【三轮冲刺】专题10 解直角三角形及其应用（江苏专用）-2025年江苏数学中考预测专项突破（原卷+解析版）

2025年江苏数学中考预测专项突破 专题10解直角三角形及其应用（江苏专用） 2024年江苏中考数学真题圆综合解答题压轴分析（主要针对无锡、徐州、常州、苏州） ❆无锡卷：选择题第9题：本题考查了解直角三角形，菱形的性质，解题的关键是掌握菱形四边都相等，以及正确画出辅助线，构造直角三角形求解，分值3分，难度中等； ❆苏州卷：填空题第14题：主要考查正多边形与圆，解三角形，求弧长，分值3分，难度中等；填空题第20题：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，分值8分，难度中等； ❆常州卷：填空题第15题：本题主要考查三角形相似的判定和性质、勾股定理以及解直角三角形，分值3分，难度中等； ❆徐州卷：解答题第25题：本题考查解直角三角形的应用，分值8分，难度中等； 题型一：解直角三角形相关计算（选填）（高频考点） 1．（2025·江苏扬州·一模）如图，在中，延长斜边到点D，连接．若，，，则的长为（　　） A． B．5 C． D．6 【答案】B 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识．先求出，，过点D作交延长线于点E，证明，得到，设,则，，根据列方程并解方程即可． 【详解】解：∵在中，，， ，； 过点D作交延长线于点E， ，， ， ， ， 设, 则，， ∵， 即， 解得， 即的长为， 故选B． 2．（2025·江苏无锡·一模）如图，中，，是斜边上的中线，过点作交于点．若的面积为25，，则的长为（   ） A．6 B． C． D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理，线段垂直平分线的性质以及圆周角定理等知识，连接由线段垂直平分线的性质可得，，由得四点共圆，得，从而得，设，则，由勾股定理得，由列方程求出的值即可得出结论． 【详解】解：：连接， ∵是斜边上的中线，， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴； ∵， ∴四点共圆， ∴， ∵， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∵， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴, 故选：B． 3．（2025·江苏南通·一模）如图，以矩形的顶点A为圆心，以长为半径作弧，交于点F，交于点E，且，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形性质和解直角三角形，构造直角三角形，利用三角函数转化线段关系是解题关键． 过点作，垂足为交于过点作，垂足为，设，根据等腰三角形性质可得，，再利用，证明，可得，，进而表示各条线段长，最后利用列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∴，， ∴过点作，垂足为交于过点作，垂足为， ∵在矩形中，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， 设，则，， ∴， ， ， ∴， ， ∵在矩形中，，， ∴， ∵， ∴， 解并检验得：， ∴， 故选：A． 4．（2025·江苏苏州·一模）如图，已知中，，，将绕边中点O旋转，且，得到，若，延长交于点Q，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质、解直角三角形、矩形的判定与性质等知识，先根据已知求得，，过O作于M，利用锐角三角函数和矩形的判定与性质分别求得，，在中，解利用锐角三角函数定义求得，进而求解即可． 【详解】解：∵中，，， ∴，， 过O作于M，则， ∵将绕边中点O旋转，且，得到， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故选：C． 5．（2025·江苏南通·一模）如图，在等边三角形中，为边上一点，为边上一点，且，若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 设的边长为，利用等边三角形的性质，证明，利用对应边成比例求解即可得到的边长，进而求出的长．过点E作于点F，在中，通过解直角三角形求出，从而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：设的边长为，则， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 即的边长为8， ∴， 过点E作于点F， ∴在中，， ∴． 故选：A． 6．（2025·江苏连云港·一模）用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个如图1所示的菱形教具，此时测得，改变教具的形状成为如图2所示的正方形，若图2的面积比图1的面积大，则菱形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，正方形的性质，三角函数，解题的关键是掌握相关知识．在菱形中过点作于点，设，则，然后分别用含的式子表示出菱形和正方形的面积，最后根据题意列方程即可求解． 【详解】解：如图，在菱形中过点作于点， 设， ， ， 菱形的面积为， 正方形的面积为， 正方形的面积比菱形的面积大， ， 解得：， 即菱形的边长为， 故选：D． 7．（2024·江苏南京·模拟预测）在△ABC中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，如图，过作于，由勾股定理求解，再利用锐角的余弦即可得到答案． 【详解】解：如图，过作于， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C 8．（2024·江苏连云港·二模）如图，在矩形中，，，点E为边上一点，，将沿 折叠得到，的延长线交于点F，则的长为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接，作于点，由矩形的性质得，，，，则，，所以，求得，由折叠得，可证明，则，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：取的中点，连接，作于点，如图， 则， 四边形是矩形，，，点为边上一点，， ∴，，，， ， ， ， ， ， 由折叠得，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 9．（2024·江苏苏州·二模）若满足，的△ABC恰好有两个，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题属于解三角形的题型，主要考查了三角形解个数的问题，重在分情况分类讨论． 要对三角形解得各种情况进行讨论即：无解、有1个解、有2个解，从中得出满足条件的只有2个时满足的条件． 【详解】解：设， 当，即，即时，三角形无解； 当，即，即时，三角形有1解； 当，即，即时，三角形有2个解； 当，即时，三角形有1个解． 综上所述：当时，恰好有两个， 故选：A． 10．（2024·江苏无锡·二模）如图，是的切线，B为切点，连接．若，则的长为（  ）    A．2 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握切线的性质是解题的关键．根据切线的性质及正切的定义得到，再根据勾股定理得到． 【详解】解：连接，    是的切线，B为切点， ， ，， ， ， ． 故选：A． 题型二：解直角三角形综合之求三角函数值（高频考点） 1．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，正方形中，将边绕点逆时针旋转至，连接，，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作，垂足为，根据两个三角形全等的判定定理，确定，从而根据全等三角形的性质得到，再根据将边绕点逆时针旋转至，确定为等腰三角形，结合“三线合一”得到是边上的中线，进而，即，在中，，设，则，由勾股定理得到， 利用正弦值定义求解即可得到答案． 【详解】解：过作，垂足为，如图所示： ， 在正方形中，，， ， ， ， 在和中， ， ∴， 将边绕点逆时针旋转至， ， ， 由“三线合一”可得是边上的中线，即， ， 在中，，设，则， 由勾股定理得到， ， 故选：C． 2．（2025·江苏常州·一模）如图所示为一张矩形纸片，为的中点，点在边上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与交于点，的延长线过点．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形和折叠的性质可证明，通过等腰三角形的性质得到为中点，则由平行线分线段成比例定理可得，那么设，则，再由正弦的定义即可求解． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴，， ∴, ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∵折叠， ∴， ∴， 故选：A． 3．（2025·江苏无锡·一模）如图，已知在△ABC中，，，点E在边上，点F在的延长线上，连接，点G为的中点，连接，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定及性质，添加辅助线构造直角三角形，是解决问题的关键． 由题意可知，，过点作，交于，则，，过点作，交于，则，可知，得，则，设，，得，，，则，可得，再根据正切的定义即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点为的中点， ∴， 过点作，交于，则，， 过点作，交于，则， ∴， ∴，则， ∵，则设，， ∴，，， 则， ∴， ∴， 故选：A． 4．（2025·江苏南京·一模）如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作延长线于点，连接，根据圆的基本性质以及切线的性质，分别利用勾股定理求解在和，最终得到，即可根据正弦函数的定义求解．本题考查圆的切线的判定与性质，解直角三角形，以及正弦函数的定义等，综合性较强，熟练运用圆的相关性质以及切线的性质等是解题关键． 【详解】解：如图所示，作延长线于点，连接，    ∵，， ∴， ∴四边形为矩形，，， ∴为的切线， 由题意，为的切线， ∴，， ∵， ∴设，，， 则，， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．（2024·江苏常州·模拟预测）矩形纸片中，，将纸片对折，使顶点与顶点重合，得折痕，将纸片展开铺平后再进行折叠，使顶点与顶点重合，得折痕，展开铺平后如图所示．若折痕与较小的夹角记为，则的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了矩形的翻折问题，解答该题的关键是掌握翻折的性质，做辅助线构造直角三角形，利用三角函数解决问题． 过点作于点，由翻折得，即可得，根据，设，则，即可得，，由面积法得，在中，，即得． 【详解】过点作于点，如图， 根据题意可得， ， ， 由矩形纸片中，，设，则， ， ， ， ， 在中，， ． 故选：D． 6．（2025·江苏苏州·一模）如图，在△ABC中，∠B=90°，以为直径的与交于点，连接．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，垂径定理．过点作，过点作，根据，设，进而求出半径的长，勾股定理求出的长，垂径定理求出的长，进而求出的长，等积法求出的长，再利用正弦的定义，进行求解即可． 【详解】解：过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴设，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴设， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴； 故答案为：． 7．（2025·江苏南通·一模）在中，，为斜边上的中线，若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查直线三角形斜边上中线等于斜边的一半以及余弦的定义．根据斜边上的中线等于斜边的一半以及余弦的定义：邻边比斜边，进行计算即可． 【详解】解：∵，是斜边上的中线， ∴， ∴； 故答案为：． 8．（2025·江苏无锡·一模）如图，正方形的对角线与相交于，以、为边作正方形，将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，的对应点是，连接，旋转一周的过程中，当落在射线上时，的值为 ． 【答案】或 【分析】根据旋转和正方形的性质证明出，设，然后分两种情况讨论：当落在线段上时和当点落在线段的延长线上时，然后分别根据全等三角形的性质和勾股定理表示出相应的线段求解即可． 【详解】∵正方形的对角线与相交于， ∴，， ∵将正方形绕点逆时针旋转得到正方形， ∴，， ∴ ∴ 设 如图1，当落在线段上时，设与交于点E，连接交于点F， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴； 如图2，当点落在线段的延长线上时，设与交于点I，连接交于点L， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 9．（2025·江苏宿迁·一模）矩形中，，，点在边上运动，点关于的对称点为点，点到边的距离是点到边距离的3倍，则的值为 ． 【答案】或 【分析】根据题意画出示意图，①利用翻折的性质，线段的数量关系和勾股定理求出相关线段，证出，利用相似比即可求解；②利用翻折的性质，线段的数量关系求出相关线段，利用特殊角的三角函数值求出，进而利用平行线的性质和翻折的性质求出即可求解． 【详解】解： ①如图所示， 根据题意得，， 则， 根据翻折的性质可得，，， 在中，由勾股定理得， ,, ， 又， ， ； ②如图所示，，， 则， ∴在中，， ， ， ， 又， ， ， ， ； 综上，或． 10．（2025·江苏泰州·一模）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用如图所示的个全等直角三角形拼成正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．如图，若“弦图”中小正方形表示为，是中点，延长交于点，且，则＝ ． 【答案】 【分析】过点作垂足为点，并延长交的延长线于点，设，，则，根据点是的中点，且，利用平行线分线段成比例，结合相似三角形的判定和性质，得到，，进而推出，再根据正切的定义可求的值． 【详解】解：如下图所示，过点作垂足为点，并延长交的延长线于点， 则：， ∴， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，，则，， ， 整理得：， 在中，． 故答案为： ． 题型三：解直角三角形在方格子中的计算（高频考点） 1．（2025·江苏宿迁·一模）如图，在相同的小正方形组成的网格图中，点在格点（网格线的交点）上，点在上，且都在格点上，则的正弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正弦的定义，网格线与勾股定理及二次根式的除法，利用网格线的特点取格点D，连接，利用勾股定理求出，易证是直角三角形，且，最后利用正弦的定义即可解答． 【详解】解：如图，取格点D， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 故选：C． 2．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，点A、B、O都在格点上，则的正弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理． 过点B作于点，连接并延长，过点O作交延长线于点，根据勾股定理可求出，，设，再由勾股定理可求出x的值，即可得正弦值． 【详解】解：如图，过点B作于点，连接并延长，过点O作交延长线于点， 在中， ，，， 由勾股定理可知：， 同理，在中，由勾股定理可知：， 设， 在中，由勾股定理可知：； 同理，在中，，， ， ， ， 解得，即， ， ， 故选：D． 3．（2024·江苏连云港·二模）如图，、、是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则的值为（ ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理和求三角函数值，作于点D，由勾股定理可得，再用三角形等面积法，求出的长，从而求出答案． 【详解】解：如图，作于点D， 每个小正方形边长为1， ， 由三角形等面积法可得：，即， ， ， 故选：B． 4．（2024·江苏盐城·三模）如图所示的网格是正方形网格，△ABC和的顶点都是网格线交点，则的正弦值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理，求正弦值，等腰直角三角形的性质和判定，解题的关键是得到是等腰直角三角形． 连接，首先证明出是等腰直角三角形，，得到，然后利用特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】如图所示，连接 设正方形网格中每个小正方形的边长为1 ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴． 故选：C． 5．（2025·江苏常州·一模）如图，正方形和正方形的边长相等，点A、B、C在同一条直线上．连接、，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角函数的定义，勾股定理，相似三角形的性质，连接交于，设正方形的边长为，根据正方形的性质得到，根据相似三角形的性质和三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：连接交于，设正方形的边长为， ，， ， ， ， ， 和为正方形，、为对角线， ， ， ， 故答案为：． 6．（2025·江苏南京·一模）如图，在网格中有格点A、B、C，连接、，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点A作于点E，过点B作于点D，由题意得：，，，然后利用面积法求出的长，从而在中利用勾股定理求出的长，最后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：过点A作于点E，过点B作于点D， 由题意得：，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴在中， ， ∴， 故答案为：． 7．（2025·江苏无锡·二模）如图，在的网格图中，点、、、都在小正方形的顶点上，、相交于点，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解直角三角形及勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，，过点作，垂足为，先利用勾股定理求出和的长，再利用面积法求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的值，最后根据题意可得：，从而可得，即可解答． 【详解】解：如图：连接，，过点作，垂足为， 由题意得：， ， 的面积 ， ， ， ， 在中，， 由题意得：， ， ， 故答案为：． 8．（2025·江苏连云港·一模）在网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在的网格中，点A、B、C都在格点上，那么的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形．根据所给网格，连接，利用勾股定理及逆定理得出与垂直，再结合正切的定义即可解决问题． 【详解】解：连接，如图所示： 设小正方形网格的边长为， 则由勾股定理得：，， ， ∴， ∴△ABC是直角三角形，且， 在中， ， 故答案为：． 9．（2025·江苏徐州·一模）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，已知，其中点都在格点上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，延长交格点于点，连接，分别在格点上，根据菱形的性质，进而得出，解直角三角形求得的长，根据对顶角相等，进而根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交格点于点，连接，分别在格点上， 依题意，， ∴ ∴ 设 ∴ ∴ 故答案为：． 10．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，在一个正方形网格中存在一个，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查网格与勾股定理及正切函数的定义，连接，作于点D，根据网格得出，再由等面积法确定，利用勾股定理确定，，由正切函数的定义求解即可，作出相应辅助线是解题关键． 【详解】解：连接，作于点D， ， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 故答案为：． 题型四：解直角三角形中比值问题（高频考点） 1．（2025·江苏扬州·一模）如图，在中，，以为直径的圆O分别与相交于点E、F，若，则的值为（  ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查等腰三角形的性质，等弧对等角，解三角形及勾股定理，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 过点E作，根据等腰三角形的性质得出，确定，利用平行线分线段成比例得出，设，结合图形得出，再由平行线间距离相等及三角形面积求解即可． 【详解】解：过点E作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2024·江苏淮安·模拟预测）一副三角板如图所示放置，则左右阴影部分面积之比的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形和三角形面积的计算，充分利用等腰直角三角形和含角的直角三角形的特性是解题的关键． 本题中利用等腰直角三角形和含角的直角三角形的特性，分别计算出这两个阴影部分的面积，从而求阴影部分的面积比． 【详解】如图： ． 由题意得：，， ∴ ，． 过点 作于点 ． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选：D． 3．（2024·江苏无锡·二模）在中，，，点D和点E分别是线段上的动点，且，在运动过程中，可取的最大整数值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，三角函数的应用，熟练掌握性质和三角函数是解题的关键．过点D作于点F，则，利用三角形相似和三角函数，转化为比例式计算即可． 【详解】∵， ∴， 设， 过点D作于点F， 则，， ∴， ∴， ∴， 解得 ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴ ∵， ∴， ∴可取的最大整数值为2． 故选B． 4．（2024·江苏无锡·三模）如图，正六边形外作正方形，连接交于点O，求的值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】交于点N，连接，过点C作于点M，根据正方形与正六边形性质可证、H、D三点共线，根据，得到，求出，再证明，得到，即可求解． 【详解】解：如图，交于点N，连接，过点C作于点M， 设正六边形的边长为a，则， 六边形是正六边形， ， ， ， ， 同理可得， ∵四边形是正方形， ， 、H、D三点共线， ， ， ， ， ， 故选：B． 5．（2024·江苏无锡·一模）如图是我国古代数学家赵爽创造的“弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形无缝拼成的大正方形，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．若的度数为，且满足，则正方形与正方形的面积之比为（    ）    A． B．13 C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，全等三角形的性质，设中，，，，根据，可得，设，可得，，进而可得，问题随之得解． 【详解】设中，，，， ∴，， ∵， ∴，即， 设， ∴，， ∴在中，， ∵四个直角三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴正方形与正方形的面积之比为：， 故选：B． 6．（2024·江苏苏州·一模）如图，正方形内接于，等边的顶点，分别在，上，交，于点，，则的值等于（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查正多边形和圆，正方形的性质，圆周角定理以及直角三角形的边角关系．根据正方形、正三角形的性质以及勾股定理进行计算即可． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵，， ∴，， ， 设半径为，则， 在中，，， ， ， 在中，， ， 同理， ， ， 故选：C． 7．（2025·江苏南通·一模）如图，是半圆O的直径，是半径，且，弦经过的中点E，连接，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆与解直角三角形综合，解题关键是过点作，构造直角三角形，利用解直角三角形转化线段关系． 过点作，垂足为，设，由勾股定理求出，可得，进而在中可求，再在中求出，由此即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为， 设，则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 8．（2025·江苏扬州·一模）如图，在△ABC中，，，点D是的中点，连接，过点C作的垂线，垂足为点E，连接，则 ． 【答案】 【分析】如图所示，取中点F，首先由得到，设，则，勾股定理表示出，，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，取中点F ∵在中，，点D是的中点， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵点F是中点 ∴设，则 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 题型五：解直角三角形中最值问题（高频考点） 1．（2025·江苏无锡·二模）如图，在菱形中，，，、分别是、上的动点，连接、，、分别为、的中点，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，三角形的中位线定理，垂线段最短，熟练掌握知识点是解题的关键． 连接，过点作于点F，先解求出，再由三角形的中位线定理可知，那么当时，最小，即最小，即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点F， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵、分别为、的中点， ∴， ∴当时，最小，即最小， ∴此时点与点重合， ∴的最小值即为， ∴的最小值为， 故选：A． 2．（2024·江苏无锡·三模）如图，在四边形中，，对角线、交于点O，且．若，则的最小值为（    ） A．16 B．4 C．9 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线将条件集中在同一个三角形中求解． 作交的延长线于，作于，设，表示出，解斜三角形，进而求得结果． 【详解】解：如图，作交的延长线于，作于， ∵， ， ∵， 四边形是平行四边形， ，， ， 设，则， 在中，，， ，， ， 在中， ， 当时，，即 ． 故选：D． 3．（2024·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，为原点，，的半径为1，是上一动点，以为边作等边，且点在第一象限，设的坐标为，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的切线的性质和判定、等边三角形的性质、三角函数，作轴于，得出，根据得出与轴相切，设切点为，当点与点重合时，的值最小，结合等边三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，作轴于，   ，的坐标为，且点在第一象限， ， ，的半径为1， 与轴相切，设切点为， 当点与点重合时，的值最小， 是等边三角形， ， ， 的坐标为， ， 故选：A． 4．（2025·江苏宿迁·一模）如图， 矩形 中，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点B，D 运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】连接相交于O，取的中点H，连接，由，可知G点在以H为圆心，为直径的圆上运动，求出的长即为的最大值． 【详解】解：连接相交于O，取的中点H，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得：， ∵动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点B，D运动， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴O是对角线的交点， ∵， ∴， ∴G点在以H为圆心，为直径的圆上运动， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点H作交于M点， ∴， ∴， ∴的值最大为， 故答案为：． 5．（2025·江苏泰州·一模）如图，△ABC中，，，，点，分别在边，上，且，点为中点，则线段的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，一元二次函数的应用等知识，过点作交于点， 根据解直角三角形得到，根据勾股定理求出，则，过点作，则，设，则，，根据勾股定理求出，得出，，取的中点，连接，则，求出，要使最小，则要最小，在中，，当时，取最小值，最小值为，求出即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过点作交于点，如图： ∵，， ∴， 在中，， ∴， 过点作，则， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 取的中点，连接，则， ∵是中点， ∴是梯形的中位线， ∴， 要使最小，则要最小， 在中， ， 当时，取最小值，最小值为， 此时， ∴最小值为(负值已舍去)， 故答案为：． 6．（2025·江苏宿迁·一模）如图，已知，，，、分别为、上的点，连接，若于点，且平分▱的面积，过作于点，连接，则的最小值为 【答案】 【分析】本题考查配方法的应用，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，求正弦，设、交于点，过作于，设，，则，先证明，得到，再由平分平行四边形的面积，得到，利用勾股定理得到，则，利用配方得到当时，最小，此时最大，进而求得的最小值． 【详解】解：设、交于点，过作于， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 设，， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∵平分平行四边形的面积， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴中，， ∴， ∵， ∴当时，最小，此时最大， ∴ 的最小值为 故答案为：． 7．（2025·江苏盐城·一模）如图，在△ABC中，，，是线段外一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则的长最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查解直角三角形和相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．当点D在的延长线上时（如图所示），的长度取得最大值，再由均为等腰直角三角形，可得，可证，根据对应边成比例解题即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴当点D在的延长线上时（如图所示），的长度取得最大值． 由题意得：均为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的长最大值为． 故答案为： 8．（2023·江苏常州·模拟预测）如图，在中，，，分别以点C、A为圆心，以2和3为半径作弧，两弧交于点D（点D在的左侧），连接，则的最大值为 ．    【答案】 【分析】此题是一个综合性很强的题目，主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是做辅助线构造． 作，且，连接，证明，求出，再根据三角形三边关系，当、、在同一直线上时取最大值，进而可以解决问题． 【详解】解：，则， 设， 由，可得， ∴， 作，且， 连接，    由可知，， ∵，即， ∴， ∴，即，则：， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ， ， ， 由题意可知，， 当、、在同一直线上时取等号，即：的最大值为：， 故答案为：． 题型六：解直角三角形与函数结合（高频考点） 1．（2025·江苏淮安·一模）如图，已知点A与点分别在反比例函数与的图象上且，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、三角函数及反比例函数的图象与性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、三角函数及反比例函数的图象与性质是解题的关键；分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为C、D，由题意易得，然后可证，则有，进而根据三角函数可进行求解． 【详解】解：分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为C、D，如图所示： ∵点A与点分别在反比例函数与的图象上， ∴根据反比例函数k的几何意义可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选A． 2．（2023·江苏南通·二模）如图，在△ABC中，，，，为的中点，是边上一个动点，连接，过点作，交边于点．设的长为，的面积为，，则与的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，则，，，过点作于，过点作于，延长到，使，连接，，则，，设，则，，，证和全等得，再利用勾股定理得，，再证，进而求得，，根据列出函数关系式，进而根据函数的解析式及题目中的选项即可得出答案． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 为的中点， ， 又，， 过点作于，过点作于，延长到，使，连接，，如图： 在中，，， ， ， 设，则， 在中，， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ，， 为线段的垂直平分线， ， ， ， ， ，， ， 而， ， 即， 整理得：， ， ， 当时，，当时，，顶点坐标为， 该函数图象是抛物线，与轴交于点，顶点为，且过点， 故选：A． 3．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A为x轴负半轴上一点，点P的坐标为，连接交轴于点．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据题意，可以用的代数式表示出和，然后即可计算出的值． 【详解】解：作轴于点， 轴， ， ， ，，， ， ， 故选：B． 4．（2024·江苏无锡·一模）如图，矩形的顶点在双曲线上，BC与y轴交于点D，且．与轴负半轴的夹角的正切值为，连接OB，，则k的值为（　　） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，三角函数，反比例函数的几何意义等知识的综合运用．过点作轴于点，由题意可知，由，可知，设，则，，利用三角函数求得，利用，求得的值，在中利用三角函数求得和的长，从而求得点的坐标，即可求得的值． 【详解】解：过点作轴于点， 四边形是矩形， ， ， 轴， ，轴， ， ，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 5．（2025·江苏南通·一模）平面直角坐标系中，已知，，则△ABC面积的最小值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的几何综合，解题的关键是理解当的面积最小时，最小． 先利用两点之间的距离公式得出，再根据当的面积最小时，最小，利用三角形的面积得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 此时，中，长度确定，设的高为， ∴， ∴当△ABC的面积最小时，最小， 设直线为：，则， 解得：， ∴直线为：， 令，则，令，则， 则直线与坐标轴交点是， ∴， ∴， 要使最小，则点到直线距离最小， 设直线向上平移t个单位后的解析式为， ∵点是反比例函数图象上的点， ∴联立和可得， 令， 解得：或， 由图可知，点在第一象限会使最小， ∴， 即， 过点E作， 则直线与反比例函数的最小距离， 即△ABC的面积最小值． 故答案为：2． 6．（2025·江苏扬州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标是，点B在x轴正半轴上，，将绕点O逆时针旋转，当点A的对应点落在函数的图象上时，设点B的对应点的坐标是，则 ． 【答案】 【分析】过作轴于C，过作轴于，先根据旋转性质结合锐角三角函数关系得到，证明得到，则可得，利用反比例函数图象上点的坐标特征得到，由勾股定理求得，进而利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：过作轴于C，过作轴于，则， ∵点坐标是， ， 在中，，则， 由旋转性质得，点在第一象限中， ，又， ， ， ， ∵的坐标是，且在第一象限， ， ， ∵在函数的图象上， ，且， ， ， ， （负舍）， 故答案为：． 7．（2025·江苏泰州·一模）如图1，在△ABC中，，为中点，点从点出发以每秒1个单位的速度向点运动（到达点后停止），设点运动的时间为，的长为，图2是点运动时随变化的关系图像．为曲线部分的最低点，则的值为 ． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接，由轴对称的性质可知，， ，，，根据，所以当三点共线时，的值最小，为的长，由图可知， ，过点作于点，根据勾股定理求出，得到，，根据解直角三角形得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接， 由轴对称的性质可知，， ，， ， ， ∴当三点共线时，的值最小，为的长，如图所示： 由题图2可知，此时， 过点作于点， ∵为中点， ， 在中， ， ， （负值已舍去）， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ∴的值为， 故答案为：． 8．（2025·江苏淮安·一模）如图，在中，，且点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，求角的正切值，相似三角形的性质与判定．过A、B作轴，轴，根据条件得到：，根据反比例函数比例系数k的几何意义得出，利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：如图所示，过A、B作轴，轴，垂足分别为C、D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2025·江苏南京·模拟预测）在平面直角坐标系中，点A在函数的图象上，点B在第二象限，且，反比例函数的图象恰好经过点B，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，由，，可得，过点A作轴于点M，过点B作轴于点N，证得，根据相似三角形的性质得，设，求出，，利用反比例函数上点的坐标特征解决问题即可，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 【详解】解：∵，， ， 过点A作轴于点M，过点B作轴于点N， ，， ， ， ∴， ， 设， ，， ， ， 点B恰好在反比例函数的图象上， ， 故答案为：． 10．（2025·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，顶点为，对称轴与轴交于点． （1）若该抛物线与直线有且只有一个交点，则的值为 ； （2）当抛物线顶点在第二象限时，如果，的值为 ． 【答案】 /0.125 或 【分析】（1）依据题意，令，整理得，又因抛物线与直线有且只有一个交点，从而可得，解方程即可求出的值； （2）由“顶点在第二象限”可得，然后分两种情况讨论：①当点在轴的正半轴上时；②当点在轴的负半轴上时；分别画出图形，然后过点作于点，由可得，进而可得，然后依据该比例式列出关于的方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：（1）依题意，令， 整理，得：， 又抛物线与直线有且只有一个交点， ， 解得：， 故答案为：； （2）顶点在第二象限， ， 然后分两种情况讨论： ①当点在轴的正半轴上时， 如图，过点作于点， 令，则， ， 令，则， ， ，， ， ， ， ， ， 解得：或（不符合题意，故舍去）； ②当点在轴的负半轴上时， 如图，过点作于点， 令，则， ， 令，则， ， ，， ， ， ， ， ， 解得：或（不符合题意，故舍去）； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 11．（2025·江苏南通·一模）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，锐角三角函数，胡不归问题等，把代入得，故抛物线的解析式为，连接，过作于，交抛物线对称轴直线于，设直线交轴于，求出，，，，可得，，即得，从而，由垂线段最短可知，当与重合时，最小，最小值为的长度，根据面积法求出，故的最小值为，解题的关键掌握胡不归问题的解决方法． 【详解】解：把代入得：， 解得， 抛物线的解析式为，、 ， 抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线； 如图，连接，过作于，交抛物线对称轴直线于，设直线交轴于， 在中，令得， 解得或， ， ， 将抛物线的顶点向下平移个单位长度得到点， ，， ， ， ， ， ， 由垂线段最短可知，当与重合时，最小，最小值为的长度， ， ， 的最小值为． 故答案为： 12．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，已知直线与x轴交于点A，点B与点A关于y轴对称．M是直线上的动点，将绕点顺时针旋转得．连接，则线段 的最小值为 ． 【答案】3 【分析】设直线与轴的交点为，再取的中点，连接、，过作于点．根据直线解析式求出点和点的坐标，然后再证明为等边三角形．利用证明，得出．由为定点，为定值，可知点在定直线上运动，即得出当点与点重合时，最短．结合轴对称的性质可求出，进而可利用锐角三角函数求出，即的最小值为3． 【详解】解：设直线与轴的交点为，再取的中点，连接、，过作于点，如图所示： 对于，令，则， ， 令，则， ， ，， ， ， 的中点为， ， ， 为等边三角形， ， ， 由旋转的性质可知，， ，即， ， ， 为定点，为定值， 当在直线上运动时，点也在定直线上运动， 当点与点重合时，最短， 点与点关于轴对称， ， ， ， ，即的最小值为3， 故答案为：． 题型七：解直角三角形与圆综合（高频考点） 1．（2025·江苏南通·一模）如图，在中，，以点O为圆心，为半径的圆交的延长线于点C，与相切于点D，连接．    (1)求证：； (2)若，的长为π，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查了切线的判定定理，弧长公式，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，证明，得出，，再利用圆周角定理，得出，据此即可得证； （2）根据弧长公式计算求得，在中，利用正切函数的定义，即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接．    ∵与相切于点D， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∵，的长为π， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 2．（2025·江苏苏州·一模）如图，是的直径，点是上一点，过点作弦于点，点是弧上一点，连接交于点，过点作直线交的延长线于，交的延长线于点，且 (1)求证：是的切线； (2)若； ①求的长； ②求的长． 【答案】(1)见解析(2)①，② 【分析】（1）根据题意得到，继而得到，即可得到结论； （2）①连接，得到设，则，得到，利用勾股定理求出，得到； ②设的半径为，求出，得到，，求出，得到． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， ∴是的切线； （2）解：①如图，连接， ，即， ， ， ， ， ， ， ，， ， 设，则 ，， ， ， ， 在中， ， 负值舍去 ， ； ②由①知， 设的半径为， ， ， 在中， ， ， ， 由（1）知是的切线， ， ， ， ， ， ． 3．（2025·江苏南通·一模）如图，为的直径，是的切线，C为切点，，，垂足为D． (1)若，求的直径． (2)延长，相交于点F．若，求，，围成图形的面积． 【答案】(1)(2) 【分析】本题为圆的综合题．考查切线的性质，勾股定理、矩形的判定和性质，不规则图形面积求法以及解三角形．作出常用的辅助线是解答本题的关键． （1）连接，过点作，垂足为，则，构造矩形和 ，根据勾股定理可得，由此列方程即可求出的半径； （2）同（1）作辅助线，利用解三角形求出的半径，再根据，，围成图形的面积求解即可． 【详解】（1）解：设的半径为，连接，过点作，垂足为，则，， ∵是的切线， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的直径． （2）连接，过点作，垂足为， 同理（1）可得：四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，，围成图形的面积 4．（2025·江苏南通·一模）如图，是的直径，是的中点，过点作，垂足为点． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）通过圆心角定理和圆周角定理可证得，利用平行线的性质得，即可求解； （2）过作于点，先证得是等边三角形，利用求出的长度和的值，通过即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线． （2）解：如图，过作于点． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴． 5．（2025·江苏苏州·一模）如图，△ABC内接于，为边的高，为的直径交于点F，连接． (1)求证：； (2)当直径平分时，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【分析】（1）先证明，结合，从而可得结论； （2）证明，结合，证明，结合，可得，从而可得结论； （3）求解，，结合，可得，设，则，可得，再进一步利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵为的直径，为边的高， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵直径平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ （3）解：∵，，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得：（舍去），， ∴． 6．（2025·江苏苏州·一模）如图，△ABC内接于，点D在上（点D不与点A重合），点E在上，且四边形是菱形． (1)求证：； (2)若，求的直径长； (3)过点A作的切线交延长线于点F，若，求证：点D是的黄金分割点． 【答案】(1)见解析(2)(3)见解析 【分析】（1）根据菱形的性质及圆内接四边形的性质易证，即可得出结论； （2）分别过点作，垂足分别为，连接，设交点为M，解直角三角形求出，， 进而求出，利用勾股定理求出，，由菱形的性质求出，，，设，则，利用勾股定理建立方程即可解答； （3）利用切线与弦所对应的圆周角相等，以及 ，构造相似三角形，结合：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，从而证明即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴； （2）解：分别过点作，垂足分别为，连接，设交点为M， 由（1）知， ∵， ∴， 设， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 经检验是该方程的解， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴，即的直径长为； （3）证明：连接， 则， 设，则， ∵， ∴， ∵是的切线，切点为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点D是的黄金分割点． 7．（2025·江苏宿迁·一模）如图，为的直径，C，D为上不同于A，B 的两点，，连接， 过点C作，垂足为E，直径与的延长线相交于F点． (1)求证：是的切线； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析(2)2 【分析】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． （1）连接．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出，由已知，得到，则，再由，得到，根据切线的判定即可证明为的切线； （2）连接．解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接． ∵， ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵为的半径， ∴为的切线； （2）解：连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ． 8．（2025·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，点为轴上一点，交轴于点，点，交轴的正半轴于点，平分交于点，过点作于点，交轴于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查了解直角三角形，扇形的面积公式，勾股定理，坐标与图形，等边三角形的判定和性质，切线的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）连接，证明，推出，即可证明为的切线； （2）设，根据题意得到，利用勾股定理建立方程求出x的值，利用三角函数求得，再根据阴影部分的面积，利用扇形和三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴为的切线； （2）解：如图所示，连接，设， ∵，，， ∴， 在中，由勾股定理得 ， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 在中，， ∴ ∴阴影部分的面积 ． 9．（2025·江苏苏州·一模）如图，△ABC中，D为上一点，，是的外接三角形，为的直径，连接． (1)求证：为的切线； (2)若的直径，，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)28 【分析】（1）由直径所对圆周角为直角可知，根据圆周角定理可知，结合，可知，进而证明结论； （2）由（1）可知，进而解直角三角形求得，，连接，由圆周角定理可知，进而解直角三角形求得，，过点作于，则，，得，再证，得，设，则，根据，列方程即可求解． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴，则， ∵， ∴， 又∵， ∴，则， ∴， ∴为的切线； （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴，则， 连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴，则， ∴，则， 过点作于，则，， ∴， ∵，， ∴， 则， 设，则 ∵，即， ∴，解得：， ∴． 10．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，是直径，弦于点，过点作的切线，交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（）由是的直径，弦于点，得垂直平分，所以，由切线的性质得，由，，推导出，即可证明DF是⊙O的切线； （）由，，得，则，所以，求得，由，求得． 【详解】（1）证明：∵是的直径，弦于点， ∴， ∴垂直平分， ∵过点作的切线，交的延长线于点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长是． 题型八：解直角三角形与几何综合（高频考点） 1．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，点E，F分别在，上，，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，当的长为 时，四边形是菱形． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的性质，解直角三角形，勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质和等式的性质得到，再利用一组对边互相平行且相等的四边形是平行四边形的判定定理解答即可； （2）过点B作，交的延长线于点H，利用平行四边形的性质，直角三角形的边角关系定理求得，AH，设的长为x，则，利用勾股定理和菱形的性质解答即可得出结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ． 又∵， ， 四边形是平行四边形． （2）解：过点B作，交的延长线于点H，如图， 设的长为x，则， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴当的长为时，四边形是菱形． 故答案为：． 2．（2025·江苏扬州·一模）若点P在四边形内部，且点P到四边形的一条边的两个端点距离相等时，称点P为该边的“等距点”．例如：如图1，点P在四边形内部，且，则称点P为边的“等距点”． (1)如图1，四边形中，于点P，，求证：点P是边BC的“等距点”． (2)如图2，点P是矩形边的“等距点”，，． ①当时，请求出的值； ②设、分别为α、β，试求的最大值． (3)当四边形满足 时，该四边形的四条边的“等距点”交于一点． 【答案】(1)详见解析(2)①或； ②(3)对角互补 【分析】（1）由，可证明，可得，即可证明结论； （2）过点作直线交于于，连结，①结合“等距点”定义可知点在矩形边和的垂直平分线上，先证明四边形是矩形，结合其性质证明，得，设，则，列出方程即可求解； ②根据正切造的定义得，可得，即，设，则，得，由二次函数的性质即可求解． （3）根据“等距点”的定义得出，四边形是圆P的内接四边形，再根据圆内接四边形的性质即可解答． 【详解】（1）证明：∵于点， ， 又 ∵，则， ， ∴点是边的“等距点”； （2）解：过点作直线交于于，连结， ∵点是矩形边的“等距点”， ， 又 ∵直线， ∴直线是矩形边的中垂线， ∴点在矩形边和的垂直平分线上， ， ∵矩形中，， ， ， 交于于， ， 又 ∵矩形中，， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得：， 当时，， 当时，， ∴的值为或； ②∵于， ∴在中，， 在中，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 当时，有最大值 25， ∴有最大值， ∴当时，的最大值是． （3）解：∵该四边形的四条边的“等距点”交于一点， ∴“等距点”点P到点四点距离相等， ∴四边形是圆P的内接四边形， ∴四边形的对角互补， 故当四边形满足对角互补时，该四边形的四条边的“等距点”交于一点， 故答案为：对角互补． 3．（2025·江苏常州·一模）如图，在△ABC和中，，，，．点是边上一点（与点不重合），且，交于点，交的延长交于点． (1)与有怎样的大小关系？说明理由； (2)若，求的长； (3)若是等腰三角形，求的长． 【答案】(1)，理由见解析(2)(3)的长为10或7或12.5 【分析】（1）分别求出和的正切值，证明正切值相等即可； （2）证，求出，再证明，即可求解； （3）当是等腰三角形时，也是等腰三角形，分三种情况，当时；当时；当时，利用相似三角形的判定与性质以及解直角三角形即可解决问题． 【详解】（1）解：，理由： 证明： 与都是直角三角形 在中， ，， ， ， 在中，， ， ， ； （2）解：如图： ，又， 又 在中，， ∴， ∴， ， ∴， ， ， ∴； （3）解：， 由（2）得，， ∴ ， 由（2）得， ∴ ∴ 当是等腰三角形时，分三种情况： 第一种：当时，则，解得：， 第二种：当时，而 ∴ 则，过点，垂足为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， 第三种：当时，如图： ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， 解得： 综上所述：当是等腰三角形时，的长为10或7或12.5． 4．（2025·江苏南通·模拟预测）菱形中，，，点为边上一个动点（不与点、重合），把沿直线折叠，与对应． (1)请用无刻度直尺和圆规在图中作出（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若点在的延长线上，求的长； (3)当与菱形的边垂直时，求的长． 【答案】(1)见解析(2)3(3)或 【分析】（1）利用尺规作图作，在上截取，连接，即为所求； （2）根据菱形的性质可得， ，由折叠可知，，，，在中，解直角三角形得，，即可求解； （3）根据菱形的性质可得，，，由折叠可知，，，，，可得， 分两种：当时，当时，分别解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）菱形中，，， ∴， 由折叠可知，，，， ∵点在的延长线上， ∴， 在中，， ∴，， ∴； （3）菱形中，，，， 由折叠可知，，，，， ∴， 当时，垂足为， 在中，，则， ∴， 在中，， ∴； 当时，垂足为，过点作， ∵， ∴，则， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，设，， ∴， 又∵， ∴，则， ∴； 综上，的长为或． 5．（2025·江苏盐城·一模）如图1，是大家非常熟悉的“一线三直角模型”，受到这模型的启发，我们研究如下问题：如图2，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E，连接并延长交的延长线于点F， (1)若，求线段的长； (2)在（1）的条件下，连接交于点N，求的值； (3)在（1）的条件下，在直线上找点P，使，直接写出线段的长度． 【答案】(1)(2)(3)4或 【分析】（1）先证明，再证明，进而即可求得线段EF的长； （2）过点N作于点M，证明得出再证明得出，设则，代入比例式得出，进而即可求解； （3）当P在B点的左侧时，过点P作于点Q；当P在B点的右侧时，过点P作交的延长线于点T，分别解直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解： 又 解得； （2）如图，过点N作于点M， 即， 又 设，则 解得 ； （3）如图所示，当P在B点的左侧时，过点P作于点Q， 设，则， 又 即 解得 在中，， ； 如图所示，当P在B点的右侧时，过点P作交的延长线于点T， 设，则 即 解得 ， 综上所述：的长度为4或． 6．（2025·江苏连云港·一模）如图，菱形中，，点是边上的点，，，点是上的一点，是以点为直角顶点，为角的直角三角形，连结，当点在直线上运动时，求线段的最小值？ 【答案】 【分析】过点作于点，作于点，作于点，点四点共圆，四边形是矩形，，，，由此即可求解． 【详解】解：过点作于点，作于点，作于点， ， 点四点共圆， ， ， ， ， 四边形是矩形，， ， ， ， ， 的最小值为． 7．（2025·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，，，点E为边上一定点，且，点F、P分别是、边上的一点，且，将沿直线翻折得到，点E的对应点为，线段与相交于点Q，设，． (1)当点与点A重合时，求的长； (2)求的值； (3)求y与x的函数关系式． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据题意，可知，，在中，，由此列出方程即可求解； （2）过点作，交于，则四边形是矩形，，由题意可知，进而可知，证得，得，再根据即可求解； （3）过点作，与直线交于点，过点作于点，由（2）可知，则，，同（2）可证，得，由翻折可得：，得，则，进而可知，则，即，求得，，再证，得，列出等式即可求解． 【详解】（1）解：∵点与点A重合 ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，，即， 解得：，即； （2）过点作，交于，则四边形是矩形， ∴， 由题意可知， ∴，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）过点作，与直线交于点，过点作于点， 由（2）可知，则，， 同（2）可证， ∴， 由翻折可得：， ∴，则， ∴，则， 即， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（2025·江苏连云港·一模）如图，在边长为6的等边△ABC中，点D在边上，，线段在边上运动，， (1)求四边形面积的最大值？ (2)求四边形周长的最小值？ 【答案】(1)(2) 【分析】（1）设，则四边形的面积，当x取最大值5时，可得求得四边形的面积最大值； （2）作点D关于的对称点，连接，以、为边作平行四边形，过C作，交的延长线于N，依据平行四边形的性质以及线段的性质，即可发现当M，P，C在同一直线上时，的最小值等于的长，即的最小值等于的长，再根据勾股定理求得的长，即可得出四边形周长的最小值． 【详解】（1）解：设，则， 四边形的面积 ， ∵x的最大值为， ∴时，四边形的面积最大，最大值； （2）如图，作点D关于的对称点，连接，以、为边作平行四边形，交于， 则，，， 过C作，交的延长线于N，则，四边形为矩形 ，，， ∴ ， ， 当M，P，C在同一直线上时，的最小值等于的长，即的最小值等于的长， 此时，中，， 又∵，， ∴四边形周长的最小值为． 9．（2025·江苏无锡·一模）在中，，E是边上一点，将沿着翻折到， (1)如图1，若E、F、D三点共线， ①求证：； ②若，，求的长． (2)如图2，若，点E是中点，，求的面积． 【答案】(1)①详见解析；②(2) 【分析】（1）①由四边形是平行四边形，可得，根据将沿着翻折到，有，故，从而； ②证明，可得，故，有，可得的值，再由得到的值，即可求得； （2）过作于，过作于，由为中点，求得的值，根据沿着翻折到，得，从而得到，然后在和中运用勾股定理求得，再根据得到的值，在中运用勾股定理求得的值，最后根据平行四边形面积公式即可求得答案． 【详解】（1）①证明：四边形是平行四边形， ， ， 将沿着翻折到， ， ， ； ②将沿着翻折到， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，， ，， 由①知， ， ， ， ； （2）过作于，过作于，如图： 为中点，， ， 将沿着翻折到， ，，， ，即， 设，则， ， ， 解得， ， ， ，即， 设，则， ，， ， ， 解得或（舍去）， ， ， 的面积为． 题型九：解直角三角形的实际应用（高频考点） 1．（2025·江苏宿迁·一模）如图截面所示，太阳光透过墙壁上的窗户照射进房间，恰好落在斜放于地面的木板面处，小明测得此时阳光与地面的夹角为，木板与地面的夹角，，，请你求出窗户顶端到地面的距离（精确到）． （参考数据：，，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行四边形的判定与性质，过点作交于点，过点作于点，则四边形为平行四边形，分别求出、，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作交于点，过点作于点， 由题意可得：，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴窗户顶端到地面的距离为． 2．（2025·江苏南京·模拟预测）如图①，是两座垂直于同一水平地面且高度不同的铁塔．小明和小丽为了测量两座铁塔的高度，从地面上的点处测得铁塔顶端的仰角为，铁塔顶端的仰角为，沿着向前走20米到达点处，测得铁塔顶端的仰角为．已知，点构成的中，． (1)图②是图①中的一部分，求铁塔的高度； (2)小明说，在点处只要再测量，通过计算即可求出铁塔的高度，若记为，则铁塔的高度是 ．（用含的式子表示）（参考数据：，，，） 【答案】(1)铁塔的高度约为米(2)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． （1）设铁塔的高度为米，在中，解直角三角形可得的长，在中，解直角三角形可得的长，再根据建立方程，解方程即可得； （2）先求出的长，再在中，解直角三角形可得的长，然后在中，解直角三角形即可得． 【详解】（1）解：设铁塔的高度为米， 由题意得：，，米， ∵， ∴在中，米， 在中，米， ∵， ∴， 解得（米）， 答：铁塔的高度约为米． （2）解：由题意得：，， 由（1）可知，米， ∵， ∴在中，米， ∵， ∴在中，（米）， 故答案为：米． 3．（2025·江苏南京·一模）立竿见影． 如图①，在平地上竖立一根直竿，太阳每天东升西落，直竿在阳光下的影子随之变化．研究表明，南京地区的影端轨迹（直竿影子顶端的轨迹）在春分日、秋分日是正东西向的直线，在其它时候是双曲线的一支，日期与轨迹形状的对应情况如图②所示．在老师指导下，鼓楼区的几位同学在学校进行了如下探索． (1)某一天甲同学在操场上观测到竿影顶端的3处标记点，位置如图①所示，则他的这次观测大约在__________季节．（填“春夏”或“秋冬”） (2)月日，乙同学从到每隔标记一次影端的位置． ①当天的影端轨迹最接近图②中的哪条线？ ②他选用了两处标记点确定出正东西方向，请指出他确定方向的方案和道理． (3)如图③，丙同学在实验室中用灯光模拟出“在春分日，直竿的影端轨迹为正东西向的直线”，丁同学提出：在地平面上放置一个三棱柱形状的木斜坡，其下沿紧挨着竿底且指向北偏西方向（俯视图如图④所示），影端轨迹有何变化？ ①在图④中用粗线画出落在坡面上的影端轨迹； ②已知到直线的距离为，斜坡坡角为，春分日正午时分太阳光线与地平面的夹角约为，此时影端落在斜坡上的处，求到地平面的距离（精确到）． （参考数据：，．） 【答案】(1)秋冬(2)①；②见解析(3)①见解析；② 【分析】本题考查了反比例函数的应用、解直角三角形的应用、几何体的俯视图，理解题意是解题的关键． （1）根据题意，结合图①和图②即可得出答案； （2）①根据月日在春分日和夏至日之间，结合图②即可得出答案；②观察图②可知双曲线为轴对称图形，对称轴为过点的正南北向的直线，故选择相距正午等时间的两处标记点，即可解答； （3）①由题意得，直竿的影端轨迹为正东西向的直线，则影端轨迹的俯视图与夹角为°的线段，据此即可在图④中画出落在坡面上的影端轨迹；②设点到直线的垂足为点，则，由斜坡坡角为，即，设于点，设，则，由斜坡，其下沿紧挨着竿底且指向北偏西方向得，，则，，进而根据，列方程，即可求解． 影端轨迹可得，三点共线，作于点，由题意得，，再利用解直角三角形的知识即可求解． 【详解】（1）解：由图①可知，竿影顶端的标记点在和标记点的东北方向， 结合图②可知，他的这次观测大约在秋冬季节． 故答案为：秋冬． （2）解：①月日在春分日和夏至日之间， 结合图②可知，当天的影端轨迹最接近图②中的； ②方案：选用相距正午等时间（如上午和下午）的两处标记点， 道理：由图②可知，双曲线是轴对称图形，对称轴为过点的正南北向的直线；选用相距正午等时间的两处标记点，则两处标记点关于双曲线的对称轴对称，连接两处标记点即可确定出正东西方向． （3）解：①如图所示，落在坡面上的影端轨迹如图④粗线部分即为所求： ②如图，春分日正午时分太阳光线与地平面的夹角约为，到直线的距离为， ∴， ∴； 设于点，设，则 如图， ∵斜坡坡角为，即， ∴， ∴ ∵斜坡，其下沿紧挨着竿底且指向北偏西方向 ∴， ∴ ∴ ∴ 解得： 答：到地平面的距离为． 4．（2025·江苏苏州·一模）如图，某型号订书机的主要部件托板与手柄的长度相等，均为，其中托板分为弹簧，长为的推动器和书钉三段，连杆的一端通过销子与手柄相连，另一端可在段滑动，当托板与手柄的夹角张开到一定大小时，连杆勾住推动器的一端并随着的增大拉动推动器向销子方向移动．现测得销子，之间的距离为，连杆与推动器的长度之和等于销子到手柄端点的距离． (1)如图①，当连杆勾住点时，若，求此时书钉的长度（结果精确到，参考数据：，）； (2)如图②，已知一条新书钉的长度为，当装好一条新书钉且连杆勾住点时，求． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键： （1）勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系求出的长即可； （2）过点作，设，求出的长，利用双勾股定理，列出方程求出的长，再利用余弦的定义，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 答：此时书钉的长度为； （2）过点作， 由题意，得：， 设，则：， 在中，， 在中，， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴． 5．（2025·江苏南京·一模）如图，小明乘高铁从南向北匀速行驶，速度为．小明在处通过窗口看到远处两棵树（记为和），此时在小明的北偏东方向，在小明的北偏东方向．后，小明到达处，此时和恰好都在自己的南偏东方向．求两棵树之间的距离．（参考数据：，．） 【答案】100m 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是正确构造直角三角形． 过点分别作，，垂足为点，先求出，解，可设，由勾股定理得，确定为等腰直角三角形，则，由，求出，则即可求解，解 设，，解可得，由，求出，即可求解，最后由即可求解． 【详解】解：过点分别作，，垂足为点， 由题意得，， ∵在中，， ∴设， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵在中，， ∴设， 同理可得：， ∵在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 答：两棵树之间的距离为． 6．（2025·江苏无锡·二模）“花灯映月圆，万家共此时”．无锡元宵分会场每天吸引着大量市民前来观赏游玩．小新想用无人机测量花灯的高度（如图），将无人机垂直上升到距地面的点处，测得花灯底部端点的俯角为，再将无人机沿着与地面夹角方向飞行至点处，测得花灯顶部端点的仰角为，若点、、、、均在同一竖直平面内，求花灯的高度．（结果保留根号） 【答案】花灯的高度为 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形的运用，掌握锐角三角函数的计算，数形结合分析是关键． 设过点与地面平行的线分别交、于点、，则是等腰直角三角形，则，，，继而求得，，，，由此即可求解． 【详解】解：设过点与地面平行的线分别交、于点、， ∵点处，测得花灯底部端点的俯角为， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， ∵将无人机沿着与地面夹角方向飞行至点处，即，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点处，测得花灯顶部端点的仰角为，即，， ∴， ∴ 答：花灯的高度为． 7．（2025·江苏泰州·一模）工人师傅借助六步梯更换灯泡．如图，已知六步梯相邻踏脚点之间的距离为，即（踏板的厚度忽略不计），完全展开时梯子与地面的夹角为．当工人师傅站立在第二块踏板上时，刚好能摸到灯泡，此时人与梯子的夹角为．已知工人师傅的身体在一条直线上，且脚底到指尖的距离长为，垂直于地面，垂足为点，求灯泡到地面的高度．（参考数据：，，，，，，结果精确到） 【答案】灯泡到地面的高度为． 【分析】本题主要考查了解三角形的应用．过点作，垂足为，过点作，垂足为．在中，利用三角函数求得的长，在中，利用三角函数求得的长，据此求解即可． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为． ∴四边形为矩形， 在中，， ． 四边形为矩形， ． ∵， ． ． 在中，， ． ． 答：灯泡到地面的高度为． 8．（2025·江苏苏州·一模）苏州北寺塔，又称报恩寺塔，位于江苏省苏州市姑苏区人民路1918号，是一座九级八面砖身木檐混合结构的古塔．这座塔高76米，不仅是苏州古城的最高建筑，也是中国2000多座楼阁式宝塔中的典型代表．如图，北寺塔前有一座高为的5层楼房，点为连线上一点．某项目式学习小组在处测得塔顶部的仰角为，在楼房处测得塔顶部的仰角为，测得C处俯角也为． (1)求； (2)求楼房的高度(结果保留根号)． 【答案】(1)(2)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角问题，等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）设相交于点，根据题意得到，即可得到； （2）先求出，再求出，得到，求出米． 【详解】（1）解：如图，设相交于点 ， ， ； （2）解：， ， ， 米， ， ， 米， ， ， 米， 9．（2025·江苏宿迁·二模）春节期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶600米高的山峰，由山底处先步行200米到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处．已知点，在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为． (1)求登山缆车上升的高度； (2)若步行速度为每分钟20米，登山缆车的速度为每分钟50米，求从山底处到达山顶处大约需要多少分钟？（换乘登山缆车的时间忽略不计，结果精确到0.1）（参考数据：） 【答案】(1)米(2)分钟 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． （1）过B点作于点F，则四边形是矩形，在中，利用含30度的直角三角形的性质求得的长，据此求解即可； （2）在中，求得的长，再计算得出答案． 【详解】（1）解：如图，过B点作于点F，则， 由题意可知，， ∴四边形是矩形， ∵在中，，米， ∴米， ∴（米）， 答：登山缆车上升的高度为米； （2）解：在中，，米， ∴（米）， ∴从山底A处到达山顶C处大约需要： （分钟）， 答：从山底A处到达山顶C处大约需要分钟. 10．（2025·江苏苏州·一模）中国古代运用“土圭之法”判别四季．如图1的圭表所示，夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．如图2，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长10尺．在某地夏至日正午时分，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在该地冬至日正午时分，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，，求春分和秋分时日影的长度（结果精确到0.1尺）．（参考数据：，，，，，） 【答案】11.5尺 【分析】本题主要考查解直角三角形和求平均数，利用正切分别求得和，结合题意利用平均数即可求得春分和秋分时日影长度． 【详解】解：∵，杆子垂直于地面，长10尺． ∴，即(尺)， ∵， ∴，即(尺)， ∵春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数． ∴春分和秋分时日影长度为(尺)． 答：春分和秋分时日影长度11.5尺． 11．（2025·江苏淮安·一模）在学校组织的实践活动中，初三3班数学兴趣小组决定利用所学知识测量文通塔的高度，如图，小明同学先在运河边的处放置好测倾器，测得塔尖的仰角为，接下来向前走之后到达处，测得此时塔尖的仰角为，已知测倾器的高度为，点，，在同一直线上，求文通塔的高度（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】文通塔的高度为． 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用．如图，延长交于点G，证明四边形是矩形，可得，，设，则，，在中，，，再建立方程求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点G， 根据题意得：，，，，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，，， ∴， 解得：，经检验符合题意， 即， ∴， 答：文通塔的高度为． 题型十：解直角三角形中研究问题（高频考点） 1．（2025·江苏苏州·一模）如图1，已知正方形边长为，点、点分别是边，上的动点，且，连接，过点作交边于点，连接，设． (1)猜想的形状并证明； 取中点，连接，则 ；的面积 ；（用含的代数式表示） (2)如图，在上方作等边，，分别交边于点，，且点始终处在两平行直线，之间的区域内， 直接写出的范围 ； 计算的值．（结果用含的代数式表示） 【答案】(1)为等腰直角三角形，证明见解析；， (2)； 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形是正方形，得，，然后证明，故有，从而求证； 连接，由，则，再证明，故有，，，从而可得三点共线，则有，设，则，由勾股定理得，再根据即可求解； （）当时，有最小值，当与重合时，有最大值，又点始终处在两平行直线，之间的区域内，从而求出的范围； 过作于点，通过相似三角形的判定可得，，所以，，由题意可知在平行得直线上运动，且，设，则，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形，理由， 如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； 连接， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴，即， ∴ ， 故答案为：，； （2）解：当时，有最小值， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，即的最小值为， 当与重合时，有最大值，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴， 即，解得：， ∵点始终处在两平行直线，之间的区域内， ∴的范围是； 故答案为：； 如图，过作于点， 则， ∴，， ∴，， 由题意可知在平行得直线上运动，且， 设，则， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 2．（2025·江苏南通·一模）综合与探究 问题情境： 矩形中，，的平分线交于点E．将绕点顺时针旋转，得到点A，B的对应点分别为点F，G（点G与点B不重合）． 深入探究： (1)如图1，当点F在边上时，求证：； (2)如图2，当点G在线段上时，连接，，求四边形的面积； (3)当点G在矩形的对角线上时，连接，直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)或 【分析】（1）先根据旋转的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据矩形的性质可得，由此即可得证； （2）设交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，，则，再证出，根据相似三角形的性质可得的长，然后利用勾股定理求出的长，最后根据四边形的面积等于求解即可得； （3）分两种情况：①若点在对角线上时，过点作于，先证出点在同一条直线上，再求出的长，从而可得的长，然后利用勾股定理求解即可得；②若点在对角线上时，过点作于，过点作于，先根据等腰三角形的性质、勾股定理求出的长，再证出，根据相似三角形的性质可得的长，从而可得的长，然后利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：绕点旋转得到， ， ∴， ． ． 矩形中，， ， ∴， ． （2）解：如图，设交于点． 四边形是矩形，， ，， ， ∴，， 平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为 ． （3）解：①如图，若点在对角线上时，过点作于． 平分， ∴点到的距离等于的长度． 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴点在同一条直线上， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，若点在对角线上时，过点作于，过点作于， ∵在矩形中，， ∴， ∴， 由上已得：， ∴（等腰三角形的三线合一）， 在中，， ∴在中，， ∴，，， 由旋转的性质得：，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 综上，的长为或． 3．（2025·江苏淮安·一模）【问题发现】（1）如图1，矩形中，，，点是矩形内一点，过点作，分别交，于点，，，．则： ①________； ②与的关系是________； 【类比探究】（2）如图2，点是矩形外一点，过点作，分别交，反向延长线于点，②中结论还成立吗？若成立，请说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，是外一点，，，，求的最小值． 【答案】（1）①；②；（2）成立，理由见解析（3） 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键． （1）①根据矩形的性质和判定证明四边形和四边形都是矩形，求出各个线段的长，再利用勾股定理即可得到答案； ②由，即可得到结论； （2）证明四边形和四边形都是矩形，利用勾股定理进行证明即可得到结论； （3）作交的延长线于点，作交的延长线于点，作交的延长线于点，连接，证明四边形和四边形都是矩形，根据矩形的性质定理进行求解即可． 【详解】解：（1）①如图：四边形是矩形，，， ， ， 过点作，分别交，于点，， ， 四边形和四边形都是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； ②， ， ， 故答案为：； （2）成立，理由如下： 四边形是矩形， ， ， 过点作，分别交，反向延长线于点， ， 四边形和四边形都是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）作交的延长线于点，则， ， 作交的延长线于点，作交的延长线于点，连接， ， ， ， 四边形和四边形都是矩形， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 的最小值为． 4．（2025·江苏南京·一模）如何设置挡板？ 如图①，点在直线上，现有一台粒子发射器在处向外连续发射粒子，发射的粒子沿抛物线运动，这些抛物线的开口方向和大小都与相同，发射出的粒子最终落在上．若在直线上的点处有一块挡板，，，由于挡板的遮挡，使得直线上存在粒子未能落到的一段线段，该线段的长记为．（粒子的反弹忽略不计） 【初步体验】 （1）如图②，若，，则_________． 【数学思考】 （2）如图③，若，，建立适当的平面直角坐标系，求的值． 【问题解决】 （3）如图，是直线上一点，是的中点，现要使发射的粒子能覆盖段的每一处，且落不到段．在满足上述要求的所有挡板位置中： （Ⅰ）直接写出最小时的的值； （Ⅱ）直接写出挡板的长的最小值． 【答案】（1）2；（2）；（Ⅰ）；（Ⅱ） 【分析】（1）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线解析式为，把代入求解即可； （2）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于G，解直角三角形求出，，则，当粒子经过P时，粒子落在B处，轨迹为， 当粒子的轨迹与相切（有唯一交点）时，函数图象为，刚好落在处，此时由于遮挡，粒子无法落到上，类似（1）可求，设，抛物线解析式为，根据待定系数法求出直线解析式为，联立方程组，化简得，根据直线与的图象有唯一的交点，可得出，求出解得，则，即可求解； （3）（Ⅰ）当与在点O处相切时，最小，此时，设直线解析式为，联立方程组，化简得，根据直线与的图象有唯一的交点，可得出，求出，则，然后根据正切定义求解即可； （Ⅱ）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于H，根据正切的定义可求出，设，则，则，类似（1）求出的解析式为，把代入求出，根据勾股定理得出，则可求，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则， ∴， ∵，， ∴，， 设抛物线解析式为， 把代入，得， 解得， 故答案为：2； （2）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于G， ∵，， ∴，， ∴， 当粒子经过P时，粒子落在B处，轨迹为， 当粒子的轨迹与相切（有唯一交点）时，函数图象为，刚好落在处，此时由于遮挡，粒子无法落到上， 设， ∵经过、、， ∴设抛物线解析式为， 把代入，得 ， 解得， ∴， 设 ∵经过经过、， ∴设抛物线解析式为， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 联立方程组， 化简得， ∵直线与的图象有唯一的交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得或（舍去） ∴， ∴， 即m的值为； （3）（Ⅰ）当与在点O处相切时，最小， 此时， 设设直线解析式为， 联立方程组， 化简得， ∵直线与的图象有唯一的交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∴， 设， 则； （Ⅱ）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于H， 则， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴的解析式为， ∵点P在的图象上， ∴， 又， ∴ ， ∴当时，有最小值为8， ∴的最小值为． 5．（2025·江苏连云港·一模）【概念感知】 定义：我们将一组邻边相等且其中一边邻角（不是这组邻边的夹角）为直角的凸四边形称为单直邻等四边形．（凸四边形是指所有内角均小于 的四边形） 例如：如图1，在四边形中，如果 ，那么四边形为单直邻等四边形． 【初步理解】 （1） 如图2， △ABC为等边三角形，点E在的角平分线上，连接，将绕点E顺时针旋转得到线段，连接． 求证：四边形为单直邻等四边形； 【拓展应用】 （2）如图3，四边形为单直邻等四边形，，连接，若 ，作 且 ，连接并延长交于点F，交于点M． 求的长； 【解决问题】 （3） 如图4， 射线于点C，点A 在射线上， 点B在射线上，且四边形为单直邻等四边形， 的角平分线交于点 P，请直接写出 的长 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）6或2 【分析】（1）可证得，从而得出，从而得出，从而得出结论； （2）作于G，作于H，可证得，从而，，进而得出，，根据，从而得出，从而，故，进而得出，则，根据勾股定理得出的值，进而求得的值； （3）作于Q，设和交于点G，解直角三角形得出和的值，进而得出的值；当点A在下方时，求得的值，进而得出的值，进而得出的值，进而得出的值，当点A在上方时，同样得出结果． 【详解】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵点E在的平分线上， ∴， ∵绕点E顺时针旋转得到线段， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为单直邻等四边形； （2）如图1，作于G，作于H， ∵四边形为单直邻等四边形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）作于Q， 设和交于点G， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 当点A在下方时，， ∵四边形为单直邻等四边形，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点A在上方时（图中），， 同理可得，， 综上所述：或2， 故答案为：6或2． 6．（2025·江苏南京·一模）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知，是△ABC的外接圆，点D在上（），连接． 【特殊化感知】（1）如图1，若，点D在延长线上，则与的数量关系为　　　； 【一般化探究】（2）如图2，若，点C、D在同侧，判断与的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】（3）若，直接写出满足的数量关系．（用含α的式子表示） 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）当点C、D在同侧时；当点C、D在两侧时， 【分析】（1）利用等边三角形的判定与性质和含角的直角三角形的性质解答即可； （2）延长至点E使，连接，利用等边三角形的判定与性质，圆的内接四边形的性质，圆周角定理和全等三角形的判定与性质解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情形讨论解答：①当点C、D在同侧时，延长至点E，使，连接，过点C作于点F，利用圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质和直角三角形的边角关系定理得到，再利用全等三角形的判定与性质得到，则结论可得；②当点C、D在两侧时，延长至点E，使，连接，过点C作于点F，利用①的方法解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵为的直径， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：； （2）若，点C、D在同侧，与的数量关系为：，理由： 延长至点E使，连接，如图， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）①当点C、D在同侧时， 延长至点E，使，连接，过点C作于点F，如图， ∵， ∴， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． ②当点C、D在两侧时，延长至点E，使，连接，过点C作于点F，如图， ∵， ∴， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴． 综上，若满足的数量关系为：当点C、D在同侧时；当点C、D在两侧时，． 7．（2025·江苏泰州·一模）综合与实践：图形的旋转． 在矩形中，点为对角线的中点，连接，点在上，，线段的延长线交于点．将图1中的绕点顺时针旋转，设点，的对应点分别为，． 【初步探究】 （1）与的数量关系是______； 【尝试解决】 （2）如图2，当点落在的延长线上时，连接，判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展提升】 （3）已知，，求直线与直线垂直时的值． 【答案】（1）（2）四边形为菱形，理由见解析（3）或 【分析】（1）根据矩形性质得和，结合直角三角形的性质可证明，有．结合即可； （2）由旋转得，结合矩形的性质可证，有．由 (1) 得 ，则，即可判定四边形是菱形； （3）在中求得，结合中点可得，当线段所在直线与所在直线垂直时，可以看作将绕点B旋转．将、和绕点B顺时针旋转得到、和，过点作于点N，则，可得，可求得，，即可得，求得，利用勾股定理即可；将、和绕点B逆时针旋转得到、和，过点作于点H，则，得，，则，可求得，利用勾股定理即可． 【详解】解：（1）如图1， ∵四边形 是矩形； ∴， ∴． ∵点O为的中点， ∴ ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， 故答案为：． (2) 四边形为菱形， 理由如下∶ ∵旋转得到， ∴，． ∵四边形为矩形； ∴． ∴， ∴， ； ∴． ∴． ∴． 由 (1) 得 ， ∴， ∴四边形是菱形． （3）在中， ∵， ∴， ∵点O为的中点， ∴， 当线段所在直线与所在直线垂直时，可以看作将绕点B旋转， 如图，将、和绕点B顺时针旋转得到、和，过点作于点N， 则， ∴， ， ∵， ∴， ， ， 如图，将、和绕点B逆时针旋转得到、和，过点作于点H， 则， ， ， ， ∴， ∴， 故两点间的距离为或 ． 8．（2025·江苏淮安·一模）综合与实践 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段进行了深入研究，并提出了以下问题： 【问题初探】 （1）如图1，在正方形中，点分别在边上，且，则线段与之间的关系是______． （2）如图2，在矩形中，，点是上的动点，连接，过点作于点，交于．问题：当为中点时，求的长度． 【类比探究】 （3）如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作交的延长线于点，交的延长线于点． 问题：若，且，求的长度． 【拓展延伸】 （4）如图4，在△ABC中，，点是上一动点，将沿翻折，使点落在点处，连接．问题： ①当时，求的长度； ②当最小时，的面积为______． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）①；② 【分析】（1）根据四边形是正方形，得出，即可得，根据，得出，根据同角的余角相等得出，证明，即可得出． （2）根据四边形为矩形，，得出，，即可得，根据，得出，即可得，证明，得出，当为中点时，，在中，勾股定理求出，即可求解． （3）如图，过点作的垂线，交于点．由题意知四边形为矩形，证明，得出，在中，勾股定理求出，即可求解． （4）①如图，连接交于，作于．在中，勾股定理求出，当时，得出，根据等面积法求出，根据轴对称可得，证明是直角三角形，，垂直平分线段，根据等面积法求出，即可求出，在 中，勾股定理求出即可． ②根据轴对称可得，得出点E在以点A为圆心，6为半径的圆上运动，如图，根据图象可得，即可得当点三点共线，即点E在边上时，最小，此时，如图，过点E作交于点，在中，得出，在中，即可得，求出，设，表示出，在中，根据，求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， 故答案为：． （2）解：∵四边形为矩形，， ，， ， ， ， ， 又， ， ， 当为中点时，， 在中，， ， ∴． （3）解：∵四边形为矩形， ， 如图，过点作的垂线，交于点． 由题意知四边形为矩形， ， ， ， ， ， 又， ， 又， ， ， 在中， ∵，， ， ， ． （4）①如图，连接交于，作于． 在中， ∵，， ， 当时，， ， ， ， 根据轴对称可得， ∴点在的垂直平分线上． ， ∴点在的垂直平分线上，是直角三角形，， ∴垂直平分线段， ∵， ∴， ∴， 在 中，． ②根据轴对称可得， ∴点E在以点A为圆心，6为半径的圆上运动，如图， 根据图象可得， ∴当点三点共线，即点E在边上时，最小， 此时， 如图，过点E作交于点， ∵在中，， ∴在中，， 解得：， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴． 9．（2025·江苏苏州·一模）如图1，已知正方形边长为，点、点分别是边，上的动点，且，连接，过点作交边于点，连接，设． (1)猜想的形状并证明； 取中点，连接，则 ；的面积 ；（用含的代数式表示） (2)如图，在上方作等边，，分别交边于点，，且点始终处在两平行直线，之间的区域内， 直接写出的范围 ； 计算的值．（结果用含的代数式表示） 【答案】(1)为等腰直角三角形，证明见解析；， (2)； 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形是正方形，得，，然后证明，故有，从而求证； 连接，由，则，再证明，故有，，，从而可得三点共线，则有，设，则，由勾股定理得，再根据即可求解； （）当时，有最小值，当与重合时，有最大值，又点始终处在两平行直线，之间的区域内，从而求出的范围； 过作于点，通过相似三角形的判定可得，，所以，，由题意可知在平行得直线上运动，且，设，则，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形，理由， 如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； 连接， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴，即， ∴ ， 故答案为：，； （2）解：当时，有最小值， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，即的最小值为， 当与重合时，有最大值，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴， 即，解得：， ∵点始终处在两平行直线，之间的区域内， ∴的范围是； 故答案为：； 如图，过作于点， 则， ∴，， ∴，， 由题意可知在平行得直线上运动，且， 设，则， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 10．（2025·江苏南通·一模）综合与探究 问题情境： 矩形中，，的平分线交于点E．将绕点顺时针旋转，得到点A，B的对应点分别为点F，G（点G与点B不重合）． 深入探究： (1)如图1，当点F在边上时，求证：； (2)如图2，当点G在线段上时，连接，，求四边形的面积； (3)当点G在矩形的对角线上时，连接，直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)或 【分析】（1）先根据旋转的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据矩形的性质可得，由此即可得证； （2）设交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，，则，再证出，根据相似三角形的性质可得的长，然后利用勾股定理求出的长，最后根据四边形的面积等于求解即可得； （3）分两种情况：①若点在对角线上时，过点作于，先证出点在同一条直线上，再求出的长，从而可得的长，然后利用勾股定理求解即可得；②若点在对角线上时，过点作于，过点作于，先根据等腰三角形的性质、勾股定理求出的长，再证出，根据相似三角形的性质可得的长，从而可得的长，然后利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：绕点旋转得到， ， ∴， ． ． 矩形中，， ， ∴， ． （2）解：如图，设交于点． 四边形是矩形，， ，， ， ∴，， 平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为 ． （3）解：①如图，若点在对角线上时，过点作于． 平分， ∴点到的距离等于的长度． 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴点在同一条直线上， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，若点在对角线上时，过点作于，过点作于， ∵在矩形中，， ∴， ∴， 由上已得：， ∴（等腰三角形的三线合一）， 在中，， ∴在中，， ∴，，， 由旋转的性质得：，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 综上，的长为或． 11．（2025·江苏淮安·一模）【问题发现】（1）如图1，矩形中，，，点是矩形内一点，过点作，分别交，于点，，，．则： ①________； ②与的关系是________； 【类比探究】（2）如图2，点是矩形外一点，过点作，分别交，反向延长线于点，②中结论还成立吗？若成立，请说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，是外一点，，，，求的最小值． 【答案】（1）①；②；（2）成立，理由见解析（3） 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键． （1）①根据矩形的性质和判定证明四边形和四边形都是矩形，求出各个线段的长，再利用勾股定理即可得到答案； ②由，即可得到结论； （2）证明四边形和四边形都是矩形，利用勾股定理进行证明即可得到结论； （3）作交的延长线于点，作交的延长线于点，作交的延长线于点，连接，证明四边形和四边形都是矩形，根据矩形的性质定理进行求解即可． 【详解】解：（1）①如图：四边形是矩形，，， ， ， 过点作，分别交，于点，， ， 四边形和四边形都是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； ②， ， ， 故答案为：； （2）成立，理由如下： 四边形是矩形， ， ， 过点作，分别交，反向延长线于点， ， 四边形和四边形都是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）作交的延长线于点，则， ， 作交的延长线于点，作交的延长线于点，连接， ， ， ， 四边形和四边形都是矩形， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 的最小值为． 12．（2025·江苏南京·一模）如何设置挡板？ 如图①，点在直线上，现有一台粒子发射器在处向外连续发射粒子，发射的粒子沿抛物线运动，这些抛物线的开口方向和大小都与相同，发射出的粒子最终落在上．若在直线上的点处有一块挡板，，，由于挡板的遮挡，使得直线上存在粒子未能落到的一段线段，该线段的长记为．（粒子的反弹忽略不计） 【初步体验】 （1）如图②，若，，则_________． 【数学思考】 （2）如图③，若，，建立适当的平面直角坐标系，求的值． 【问题解决】 （3）如图，是直线上一点，是的中点，现要使发射的粒子能覆盖段的每一处，且落不到段．在满足上述要求的所有挡板位置中： （Ⅰ）直接写出最小时的的值； （Ⅱ）直接写出挡板的长的最小值． 【答案】（1）2；（2）；（Ⅰ）；（Ⅱ） 【分析】（1）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线解析式为，把代入求解即可； （2）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于G，解直角三角形求出，，则，当粒子经过P时，粒子落在B处，轨迹为， 当粒子的轨迹与相切（有唯一交点）时，函数图象为，刚好落在处，此时由于遮挡，粒子无法落到上，类似（1）可求，设，抛物线解析式为，根据待定系数法求出直线解析式为，联立方程组，化简得，根据直线与的图象有唯一的交点，可得出，求出解得，则，即可求解； （3）（Ⅰ）当与在点O处相切时，最小，此时，设直线解析式为，联立方程组，化简得，根据直线与的图象有唯一的交点，可得出，求出，则，然后根据正切定义求解即可； （Ⅱ）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于H，根据正切的定义可求出，设，则，则，类似（1）求出的解析式为，把代入求出，根据勾股定理得出，则可求，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则， ∴， ∵，， ∴，， 设抛物线解析式为， 把代入，得， 解得， 故答案为：2； （2）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于G， ∵，， ∴，， ∴， 当粒子经过P时，粒子落在B处，轨迹为， 当粒子的轨迹与相切（有唯一交点）时，函数图象为，刚好落在处，此时由于遮挡，粒子无法落到上， 设， ∵经过、、， ∴设抛物线解析式为， 把代入，得 ， 解得， ∴， 设 ∵经过经过、， ∴设抛物线解析式为， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 联立方程组， 化简得， ∵直线与的图象有唯一的交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得或（舍去） ∴， ∴， 即m的值为； （3）（Ⅰ）当与在点O处相切时，最小， 此时， 设设直线解析式为， 联立方程组， 化简得， ∵直线与的图象有唯一的交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∴， 设， 则； （Ⅱ）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于H， 则， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴的解析式为， ∵点P在的图象上， ∴， 又， ∴ ， ∴当时，有最小值为8， ∴的最小值为． 13．（2025·江苏连云港·一模）【概念感知】 定义：我们将一组邻边相等且其中一边邻角（不是这组邻边的夹角）为直角的凸四边形称为单直邻等四边形．（凸四边形是指所有内角均小于 的四边形） 例如：如图1，在四边形中，如果 ，那么四边形为单直邻等四边形． 【初步理解】 （1） 如图2， △ABC为等边三角形，点E在的角平分线上，连接，将绕点E顺时针旋转得到线段，连接． 求证：四边形为单直邻等四边形； 【拓展应用】 （2）如图3，四边形为单直邻等四边形，，连接，若 ，作 且 ，连接并延长交于点F，交于点M． 求的长； 【解决问题】 （3） 如图4， 射线于点C，点A 在射线上， 点B在射线上，且四边形为单直邻等四边形， 的角平分线交于点 P，请直接写出 的长 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）6或2 【分析】（1）可证得，从而得出，从而得出，从而得出结论； （2）作于G，作于H，可证得，从而，，进而得出，，根据，从而得出，从而，故，进而得出，则，根据勾股定理得出的值，进而求得的值； （3）作于Q，设和交于点G，解直角三角形得出和的值，进而得出的值；当点A在下方时，求得的值，进而得出的值，进而得出的值，进而得出的值，当点A在上方时，同样得出结果． 【详解】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵点E在的平分线上， ∴， ∵绕点E顺时针旋转得到线段， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为单直邻等四边形； （2）如图1，作于G，作于H， ∵四边形为单直邻等四边形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）作于Q， 设和交于点G， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 当点A在下方时，， ∵四边形为单直邻等四边形，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点A在上方时（图中），， 同理可得，， 综上所述：或2， 故答案为：6或2． 14．（2025·江苏南京·一模）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知，是△ABC的外接圆，点D在上（），连接． 【特殊化感知】（1）如图1，若，点D在延长线上，则与的数量关系为　　　； 【一般化探究】（2）如图2，若，点C、D在同侧，判断与的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】（3）若，直接写出满足的数量关系．（用含α的式子表示） 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）当点C、D在同侧时；当点C、D在两侧时， 【分析】（1）利用等边三角形的判定与性质和含角的直角三角形的性质解答即可； （2）延长至点E使，连接，利用等边三角形的判定与性质，圆的内接四边形的性质，圆周角定理和全等三角形的判定与性质解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情形讨论解答：①当点C、D在同侧时，延长至点E，使，连接，过点C作于点F，利用圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质和直角三角形的边角关系定理得到，再利用全等三角形的判定与性质得到，则结论可得；②当点C、D在两侧时，延长至点E，使，连接，过点C作于点F，利用①的方法解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵为的直径， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：； （2）若，点C、D在同侧，与的数量关系为：，理由： 延长至点E使，连接，如图， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）①当点C、D在同侧时， 延长至点E，使，连接，过点C作于点F，如图， ∵， ∴， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． ②当点C、D在两侧时，延长至点E，使，连接，过点C作于点F，如图， ∵， ∴， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴． 综上，若满足的数量关系为：当点C、D在同侧时；当点C、D在两侧时，． 15．（2025·江苏泰州·一模）综合与实践：图形的旋转． 在矩形中，点为对角线的中点，连接，点在上，，线段的延长线交于点．将图1中的绕点顺时针旋转，设点，的对应点分别为，． 【初步探究】 （1）与的数量关系是______； 【尝试解决】 （2）如图2，当点落在的延长线上时，连接，判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展提升】 （3）已知，，求直线与直线垂直时的值． 【答案】（1） （2）四边形为菱形，理由见解析 （3）或 【分析】（1）根据矩形性质得和，结合直角三角形的性质可证明，有．结合即可； （2）由旋转得，结合矩形的性质可证，有．由 (1) 得 ，则，即可判定四边形是菱形； （3）在中求得，结合中点可得，当线段所在直线与所在直线垂直时，可以看作将绕点B旋转．将、和绕点B顺时针旋转得到、和，过点作于点N，则，可得，可求得，，即可得，求得，利用勾股定理即可；将、和绕点B逆时针旋转得到、和，过点作于点H，则，得，，则，可求得，利用勾股定理即可． 【详解】解：（1）如图1， ∵四边形 是矩形； ∴， ∴． ∵点O为的中点， ∴ ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， 故答案为：． (2) 四边形为菱形， 理由如下∶ ∵旋转得到， ∴，． ∵四边形为矩形； ∴． ∴， ∴， ； ∴． ∴． ∴． 由 (1) 得 ， ∴， ∴四边形是菱形． （3）在中， ∵， ∴， ∵点O为的中点， ∴， 当线段所在直线与所在直线垂直时，可以看作将绕点B旋转， 如图，将、和绕点B顺时针旋转得到、和，过点作于点N， 则， ∴， ， ∵， ∴， ， ， 如图，将、和绕点B逆时针旋转得到、和，过点作于点H， 则， ， ， ， ∴， ∴， 故两点间的距离为或 ． 16．（2025·江苏淮安·一模）综合与实践 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段进行了深入研究，并提出了以下问题： 【问题初探】 （1）如图1，在正方形中，点分别在边上，且，则线段与之间的关系是______． （2）如图2，在矩形中，，点是上的动点，连接，过点作于点，交于．问题：当为中点时，求的长度． 【类比探究】 （3）如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作交的延长线于点，交的延长线于点． 问题：若，且，求的长度． 【拓展延伸】 （4）如图4，在△ABC中，，点是上一动点，将沿翻折，使点落在点处，连接．问题： ①当时，求的长度； ②当最小时，的面积为______． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）①；② 【分析】（1）根据四边形是正方形，得出，即可得，根据，得出，根据同角的余角相等得出，证明，即可得出． （2）根据四边形为矩形，，得出，，即可得，根据，得出，即可得，证明，得出，当为中点时，，在中，勾股定理求出，即可求解． （3）如图，过点作的垂线，交于点．由题意知四边形为矩形，证明，得出，在中，勾股定理求出，即可求解． （4）①如图，连接交于，作于．在中，勾股定理求出，当时，得出，根据等面积法求出，根据轴对称可得，证明是直角三角形，，垂直平分线段，根据等面积法求出，即可求出，在 中，勾股定理求出即可． ②根据轴对称可得，得出点E在以点A为圆心，6为半径的圆上运动，如图，根据图象可得，即可得当点三点共线，即点E在边上时，最小，此时，如图，过点E作交于点，在中，得出，在中，即可得，求出，设，表示出，在中，根据，求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， 故答案为：． （2）解：∵四边形为矩形，， ，， ， ， ， ， 又， ， ， 当为中点时，， 在中，， ， ∴． （3）解：∵四边形为矩形， ， 如图，过点作的垂线，交于点． 由题意知四边形为矩形， ， ， ， ， ， 又， ， 又， ， ， 在中， ∵，， ， ， ． （4）①如图，连接交于，作于． 在中， ∵，， ， 当时，， ， ， ， 根据轴对称可得， ∴点在的垂直平分线上． ， ∴点在的垂直平分线上，是直角三角形，， ∴垂直平分线段， ∵， ∴， ∴， 在 中，． ②根据轴对称可得， ∴点E在以点A为圆心，6为半径的圆上运动，如图， 根据图象可得， ∴当点三点共线，即点E在边上时，最小， 此时， 如图，过点E作交于点， ∵在中，， ∴在中，， 解得：， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴． 1 / 199 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年江苏数学中考预测专项突破 专题10解直角三角形及其应用（江苏专用） 2024年江苏中考数学真题圆综合解答题压轴分析（主要针对无锡、徐州、常州、苏州） ❆无锡卷：选择题第9题：本题考查了解直角三角形，菱形的性质，解题的关键是掌握菱形四边都相等，以及正确画出辅助线，构造直角三角形求解，分值3分，难度中等； ❆苏州卷：填空题第14题：主要考查正多边形与圆，解三角形，求弧长，分值3分，难度中等；填空题第20题：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，分值8分，难度中等； ❆常州卷：填空题第15题：本题主要考查三角形相似的判定和性质、勾股定理以及解直角三角形，分值3分，难度中等； ❆徐州卷：解答题第25题：本题考查解直角三角形的应用，分值8分，难度中等； 题型一：解直角三角形相关计算（选填）（高频考点） 1．（2025·江苏扬州·一模）如图，在中，延长斜边到点D，连接．若，，，则的长为（　　） A． B．5 C． D．6 2．（2025·江苏无锡·一模）如图，中，，是斜边上的中线，过点作交于点．若的面积为25，，则的长为（   ） A．6 B． C． D．10 3．（2025·江苏南通·一模）如图，以矩形的顶点A为圆心，以长为半径作弧，交于点F，交于点E，且，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏苏州·一模）如图，已知中，，，将绕边中点O旋转，且，得到，若，延长交于点Q，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏南通·一模）如图，在等边三角形中，为边上一点，为边上一点，且，若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·江苏连云港·一模）用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个如图1所示的菱形教具，此时测得，改变教具的形状成为如图2所示的正方形，若图2的面积比图1的面积大，则菱形的边长为（   ） A． B． C． D． 7．（2024·江苏南京·模拟预测）在△ABC中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·江苏连云港·二模）如图，在矩形中，，，点E为边上一点，，将沿 折叠得到，的延长线交于点F，则的长为（    ） A． B．1 C． D． 9．（2024·江苏苏州·二模）若满足，的△ABC恰好有两个，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·江苏无锡·二模）如图，是的切线，B为切点，连接．若，则的长为（  ）    A．2 B． C．5 D． 题型二：解直角三角形综合之求三角函数值（高频考点） 1．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，正方形中，将边绕点逆时针旋转至，连接，，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏常州·一模）如图所示为一张矩形纸片，为的中点，点在边上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与交于点，的延长线过点．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏无锡·一模）如图，已知在△ABC中，，，点E在边上，点F在的延长线上，连接，点G为的中点，连接，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏南京·一模）如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏常州·模拟预测）矩形纸片中，，将纸片对折，使顶点与顶点重合，得折痕，将纸片展开铺平后再进行折叠，使顶点与顶点重合，得折痕，展开铺平后如图所示．若折痕与较小的夹角记为，则的值是（  ） A． B． C． D． 6．（2025·江苏苏州·一模）如图，在△ABC中，∠B=90°，以为直径的与交于点，连接．若，则的值为 ． 7．（2025·江苏南通·一模）在中，，为斜边上的中线，若，则的值为 ． 8．（2025·江苏无锡·一模）如图，正方形的对角线与相交于，以、为边作正方形，将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，的对应点是，连接，旋转一周的过程中，当落在射线上时，的值为 ． 9．（2025·江苏宿迁·一模）矩形中，，，点在边上运动，点关于的对称点为点，点到边的距离是点到边距离的3倍，则的值为 ． 10．（2025·江苏泰州·一模）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用如图所示的个全等直角三角形拼成正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．如图，若“弦图”中小正方形表示为，是中点，延长交于点，且，则＝ ． 题型三：解直角三角形在方格子中的计算（高频考点） 1．（2025·江苏宿迁·一模）如图，在相同的小正方形组成的网格图中，点在格点（网格线的交点）上，点在上，且都在格点上，则的正弦值是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，点A、B、O都在格点上，则的正弦值是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏连云港·二模）如图，、、是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则的值为（ ） A． B． C． D．2 4．（2024·江苏盐城·三模）如图所示的网格是正方形网格，△ABC和的顶点都是网格线交点，则的正弦值是（    ） A．1 B． C． D． 5．（2025·江苏常州·一模）如图，正方形和正方形的边长相等，点A、B、C在同一条直线上．连接、，则的值为 ． 6．（2025·江苏南京·一模）如图，在网格中有格点A、B、C，连接、，则 ． 7．（2025·江苏无锡·二模）如图，在的网格图中，点、、、都在小正方形的顶点上，、相交于点，则的值是 ． 8．（2025·江苏连云港·一模）在网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在的网格中，点A、B、C都在格点上，那么的值为 ． 9．（2025·江苏徐州·一模）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，已知，其中点都在格点上，则的值为 ． 10．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，在一个正方形网格中存在一个，则 ． 题型四：解直角三角形中比值问题（高频考点） 1．（2025·江苏扬州·一模）如图，在中，，以为直径的圆O分别与相交于点E、F，若，则的值为（  ） A．1 B． C． D． 2．（2024·江苏淮安·模拟预测）一副三角板如图所示放置，则左右阴影部分面积之比的值为（   ）． A． B． C． D． 3．（2024·江苏无锡·二模）在中，，，点D和点E分别是线段上的动点，且，在运动过程中，可取的最大整数值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024·江苏无锡·三模）如图，正六边形外作正方形，连接交于点O，求的值（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏无锡·一模）如图是我国古代数学家赵爽创造的“弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形无缝拼成的大正方形，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．若的度数为，且满足，则正方形与正方形的面积之比为（    ）    A． B．13 C．5 D． 6．（2024·江苏苏州·一模）如图，正方形内接于，等边的顶点，分别在，上，交，于点，，则的值等于（    ） A． B． C． D．2 7．（2025·江苏南通·一模）如图，是半圆O的直径，是半径，且，弦经过的中点E，连接，则的值为 ． 8．（2025·江苏扬州·一模）如图，在△ABC中，，，点D是的中点，连接，过点C作的垂线，垂足为点E，连接，则 ． 题型五：解直角三角形中最值问题（高频考点） 1．（2025·江苏无锡·二模）如图，在菱形中，，，、分别是、上的动点，连接、，、分别为、的中点，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 2．（2024·江苏无锡·三模）如图，在四边形中，，对角线、交于点O，且．若，则的最小值为（    ） A．16 B．4 C．9 D．2 3．（2024·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，为原点，，的半径为1，是上一动点，以为边作等边，且点在第一象限，设的坐标为，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 4．（2025·江苏宿迁·一模）如图， 矩形 中，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点B，D 运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，连接，则的最大值为 ． 5．（2025·江苏泰州·一模）如图，△ABC中，，，，点，分别在边，上，且，点为中点，则线段的最小值为 ． 6．（2025·江苏宿迁·一模）如图，已知，，，、分别为、上的点，连接，若于点，且平分▱的面积，过作于点，连接，则的最小值为 7．（2025·江苏盐城·一模）如图，在△ABC中，，，是线段外一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则的长最大值为 ． 8．（2023·江苏常州·模拟预测）如图，在中，，，分别以点C、A为圆心，以2和3为半径作弧，两弧交于点D（点D在的左侧），连接，则的最大值为 ．    题型六：解直角三角形与函数结合（高频考点） 1．（2025·江苏淮安·一模）如图，已知点A与点分别在反比例函数与的图象上且，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 2．（2023·江苏南通·二模）如图，在△ABC中，，，，为的中点，是边上一个动点，连接，过点作，交边于点．设的长为，的面积为，，则与的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 3．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A为x轴负半轴上一点，点P的坐标为，连接交轴于点．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏无锡·一模）如图，矩形的顶点在双曲线上，BC与y轴交于点D，且．与轴负半轴的夹角的正切值为，连接OB，，则k的值为（　　） A．12 B．15 C．16 D．18 5．（2025·江苏南通·一模）平面直角坐标系中，已知，，则△ABC面积的最小值是 ． 6．（2025·江苏扬州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标是，点B在x轴正半轴上，，将绕点O逆时针旋转，当点A的对应点落在函数的图象上时，设点B的对应点的坐标是，则 ． 7．（2025·江苏泰州·一模）如图1，在△ABC中，，为中点，点从点出发以每秒1个单位的速度向点运动（到达点后停止），设点运动的时间为，的长为，图2是点运动时随变化的关系图像．为曲线部分的最低点，则的值为 ． 8．（2025·江苏淮安·一模）如图，在中，，且点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，则 ． 9．（2025·江苏南京·模拟预测）在平面直角坐标系中，点A在函数的图象上，点B在第二象限，且，反比例函数的图象恰好经过点B，则k的值为 ． 10．（2025·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，顶点为，对称轴与轴交于点． （1）若该抛物线与直线有且只有一个交点，则的值为 ； （2）当抛物线顶点在第二象限时，如果，的值为 ． 11．（2025·江苏南通·一模）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，则的最小值为 ． 12．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，已知直线与x轴交于点A，点B与点A关于y轴对称．M是直线上的动点，将绕点顺时针旋转得．连接，则线段 的最小值为 ． 题型七：解直角三角形与圆综合（高频考点） 1．（2025·江苏南通·一模）如图，在中，，以点O为圆心，为半径的圆交的延长线于点C，与相切于点D，连接．    (1)求证：； (2)若，的长为π，求的长． 2．（2025·江苏苏州·一模）如图，是的直径，点是上一点，过点作弦于点，点是弧上一点，连接交于点，过点作直线交的延长线于，交的延长线于点，且 (1)求证：是的切线； (2)若； ①求的长； ②求的长． 3．（2025·江苏南通·一模）如图，为的直径，是的切线，C为切点，，，垂足为D． (1)若，求的直径． (2)延长，相交于点F．若，求，，围成图形的面积． 4．（2025·江苏南通·一模）如图，是的直径，是的中点，过点作，垂足为点． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为2，求图中阴影部分的面积． 5．（2025·江苏苏州·一模）如图，△ABC内接于，为边的高，为的直径交于点F，连接． (1)求证：； (2)当直径平分时，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求的长． 6．（2025·江苏苏州·一模）如图，△ABC内接于，点D在上（点D不与点A重合），点E在上，且四边形是菱形． (1)求证：； (2)若，求的直径长； (3)过点A作的切线交延长线于点F，若，求证：点D是的黄金分割点． 7．（2025·江苏宿迁·一模）如图，为的直径，C，D为上不同于A，B 的两点，，连接， 过点C作，垂足为E，直径与的延长线相交于F点． (1)求证：是的切线； (2)当时，求的长． 8．（2025·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，点为轴上一点，交轴于点，点，交轴的正半轴于点，平分交于点，过点作于点，交轴于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 9．（2025·江苏苏州·一模）如图，△ABC中，D为上一点，，是的外接三角形，为的直径，连接． (1)求证：为的切线； (2)若的直径，，，求的长． 10．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，是直径，弦于点，过点作的切线，交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 题型八：解直角三角形与几何综合（高频考点） 1．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，点E，F分别在，上，，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，当的长为 时，四边形是菱形． 2．（2025·江苏扬州·一模）若点P在四边形内部，且点P到四边形的一条边的两个端点距离相等时，称点P为该边的“等距点”．例如：如图1，点P在四边形内部，且，则称点P为边的“等距点”． (1)如图1，四边形中，于点P，，求证：点P是边BC的“等距点”． (2)如图2，点P是矩形边的“等距点”，，． ①当时，请求出的值； ②设、分别为α、β，试求的最大值． (3)当四边形满足 时，该四边形的四条边的“等距点”交于一点． 3．（2025·江苏常州·一模）如图，在△ABC和中，，，，．点是边上一点（与点不重合），且，交于点，交的延长交于点． (1)与有怎样的大小关系？说明理由； (2)若，求的长； (3)若是等腰三角形，求的长． 4．（2025·江苏南通·模拟预测）菱形中，，，点为边上一个动点（不与点、重合），把沿直线折叠，与对应． (1)请用无刻度直尺和圆规在图中作出（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若点在的延长线上，求的长； (3)当与菱形的边垂直时，求的长． 5．（2025·江苏盐城·一模）如图1，是大家非常熟悉的“一线三直角模型”，受到这模型的启发，我们研究如下问题：如图2，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E，连接并延长交的延长线于点F， (1)若，求线段的长； (2)在（1）的条件下，连接交于点N，求的值； (3)在（1）的条件下，在直线上找点P，使，直接写出线段的长度． 6．（2025·江苏连云港·一模）如图，菱形中，，点是边上的点，，，点是上的一点，是以点为直角顶点，为角的直角三角形，连结，当点在直线上运动时，求线段的最小值？ 7．（2025·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，，，点E为边上一定点，且，点F、P分别是、边上的一点，且，将沿直线翻折得到，点E的对应点为，线段与相交于点Q，设，． (1)当点与点A重合时，求的长； (2)求的值； (3)求y与x的函数关系式． 8．（2025·江苏连云港·一模）如图，在边长为6的等边△ABC中，点D在边上，，线段在边上运动，， (1)求四边形面积的最大值？ (2)求四边形周长的最小值？ 9．（2025·江苏无锡·一模）在中，，E是边上一点，将沿着翻折到， (1)如图1，若E、F、D三点共线， ①求证：； ②若，，求的长． (2)如图2，若，点E是中点，，求的面积． 题型九：解直角三角形的实际应用（高频考点） 1．（2025·江苏宿迁·一模）如图截面所示，太阳光透过墙壁上的窗户照射进房间，恰好落在斜放于地面的木板面处，小明测得此时阳光与地面的夹角为，木板与地面的夹角，，，请你求出窗户顶端到地面的距离（精确到）． （参考数据：，，，） 2．（2025·江苏南京·模拟预测）如图①，是两座垂直于同一水平地面且高度不同的铁塔．小明和小丽为了测量两座铁塔的高度，从地面上的点处测得铁塔顶端的仰角为，铁塔顶端的仰角为，沿着向前走20米到达点处，测得铁塔顶端的仰角为．已知，点构成的中，． (1)图②是图①中的一部分，求铁塔的高度； (2)小明说，在点处只要再测量，通过计算即可求出铁塔的高度，若记为，则铁塔的高度是 ．（用含的式子表示）（参考数据：，，，） 3．（2025·江苏南京·一模）立竿见影． 如图①，在平地上竖立一根直竿，太阳每天东升西落，直竿在阳光下的影子随之变化．研究表明，南京地区的影端轨迹（直竿影子顶端的轨迹）在春分日、秋分日是正东西向的直线，在其它时候是双曲线的一支，日期与轨迹形状的对应情况如图②所示．在老师指导下，鼓楼区的几位同学在学校进行了如下探索． (1)某一天甲同学在操场上观测到竿影顶端的3处标记点，位置如图①所示，则他的这次观测大约在__________季节．（填“春夏”或“秋冬”） (2)月日，乙同学从到每隔标记一次影端的位置． ①当天的影端轨迹最接近图②中的哪条线？ ②他选用了两处标记点确定出正东西方向，请指出他确定方向的方案和道理． (3)如图③，丙同学在实验室中用灯光模拟出“在春分日，直竿的影端轨迹为正东西向的直线”，丁同学提出：在地平面上放置一个三棱柱形状的木斜坡，其下沿紧挨着竿底且指向北偏西方向（俯视图如图④所示），影端轨迹有何变化？ ①在图④中用粗线画出落在坡面上的影端轨迹； ②已知到直线的距离为，斜坡坡角为，春分日正午时分太阳光线与地平面的夹角约为，此时影端落在斜坡上的处，求到地平面的距离（精确到）． （参考数据：，．） 4．（2025·江苏苏州·一模）如图，某型号订书机的主要部件托板与手柄的长度相等，均为，其中托板分为弹簧，长为的推动器和书钉三段，连杆的一端通过销子与手柄相连，另一端可在段滑动，当托板与手柄的夹角张开到一定大小时，连杆勾住推动器的一端并随着的增大拉动推动器向销子方向移动．现测得销子，之间的距离为，连杆与推动器的长度之和等于销子到手柄端点的距离． (1)如图①，当连杆勾住点时，若，求此时书钉的长度（结果精确到，参考数据：，）； (2)如图②，已知一条新书钉的长度为，当装好一条新书钉且连杆勾住点时，求． 5．（2025·江苏南京·一模）如图，小明乘高铁从南向北匀速行驶，速度为．小明在处通过窗口看到远处两棵树（记为和），此时在小明的北偏东方向，在小明的北偏东方向．后，小明到达处，此时和恰好都在自己的南偏东方向．求两棵树之间的距离．（参考数据：，．） 6．（2025·江苏无锡·二模）“花灯映月圆，万家共此时”．无锡元宵分会场每天吸引着大量市民前来观赏游玩．小新想用无人机测量花灯的高度（如图），将无人机垂直上升到距地面的点处，测得花灯底部端点的俯角为，再将无人机沿着与地面夹角方向飞行至点处，测得花灯顶部端点的仰角为，若点、、、、均在同一竖直平面内，求花灯的高度．（结果保留根号） 7．（2025·江苏泰州·一模）工人师傅借助六步梯更换灯泡．如图，已知六步梯相邻踏脚点之间的距离为，即（踏板的厚度忽略不计），完全展开时梯子与地面的夹角为．当工人师傅站立在第二块踏板上时，刚好能摸到灯泡，此时人与梯子的夹角为．已知工人师傅的身体在一条直线上，且脚底到指尖的距离长为，垂直于地面，垂足为点，求灯泡到地面的高度．（参考数据：，，，，，，结果精确到） 8．（2025·江苏苏州·一模）苏州北寺塔，又称报恩寺塔，位于江苏省苏州市姑苏区人民路1918号，是一座九级八面砖身木檐混合结构的古塔．这座塔高76米，不仅是苏州古城的最高建筑，也是中国2000多座楼阁式宝塔中的典型代表．如图，北寺塔前有一座高为的5层楼房，点为连线上一点．某项目式学习小组在处测得塔顶部的仰角为，在楼房处测得塔顶部的仰角为，测得C处俯角也为． (1)求； (2)求楼房的高度(结果保留根号)． 9．（2025·江苏宿迁·二模）春节期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶600米高的山峰，由山底处先步行200米到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处．已知点，在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为． (1)求登山缆车上升的高度； (2)若步行速度为每分钟20米，登山缆车的速度为每分钟50米，求从山底处到达山顶处大约需要多少分钟？（换乘登山缆车的时间忽略不计，结果精确到0.1）（参考数据：） 10．（2025·江苏苏州·一模）中国古代运用“土圭之法”判别四季．如图1的圭表所示，夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．如图2，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长10尺．在某地夏至日正午时分，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在该地冬至日正午时分，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，，求春分和秋分时日影的长度（结果精确到0.1尺）．（参考数据：，，，，，） 11．（2025·江苏淮安·一模）在学校组织的实践活动中，初三3班数学兴趣小组决定利用所学知识测量文通塔的高度，如图，小明同学先在运河边的处放置好测倾器，测得塔尖的仰角为，接下来向前走之后到达处，测得此时塔尖的仰角为，已知测倾器的高度为，点，，在同一直线上，求文通塔的高度（结果精确到，参考数据：，，，） 题型十：解直角三角形中研究问题（高频考点） 1．（2025·江苏苏州·一模）如图1，已知正方形边长为，点、点分别是边，上的动点，且，连接，过点作交边于点，连接，设． (1)猜想的形状并证明； 取中点，连接，则 ；的面积 ；（用含的代数式表示） (2)如图，在上方作等边，，分别交边于点，，且点始终处在两平行直线，之间的区域内， 直接写出的范围 ； 计算的值．（结果用含的代数式表示） 2．（2025·江苏南通·一模）综合与探究 问题情境： 矩形中，，的平分线交于点E．将绕点顺时针旋转，得到点A，B的对应点分别为点F，G（点G与点B不重合）． 深入探究： (1)如图1，当点F在边上时，求证：； (2)如图2，当点G在线段上时，连接，，求四边形的面积； (3)当点G在矩形的对角线上时，连接，直接写出的长． 3．（2025·江苏淮安·一模）【问题发现】（1）如图1，矩形中，，，点是矩形内一点，过点作，分别交，于点，，，．则： ①________； ②与的关系是________； 【类比探究】（2）如图2，点是矩形外一点，过点作，分别交，反向延长线于点，②中结论还成立吗？若成立，请说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，是外一点，，，，求的最小值． 4．（2025·江苏南京·一模）如何设置挡板？ 如图①，点在直线上，现有一台粒子发射器在处向外连续发射粒子，发射的粒子沿抛物线运动，这些抛物线的开口方向和大小都与相同，发射出的粒子最终落在上．若在直线上的点处有一块挡板，，，由于挡板的遮挡，使得直线上存在粒子未能落到的一段线段，该线段的长记为．（粒子的反弹忽略不计） 【初步体验】 （1）如图②，若，，则_________． 【数学思考】 （2）如图③，若，，建立适当的平面直角坐标系，求的值． 【问题解决】 （3）如图，是直线上一点，是的中点，现要使发射的粒子能覆盖段的每一处，且落不到段．在满足上述要求的所有挡板位置中： （Ⅰ）直接写出最小时的的值； （Ⅱ）直接写出挡板的长的最小值． 5．（2025·江苏连云港·一模）【概念感知】 定义：我们将一组邻边相等且其中一边邻角（不是这组邻边的夹角）为直角的凸四边形称为单直邻等四边形．（凸四边形是指所有内角均小于 的四边形） 例如：如图1，在四边形中，如果 ，那么四边形为单直邻等四边形． 【初步理解】 （1） 如图2， △ABC为等边三角形，点E在的角平分线上，连接，将绕点E顺时针旋转得到线段，连接． 求证：四边形为单直邻等四边形； 【拓展应用】 （2）如图3，四边形为单直邻等四边形，，连接，若 ，作 且 ，连接并延长交于点F，交于点M． 求的长； 【解决问题】 （3） 如图4， 射线于点C，点A 在射线上， 点B在射线上，且四边形为单直邻等四边形， 的角平分线交于点 P，请直接写出 的长 ． 6．（2025·江苏南京·一模）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知，是△ABC的外接圆，点D在上（），连接． 【特殊化感知】（1）如图1，若，点D在延长线上，则与的数量关系为　　　； 【一般化探究】（2）如图2，若，点C、D在同侧，判断与的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】（3）若，直接写出满足的数量关系．（用含α的式子表示） 7．（2025·江苏泰州·一模）综合与实践：图形的旋转． 在矩形中，点为对角线的中点，连接，点在上，，线段的延长线交于点．将图1中的绕点顺时针旋转，设点，的对应点分别为，． 【初步探究】 （1）与的数量关系是______； 【尝试解决】 （2）如图2，当点落在的延长线上时，连接，判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展提升】 （3）已知，，求直线与直线垂直时的值． 8．（2025·江苏淮安·一模）综合与实践 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段进行了深入研究，并提出了以下问题： 【问题初探】 （1）如图1，在正方形中，点分别在边上，且，则线段与之间的关系是______． （2）如图2，在矩形中，，点是上的动点，连接，过点作于点，交于．问题：当为中点时，求的长度． 【类比探究】 （3）如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作交的延长线于点，交的延长线于点． 问题：若，且，求的长度． 【拓展延伸】 （4）如图4，在△ABC中，，点是上一动点，将沿翻折，使点落在点处，连接．问题： ①当时，求的长度； ②当最小时，的面积为______． 9．（2025·江苏苏州·一模）如图1，已知正方形边长为，点、点分别是边，上的动点，且，连接，过点作交边于点，连接，设． (1)猜想的形状并证明； 取中点，连接，则 ；的面积 ；（用含的代数式表示） (2)如图，在上方作等边，，分别交边于点，，且点始终处在两平行直线，之间的区域内， 直接写出的范围 ； 计算的值．（结果用含的代数式表示） 10．（2025·江苏南通·一模）综合与探究 问题情境： 矩形中，，的平分线交于点E．将绕点顺时针旋转，得到点A，B的对应点分别为点F，G（点G与点B不重合）． 深入探究： (1)如图1，当点F在边上时，求证：； (2)如图2，当点G在线段上时，连接，，求四边形的面积； (3)当点G在矩形的对角线上时，连接，直接写出的长． 11．（2025·江苏淮安·一模）【问题发现】（1）如图1，矩形中，，，点是矩形内一点，过点作，分别交，于点，，，．则： ①________； ②与的关系是________； 【类比探究】（2）如图2，点是矩形外一点，过点作，分别交，反向延长线于点，②中结论还成立吗？若成立，请说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，是外一点，，，，求的最小值． 12．（2025·江苏南京·一模）如何设置挡板？ 如图①，点在直线上，现有一台粒子发射器在处向外连续发射粒子，发射的粒子沿抛物线运动，这些抛物线的开口方向和大小都与相同，发射出的粒子最终落在上．若在直线上的点处有一块挡板，，，由于挡板的遮挡，使得直线上存在粒子未能落到的一段线段，该线段的长记为．（粒子的反弹忽略不计） 【初步体验】 （1）如图②，若，，则_________． 【数学思考】 （2）如图③，若，，建立适当的平面直角坐标系，求的值． 【问题解决】 （3）如图，是直线上一点，是的中点，现要使发射的粒子能覆盖段的每一处，且落不到段．在满足上述要求的所有挡板位置中： （Ⅰ）直接写出最小时的的值； （Ⅱ）直接写出挡板的长的最小值． 13．（2025·江苏连云港·一模）【概念感知】 定义：我们将一组邻边相等且其中一边邻角（不是这组邻边的夹角）为直角的凸四边形称为单直邻等四边形．（凸四边形是指所有内角均小于 的四边形） 例如：如图1，在四边形中，如果 ，那么四边形为单直邻等四边形． 【初步理解】 （1） 如图2， △ABC为等边三角形，点E在的角平分线上，连接，将绕点E顺时针旋转得到线段，连接． 求证：四边形为单直邻等四边形； 【拓展应用】 （2）如图3，四边形为单直邻等四边形，，连接，若 ，作 且 ，连接并延长交于点F，交于点M． 求的长； 【解决问题】 （3） 如图4， 射线于点C，点A 在射线上， 点B在射线上，且四边形为单直邻等四边形， 的角平分线交于点 P，请直接写出 的长 ． 14．（2025·江苏南京·一模）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知，是△ABC的外接圆，点D在上（），连接． 【特殊化感知】（1）如图1，若，点D在延长线上，则与的数量关系为　　　； 【一般化探究】（2）如图2，若，点C、D在同侧，判断与的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】（3）若，直接写出满足的数量关系．（用含α的式子表示） 15．（2025·江苏泰州·一模）综合与实践：图形的旋转． 在矩形中，点为对角线的中点，连接，点在上，，线段的延长线交于点．将图1中的绕点顺时针旋转，设点，的对应点分别为，． 【初步探究】 （1）与的数量关系是______； 【尝试解决】 （2）如图2，当点落在的延长线上时，连接，判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展提升】 （3）已知，，求直线与直线垂直时的值． 16．（2025·江苏淮安·一模）综合与实践 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段进行了深入研究，并提出了以下问题： 【问题初探】 （1）如图1，在正方形中，点分别在边上，且，则线段与之间的关系是______． （2）如图2，在矩形中，，点是上的动点，连接，过点作于点，交于．问题：当为中点时，求的长度． 【类比探究】 （3）如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作交的延长线于点，交的延长线于点． 问题：若，且，求的长度． 【拓展延伸】 （4）如图4，在△ABC中，，点是上一动点，将沿翻折，使点落在点处，连接．问题： ①当时，求的长度； ②当最小时，的面积为______． 1 / 199 学科网（北京）股份有限公司 $$