13.2.1 三角形的边 分层练习 2025-2026学年人教版数学八年级上册

13.2.1 三角形的边 分层练习 （2024新教材 超优课件制作 学科网） 一、核心素养巩基础 一、单选题 1．如图，已知P是△ABC内任一点， AB＝12，BC＝10，AC＝6，则 PA+PB+PC的值一定大于（    ）    A．14 B．15 C．16 D．28 2．下列长度的线段能组成三角形的是（   ）． A．3，4，8 B．5，6，11 C．2，11，9 D．3，6，8 3．下列长度的三条线段能构成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．5、6、11 D．3，5，9 4．满足下列条件的三条线段a，b，c能组成三角形的是（   ） A． B．， C．，， D．，， 5．下列各组线段中，能构成三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．如图，、为池塘岸边两点，小明在池塘的一侧取一点，测得米，米，、间的距离可能是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 7．已知某三角形的三边长分别为3，7，，则的值可以是（    ） A．1 B．4 C．7 D．10 8．已知一个三角形的两边，满足，则此三角形的第三边可能为（    ） A．2 B．6 C．9 D．10 9．如图，已知A是直线l上一点，点O在直线l的上方，以点O为圆心，长为半径画弧，交直线l于另一点B．若，则的长不可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 10．将一个矩形纸片沿虚线折叠，围成无上下底的三棱柱，尺寸如图所示，则的值可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．一个三角形的三边长分别是，，，且满足，则此三角形的边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．如图，为了估计池塘岸边A，B的距离，小聪在池塘的一侧选取一点，测得米，米，则A，B间的距离不可能是（   ） A．50米 B．40米 C．30米 D．20米 13．为估计池塘两岸A、B间的距离，晓聪在池塘一侧选取了一点P，测得，，那么间的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 14．一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长为奇数，则该三角形的周长为（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 15．将周长为的三角形的三条边依次放在一条直线上，其中所标数据正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 16．若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）． ①，，；    ②，，． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为，16，直接写出x的整数值为 ． 17．不能构成三角形的三条整数长度的线段的长度和的最小值为1+1+2=4；若四条整数长度的线段中，任意三条不能构成三角形，则该四条线段的长度和的最小值为1+1+2+3=7；……，依此规律，若八条整数长度的线段中，任意三条不能构成三角形，则该八条线段的长度和的最小值为 ． 18．若长度分别为3，5，的三条线段能组成一个三角形，则的值可以是 ．（写出一个符合题意的数即可） 19．在中，，，则长度的取值范围是 ． 20．若一个三角形三边长分别为2，m和8，则m的取值范围 ． 21．若三角形的两条边的长度分别是3和7，则第三条边的长度x的范围是 ． 22．线段能构成三角形，且使关于的不等式组有解的所有整数的和为 ． 23．已知的三边长分别为，，10．则的取值范围 ． 24．如果一个三角形的三边长均为偶数，且满足，则称该三角形为“幸运三角形”．当时，则“幸运三角形”有 个；当（为不小于2的正整数）时，则“幸运三角形”有 个．（用含n的代数式表示） 25．给出如下定义：在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点，，的“最佳间距”． 例如：如图，点，，的“最佳间距”是1． 已知点，，．若点，，的“最佳间距”是2，则的值为 ．    二、拓展研究提能力 26．问题提出： 最长边长为128的整数边三角形有多少个？（整数边三角形是指三边长度都是整数的三角形．） 问题探究： 为了探究规律，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论． （1）如表①，最长边长为1的整数边三角形，显然，最短边长是1，第三边长也是1.按照（最长边长，最短边长，第三边长）的形式记为，有1个，所以总共有个整数边三角形． 表① 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 1 1 1 1个1 （2）如表②，最长边长为2的整数边三角形，最短边长是1或2.根据三角形任意两边之和大于第三边，当最短边长为1时，第三边长只能是2，记为，有1个；当最短边长为2时，显然第三边长也是2，记为，有1个，所以总共有个整数边三角形． 表② 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 2 1 1 2个1 2 1 （3）下面在表③中总结最长边长为3的整数边三角形个数情况： 表③ 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 3 1 1 2个2 2 ， 2 3 1 （4）下面在表④中总结最长边长为4的整数边三角形个数情况： 表④ 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 4 1 1 3个2 2 ， 2 3 ， 2 4 1 （5）请在表⑤中总结最长边长为5的整数边三角形个数情况并填空： 表⑤ 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 5 1 1 ___ ___ 2 ， 2 3 _______ _____ 4 ， 2 5 1 问题解决： （1）最长边长为6的整数边三角形有___________个． （2）在整数边三角形中，设最长边长为，总结上述探究过程，当为奇数或为偶数时，整数边三角形个数的规律一样吗？请写出最长边长为的整数边三角形的个数． （3）最长边长为128的整数边三角形有__________个． 拓展延伸： 在直三棱柱中，若所有棱长均为整数，则最长棱长为9的直三棱柱有___________个． 27．已知a、b、c满足(a﹣3)2|c﹣5|=0． 求：（1）a、b、c的值； （2）试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由． 28．先阅读理解下面的例题，再按要求解决问题． 例题：解一元二次不等式． 解：∵， ∴． 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 ①解不等式组①，得 ②解不等式组②，得， 故原不等式的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． 问题：（1）求关于x的两个多项式的商组成的不等式的解集． （2）若a，b是（1）中解集x的整数解，以a，b，c为为边长，c是中的最长的边长，①求c的取值范围：②若c为整数，求这个等腰的周长． 29．对于有理数x，y，定义新运算：，其中a，b是常数，已知． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y 的方程组中，y 是等腰三角形腰的长度，x是底的长度，求 m 的取值范围以及等腰三角形周长C 的取值范围； (3)若 关 于 x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 三、参考答案 1．A 【分析】在三个三角形中分别利用三边关系列出三个不等式，相加后根据不等式的性质即可得到正确的结论. 【详解】解：如图所示，在△ABP中，AP+ BP> AB， 同理: BP + PC > BC，AP+ PC > AC， 以上三式左右两边分别相加得到: 2(PA+ PB+ PC)> AB+ BC+ AC, 即PA+ PB+ PC>(AB+ BC+ AC)， ∴PA+ PB+ PC>×（12+10+6）=14， 即PA+ PB+ PC>14 故选A. 【点睛】本题主要考查的是三角形的三边关系，在三个三角形中分别利用三边关系列出三个不等式，相加后即可得到正确的结论; 2．D 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边逐个判断即可． 【详解】因为，所以这三条线段不能组成三角形，则A不符合题意； 因为，所以这三条线段不能组成三角形，则B不符合题意； 因为，所以这三条线段不能组成三角形，则C不符合题意． 因为，所以这三条线段能组成三角形，则D符合题意； 故选：D． 3．B 【分析】此题主要考查三角形构成，解题的关键是熟知三角形的三边关系：较小的两边之和大于第三边． 根据三角形的三边关系即可判断． 【详解】解：A．，不能构成三角形； B．，能构成三角形； C．，不能构成三角形； D．，不能构成三角形； 故选：B． 4．C 【分析】本题主要考查了三角形三条边的关系．根据三角形三条边的关系计算即可，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【详解】解：A、设a，b，c分别为，，，则有，即，不符合三角形的三边关系，故不能构成三角形； B、当时，，，不符合三角形的三边关系，故不能构成三角形； C、当，，时，，符合三角形的三边关系，故能构成三角形； D、，即，不符合三角形的三边关系，故不能构成三角形． 故选：C． 5．C 【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【详解】解：三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边． A、，不能构成三角形，此项不符题意； B、，不能构成三角形，此项不符题意； C、，能构成三角形，此项符合题意； D、，不能构成三角形，此项不符题意． 故选：C． 6．A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出的取值范围即可求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：∵米，米， ∴， 即， ∴， ∴、间的距离可能是米， 故选：． 7．C 【分析】本题考查三角形的三边关系．先根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求得的取值范围，然后根据选项中的数据可得答案． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，7，m， ∴，则， 故选项C中的7满足题意， 故选：C． 8．B 【分析】本题主要考查了非负性的性质，三角形三边关系的应用，先由非负性的性质求出，再由三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出第三边的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴第三边的长， ∴四个选项中，只有B选项中的数符合题意， 故选：B． 9．D 【分析】本题考查三角形的三边关系，连接，根据三角形的三边关系，得到，进行判断即可． 【详解】连接，由作图可知：， ∵， ∴， ∴的长不可能是8； 故选：D． 10．D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．折叠后形成的三角形三边分别为，利用三角形的三边关系求解即可得． 【详解】解：由题意得：折叠后形成的三角形三边分别为， 则， 解得， 观察四个选项可知，只有选项D符合， 故选：D． 11．B 【分析】本题考查非负数的性质，二元一次方程组的应用以及三角形三边关系定理，根据非负数的性质得，求解后再根据三角形三边关系定理即可得出结论．解题的关键是掌握：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得：， ∵一个三角形的三边长分别是，，， ∴，即， ∴此三角形的边的取值范围是． 故选：B． 12．A 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系． 根据三角形的三边关系定理三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得，计算出的取值范围即可解答． 【详解】解：连接， 根据三角形的三边关系可得，即， ∴A，B间的距离不可能是50米． 故选：A． 13．D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据三角形的三边关系确定的范围，即可得到答案． 【详解】解：，， ，即， 间的距离不可能是， 故选：D． 14．B 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用； 根据三角形的三边关系求出第三边，然后计算即可． 【详解】解：∵一个三角形的两边长分别为2和5， ∴第三边，即第三边， ∵第三边长为奇数， ∴第三边长为5， ∴该三角形的周长为， 故选：B． 15．D 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟知三角形的较短两边之和大于第三边是解题的关键．由三角形的较短两边之和大于第三边可得答案． 【详解】解：A、由，此选项不符合题意； B、由，此选项不符合题意； C、由，此选项不符合题意； D、由，此选项符合题意； 故选：D． 16． ① 10或12或13或14 【分析】（1）根据“不均衡三角形”的定义即可求解； （2）分三种情况，为最长边、不为最长也不为最短边、为最短边进行讨论即可求解． 【详解】：（1）①， ∴能组成“不均衡三角形”； ②， ∴不能组成“不均衡三角形”． 故答案为：①． （2）①当16为最长边，为最短边时， ， 解得：， ， 解得：， 故不合题意，舍去； ②当为最长边，为最短边时， 解得：， ∵， 解得：， ， 为整数， ， 经检验，当时，可构成三角形； ③当为最长边，16为最短边时， 解得：， ∵， 解得：， ， 为整数， 或或，都可以构成三角形； 综上所述，的整数值为或或或； 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了三角形三边关系、新概念“不均衡三角形”的定义、分类讨论等知识，熟练掌握新概念“不均衡三角形”的定义是解题的关键． 17．. 【分析】由三条整数长度的线段的长度和的最小值，初步找到最后一条线长为前两条长之和，即；由四条线段的长度和的最小值，可确定规律最后一条线长为前两条长之和，然后同理可得八条线段的长度和的最小值. 【详解】解：根据题意，不能构成三角形的三条整数长度的线段的长度和的最小值为，初步找到最后一条线长为前两条长之和，即； 四条线段的长度和的最小值为，也可找出最后一条线长为前两条长之和，即 ； 同理可得：五条线段的长度和的最小值为， 八条线段的长度和的最小值为. 本题答案为：. 【点睛】本题考查了三角形的定义，构成三角形其中两边长之和必须大于第三边长，由简到繁，结合三角形的定义知识点，找到规律是解本题的关键，这种发散思维的题型是今后一种趋势，可多体会. 18．5（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解即可． 【详解】解：根据三角形三边关系可知：， 即， 则的值可以是5， 故答案为：5． 19． 【分析】本题考查三角形三边关系，熟知三角形的三边关系是解答的关键．根据三角形的三边关系：三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴，即， 故答案为：． 20． 【分析】设第三边长为m，根据题意，得即，解答即可． 本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三边关系是解题的关键． 【详解】解：设第三边长为m，根据题意，得即， 故答案为：． 21． 【分析】此题主要考查的是三角形的三边关系，已知三角形两边的长，根据三角形三边关系定理知：第三边的取值范围应该是大于已知两边的差而小于已知两边的和．据此求解即可． 【详解】解：根据三角形三边关系定理知：第三边x的取值范围是：，即． 故答案为：． 22． 【分析】本题考查构成三角形的三边关系、解不等式组、不等式组有解时参数范围等知识，先由三角形三边关系得到，再解含参数的不等式组，根据不等式组有解情况得到所有整数，求和即可得到答案．熟练掌握由不等式组有解情况求出参数范围的方法是解决问题的关键． 【详解】解：线段能构成三角形， ， ， 由②得， 关于的不等式组有解， 不等式组的解集为， 则，即， 为整数， 可取， 则使关于的不等式组有解的所有整数的和为， 故答案为：． 23． 【分析】本题考查三角形三边关系，三角形两边之和大于第三边，由此得到关于的不等式组，即可求出的取值范围．关键是掌握三角形三边关系定理． 【详解】解：由三角形三边关系定理得到：， 解①得， 解②得， 解③得， 不等式组的解集为． 故答案为：． 24． 3 【分析】本题考查了三角形三边关系．熟练掌握是解题的关键． 根据三角形三边关系：“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边” ，来确定满足条件的 “幸运三角形” 的个数． 【详解】当时， 当时，，c为偶数，则，不满足，舍去； 当时，，c为偶数，则，满足条件； 当时，，c为偶数，则，满足条件； 综上，当时，“幸运三角形” 有3个； 当（为不小于2的正整数）时， 当时，，c为偶数，则c无解； 当时，，c为偶数，则，有1个； 当时，，c为偶数，则，有2个； …； 当时，，c为偶数， 则，有个； 所以满足条件的 “幸运三角形” 的个数为个． 故答案为：3；． 25．2或/或2 【分析】本题主要考查了坐标与图形，两点间的距离，直角三角形的性质等知识点，由新定义知，三点构成直角三角形，由直角三角形的三边关系可得最佳间距出现在和两条线段上，进而比较长短即可得解，熟练掌握新定义的规则是解决此题的关键． 【详解】解：∵点，，，由定义知 ∴与y轴平行，为直角三角形的斜边， ∴，， ∵点，，的“最佳间距”是2， ∴， ∴或， 故答案为：2或． 26．问题探究：见解析；问题解决：（1）12；（2）当为奇数时，整数边三角形个数为；当为偶数时，整数边三角形个数为；（3）4160；拓展延伸：295 【分析】问题探究： 根据（1）（2）（3）（4）的具体推算，总结出相同的规律，按规律填好表格即可； 问题解决： （1）由最长边长分别为1，2，3，4，5总结出能反应规律的算式，再根据规律直接写出最长边长为6时的三角形的个数； （2）分两种情况讨论：当为奇数，当为偶数，再从具体到一般进行推导即可； （3）当最长边长时，为偶数，再代入进行计算，即可得到答案； 拓展延伸： 分两种情况讨论：当9是底边的棱长时，由最长边长为9的三角形个数有：个，当9是侧棱长时，底边三角形的最长边可以为1，2，3，4，5，6，7，8，底边三角形共有：个，从而可得答案. 【详解】解：问题探究： 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 5 3 ，， 3 3个3 问题解决： （1）最长边长为1的三角形有：个， 最长边长为2的三角形有：个， 最长边长为3的三角形有：个， 最长边长为4的三角形有：个， 最长边长为5的三角形有：个， 所以最长边长为6的三角形有：个， 故答案为： （2）由（1）得： 最长边长为1的三角形有：个， 最长边长为3的三角形有：个， 最长边长为5的三角形有：个， 所以当为奇数时，整数边三角形个数为； 最长边长为2的三角形有：个， 最长边长为4的三角形有：个， 最长边长为6的三角形有：个， 所以当为偶数时，整数边三角形个数为. （3）当最长边长时，为偶数， 可得此时的三角形个数为： 故答案为： 拓展延伸： 当9是底边的棱长时， 最长边长为9的三角形个数有：个， 而直三棱柱的高分别为：1，2，3，4，5，6，7，8，9， 所以这样的直三棱柱共有：个， 当9是侧棱长时，底边三角形的最长边可以为1，2，3，4，5，6，7，8， 底边三角形共有：个， 所以这样的直三棱柱共有：个， 综上，满足条件的直三棱柱共有个. 故答案为： 【点睛】本题考查的是学生的阅读理解能力，探究规律的方法，并运用规律解决问题，同时考查了立体图形的含义，三角形的三边关系，弄懂题意，掌握探究方法，运用规律的能力都是解题的关键. 27．（1）a=3，b=4，c=5；（2）能构成三角形，且它的周长=12． 【分析】（1）根据平方、算术平方根及绝对值的非负性即可得到答案； （2）根据三角形三边关系可判断构成三角形，三边相加求周长. 【详解】（1）∵， 又∵(a﹣3)2≥0，，|c﹣5|≥0， ∴a﹣3=0，b﹣4=0，c﹣5=0， ∴a=3，b=4，c=5； （2）能构成三角形， ∵3＜4＜5,3+4＞5 根据三角形三边关系能构成三角形， 其周长为3+4+5=12． 【点睛】此题考查平方、算术平方根及绝对值的非负性，三角形形，三边关系，线段和差. 28．（1）；（2）①3＜c＜6或4＜c＜8或4＜c＜8；②10或11或13或14或15． 【分析】（1）利用不等式得到①，②，进而求出即可； （2）根据（1）中所求，得出a，b的值，再求c，进而求出这个等腰△ABC的周长即可． 【详解】（1）∵， ∴由“两数相除，异号得负”，有： ①解不等式组①得：； ②解不等式组②得：无解； ∴原不等式的解集为； （2）①a，b的解集的整数解， ∴a=3，b=3；a=3，b=4；a=4，b=4． ∵c是△ABC的最大边， 当a=3，b=3时，3＜c＜6； 当a=3，b=4时，4≤c＜7； 当a=4，b=4时， 4＜c＜8； ②当a=3，b=3时，3＜c＜6， ∴c=4或5， ∴=10或11； 当a=3，b=4时，4≤c＜7， ∴c=4， ∴=11； 当a=4，b=4时 ∴4＜c＜8， ∴c=5，6，7， ∴=13或14或15． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用和三角形三边关系等知识，利用已知得出分式中分子与分母的关系是解题关键．解第（2）问时注意分类讨论． 29．(1)， (2)， (3) 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，解二元一次方程组，三角形的三边关系，解一元一次不等式组，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题目所给的新定义得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可； （2）先根据题意得到关于x、y的二元一次方程组，解方程组用m表示出x、y，再根据等腰三角形的三边关系得到，代入即可求出m的取值范围，进而表示出三角形的周长C，即可解答； （3）可令再根据同解题意可知关于m、n的方程组的解为，则，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得； （2）解：∵ ∴， ∴， ∵y 是等腰三角形腰的长度，x是底的长度， ∴ ∴， ∴ ∵该等腰三角形的周长， ∴． （3）解：可变形为， ∴令， ∴， ∵关于 x，y的方程组的解为， ∴关于m、n的方程组的解为， ∴， 解得． 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $$