， 其作图依据是（ ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 两直线平行，内错角相等 C. 同位角相等，两直线平行 D. 内错角相等，两直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本作图痕迹可知内错角相等，再根据平行线的判定解答即可． 【详解】解：由作图可知，内错角相等，则这两条直线平行， 故选：D． 【点睛】本题考查基本尺规作图-作角、平行线的判定，理解题意，根据作图痕迹得出内错角相等是解答的关键． 10. 方形纸带中∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE度数是（ ） A. 105° B. 120° C. 130° D. 145° 【答案】A 【解析】 【分析】由矩形的性质可知，由此可得出∠BFE=∠DEF=25°，再根据翻折的性质可知每翻折一次减少一个∠BFE的度数，由此即可算出∠CFE度数． 【详解】解：∵四边形ABCD为长方形， ∴， ∴∠BFE＝∠DEF＝25°． 由翻折的性质可知：图2中，∠EFC＝180°﹣∠BFE＝155°，∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝130°， ∴图3中，∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝105°． 故选：A． 【点睛】本题考查了翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是找出∠CFE=180°-3∠BFE．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据翻折变换找出相等的边角关系是关键． 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 乐乐的作业本不小心被撕掉了一部分，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮他推测出等号左边被撕掉的内容是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查多项式除以单项式．根据题意得到，计算即可得到等号左边被撕掉的内容． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 若，，则______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则是解决问题的关键．利用幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则进行计算，即可得出答案． 【详解】解：，， 故答案为：24． 13. 实践课上，小郑做了一个边长为的正方形，若把这个正方形的边长减少，则其面积减少了___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，列代数式，边长减少以后的正方形的边长是，原来正方形的面积减去边长减少后的面积就是减少的面积，然后利用乘法公式计算即可． 【详解】解：正方形减少的面积是． 故答案为：． 14. “五一”劳动节某超市开展“有奖促销”活动，凡购物不少于30元的顾客均有一次转动转盘的机会（如图，转盘被分为8个相同的小扇形），当指针最终指向数字8时，该顾客获一等奖；当指针最终指向数字3或5时，该顾客获二等奖（若指针指向分界线则重转）．经统计，当天发放一、二等奖品共600份，那么据此估计参与此次活动的顾客为____________人． 【答案】1600 【解析】 【分析】本题主要考查了概率的基本计算，由图中转盘可知，获得一等奖的概率为，获得二等奖的概率为，即获得一、二等奖的概率为，当天共发放奖品600份，让600除以获奖的概率即可解答． 【详解】解：P（获一等奖）， P（获二等奖）， 则当天参与此项活动的顾客为（人）． 故答案为：1600 15. 如图，点Q在的内部，以点Q为顶点作，使和的两边分别平行，若，则________． 【答案】或125 【解析】 【分析】本题考查了平行线性质，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．根据题意分两种情况，如图所示（见解析），再分别根据平行线的性质即可得答案． 【详解】解：如图，，， ∵， ，； 如图，，， ∵， ，； 综上，的度数为或， 故答案为：55或125． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂、负整数指数幂的意义，乘方和整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及乘方的意义计算即可求出值； （2）原式利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并即可得到结果． 【小问1详解】 解∶原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 17. 一个不透明的袋子中装有白、红、黄、蓝四种颜色的球若干个，已知这四种颜色球的总数为50个，且它们除颜色外都完全相同．其中白球个数比黄球个数的2倍少3个，蓝球个数是红球个数的，从袋中随机摸出一个球是红球的概率为． （1）从袋中随机摸出一个球是蓝球，这是___________事件（填“随机”“必然”或“不可能”）； （2）袋中有___________个红球； （3）若从袋中先拿出5个白球，再随机摸出一个球，求此时摸出的这个球是黄球的概率． 【答案】（1）随机 （2）15 （3） 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，利用概率求数量，一元一次方程的应用，熟练利用概率公式求数量是解题的关键． （1）根据事件的分类可得从袋中随机摸出一个球是蓝球是随机事件； （2）利用概率求数量即可； （3）计算黄球的个数即可解答． 【小问1详解】 解：从袋中随机摸出一个球是蓝球是随机事件， 故答案为：随机； 【小问2详解】 解：个， 故袋中有个红球， 故答案为：； 【小问3详解】 解：蓝球个数是红球个数的， 蓝球个数为个， 设黄球个数为个，则白球的个数为个， 可得， 解得， 故袋中有黄球个， 从袋中先拿出5个白球，此时袋中有个球， 此时摸出的这个球是黄球的概率为． 18. 已知：如图，，的平分线交于点F，交的延长线于点E，与互补． 求证：． 请将下面的证明过程补充完整： 证明：∵（已知）， ∴（________）， ∵AE平分， ∴（角平分线定义）， ∴（等量代换）． ∵与互补（已知）， ∴________（互补的定义）， ∴（________）， ∴________（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）． 【答案】两直线平行，内错角相等；，，，同旁内角互补，两直线平行； 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，根据平行线的判定和性质补充证明过程即可． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵平分， ∴（角平分线定义）， ∴（等量代换）． ∵与互补（已知）， ∴（互补的定义）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；，，，同旁内角互补，两直线平行； 19. 如图，某农业示范基地有一块长为米，宽为米的长方形耕地，现决定将其中一小块长为米，宽为米的长方形耕地继续播种原种子，其余耕地全部作为新种子试验田． （1）求新种子试验田的面积（用含a，b的代数式表示，要求化简）； （2）当，时，求新种子试验田的面积（结果用科学记数法表示）． 【答案】（1） （2）平方米． 【解析】 【分析】本题考查的是整式的乘法运算与图形面积，求解代数式的值； （1）利用大的长方形面积减去小的长方形的面积即可； （2）把，代入（1）中的代数式进行计算即可； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：当，时， 原式（平方米）． 答：新种子试验田的面积为平方米． 20. 如图，已知点E、F直线上，点G在线段上，与交于点H，，． （1）试判断与之间的数量关系，并说明理由； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）；理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的判定和性质即可求证； （2）根据平行线的性质可得，，推得，即可求得． 【小问1详解】 与之间的数量关系是． 理由：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 由（1）知， ， 由（1）知， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 21. 定义，如．已知，已知（为常数） （1）若，求的值； （2）若的代数式中不含的一次项，当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，完全平方公式，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义可得方程，解方程即可得到答案； （2）根据新定义计算出A的展开结果，再根据的代数式中不含的一次项求出n的值，再求出A、B的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ， ∵的代数式中不含的一次项， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ， ∴． 22. 阅读理解：如图，已知点是外一点，连接，．求的度数． （1）阅读并补充下面推理过程． 解：过点作， ∴______，______． ∵． ∴． 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 方法运用： （2）如图，已知，求的度数． 深化拓展： （3）如图3，已知，点在点的右侧，，平分，点是直线上的一个动点（不与点重合），，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间．若，请求出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】（1），；（2） （3）或 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，解题的关键是：正确添加辅助线作出（3）中的图形． （1）根据平行线的性质即可得到结论； （2）过作根据平行线的性质得到，，然后根据已知条件即可得到结论； （3）分情况讨论，即当在左侧时，当在右侧时，利用平行线的性质即可解答． 【详解】解：（1）过点作， ∴，， ∵． ∴． 故答案为：，； （2）如图2，过作， ， ， ， ， ， ，即 （3）如图3，当在左侧时，过点作， ， ， ，， 平分，平分，，， ，， ； 如图4，当在右侧时，过点作， 平分，平分，，， ，， ， ， ，， ． 综上，的度数为或． 23. 通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四个形状大小一样的小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： （1）观察图2，请你写出，，之间的等量关系： ． （2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若，，求的值． （3）类似的，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式． ①如图3，写出一个代数恒等式： （用含的式子表示）． ②已知，，利用上面的规律求的值． 【答案】（1） （2）13 （3）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式的应用，掌握数形结合思想意义利用完全平方公式对等式进行变形成为解题的关键． （1）观察图②大正方形面积减中间小正方形面积等于个长方形面积，据此即可解答； （2）利用（1）得出的结论以及对完全平方公式变形求解即可； （3）①先利用两种方式求解长方体的体积，然后得出恒等式；②先利用上述关系式变形，然后将、代入计算即可． 【小问1详解】 解：用两种方法表示出4个长方形的面积：即大正方形面积减中间小正方形面积等于4个长方形面积，可得：． 故答案为：． 【小问2详解】 解：由（1）知． 所以． 当，时，原式． 【小问3详解】 解：①由题意可得： ②由①得， 变形得． 当，时， 原式． 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度下学期随堂练习 七年数学（二）北师大 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求） 1. 石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性，被认为是本世纪发现的最具颠覆性的新材料之一，其理论厚度仅有0.00000000034m，请将数字0.00000000034用科学记数法表示为（ ） A. 34×1012 B. 34×10﹣12 C. 3.4×1010 D. 3.4×10﹣10 2. 下列所示的四个图形中，和是同位角的是（ ） A. ②③ B. ①②③ C. ①②④ D. ①④ 3. 下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ） A. B. C. D. 4. 在一个不透明的箱子里装有白球和红球共12个，这些球除颜色外完全相同．每次从箱子中摸出一个球，记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则箱子中红球的个数约是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 如图，由以下条件可以得到是（ ） A. B. C. D. 6. 一枚质地均匀正方体骰子，各面上分别刻有1到6的点数，任意掷该骰子一次，下列情况出现的可能性最大的是（ ） A. 面朝上的点数是2 B. 面朝上的点数是偶数 C. 面朝上的点数小于2 D. 面朝上的点数大于2 7. 下列生活实例中，数学原理解释错误的一项是( ) A. 从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 B. 两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短 C. 把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线 D. 从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 8. 如图，平行线，被直线所截，平分，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，过直线外一点作它的平行线， 其作图依据是（ ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 两直线平行，内错角相等 C. 同位角相等，两直线平行 D. 内错角相等，两直线平行 10. 方形纸带中∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE度数是（ ） A. 105° B. 120° C. 130° D. 145° 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 乐乐的作业本不小心被撕掉了一部分，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮他推测出等号左边被撕掉的内容是______． 12. 若，，则______． 13. 实践课上，小郑做了一个边长为的正方形，若把这个正方形的边长减少，则其面积减少了___________． 14. “五一”劳动节某超市开展“有奖促销”活动，凡购物不少于30元的顾客均有一次转动转盘的机会（如图，转盘被分为8个相同的小扇形），当指针最终指向数字8时，该顾客获一等奖；当指针最终指向数字3或5时，该顾客获二等奖（若指针指向分界线则重转）．经统计，当天发放一、二等奖品共600份，那么据此估计参与此次活动的顾客为____________人． 15. 如图，点Q在内部，以点Q为顶点作，使和的两边分别平行，若，则________． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 一个不透明的袋子中装有白、红、黄、蓝四种颜色的球若干个，已知这四种颜色球的总数为50个，且它们除颜色外都完全相同．其中白球个数比黄球个数的2倍少3个，蓝球个数是红球个数的，从袋中随机摸出一个球是红球的概率为． （1）从袋中随机摸出一个球是蓝球，这是___________事件（填“随机”“必然”或“不可能”）； （2）袋中有___________个红球； （3）若从袋中先拿出5个白球，再随机摸出一个球，求此时摸出的这个球是黄球的概率． 18. 已知：如图，，的平分线交于点F，交的延长线于点E，与互补． 求证：． 请将下面的证明过程补充完整： 证明：∵（已知）， ∴（________）， ∵AE平分， ∴（角平分线定义）， ∴（等量代换）． ∵与互补（已知）， ∴________（互补的定义）， ∴（________）， ∴________（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）． 19. 如图，某农业示范基地有一块长为米，宽为米的长方形耕地，现决定将其中一小块长为米，宽为米的长方形耕地继续播种原种子，其余耕地全部作为新种子试验田． （1）求新种子试验田的面积（用含a，b的代数式表示，要求化简）； （2）当，时，求新种子试验田面积（结果用科学记数法表示）． 20. 如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，． （1）试判断与之间的数量关系，并说明理由； （2）若，，求的度数． 21. 定义，如．已知，已知（为常数） （1）若，求的值； （2）若的代数式中不含的一次项，当时，求的值． 22. 阅读理解：如图，已知点是外一点，连接，．求的度数． （1）阅读并补充下面推理过程． 解：过点作， ∴______，______． ∵． ∴． 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 方法运用： （2）如图，已知，求的度数． 深化拓展： （3）如图3，已知，点在点右侧，，平分，点是直线上的一个动点（不与点重合），，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间．若，请求出的度数．（用含的代数式表示） 23. 通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四个形状大小一样的小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： （1）观察图2，请你写出，，之间的等量关系： ． （2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若，，求的值． （3）类似的，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式． ①如图3，写出一个代数恒等式： （用含的式子表示）． ②已知，，利用上面的规律求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$