21.1 一元二次方程（解析版+原卷版）-2025-2026学年九年级数学上册【基础过关+易错警示+中档提升+拓展延伸】同步练习课后作业（人教版）

21.1 一元二次方程 知识点1 一元二次方程的定义 1．（2025春•浙江期中）下列方程中，一元二次方程是（　　） A．x+2y＝4 B．3x＝4 C．x＝2x3+6 D．x2﹣2＝9 2．（2024秋•西安期末）若（m﹣3）x|m﹣1|﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．1 B．3 C．﹣1 D． 3．（2025春•高新区校级月考）（m﹣3）x2﹣2x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．m≠3 B．m＝﹣3 C．m＝1 D．m＝﹣1 知识点2 一元二次方程的一般形式 4．（2025春•莱西市期中）将一元二次方程x2﹣2x＝6化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．1，2，6 B．1，﹣2，6 C．1，﹣2，﹣6 D．1，2，﹣6 5．（2025春•淄川区期中）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣1＝0的常数项为0，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．±1 6．（2024秋•临高县期末）把一元二次方程（x+3）（x﹣5）＝2化成一般形式，得（　　） A．x2+2x﹣17＝0 B．x2﹣8x﹣17＝0 C．x2﹣2x＝17 D．x2﹣2x﹣17＝0 7．（2024秋•扎兰屯市期末）将一元二次方程2x2＝4+3x化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为 　 　 ． 8．（2024秋•新会区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣ax﹣2a+1＝0，若一次项系数与常数项相等，则a的值为　 　 ． 知识点3 一元二次方程的根（解） 9．（2025春•浙江期中）若m是方程x2﹣2x﹣4＝0的一个根，则代数式2025+2m2﹣4m的值为 　 ． 10．（2025•鹤山市一模）若x＝1是方程2x2﹣3x+5﹣a＝0的根，则a的值是　 　 ． 11．（2025春•蓬莱区期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一根为x＝2025，则关于y的一元二次方程cy2+by+a＝0（ac≠0）必有一根为（　　） A．2025 B．﹣2025 C． D． 12．（2024秋•凤城市期中）已知代数式﹣ax2+bx的取值如下所示，由数据可得，关于x的一元二次方程﹣ax2+bx+2＝0的解是（　　） x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … ﹣ax2+bx … ﹣4 ﹣2 0 0 ﹣2 ﹣4 … A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝﹣2，x2＝2 D．x1＝﹣1，x2＝﹣2 知识点4 建立一元二次方程模型 13．（2024秋•江宁区校级月考）如图，一块长16m，宽8m的矩形菜地，现要在中间铺设同样宽度的石子路，余下的部分用于种植，且种植面积为105m2．设石子路的宽度为x m，则下面所列方程正确的是（　　） A．（16﹣x）（8﹣x）+x2＝105 B．（16﹣x）（8﹣x）＝105 C．（16﹣2x）（8﹣x）+x2＝105 D．（16﹣2x）（8﹣x）＝105 14．（2023秋•平山县期末）10月8日，杭州亚运会乒乓球比赛全部结束，国乒揽获除女双项目外的6块金牌，展现了在乒乓球领域强大的统治力．乒乓球比赛采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（　　） A． B．x（x﹣1）＝380 C．2x（x﹣1）＝380 D．x2＝380 【易错警示】 易错点：忽略一元二次方程中二次项系数不为0而出错。 15．（2021秋•湖口县期中）如果关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0，有一个解是0，那么m的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．0或﹣3 16．（2024春•乳山市期末）若a，b，c满足，则关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根的平方和是（　　） A．2 B．3 C．5 D．8 17．（2022春•丰泽区校级期末）《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如x（x+5）＝24的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为x+5，宽为x的长方形纸片（面积均为24）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为：24×4+25＝121，边长为11，故得x（x+5）＝24的正数解为x3．小明按此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出同样的图形．已知大正方形的面积为12，小正方形的面积为4，则方程的正数解为（　　） A．1 B．1 C． D．1 18．（2023春•瑶海区期中）关于x的方程a（x+k）2+2023＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1（a、k、b均为常数，a≠0）． 问题： （1）关于x的方程a（x+k+2）2+2023＝0的根是 　 ； （2）关于x的方程a（x﹣k+2）2+2023＝0的根为 　 　 ． 19．（2024秋•鼓楼区期中）若方程x2+mx+1＝0和x2+x+m＝0有公共根，则常数m的值是　﹣2　 ． 20．（2023•拱墅区三模）如图，点A与点C表示的数分别为1和3，宸宸同学在数轴上以C为直角顶点作Rt△ABC，BC＝1，再以A为圆心，AB为半径画圆，交数轴于D、E两点，莲莲同学说，若D、E分别表示m和n，我发现x＝m是一元二次方程x2+bx﹣4＝0的一个根，琮琮说x＝n一定不是此方程的根． （1）写出m与n表示的数 （2）求出b的值 （3）你认为琮琮说得对吗？为什么？ 21．（2021秋•镇江期末）【阅读】 小明同学遇到这样一个问题：已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝﹣3，x2＝2，求方程a（x+m+1）2+b＝0的解．他用“换元法”解决了这个问题．我们一起来看看小明同学的具体做法． 解：在方程a（x+m+1）2+b＝0中令y＝x+1，则方程可变形为a（y+m）2+b＝0， 根据关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣3，x2＝2， 可得方程a（y+m）2+b＝0的解是y1＝﹣3，y2＝2． 把y＝﹣3代入y＝x+1得，x＝﹣4，把y＝2代入y＝x+1得，x＝1， 所以方程a（x+m+1）2+b＝0的解是x1＝﹣4，x2＝1． 【理解】 已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根m，n． （1）关于x的方程ax+bc＝0（a≠0）的两根分别是 　 （用含有m、n的代数式表示）； （2）方程 　 　 的两个根分别是2m，2n．（答案不唯一，写出一个即可） 【猜想与证明】 观察下表中每个方程的解的特点： 方程 方程的解 方程 方程的解 x2+4x+3＝0 x1＝﹣3，x2＝﹣1 3x2+4x+1＝0 x11 2x2﹣7x+3＝0 x13 3x2﹣7x+2＝0 x1＝2，x2 x2﹣2x﹣8＝0 x1＝4，x2＝﹣2 8x2+2x﹣1＝0 x1，x2 … … … … （1）猜想：方程ax2+bx+c＝0（a≠0，c≠0，b2﹣4ac≥0）的两个根与方程 　 　 的两个根互为倒数； （2）仿照小明采用的“换元法”，证明你的猜想． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.1 一元二次方程 知识点1 一元二次方程的定义 1．（2025春•浙江期中）下列方程中，一元二次方程是（　　） A．x+2y＝4 B．3x＝4 C．x＝2x3+6 D．x2﹣2＝9 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、该方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、该方程中未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、该方程是一元二次方程，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）． 2．（2024秋•西安期末）若（m﹣3）x|m﹣1|﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．1 B．3 C．﹣1 D． 【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， 解得：m＝﹣1， 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的定义，本题属于基础题型． 3．（2025春•高新区校级月考）（m﹣3）x2﹣2x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．m≠3 B．m＝﹣3 C．m＝1 D．m＝﹣1 【分析】根据一元二次方程的定义知：m﹣3≠0，则可得m≠3，从而完成解答． 【详解】解：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． ∵（m﹣3）x2﹣2x+1＝0是关于x的一元二次方程， ∴m﹣3≠0， ∴m≠3， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，其一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）且a，b，c是常数，熟记定义是解答本题的关键． 知识点2 一元二次方程的一般形式 4．（2025春•莱西市期中）将一元二次方程x2﹣2x＝6化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．1，2，6 B．1，﹣2，6 C．1，﹣2，﹣6 D．1，2，﹣6 【分析】根据一元二次方程的一般形式解答． 【详解】解：一元二次方程x2﹣2x＝6化为一般形式，得x2﹣2x﹣6＝0， 则二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，﹣2，﹣6， 故选：C． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0），其中a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项． 5．（2025春•淄川区期中）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣1＝0的常数项为0，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．±1 【分析】在一元二次方程的一般形式ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，由此列关系式计算即可． 【详解】解：由题意，得：m2﹣1＝0且m﹣1≠0， 解得：m＝﹣1． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0，这是在做题过程中容易忽视的知识点，还考查了解一元二次方程． 6．（2024秋•临高县期末）把一元二次方程（x+3）（x﹣5）＝2化成一般形式，得（　　） A．x2+2x﹣17＝0 B．x2﹣8x﹣17＝0 C．x2﹣2x＝17 D．x2﹣2x﹣17＝0 【分析】根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0，把原方程经过去括号，移项，合并同类项等步骤整理后，即可得到答案． 【详解】解：（x+3）（x﹣5）＝2， 去括号得：x2﹣5x+3x﹣15＝2， 移项得：x2﹣5x+3x﹣15﹣2＝0， 合并同类项得：x2﹣2x﹣17＝0， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，正确掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 7．（2024秋•扎兰屯市期末）将一元二次方程2x2＝4+3x化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为 　﹣3　 ． 【分析】根据题意正确得出一般式，即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程2x2＝4+3x化成一般形式之后，二次项的系数是2， ∴化成的一般形式为2x2﹣3x﹣4＝0， ∴一次项系数为﹣3， 故答案为：﹣3． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 8．（2024秋•新会区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣ax﹣2a+1＝0，若一次项系数与常数项相等，则a的值为　0　 ． 【分析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，可得答案． 【详解】解：由关于x的一元二次方程x2﹣ax﹣2a+1＝0，若一次项系数与常数项相等，得 ﹣2a+1＝1． 解得a＝0． 故答案为：0． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 知识点3 一元二次方程的根（解） 9．（2025春•浙江期中）若m是方程x2﹣2x﹣4＝0的一个根，则代数式2025+2m2﹣4m的值为 　2033　 ． 【分析】根据一元二次方程的解的定义得出m2﹣2m＝4，再将要求的代数式变形为2025+2（m2﹣2m），然后代入求值即可． 【详解】解：∵m是方程x2﹣2x﹣4＝0的一个根， ∴m2﹣2m﹣4＝0， ∴m2﹣2m＝4， ∴2025+2m2﹣4m＝2025+2（m2﹣2m）＝2025+2×4＝2033， 故答案为：2033． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，正确计算是解题的关键． 10．（2025•鹤山市一模）若x＝1是方程2x2﹣3x+5﹣a＝0的根，则a的值是　4　 ． 【分析】把x＝1代入方程求解即可． 【详解】解：把x＝1代入方程得：2×12﹣3×1+5﹣a＝0， 解得a＝4， 故答案为：4． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法． 11．（2025春•蓬莱区期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一根为x＝2025，则关于y的一元二次方程cy2+by+a＝0（ac≠0）必有一根为（　　） A．2025 B．﹣2025 C． D． 【分析】x＝2025代入一元二次方程ax2+bx+c＝0，得20252a+2025b+c＝0，两边同时除以20252可确定所求方程的一个根． 【详解】解：由条件可得20252a+2025b+c＝0， 两边除以20252，得， ∴， ∴是一元二次方程cy2+by+a＝0（ac≠0）的一根． 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握该知识点是关键． 12．（2024秋•凤城市期中）已知代数式﹣ax2+bx的取值如下所示，由数据可得，关于x的一元二次方程﹣ax2+bx+2＝0的解是（　　） x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … ﹣ax2+bx … ﹣4 ﹣2 0 0 ﹣2 ﹣4 … A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝﹣2，x2＝2 D．x1＝﹣1，x2＝﹣2 【分析】根据表格数据即可求解． 【详解】解：由数据可得，当x＝﹣1或2时，﹣ax2+bx＝﹣2， ∴关于x的一元二次方程﹣ax2+bx+2＝0的解是x1＝﹣1，x2＝2． 故选：B． 【点睛】本题考查代数式求值和一元二次方程的解，关键是观察表格，理解代数式﹣ax2+bx值和一元二次方程﹣ax2+bx+2＝0的解的关系． 知识点4 建立一元二次方程模型 13．（2024秋•江宁区校级月考）如图，一块长16m，宽8m的矩形菜地，现要在中间铺设同样宽度的石子路，余下的部分用于种植，且种植面积为105m2．设石子路的宽度为x m，则下面所列方程正确的是（　　） A．（16﹣x）（8﹣x）+x2＝105 B．（16﹣x）（8﹣x）＝105 C．（16﹣2x）（8﹣x）+x2＝105 D．（16﹣2x）（8﹣x）＝105 【分析】设小路的宽为x m，则草坪的总长度为（16﹣x）m，总宽度为（8﹣x）m，根据题意列出方程即可求出答案． 【详解】解：设小路的宽为x m，则草坪的总长度为（16﹣x）m，总宽度为（8﹣x）m， 根据题意，得：（16﹣x）（8﹣x）＝105． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清楚草坪的总长度和总宽度是解题关键． 14．（2023秋•平山县期末）10月8日，杭州亚运会乒乓球比赛全部结束，国乒揽获除女双项目外的6块金牌，展现了在乒乓球领域强大的统治力．乒乓球比赛采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（　　） A． B．x（x﹣1）＝380 C．2x（x﹣1）＝380 D．x2＝380 【分析】利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1），即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：x（x﹣1）＝380． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【易错警示】 易错点：忽略一元二次方程中二次项系数不为0而出错。 15．（2021秋•湖口县期中）如果关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0，有一个解是0，那么m的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．0或﹣3 【分析】把x＝0代入方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0． 【详解】解：把x＝0代入方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0中，得 m2﹣9＝0， 解得m＝﹣3或3， 当m＝3时，原方程二次项系数m﹣3＝0，舍去， 故选：B． 【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了一元二次方程的概念． 16．（2024春•乳山市期末）若a，b，c满足，则关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根的平方和是（　　） A．2 B．3 C．5 D．8 【分析】根据题意，得到方程的两个根为x＝1和x＝﹣2，进而求出两个根的平方和即可． 【详解】解：∵a，b，c满足， ∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根分别为x＝1和x＝﹣2， ∴12+（﹣2）2＝5； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 17．（2022春•丰泽区校级期末）《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如x（x+5）＝24的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为x+5，宽为x的长方形纸片（面积均为24）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为：24×4+25＝121，边长为11，故得x（x+5）＝24的正数解为x3．小明按此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出同样的图形．已知大正方形的面积为12，小正方形的面积为4，则方程的正数解为（　　） A．1 B．1 C． D．1 【分析】把方程变形得到x（x+m）＝n，设图中长方形的长为（x+m），宽为x，则图中小正方形的边长为x+m﹣ x ＝m＝2，大正方形的边长为x+m+ x ＝2x+m，解得x＝2，然后计算x（x+2）即可． 【详解】解：∵x2+mx﹣n＝0， ∴x（x+m）＝n， ∴图中长方形的长为（x+m），宽为x， ∴图中小正方形的边长为x+m﹣ x ＝m2， 大正方形的边长为x+m+ x ＝2x+m， ∴x1， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 18．（2023春•瑶海区期中）关于x的方程a（x+k）2+2023＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1（a、k、b均为常数，a≠0）． 问题： （1）关于x的方程a（x+k+2）2+2023＝0的根是 　x1＝﹣4，x2＝﹣1　 ； （2）关于x的方程a（x﹣k+2）2+2023＝0的根为 　x1＝0，x2＝﹣3　 ． 【分析】（1）将x+2看作整体，由题意可知x+k＝﹣2，x+k＝1，可得x+2＝﹣2，x＝﹣4，x＝﹣1； （2）仿照（1）计算即可． 【详解】解：（1）∵方程a（x+k）2+2023＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1， ∵a（x+k+2）2+2023＝0， ∴x+2＝﹣2，x+2＝1， 解得x1＝﹣4，x2＝﹣1， 故答案为：x1＝﹣4，x2＝﹣1． （2）∵方程a（x+k）2+2023＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1， ∵a（x﹣k+2）2+2023＝0， ∴x+2＝﹣1，x+2＝2， ∴x1＝0，x2＝﹣3， 故答案为：x1＝0，x2＝﹣3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，灵活变形是解题的关键． 19．（2024秋•鼓楼区期中）若方程x2+mx+1＝0和x2+x+m＝0有公共根，则常数m的值是　﹣2　 ． 【分析】先设公共根为t，则t2+mt+1＝0，t2+t+m＝0，把两方程相减得到（m﹣1）t＝m﹣1，如果m＝1，那么两个方程均为x2+x+1＝0，Δ＜0，不符合题意；如果m≠1，解方程求出t的值，再根据方程解的定义得出1+m+1＝0，解得m的值即可． 【详解】解：设方程x2+mx+1＝0和x2+x+m＝0的公共根为t， 则t2+mt+1＝0①， t2+t+m＝0②， ①﹣②得（m﹣1）t＝m﹣1， 如果m＝1，那么两个方程均为x2+x+1＝0，△＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，不符合题意； 如果m≠1，那么t＝1， 把t＝1代入①，得1+m+1＝0，解得m＝﹣2． 故常数m的值为﹣2． 故答案为：﹣2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 20．（2023•拱墅区三模）如图，点A与点C表示的数分别为1和3，宸宸同学在数轴上以C为直角顶点作Rt△ABC，BC＝1，再以A为圆心，AB为半径画圆，交数轴于D、E两点，莲莲同学说，若D、E分别表示m和n，我发现x＝m是一元二次方程x2+bx﹣4＝0的一个根，琮琮说x＝n一定不是此方程的根． （1）写出m与n表示的数 （2）求出b的值 （3）你认为琮琮说得对吗？为什么？ 【分析】（1）先利用勾股定理计算出AB，则OE＝AE﹣OA1，OD＝AD+OA1，然后表示出点D、E表示的数，从而得到m、n的值； （2）把x1代入方程x2+bx﹣4＝0得（1）2+（1）b﹣4＝0，然后解关于b的方程即可； （3）把x1代入方程左边得（1）2﹣2（1）﹣4＝5＝0，所以可判断x＝n一定是此方程的根，原式可判断琮琮说得不对． 【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∵BC＝1，AC＝2， ∴AB， ∴AE＝AD＝AB， ∵OA＝1， ∴OE＝AE﹣OA1，OD＝AD+OA1， ∴D点表示的数为1，即m1， E点表示的数为1，即n1； （2）把x1代入方程x2+bx﹣4＝0得（1）2+（1）b﹣4＝0， 解得b＝﹣2， 即b的值为﹣2； （3）琮琮说得不对． 理由如下： 把x1代入方程左边得（1）2﹣2（1）﹣4＝5﹣21+22﹣4＝0， 所以x＝n一定是此方程的根． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 21．（2021秋•镇江期末）【阅读】 小明同学遇到这样一个问题：已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝﹣3，x2＝2，求方程a（x+m+1）2+b＝0的解．他用“换元法”解决了这个问题．我们一起来看看小明同学的具体做法． 解：在方程a（x+m+1）2+b＝0中令y＝x+1，则方程可变形为a（y+m）2+b＝0， 根据关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣3，x2＝2， 可得方程a（y+m）2+b＝0的解是y1＝﹣3，y2＝2． 把y＝﹣3代入y＝x+1得，x＝﹣4，把y＝2代入y＝x+1得，x＝1， 所以方程a（x+m+1）2+b＝0的解是x1＝﹣4，x2＝1． 【理解】 已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根m，n． （1）关于x的方程ax+bc＝0（a≠0）的两根分别是 　m2，n2　 （用含有m、n的代数式表示）； （2）方程 　ax2+2bx+4c＝0　 的两个根分别是2m，2n．（答案不唯一，写出一个即可） 【猜想与证明】 观察下表中每个方程的解的特点： 方程 方程的解 方程 方程的解 x2+4x+3＝0 x1＝﹣3，x2＝﹣1 3x2+4x+1＝0 x11 2x2﹣7x+3＝0 x13 3x2﹣7x+2＝0 x1＝2，x2 x2﹣2x﹣8＝0 x1＝4，x2＝﹣2 8x2+2x﹣1＝0 x1，x2 … … … … （1）猜想：方程ax2+bx+c＝0（a≠0，c≠0，b2﹣4ac≥0）的两个根与方程 　cx2+bx+a＝0　 的两个根互为倒数； （2）仿照小明采用的“换元法”，证明你的猜想． 【分析】【理解】（1）令y，根据题意可得m或n，即可求解方程； （2）由题意可知m+n，mn，由于方程的两个根分别是2m，2n，则2m+2n，am•2n，即可写出符合条件的方程； 【猜想与证明】（1）由表格可得：cx2+bx+a＝0的两个根与方程ax2+bx+c＝0（a≠0，c≠0，b2﹣4ac≥0）的两个根互为倒数； （2）先将cx2+bx+a＝0变形为，设，方程可变形为ay2+by+c＝0，设方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝m，x2＝n，则可得方程ay2+by+c＝0的解为y1＝m，y 2＝n，把y＝m代入得，；把y＝n代入得，x，即可证明． 【详解】解：【理解】（1）令y， ∴方程ax+bc＝0（a≠0）可化为ay2+by+c＝0， ∵ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根m，n， ∴y＝m或y＝n， ∴m或n， ∴x＝m2或x＝n2， 故答案为：m2，n2； （2）∵方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根m，n， ∴x＝m或x＝n， ∴m+n，mn， ∵方程的两个根分别是2m，2n， ∴2m+2n，am•2n， ∴方程ax2+2bx+4c＝0的两个根为2m，2n， 故答案为：ax2+2bx+4c＝0； 【猜想与证明】（1）由表格可得：cx2+bx+a＝0的两个根与方程ax2+bx+c＝0（a≠0，c≠0，b2﹣4ac≥0）的两个根互为倒数， 故答案为：cx2+bx+a＝0； （2）证明：由cx2+bx+a＝0两边同除以x2，得， 设，方程可变形为ay2+by+c＝0， 设方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝m，x2＝n， 可得方程ay2+by+c＝0的解是y1＝m，y 2＝n， 把y＝m代入得，；把y＝n代入得，x， 所以方程cx2+bx+a＝0的解是，， 即方程ax2+bx+c＝0的两个根与方程cx2+bx+a＝0的两个根互为倒数． 【点睛】本题考查无理方程的解，理解题意，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，灵活运用换元法解方程是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$