精品解析： 2025年湖北省广水市九年级4月适应性练习数学试题

广水市2025年九年级四月适应性练习 数 学 试 题 （训练时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷上，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置． 2． 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号．答在试题卷上无效． 3． 非选择题的作答：用0．5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卷上对应的答题区域内．答在试题卷上无效． 4． 考生必须保持答题卷的整洁．考试结束后，请将本试题卷和答题卷一并上交． 一、单选题（共10题，每题3分，共30分） 1. 2025年“迎蛇年过大节，春满荆楚福满园”湖北文旅迎春节活动顺利举行，数据2025的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 榫卯结构是中国传统建筑，家具及其它器械的一种结构方式，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的主视图为（　　） A. B. C. D. 3. 可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一个角的三角尺如图放置，已知直线，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，在一次函数（k、b为常数）的图象上，且，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 要使有意义，则应满足的条件是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 成语“五雀六燕”出自中国古代数学名著《九章算术》第八卷《方程》中一道名题．原题为：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等，5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕每只各多重？”现设每只雀x斤，每只燕y斤，则可列出方程组（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的外心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 9. 如图，已知点A（2，3），B（5，1），若将线段AB平移至A1B1， A1在y轴正半轴上，B1在x轴上，则A1的纵坐标、B1的横坐标分别为（ ） A. 2，3 B. 1，4 C. 2，2 D. 1，3 10. 如图，正方形的顶点坐标分别为，，，抛物线经过点D，顶点坐标为，将此抛物线在正方形内（含边界）的部分记为图象G，若直线与图象G有唯一交点，则k的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或或 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 写出一个一次函数，使该函数图象经过第一、二、第四象限和点，则这个一次函数的解析式可以是__________． 12. 一个仅装有球的不透明布袋里只有8个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为0.4，则______． 13. 《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，那么2兆＝________．（用科学记数法表示） 14. 分式方程的解是____． 15. 如图，在直角三角形中，，点D是边上的一点（不与B、C重合），连接，将沿折叠，使点C落在点E处，当是直角三角形时，的长为_____________． 三、解答题（共9题，共30分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，是平行四边形中的平分线，交于E． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，求菱形的面积． 18. 根据收集的素材，探索完成任务． 探究太阳能热水器的安装 素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装． 素材二 某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，；夏至日时，． ，， ，， ，， ，， 素材三 如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼共11层，乙楼共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米，为某时刻的太阳光线． 问题解决 任务一 确定使用数据 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择________日（填冬至或夏至）时，α为________（填，，，中的一个）进行计算． 任务二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器． 19. 某体育老师统计了七年级甲、乙两个班女生的身高，并绘制了以下不完整的统计图． 请根据图中信息，解决下列问题： （1）两个班共有女生多少人？ （2）将频数分布直方图补充完整； （3）求扇形统计图中部分所对应的扇形圆心角度数； （4）身高在的5人中，甲班有3人，乙班有2人，现从中随机抽取两人补充到学校国旗队．请用列表法或画树状图法，求这两人来自同一班级的概率． 20. 如图，已知反比例函数与一次函数分别交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若点是y轴上一动点，且满足，结合函数图象，直接写出t的取值范围． 21. 如图，内接于，为的直径，点D为弧中点，连接，平分交于E． （1）求证：； （2）若过C点的切线与的延长线交于点F，已知，求劣弧、线段、围成的阴影部分的面积； 22. 【课题学习】 学习主题：探究电流最值 课题背景：数学在电工电子中有着广泛的应用，可以帮助工程师进行电路设计和分析，控制系统设计，信号处理等工作，这些工作需要遵循物理学的规律，我们知道函数是描述变化规律的一种数学模型，欧潭数学探究小组受电流和电压间关系式的启发，以探究“探究电流最值”为主题展开项目式学习． 学习素材： 名称 内容 备注 素材1 用总长的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积随矩形一边长的变化而变化． 课本例题 素材2 观察下列两个数的乘积，说明其中哪个积最大． ，，，，…，， 课本数学活动 素材3 串联电路的总电阻等于各串联电阻之和： 并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和； 电压一定的情况下，电流与电阻成反比关系． 物理学知识 研究步骤： 1.画出电路图．在如图1所示的电路中，，，滑动变阻器的最大电阻，其等效电路图如图2所示，其中． 2.根据电路图连结实验器材，图略． 3.闭合开关，在滑片从端滑到端的过程中，观察电流表的示数，记录相关数据． 解决问题： （1）在素材1中，当 时，场地的面积最大； （2）推测素材2中哪个式子的积最大，并用函数知识说明理由； （3）电流表表示数是否存在最小值，若存在，求出电流表示数的最小值．若不存在请说明理由． 23. 【问题提出】 （1）如图①，已知直线，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，则_____；（填“>”“<”或“=”） 【问题探究】 （2）如图②，的直径为20，点A，B，C都在上，，求面积的最大值； 【问题解决】 （3）如图③，为某市一块空地示意图，米，米，根据设计要求，现要在外选择一点D，将这块地扩大改造为一个四边形便民服务区，要求点D为内部一点，且，为服务区内两条主步道，在上修建一个引导台点E，使，再修建两条新的小道，为了让服务区功能更加合理，要使四边形的面积尽可能大，请求出满足设计要求的四边形面积的最大值． 24. 已知，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且对称轴为直线，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，在第二象限的抛物线上作点D，连接交直线于点E，若与相似，求点D的横坐标； （3）如图2，经过点的直线l：（）交抛物线于M，N两点（M在第三象限，N在第一象限），直线：交线段于点Q（不与M，P重合），设的面积为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广水市2025年九年级四月适应性练习 数 学 试 题 （训练时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷上，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置． 2． 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号．答在试题卷上无效． 3． 非选择题的作答：用0．5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卷上对应的答题区域内．答在试题卷上无效． 4． 考生必须保持答题卷的整洁．考试结束后，请将本试题卷和答题卷一并上交． 一、单选题（共10题，每题3分，共30分） 1. 2025年“迎蛇年过大节，春满荆楚福满园”湖北文旅迎春节活动顺利举行，数据2025的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是倒数的含义．根据乘积为1的两个数互为倒数作答即可． 【详解】数据2025的倒数是． 故选：C． 2. 榫卯结构是中国传统建筑，家具及其它器械的一种结构方式，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的主视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了物体的三视图，根据从正面看到的图形即可求解，掌握物体三视图的画法是解题的关键． 【详解】解：榫的主视图为： 故选：B． 3. 可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法，根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法运算法则逐项求解判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、、不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 4. 如图，一个角的三角尺如图放置，已知直线，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是平行线的性质和直角三角板的应用，解题关键是熟记性质并准确识图．根据两直线平行，同位角相等可得，然后根据计算即可得解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ， 故选B． 5. 已知点，在一次函数（k、b为常数）的图象上，且，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图像上点的坐标特点，熟知一次函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．直接根据即可得出随的增大而增大，进而可求k的取值范围． 【详解】解：点，在一次函数（k、b为常数）的图象上，且，， 随的增大而增大， ， ， 故答案为：A． 6. 要使有意义，则应满足的条件是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的有意义的条件，根据二次根式的有意义的条件：被开方数为非负数，列出不等式进而即可解答． 【详解】解：根据题意：， 解得：， 故选：B． 7. 成语“五雀六燕”出自中国古代数学名著《九章算术》第八卷《方程》中一道名题．原题为：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等，5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕每只各多重？”现设每只雀x斤，每只燕y斤，则可列出方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等可得，再根据5只雀、6只燕重量为1斤可得，由此即可得． 【详解】解：由题意，可列方程为， 故选：C． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组，找准等量关系是解题关键． 8. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的外心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外心的定义，根据三角形三边垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可求解，掌握三角形的外心的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得，，，， ∴， ∴点是的外心， 故选：． 9. 如图，已知点A（2，3），B（5，1），若将线段AB平移至A1B1， A1在y轴正半轴上，B1在x轴上，则A1的纵坐标、B1的横坐标分别为（ ） A. 2，3 B. 1，4 C. 2，2 D. 1，3 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中，点上下平移横坐标不变、纵坐标上加下减，点左右平移纵坐标不变、横坐标左减右加，即可确定答案． 【详解】解：∵点A（2，3），B（5，1），在y轴正半轴上，在x轴上， ∴线段AB向左平移2个单位长度，向下平移1个单位长度， ∴的纵坐标为，的横坐标为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，解题关键是理解平面坐标系中点平移的特点． 10. 如图，正方形的顶点坐标分别为，，，抛物线经过点D，顶点坐标为，将此抛物线在正方形内（含边界）的部分记为图象G，若直线与图象G有唯一交点，则k的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先求出抛物线解析式为，再求出抛物线与正方形边长另一个交点为，再根据直线过定点，结合函数图象解题即可． 【详解】解：设抛物线与正方形边长另一个交点为， ∵正方形的顶点坐标分别为， ∴， ∵抛物线经过点，顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 把代入得到，解得， ∴抛物线解析式为， 当时，解得， ， ∵直线， ∴直线过定点， 当时， ∴直线与必有两个交点， ∵将此抛物线在正方形内（含边界）的部分记为图象，直线与图象有唯一交点， ∴当时，抛物线过，即，解得， 当时，抛物线过，即， 解得：， 综上所述，或， 故选：A． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 写出一个一次函数，使该函数图象经过第一、二、第四象限和点，则这个一次函数的解析式可以是__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】设一次函数解析式为，根据一次函数的图象性质得到的取值范围，再利用待定系数法结合已知点坐标得到的值，取满足条件的值即可写出符合要求的解析式． 【详解】解：设该一次函数的解析式为． 一次函数图象经过第一、二、四象限， ． 函数图象经过点， 将代入得，． 取，满足， 可得一次函数解析式为． 12. 一个仅装有球的不透明布袋里只有8个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为0.4，则______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查概率公式，根据公式列出方程求解则可． 【详解】解：根据题意，， 解得， 经检验是方程的解． ∴． 故答案为：12． 13. 《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，那么2兆＝________．（用科学记数法表示） 【答案】 【解析】 【分析】2兆＝2×1万×1万×1亿＝2×1万×1万×1万×1万，根据同底数幂的乘法法则计算，结果表示成的形式即可． 【详解】解：2兆＝2×1万×1万×1亿＝2×1万×1万×1万×1万， 故答案为：． 【点睛】本题考查科学记数法、同底数幂的乘法，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则，以及科学记数法的表示方法． 14. 分式方程的解是____． 【答案】x=3 【解析】 【详解】试题分析：分式方程去分母转化为整式方程x=3（x﹣2），求出整式方程的解得到x=3，经检验x=3是分式方程的解，即可得到分式方程的解． 考点：解分式方程 15. 如图，在直角三角形中，，点D是边上的一点（不与B、C重合），连接，将沿折叠，使点C落在点E处，当是直角三角形时，的长为_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是根据勾股定理得到，根据已知条件得到当是直角三角形时，或，①当时，则，根据折叠的性质得到，于是得到，②当时，根据折叠的性质得到，，，推出点在上，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：在中，，， ， ， ， 点是边上的一点， ， 当是直角三角形时，或， ①当时，则， 将沿折叠，使点落在点处， ， ， ②当时， 将沿折叠，使点落在点处， ，，， ， 点在上，如图， ，，， ， ， ， ， 综上所述，的长为 6或， 故答案为：6或． 三、解答题（共9题，共30分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，零次幂、立方根、算术平方根、负整数指数幂，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简特殊角的三角函数值、零次幂、负整数指数幂、算术平方根、乘方，再运算加减，即可作答． （2）先化简乘方、立方根、特殊角的三角函数值、绝对值，再运算加减，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，是平行四边形中的平分线，交于E． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴. ∵是平行四边形中的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据两组对边分别平行证明四边形是平行四边形，再利用角平分线证明即可； （2）连接与相交于O，根据勾股定理求出对角线长，再求面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， 又由(1)知， ∴为等边三角形， ∴； 连接与相交于O． 由(1)知四边形是菱形， ∴，， ∴ ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了菱形的判定与性质，解题关键是熟练运用菱形的判定进行证明，利用等边三角形的判定和勾股定理求出对角线长． 18. 根据收集的素材，探索完成任务． 探究太阳能热水器的安装 素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装． 素材二 某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，；夏至日时，． ，， ，， ，， ，， 素材三 如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼共11层，乙楼共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米，为某时刻的太阳光线． 问题解决 任务一 确定使用数据 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择________日（填冬至或夏至）时，α为________（填，，，中的一个）进行计算． 任务二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器． 【答案】任务一：冬至，；任务二：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意是解答的关键． 任务一：根据题意直接求解即可； 任务二：过E作于F，利用正切定义求得 【详解】解：任务一：根据题意，要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，只需为冬至日时的最小角度，即， 故答案为：冬至，； 任务二：过E作于F，则，米，， 在中，， ∴（米）， ∵（米）， ∴（米）， （层）， 答：乙楼中7层（含2层）以下不能安装该品牌太阳能热水器． 19. 某体育老师统计了七年级甲、乙两个班女生的身高，并绘制了以下不完整的统计图． 请根据图中信息，解决下列问题： （1）两个班共有女生多少人？ （2）将频数分布直方图补充完整； （3）求扇形统计图中部分所对应的扇形圆心角度数； （4）身高在的5人中，甲班有3人，乙班有2人，现从中随机抽取两人补充到学校国旗队．请用列表法或画树状图法，求这两人来自同一班级的概率． 【答案】（1）50； （2）频数分布直方图补充如下： （3）； （4） 【解析】 【分析】（1）根据D的人数除以所占的百分比即可的总人数; （2）根据C的百分比乘以总人数，可得C的人数，再根据总人数减去A、B、C、D、F，便可计算的E的人数，分别在直方图上表示即可. （3）根据直方图上E的人数比总人数即可求得的E百分比，再计算出圆心角即可. （4）画树状图统计总数和来自同一班级的情况，再计算概率即可. 【详解】解：（1）总人数为人， 答：两个班共有女生50人； （2）C部分对应的人数为人，部分所对应的人数为； （3）扇形统计图中部分所对应的扇形圆心角度数为； （4）画树状图： 共有20种等可能的结果数，其中这两人来自同一班级的情况占8种， 所以这两人来自同一班级的概率是． 【点睛】本题是一道数据统计的综合性题目，难度不大，这类题目，往往容易得分，应当熟练的掌握. 20. 如图，已知反比例函数与一次函数分别交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若点是y轴上一动点，且满足，结合函数图象，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）， （2）且 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用； （1）由，两点在反比例函数的图象上，可得反比例函数的解析式为，，再利用待定系数法求解一次函数解析式即可； （2）如图，记直线：与轴的交点为，求解，可得，当时，可得，再进一步求解即可. 【小问1详解】 解：∵，两点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∴． ∵一次函数的图象经过，两点， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：如图，记直线：与轴的交点为， ∴， ∵， ∴， 当时， ∴， 解得：或， ∴当时，， ∵不重合， ∴， 综上：且. 21. 如图，内接于，为的直径，点D为弧中点，连接，平分交于E． （1）求证：； （2）若过C点的切线与的延长线交于点F，已知，求劣弧、线段、围成的阴影部分的面积； 【答案】（1） 证明：点D为弧中点， ， ， ， ， 平分， ， ，， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）由圆周角可推出，由角平分线的定义，可得，从而得出，再根据等角对等边，即可证明结论； （2）连接，由（1）可知，，根据弧与圆心角的关系可得，进而证明是等腰直角三角形，求出，再证明是等腰直角三角形，得到，最后利用阴影面积求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（1）可知，， ， ， 点D为弧中点， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 是的切线，切点为， ， 是等腰直角三角形， ， 劣弧、线段、围成的阴影部分的面积 ． 【点睛】本题考查了圆周角与圆心角，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积公式，圆的切线的性质等知识，掌握圆的相关性质是解题关键． 22. 【课题学习】 学习主题：探究电流最值 课题背景：数学在电工电子中有着广泛的应用，可以帮助工程师进行电路设计和分析，控制系统设计，信号处理等工作，这些工作需要遵循物理学的规律，我们知道函数是描述变化规律的一种数学模型，欧潭数学探究小组受电流和电压间关系式的启发，以探究“探究电流最值”为主题展开项目式学习． 学习素材： 名称 内容 备注 素材1 用总长的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积随矩形一边长的变化而变化． 课本例题 素材2 观察下列两个数的乘积，说明其中哪个积最大． ，，，，…，， 课本数学活动 素材3 串联电路的总电阻等于各串联电阻之和： 并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和； 电压一定的情况下，电流与电阻成反比关系． 物理学知识 研究步骤： 1.画出电路图．在如图1所示的电路中，，，滑动变阻器的最大电阻，其等效电路图如图2所示，其中． 2.根据电路图连结实验器材，图略． 3.闭合开关，在滑片从端滑到端的过程中，观察电流表的示数，记录相关数据． 解决问题： （1）在素材1中，当 时，场地的面积最大； （2）推测素材2中哪个式子的积最大，并用函数知识说明理由； （3）电流表表示数是否存在最小值，若存在，求出电流表示数的最小值．若不存在请说明理由． 【答案】（1）15 （2）和的积最大， 理由如下： 设其中一个因数为，则另一个因数为， 则（，且为正整数）， 对称轴为，因为是正整数，且， 所以取50或51时，y最大为2550； （3）存在，最小值为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，理解题意，正确列出二次函数解析式是解题关键． （1）根据题意，矩形一边长，则另一边长为，则有，结合二次函数的性质即可获得答案； （2）设其中一个因数为，则另一个因数为，所以（，且为正整数），结合二次函数的性质即可获得答案； （3）设，则，总电流为，则有，由分式的性质可知，若分子为不变的正数，则分母最大时，分式最小，再设，，结合二次函数的性质即可获得答案． 【小问1详解】 解：根据题意，矩形一边长，则另一边长为， 所以，， 所以，当，场地的面积最大，最大为225平方米； 故答案为：15； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，则，，设总电流为， 则， 由分式的性质可知，若分子为不变的正数，则分母最大时，分式最小， 设， ∵，则抛物线开口向下，且， ∴当时，取最大值为25， 此时取最小值为，两支路电阻分别为和，两支路电阻相等， ∴当两支路的电阻相等时，电流表示数最小，最小值为2． 23. 【问题提出】 （1）如图①，已知直线，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，则_____；（填“>”“<”或“=”） 【问题探究】 （2）如图②，的直径为20，点A，B，C都在上，，求面积的最大值； 【问题解决】 （3）如图③，为某市一块空地示意图，米，米，根据设计要求，现要在外选择一点D，将这块地扩大改造为一个四边形便民服务区，要求点D为内部一点，且，为服务区内两条主步道，在上修建一个引导台点E，使，再修建两条新的小道，为了让服务区功能更加合理，要使四边形的面积尽可能大，请求出满足设计要求的四边形面积的最大值． 【答案】（1）=；（2）108；（3）平方米． 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质，根据同底等高的两三角形面积相等作答； （2）长不变，只要边上的高最大，面积最大；由图知当C是优弧的中点时，边上的高最大，面积最大，求得优弧的中点到的距离就可求得最大面积； （3）过C作交的延长线于F，得，先证得四边形的面积的面积；根据得点F在以为边向外作的等边的外接圆上，受解决（2）的启发得，当F运动到点G时，的面积最大，即四边形的面积最大．最后计算出的面积即是四边形的面积最大值． 【详解】解：（1）如图①所示，分别过A、B两点向直线b作垂线，垂足为M、N， ∵ ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ 又， ∴； 故答案为：=； （2）如图②，取优弧的中点记为，过作的垂线，垂足为D， 由垂径定理知过点O，且． 过点C作的平行线， 当直线向上平移时，与的距离增大，即的边上的高增大， ∴当CE运动到最高点C时，的边上的高最大． 又为定值， ∴当C运动到时，的面积最大， 连接， ，的直径为20， ， 在中，． ． 的面积为． 面积的最大值为108． （3）如图，过点C作交的延长线于F． ． ． ， 四边形是平行四边形． ． ， ． ． 又由（1）的结论知， ． 所以只需求得最大值即得的最大值． 以AC为边向外作等边，再作等边的外接圆，过点G作于点J．如图， ， 点F在的外接圆上． 由第（2）问的解决知，当点F运动到点G时，． 在中，（米）， （米）， （米）， （平方米）． 四边形面积的最大值为平方米． 【点睛】本题考查了三角形等积变形、定角对定边的三角形的面积最大值、等边三角形及其外接圆、平行四边形的判定和性质等考点，熟练掌握相关知识并能综合应用是解题关键． 24. 已知，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且对称轴为直线，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，在第二象限的抛物线上作点D，连接交直线于点E，若与相似，求点D的横坐标； （3）如图2，经过点的直线l：（）交抛物线于M，N两点（M在第三象限，N在第一象限），直线：交线段于点Q（不与M，P重合），设的面积为，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）或； （3）． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）分两种情况：①当时，，②当时，，分别求解即可； （3）根据经过点，则，得到，代入得，联立与， 解得，再根据三角形面积公式得到，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 又∵对称轴为直线， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图1，①当时，，则， 设直线解析式为， 将代入得： ， 解得：， ∴直线解析式为， ∴， ∴直线解析式为：， 联立抛物线与直线得：， 整理得：， 解得：，（舍去）； ②当时，，作，如图2， ∵，对称轴为直线， ∴， ∴，， ∴，， ，， 作，则， 设，， ∴， ∴， ∴点， ∴直线解析式为：， 联立抛物线与直线，得：， 解得，（舍去）， 综上所述点的横坐标为或； 【小问3详解】 解：直线：交线段于点（不与重合）， 当时，， ∴点， ∴， ∵直线：经过点， ， ∴， ∴直线：， 联立直线：与直线：，得： ， 解得：， 又∵， ， ，随的增大而减小， ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的性质，解直角三角形，一次函数的图象与性质，求函数解析式等知识，掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $