21.2.2公式法解一元二次方程（解析版+原卷版）-2025-2026学年九年级数学上册【基础过关+易错警示+中档提升+拓展延伸】同步练习课后作业（人教版）

21.2.2公式法解一元二次方程 知识点1 一元二次方程根的判别式 1．（2025•管城区模拟）关于x的一元二次方程x2+m＝6x有两个不相等的实数根，则m的值可能是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 2．（2025春•浙江期中）已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+k+3＝0，则下列说法正确的（　　） A．无论k为何值，方程有两个不相等的实数根 B．无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根 C．至少存在一个k的值，使得方程没有实数解 D．不存在k的值，使得方程有两个相等的实数解 3．（2025•东城区校级模拟）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+4x+3＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（　　） A．0 B．1 C． D．3 4．（2025•门头沟区一模）如果关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　） A．k＜4且k≠0 B．k≤4且k≠0 C．k＞4 D．k≥4 知识点2 一元二次方程的求根公式 5．（2025•河北一模）小明在解关于x的一元二次方程2mx2﹣nx+2＝0（m≠0）时，把一次项的符号抄成“+”，得到其中一个根是x＝﹣2，则方程2mx2﹣nx+2＝0（m≠0）根的情况是（　　） A．无实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个实数根 D．有一个根是x＝﹣2 6．（2025春•招远市期中）以为根的一元二次方程可能是（　　） A．x2﹣bx+10＝0 B．x2﹣bx﹣10＝0 C．x2+bx﹣5＝0 D．x2﹣bx﹣5＝0 7．（2025春•淄川区期中）若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（　　） A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 知识点3 公式法解一元二次方程 8．（2024春•桥西区期末）利用公式解可得一元二次方程式2x2﹣4x﹣1＝0的两解为a、b，且a＞b，则a的值为（　　） A． B． C． D． 9．（2025春•萧山区期中）解下列一元二次方程： （1）x2﹣4x+2＝0； （2）2x（x﹣3）+x＝3． 【易错警示】 易错点：在使用公式时，未将方程化成一般形式而出错。 10．（2022秋•宛城区校级期末）（1）我们发现，利用配方法解一元二次方程的步骤是相同的，因此，用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），可以得到一元二次方程的求根公式．一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时，它的求根公式是x＝　 ，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法． （2）小明在用公式法解方程x2﹣5x＝1时出现了错误，解答过如下： ∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步） ∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21．（第二步） ∴x．（第三步） ∴x1，x2．（第四步） 小明解答过程是从第 　 　 步开始出错的，其错误原因是 　 　 ． （3）请你写出此题正确的解答过程． 11．（2024秋•西湖区校级期末）如图，在长方形ABCD中，以点D为圆心，AD为半径作弧与BD交于点E，以点B为圆心，AB为半径作弧与BD交于点F．设AB＝a，AD＝b，则方程x2+2ax＝b2的一个正根是（　　） A．DF的长 B．BE的长 C．EF的长 D．BD的长 12．（2024秋•威远县校级月考）探讨关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：甲：a，b同号；乙：a﹣b﹣1＝0；丙：a+b﹣1＝0．其中符合条件的是（　　） A．甲，乙，丙都正确 B．只有甲不正确 C．甲，乙，丙都不正确 D．只有乙不正确 13．（2022•潍城区一模）等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+1＝0的两个根，则n的值为（　　） A．7 B．8 C．7或8 D．8或9 14．（2024秋•新城区校级月考）已知关于x的一元二次方程ax2﹣2（a﹣1）x+a﹣2＝0（a＞0），设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2），若y是关于a的函数，且y＝x1﹣ax2，当y＞0时，a的取值范围为　 　 ． 15．（2022秋•大丰区期中）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2m﹣4＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值． 16．（2023春•富川县期中）已知关于x的一元二次方程（a+b）x2﹣2cx+（a﹣b）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝1是方程的一个根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 17．（2023春•北仑区校级期中）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”． （1）已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式 　 　 ；判断241 　 　 “喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出一个“喜鹊数”　 　 ； （2）利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式； （3）在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2.2公式法解一元二次方程 知识点1 一元二次方程根的判别式 1．（2025•管城区模拟）关于x的一元二次方程x2+m＝6x有两个不相等的实数根，则m的值可能是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【分析】先把方程化为一般式，再根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣6）2﹣4m＞0，解不等式得到m的取值范围，然后对各选项进行判断． 【详解】解：方程化为x2﹣6x+m＝0， 根据题意得Δ＝（﹣6）2﹣4m＞0， 解得m＜9． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 2．（2025春•浙江期中）已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+k+3＝0，则下列说法正确的（　　） A．无论k为何值，方程有两个不相等的实数根 B．无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根 C．至少存在一个k的值，使得方程没有实数解 D．不存在k的值，使得方程有两个相等的实数解 【分析】先计算出根的判别式的值得到Δ＝（k+2）2≥0，根据根的判别式的意义可对C选项进行判断；由于k＝﹣2时，Δ＝0，则根据根的判别式的意义可对A、D选项进行判断；利用求根公式得到x1＝k+3，x2＝1，从而可对B选项进行判断． 【详解】解：∵Δ＝[﹣（k+4）]2﹣4（k+3） ＝k2+8k+16﹣4k﹣12 ＝k2+4k+4 ＝（k+2）2， ∵（k+2）2≥0，即Δ≥0， ∴无论k为何值，方程总有两个实数根，所以C选项不符合题意； 当k＝﹣2时，Δ＝0，此时方程有两个相等的实数解，所以A、D选项不符合题意； ∵x， ∴x1＝k+3，x2＝1， ∴无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根1，所以B选项符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系，当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 3．（2025•东城区校级模拟）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+4x+3＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（　　） A．0 B．1 C． D．3 【分析】利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+4x+3＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝42﹣4×（m﹣1）×3＞0且m﹣1≠0， 解得且m≠1， 显然只有A选项符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了根的判别式及一元二次方程的定义，熟知一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义是解题的关键． 4．（2025•门头沟区一模）如果关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　） A．k＜4且k≠0 B．k≤4且k≠0 C．k＞4 D．k≥4 【分析】方程有两个不相等的实数根，则Δ＞0，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根，则Δ＞0， 16﹣4k＞0， k＜4且k≠0． 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．注意到二次项系数不等于0这一条件是解题的关键． 知识点2 一元二次方程的求根公式 5．（2025•河北一模）小明在解关于x的一元二次方程2mx2﹣nx+2＝0（m≠0）时，把一次项的符号抄成“+”，得到其中一个根是x＝﹣2，则方程2mx2﹣nx+2＝0（m≠0）根的情况是（　　） A．无实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个实数根 D．有一个根是x＝﹣2 【分析】根据题意得出m与n之间的等量关系，再结合一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【详解】解：由题知， x＝﹣2是关于x的一元二次方程2mx2+nx+2＝0（m≠0）的一个根， 所以8m﹣2n+2＝0， 即4m＝n﹣1． 因为方程为2mx2﹣nx+2＝0（m≠0）， 所以Δ＝（﹣n）2﹣16m＝n2﹣4（n﹣1）＝n2﹣4n+4＝（n﹣2）2≥0， 所以此方程有两个实数根． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了根的判别式及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 6．（2025春•招远市期中）以为根的一元二次方程可能是（　　） A．x2﹣bx+10＝0 B．x2﹣bx﹣10＝0 C．x2+bx﹣5＝0 D．x2﹣bx﹣5＝0 【分析】根据公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项不正确，不符合题意； C、，故该选项不正确，不符合题意； D、，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记一元二次方程的求根公式是解题的关键． 7．（2025春•淄川区期中）若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（　　） A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 【分析】根据一元二次方程的求根公式x，即可解答． 【详解】解：∵可以表示一元二次方程的根， ∴a＝3，b＝﹣2，c＝﹣1， ∴这个一元二次方程可以是3x2﹣2x﹣1＝0， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键． 知识点3 公式法解一元二次方程 8．（2024春•桥西区期末）利用公式解可得一元二次方程式2x2﹣4x﹣1＝0的两解为a、b，且a＞b，则a的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用公式法即可求解． 【详解】解：2x2﹣4x﹣1＝0， ∴a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）＝24＞0， ∴， ∵一元二次方程式2x2﹣4x﹣1＝0的两解为a、b，且a＞b， ∴a的值为． 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键． 9．（2025春•萧山区期中）解下列一元二次方程： （1）x2﹣4x+2＝0； （2）2x（x﹣3）+x＝3． 【分析】（1）用配方法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）x2﹣4x+2＝0， x2﹣4x＝﹣2， x2﹣4x+4＝﹣2+4， （x﹣2）2＝2， x﹣2＝±， ∴x1＝2，x2＝2； （2）2x（x﹣3）+x＝3， 2x2﹣6x+x﹣3＝0， 2x2﹣5x﹣3＝0， ∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×（﹣3）＝25+24＝49， ∴x， ∴x1＝3，x2． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，关键是掌握解一元二次方程的方法． 【易错警示】 易错点：在使用公式时，未将方程化成一般形式而出错。 10．（2022秋•宛城区校级期末）（1）我们发现，利用配方法解一元二次方程的步骤是相同的，因此，用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），可以得到一元二次方程的求根公式．一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时，它的求根公式是x＝　　 ，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法． （2）小明在用公式法解方程x2﹣5x＝1时出现了错误，解答过如下： ∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步） ∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21．（第二步） ∴x．（第三步） ∴x1，x2．（第四步） 小明解答过程是从第 　一　 步开始出错的，其错误原因是 　方程没有化成一般式　 ． （3）请你写出此题正确的解答过程． 【分析】（1）利用求根公式解方程的方法称为公式法； （2）根据一元二次方程的解法步骤即可求出答案； （3）根据一元二次方程的解法即可求出答案． 【详解】解：（1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时，它的根是：x．用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法． 故答案为：； （2）小明解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是方程没有化成一般式． 故答案为：一，方程没有化成一般式； （3）方程化为x2﹣5x﹣1＝0， ∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1， ∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29． ∴x． ∴x1，x2． 【点睛】本题考查公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握应用公式法的条件和要求． 11．（2024秋•西湖区校级期末）如图，在长方形ABCD中，以点D为圆心，AD为半径作弧与BD交于点E，以点B为圆心，AB为半径作弧与BD交于点F．设AB＝a，AD＝b，则方程x2+2ax＝b2的一个正根是（　　） A．DF的长 B．BE的长 C．EF的长 D．BD的长 【分析】利用公式法求出方程的根，并结合AB＝a，AD＝b对正根对应的线段进行判断即可． 【详解】解：由题知， 解方程x2+2ax＝b2得， x， 所以方程的正根为x＝﹣a． 在Rt△ABD中， BD． 又因为BF＝AB＝a， 所以x＝﹣BF+BD＝DF． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程﹣公式法及矩形的性质，熟知矩形的性质及公式法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 12．（2024秋•威远县校级月考）探讨关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：甲：a，b同号；乙：a﹣b﹣1＝0；丙：a+b﹣1＝0．其中符合条件的是（　　） A．甲，乙，丙都正确 B．只有甲不正确 C．甲，乙，丙都不正确 D．只有乙不正确 【分析】根据根的判别式的定义得到Δ＝b2+4a，根据特例和根的判别式的意义可对甲的条件进行判断；若a＝b+1，则Δ＝（b+2）2≥0，则根据根的判别式的意义可对乙的条件进行判断；若a＝﹣b+1，Δ＝（b﹣2）2≥0，则根据根的判别式的意义可对丙的条件进行判断． 【详解】解：Δ＝b2+4a， 若a、b同号，a＝﹣1，b＝﹣1，此时Δ＝1﹣4＝﹣3＜0，方程没有实数解，所以甲的条件不满足方程总有实数根； 若a﹣b﹣1＝0，即a＝b+1，Δ＝b2+4（b+1）＝（b+2）2≥0，方程总有实数根，所以乙的条件满足方程总有实数根； 若a+b﹣1＝0，即a＝﹣b+1，Δ＝b2+4（﹣b+1）＝（b﹣2）2≥0，方程总有实数根，所以丙的条件满足方程总有实数根； 故选：B． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 13．（2022•潍城区一模）等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+1＝0的两个根，则n的值为（　　） A．7 B．8 C．7或8 D．8或9 【分析】由三角形是等腰三角形，得到①a＝2，或b＝2，②a＝b①当a＝2，或b＝2时，得到方程的根x＝2，把x＝2代入x2﹣6x+n+1＝0即可得到结果；②当a＝b时，方程x2﹣6x+n+1＝0有两个相等的实数根，由Δ＝（﹣6）2﹣4（n+1）＝0可得结果． 【详解】解：∵三角形是等腰三角形， ∴①a＝2，或b＝2，②a＝b两种情况， ①当a＝2，或b＝2时， ∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+1＝0的两根， ∴x＝2， 把x＝2代入x2﹣6x+n+1＝0得，22﹣6×2+n+1＝0， 解得：n＝7， 当n＝7，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形， 故n＝7不合题意， ②当a＝b时，方程x2﹣6x+n+1＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4（n+1）＝0 解得：n＝8， 综上所述，n＝8． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的根，一元二次方程根的判别式，注意分类讨论思想的应用． 14．（2024秋•新城区校级月考）已知关于x的一元二次方程ax2﹣2（a﹣1）x+a﹣2＝0（a＞0），设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2），若y是关于a的函数，且y＝x1﹣ax2，当y＞0时，a的取值范围为　0＜a＜3　 ． 【分析】利用一元二方程的求根公式求出两根，即可得出结论． 【详解】解：Δ＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4a（a﹣2）＝4＞0， 由求根公式，得， ∴x＝1或， ∵a＞0，x1＞x2， ∴x1＝1，， ∴， 解得a＜3， ∴0＜a＜3， 故答案为：0＜a＜3． 【点睛】本题主要考查了公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式． 15．（2022秋•大丰区期中）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2m﹣4＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值． 【分析】（1）根据方程有两个实数根，得到根的判别式的值大于或等于0列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围； （2）找出m范围中的正整数解确定出m的值，经检验即可得到满足题意m的值． 【详解】解：（1）根据题意得：Δ＝4﹣4（2m﹣4）＝20﹣8m≥0， 解得：m； （2）由m为正整数，得到m＝1或2， 利用求根公式表示出方程的解为x＝﹣1±， ∵方程的解为整数， ∴5﹣2m为完全平方数， 则m的值为2． 【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程的解，以及公式法解一元二次方程，弄清题意是解本题的关键． 16．（2023春•富川县期中）已知关于x的一元二次方程（a+b）x2﹣2cx+（a﹣b）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝1是方程的一个根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【分析】（1）把x＝1代入方程，整理后得出a﹣c＝0，求出a＝c，根据等腰三角形的判定得出即可； （2）根据等边三角形的性质得出a＝b＝c，代入方程得出x2﹣x＝0，再求出方程的解即可． 【详解】解：（1）△ABC是等腰三角形， 理由：∵x＝1是方程的根， ∴（a+b）﹣2c+（a﹣b）＝0， ∴a+b﹣2c+a﹣b＝0， ∴a﹣c＝0， ∴a＝c， ∴△ABC是等腰三角形； （2）如果△ABC是等边三角形，则a＝b＝c， 原方程可化为：2ax2﹣2ax＝0， ∴x2﹣x＝0， 解得：x1＝0，x2＝1． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，等边三角形的性质，一元二次方程的解和解一元二次方程等知识点，能熟记等腰三角形的判定定理和等边三角形的性质是解此题的关键． 17．（2023春•北仑区校级期中）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”． （1）已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式 　b2﹣4ac＝0　 ；判断241 　不是　 “喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出一个“喜鹊数”　121　 ； （2）利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式； （3）在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值． 【分析】（1）根据喜鹊数的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可； （3）求出m与n互为倒数，又m+n＝﹣2，得出m＝﹣1，n＝﹣1，求出b＝a+c，a＝c，结合喜鹊数的定义即可得出答案． 【详解】解：（1）∵k＝100a+10b+c是喜鹊数， ∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0； ∵42＝16，4×2×1＝8，16≠8， ∴241不是喜鹊数； ∵各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的4倍， ∴十位上的数字的平方最小为4， ∵22＝4，4×1×1＝4， ∴最小的“喜鹊数”是121． 故答案为：b2﹣4ac＝0；不是；121． （2）∵x＝m是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2+bx+a＝0的一个根， ∴am2+bm+c＝0，cn2+bn+a＝0， 将cn2+bn+a＝0两边同除以n2得：a（）2+b（）+c＝0， ∴将m、看成是方程ax2+bx+c的两个根， ∵b2﹣4ac＝0， ∴方程ax2+bx+c有两个相等的实数根， ∴m，即mn＝1； 故答案为：mn＝1． （3）∵m+n＝﹣2，mn＝1， ∴m＝﹣1，n＝﹣1， ∴a﹣b+c＝0， ∴b＝a+c， ∵b2＝4ac， ∴（a+c）2＝4ac， 解得：a＝c， ∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484． 故答案为：121，242，363，484． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是弄清喜鹊数的定义． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$