精品解析：福建省龙岩市2025届高三下学期5月教学质量检测数学试题

龙岩市2025年高中毕业班五月教学质量检测 数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上． 2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，且向量与的夹角为，则（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 2 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 甲、乙、丙三家公司生产同一种产品．三家公司的市场占有率如图所示，且甲、乙、丙三家公司产品的次品率分别为、和．若市场上该产品的次品率为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 若函数的图像向左平移后得到一个奇函数的图像，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 5. 已知正四棱台的上，下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球表面积为（ ）. A. B. C. D. 6. 已知，当时，有，则必有（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆左，右焦点分别为，，为坐标原点．若椭圆上的点满足，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（且），是自然对数的底数，函数的导函数为．实数，满足，，当时，实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. 复数的模长为2 B. 复数在复平面内对应的点在第二象限 C. 复数是方程在复数集内的解 D. 若复数满足，则 10. 已知数列的前项和为，则（ ） A. 若是等差数列，则，，成等差数列 B. 若是等比数列，则，，成等比数列 C. 若，且，则存数列，使得 D. 若，且，则存，使得 11. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，左、右顶点分别为，．为双曲线在第一象限上的点，设，的斜率分别为，，且．过点作双曲线的切线与双曲线的渐近线交于，两点，则（ ） A. 的值随着的增大而减小 B. 双曲线的离心率为 C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，各二项式系数的和与含的项系数之比为，则的值为______． 13. 在中，，为边上的点，且满足，，则______． 14. 棱长均为的四面体的顶点分别在四个互相平行的平面上．若相邻两平行平面的距离都为，则的值为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示： 特征量 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 2 5 8 9 11 12 10 8 8 7 （1）根据表中的数据，计算相关系数； （2）求特征量关于的线性回归方程，并预测当特征量为12时特征量的值． 参考公式：相关系数 ，． 参考数据：，，． 16. 已知数列的前项和为，且满足，，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为，的中点． （1）设，且，，，四点共面，求实数的值； （2）若平面和平面所成角的余弦值为，求三棱锥的体积． 18. 已知曲线，点为曲线的焦点，点为曲线上一点，且． （1）求曲线的方程； （2）设曲线，若过点的直线与曲线，从左到右依次相交于点，，，． （i）证明：为定值； （ii）若直线，（为坐标原点）分别交直线于点，，求的最小值． 19. 已知函数，，，…，． （1）若，，，…，，求的值； （2）若，集合，集合，为的子集，它们各有个元素，且．设，，，，…，，且，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岩市2025年高中毕业班五月教学质量检测 数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上． 2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，且向量与的夹角为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用平面向量夹角公式结合数量积坐标公式计算求解. 【详解】因为向量，，且向量与的夹角为， 所以，化简， 所以，则. 故选：B. 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数、幂函数的性质求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】因为， 由，所以，所以， 所以， 所以. 故选：C 3. 甲、乙、丙三家公司生产同一种产品．三家公司的市场占有率如图所示，且甲、乙、丙三家公司产品的次品率分别为、和．若市场上该产品的次品率为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用全概率公式计算直接得出结果. 【详解】设从出厂产品中任取一件，它是次品为事件， 则， 解得. 故选：C 4. 若函数的图像向左平移后得到一个奇函数的图像，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由函数平移得出函数解析式，再由该函数为奇函数得出，结合即可求解． 【详解】函数的图像向左平移后得，为奇函数， 所以， 又，所以， 故选：A． 5. 已知正四棱台上，下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球表面积为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据台体体积公式可得台体的高，即可利用勾股定理列方程求解半径. 【详解】在正四棱台中，，，体积为，高为， 故， 则，， 连接、相交于点，、相交于点， 设外接球的球心为，若在台体外， 设到底面的距离为， 则半径为， 即，解得，所以球心与点重合， 若在台体内，到底面的距离为， 则半径为， 即，解得， 所以球心与点重合， 综上所述，，故，所以. 故选：C. 6. 已知，当时，有，则必有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可画出函数图象，根据图象和，且，分析各个选项即可. 【详解】画出的图象： 对于A，不能同时成立，因为时，函数单调递减，得不到，故A错误； 对于B，如图，当时，有，则可能小于零，也可能大于零，故B错误； 对于C，如图，当时，，故C错误； 对于D，由图象可知，，所以， 又，所以， 所以，故D正确. 故选：D. 7. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，为坐标原点．若椭圆上的点满足，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，利用勾股定理求得，结合和椭圆的定义建立关于的方程，解之即可求解. 【详解】如图，过点作，垂足为， 由，知，所以，而， 所以，则， 由椭圆的定义知，，即， 所以椭圆的离心率为. 故选：A 8. 已知函数（且），是自然对数的底数，函数的导函数为．实数，满足，，当时，实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知的单调性，易判断不符合题意，当时，将问题转化为函数图象在R上有两个不同的交点，利用导数的几何意义和数形结合的思想即可求解. 【详解】由， 知分别为的极大值点和极小值点， 所以在上单调递减，在上单调递增. ，， 则当时，， 若且时，，与矛盾，不符合题意， 故. 令，该方程有两个不同的解， 则函数图象在R上有两个不同的交点， 作出函数的图象，如图， 设过原点且与曲线相切的直线为，切点为， 则，所以，解得， 此时切线的斜率为， 要使函数图象在R上有两个不同的交点， 需，由，解得． 故选：B． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. 复数的模长为2 B. 复数在复平面内对应的点在第二象限 C. 复数是方程在复数集内的解 D. 若复数满足，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由向量模的运算即可判断A；由向量的几何意义即可判断B；将代入方程即可判断C；根据复数的几何意义即可判断D． 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，复数在复平面内对应的点坐标为，在第四象限，故B错误； 对于C，将代入方程，得，故C正确； 对于D，设复数对应向量为，复数对应的向量为， 由得，，对应点在圆心为半径为1的圆上， 所以，即，故D正确； 故选：ACD． 10. 已知数列的前项和为，则（ ） A. 若是等差数列，则，，成等差数列 B. 若是等比数列，则，，成等比数列 C. 若，且，则存在数列，使得 D. 若，且，则存在，使得 【答案】AC 【解析】 【分析】根据等差数列的定义和性质分析判断A；举例判断BC；根据数列特征及项的奇偶性判断D. 【详解】对于选项A：是等差数列，设其公差为d， 因为，， 则 所以，，，成等差数列，故A正确； 对于选项B：例如，则， 可得，，不成等比数列，故B错误； 对于选项C：例如周期数列，满足，且， 此时，故C正确； 对于选项D：因为，且，所以该数列的项奇偶交替，且为整数， 而前项包含个奇数，个偶数，这些项的和为奇数，而为偶数，矛盾， 故D错误； 故选：AC 11. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，左、右顶点分别为，．为双曲线在第一象限上的点，设，的斜率分别为，，且．过点作双曲线的切线与双曲线的渐近线交于，两点，则（ ） A. 的值随着的增大而减小 B. 双曲线的离心率为 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三角形正弦定理来判断A选项，利用坐标来计算斜率得到相等关系可求离心率，可判断B选项，利用基本不等式可判断C选项，利用双曲线的切线方程来研究交点坐标，可判断D选项. 【详解】对于A，双曲线的左顶点为，右顶点为， 渐近线为，在中， 由正弦定理可知， 显然，均为锐角且随着的增大分别减小与增大， 即，随着的增大分别减小与增大且均为正数， 的值随着的增大而减小，故A正确； 对于B，由，则，因为左顶点为，右顶点为， 即，所以，，故B正确； 对于C，显然，且，，故C错误； 对于D，可设双曲线， 在点处切线方程为， 联立可得， 联立可得， 点为线段的中点，即，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，各二项式系数的和与含的项系数之比为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式和二项式系数和的性质，即可求解. 【详解】由题可知各二项式系数的和为， 由的展开式中的， 根据它们的比为可得：， 故答案为： 13. 在中，，为边上的点，且满足，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】应用余弦定理计算得出，再结合诱导公式及二倍角余弦公式计算求解. 【详解】在中，， 由余弦定理得出， 在中，， 所以，则． 故答案为： 14. 棱长均为的四面体的顶点分别在四个互相平行的平面上．若相邻两平行平面的距离都为，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】在正方体中作出正四面体，作其中过，，三个顶点的互相平行的平面，由于相邻平面间距离都相等，根据几何关系求解即可． 【详解】在正方体中作出正四面体， 作其中过，，三个顶点的互相平行的平面，如图: 由于相邻两平行平面间距离都相等，不妨求平面与平面间的距离， 其中，，，为正方体棱上的中点， 过作于，则即为两平行平面间的距离， 因为， 所以，所以， 即相邻平行平面间的距离为. 故答案为：． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示： 特征量 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 2 5 8 9 11 12 10 8 8 7 （1）根据表中数据，计算相关系数； （2）求特征量关于线性回归方程，并预测当特征量为12时特征量的值． 参考公式：相关系数 ，． 参考数据：，，． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据题意，根据相关系数的计算公式即可求解； （2）根据题意即可求解关于的线性回归方程，再将特征量为12代入即可求解． 【小问1详解】 由题意得，， ， ，， 相关系数． 【小问2详解】 由（1）知，， ， 所求的线性回归方程是． 当特征量为12时，可预测特征量． 16. 已知数列的前项和为，且满足，，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）构造法判断为等差数列，并写出其通项公式，再应用关系求的通项公式； （2）应用裂项相消法求. 【小问1详解】 由，，得，又， 数列是首项为，公差的等差数列， ，即， 当时，，且也满足， ，则数列的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）得， . 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为，的中点． （1）设，且，，，四点共面，求实数的值； （2）若平面和平面所成角的余弦值为，求三棱锥的体积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：建立空间直角坐标系，求出点的坐标及向量坐标，利用共面向量基本定理建立方程组求解即可； 方法二：建立空间直角坐标系，求出点的坐标及向量坐标，求出平面的法向量，然后利用建立方程求解即可； 方法三：延长交于，连接，利用线面平行判定定理证明平面，然后利用线面平行的性质定理得四边形是平行四边形，利用比例相等求解即可； （2）求出平面的法向量，然后利用向量法表示二面角的平面角，求解， 方法一：利用向量法求三棱锥的高，然后求出，利用锥体体积求解即可； 方法二：先利用线面平行的性质定理得平面，然后利用等体积法，转化为求解即可. 【小问1详解】 方法一：坐标法（利用共面向量基本定理） 在平面内作，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，，，， ，，，，， 又，分别为，的中点， ，， ， ，，共面，存在实数，，使得， 即， ，解得； 方法二：坐标法（利用法向量） 在平面内作，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，，，， ，，，，， ， 又，分别为，的中点， ，， 设平面的法向量为， ，，令得， ， 又，，共面， ，解得； 方法三：几何法：延长交于，连接， ，分别为，的中点，， 平面，平面， 平面， 又平面平面， ，，又， 四边形是平行四边形， ，， 过作交于，， 又，； 【小问2详解】 方法一：由（1）得， 又，， 设平面的法向量为， ，解得，令得， ， 设平面和平面所成的角为， ， 整理得， ，，即； 方法一：利用向量法求三棱锥的高， 平面的法向量为，， 设点到平面的距离为，， 平面，又平面，， 又，，、平面， 平面， 又，分别为，中点， ，， 平面，又平面，， 又，，， 则， 所以； 方法二：几何法：，分别为，的中点，， 平面，平面，平面， ， ，平面， ， . 18. 已知曲线，点为曲线的焦点，点为曲线上一点，且． （1）求曲线的方程； （2）设曲线，若过点的直线与曲线，从左到右依次相交于点，，，． （i）证明：为定值； （ii）若直线，（为坐标原点）分别交直线于点，，求的最小值． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线上的点满足的条件列方程，求解即得； （2）（i）先确定的圆心为，设直线方程为并与联立，写出韦达定理，根据抛物线定义求得和，继而可证得；（ii）将直线的方程与直线联立求得，同理得，求得，利用换元后借助于二次函数的性质即可求出的最小值. 【小问1详解】 因，设，则， 即，化简得：，解得或（舍）， 抛物线的方程为． 【小问2详解】 （i）由得，圆心，半径为1， 抛物线的焦点与的圆心重合，即为， 显然，直线斜率存在，设直线方程为，设点、， 联立方程，消去并整理得， ，由韦达定理得，． 由抛物线的定义可知，，，． ， 即为定值1； （ii）由（i）可知：． ，则直线的方程为， 由可得， 同理直线的方程为，由可得， ， 设，，， 当，即，即时，的最小值是． 19. 已知函数，，，…，． （1）若，，，…，，求的值； （2）若，集合，集合，为的子集，它们各有个元素，且．设，，，，…，，且，，证明：． 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）对函数求导研究其单调性，进而得到，构造研究其零点得，即可得； （2）由题意有一个零点，记，，在上一个零点，记为，并有，根据已知至少有个元素，且包含个正数，个负数，利用集合性质得，由零点得，构造，导数研究其单调性得，即可证结论. 【小问1详解】 ， 当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增． 的最小值为.又， 设，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， ，又，，当且仅当时取等号， 所以，且，，故． 【小问2详解】 ，， 有一个零点，记，而， ，则． 又，且， 故在上还有一个零点，记为， 由的单调性知，恰有两个零点，，且， 而，为的子集，它们各有个元素，且，则至少有个元素． 而的元素只可能在，，，，…，，之中，这表明它们两两不等， 且，所以包含个正数，个负数． 而，为的子集，它们各有个元素，且，则，． 设包含个负数，个正数，则包含个负数，个正数， ，，，. ，，从而． ， ． 设，则， 设，则， 单调递增，，又， ，所以． 由（1）知，在上单调递减，在上单调递增． ，即， ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $