海南省2024-2025学年高三学业水平诊断（五）数学试题

海南省 2024-2025 学年高三学业水平诊断(五) 数 学试卷 考生注意: 1. 答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上,并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑. 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 回答非选择题时,将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效. 3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知集合 ,则 （ ） A. B. C. D. 2. 椭圆 的焦距为（ ） A. B. C. D. 3. 某公司制订了一个为期一年的增产计划,每月产量都比上个月多 箱,已知第 3 个月的产量为 46 箱,前 7 个月的总产量为 378 箱,则第 1 个月的产量为（ ） A. 36 箱 B. 34 箱 C. 32 箱 D. 30 箱 4. 的展开式中常数项为（ ） A. -28 B. 28 C. -56 D. 56 5. 先将函数 的图象向右平移 个最小正周期,再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 的图象,则 （ ） A. B. C. D. 6. 已知 是定义在 上的奇函数,且当 时, ,则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知 ,则 （ ） A. B. C. D. 8. 若不等式 对任意 恒成立,则实数 的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题 目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 已知复数 ,则（ ） A. 在复平面内对应的点在第二象限 B. C. D. 的虚部为 10. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,且 , 过点 且垂直于 轴的直线交 于 两点,直线 ( 为坐标原点) 交 于另一点 , 且 ,则下列结论正确的是（ ） A. B. 的离心率为 3 C. 若 的面积为 12,则 的虚轴长为 D. 若 成等差数列,则 的方程为 11. 以两条异面直线中的一条为轴, 另一条绕其旋转一周所得曲面为单叶双曲面, 单叶双曲面的轴截面是双曲线. 棱长为 1 的正方体 绕直线 旋转一周得到旋转体 (不考虑重叠),如图, 的中间部分为单叶双曲面围成的几何体 ,则（ ） A. 的高为 (高指上、下底面之间的距离) B. 的侧面积小于 C. 的体积小于 D. 的水平截面的面积的最小值为 三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 已知变量 和 的统计数据如下表. 1 2 3 4 5 4 6 7 8 若 线性相关,且经验回归方程为 ,则 _____. 13. 已知函数 在 上单调递增,则实数 的取值范围是_____. 14. 已知 的外接圆圆心为 ,且 ,则 的最小值为_____. 四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13 分) 记数列 的前 项和为 ,已知 . (I) 求 的通项公式； (II) 求数列 的前 项和 . 16.(15 分) 如图,在四棱柱 中,底面 为矩形,平面 平面 分别为 的中点. (I)证明: 平面 ; (II)求平面 与平面 的夹角的余弦值. 17.(15 分) 已知函数 . (I) 当 时,求 的极值; (II) 若 在区间(2,4)上有且仅有一个零点,求实数 的取值范围. 18.(17分) 甲公司设计的健身 APP 可以帮助用户制订健身计划, 用户按使用频率可分为 “活跃用户” 和“普通用户”,根据统计数据,活跃用户有 能完成健身计划,普通用户仅 能完成健身计划. 记活跃用户与普通用户的人数比值为 . (I)若从所有用户中随机抽取 1 人,求该用户是活跃用户的概率；(用 表示) ( II ) 若 ,从未完成健身计划的用户中随机抽取 1 人,求该用户是普通用户的概率; (III) 甲公司从每个完成健身计划的用户处可获得 50 元收益, 从每个未完成健身计划的用户处可获得 10 元收益,对每个活跃用户要承担 元维护成本. 对每个普通用户要承担 元维护成本,设一个用户给甲公司带来的净利润 (净利润 收益 - 维护成本) 为 元,当 满足什么关系时, 的数学期望与 无关? 19.(17分) 已知抛物线 与圆 没有公共点,过 上一动点 作圆 的两条切线,切点分别为 . (I)求实数 的取值范围. (II) 若 ,求 的最小值. (III) 设直线 分别交 于另一点 ,是否存在实数 ,使得当点 在 上运动时,直线 总与圆 相切? 若存在,请求出 的值; 若不存在,请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 海南省 2024-2025 学年高三学业水平诊断(五) 数学・答案 一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1. 答案 命题透析 本题考查集合的运算. 解析 . 2. 答案 B 命题透析 本题考查椭圆的定义. 解析 椭圆的焦距为 . 3. 答案 D 命题透析 本题考查等差数列的基本量的计算. 解析 设第 个月的产量为 箱,因为每月增加的产量为 箱, ,所以 ,所以 . 4. 答案 B 命题透析 本题考查二项式定理. 解析 由题可知,展开式的通项为 ,由 ,得 ,所以常数项为 . 5. 答案 A 命题透析 本题考查三角函数图象的变换. 解析 由题可知 的最小正周期为 ,先将 的图象向右平移 个单位长度,得到 的图象,再将所有点的横坐标变为原来的 2 倍得到 的图象. 6. 答案 命题透析 本题考查函数的图象与性质. 解析 由题意知 ,作出 的大致图象如图所示,由 可得 ,由 可得 ,所以原不等式的解集为 . 7. 答案 D 命题透析 本题考查三角恒等变换. 解析 因为 ,所以 ,即 ①,因为 ,所以 ②,由①②可得 ,所以 ,则 8. 答案 C 命题透析 本题考查利用导数研究函数的性质. 解析 由 ,整理得 ,分两种情况: ①当 时, 和 恒成立,即 恒成立,设 ,则 ,可得 在 上单调递增,又 在 上单调递增,所以 且 ,得 . ②函数 与 在 上有相同的变号零点,令 ,得 ,解得 ,经检验,符合题意. 综上, 的最大值是 . 二、多项选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 每小题全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的 得 0 分. 9. 答案 命题透析 本题考查复数的运算及几何意义. 解析 对于 在复平面内对应的点(2, - 1)在第四象限,故 错误; 对于 ,因为 ,所以 ,故 正确; 对于 ,故 正确; 对于 ,因为 ,所以 的虚部为 ,故 错误. 10. 答案 命题透析 本题考查双曲线的几何性质及直线与双曲线的位置关系. 解析 对于 ,如图,由双曲线的对称性可知点 关于点 对称,点 关于 轴对称,因为 ,所以 ,故 正确; 对于 ,令 ,代入双曲线的方程可得 ,由 ,得 ,所以 ,即 ,解得 (负值舍去),故 错误； 对于 ,由前面的分析知 ,所以 ,得 ,则 的虚轴长为 , 故 C 正确; 对于 ,由 可知 ,则 ,因为 成等差数列,所以 ,即 ,解得 ,所以 ,则 的方程为 ,故 D 正确. 11. 答案 命题透析 本题考查新定义及立体几何综合问题. 解析 对于 ,由题可知点 到平面 的距离为 ,即 中上、下两个圆锥的高均为 ,所以 的高为 ,故 正确; 对于 ,由题可知正方体 的顶点 到直线 的距离为 ,因为底面半径为 ,高为 的圆柱的侧面积为 ,显然 的侧面积大于 ,故 B 错误; 对于 ,由 可知圆锥的底面半径为 ,所以 的体积小于两个圆锥和一个底面半径为 、高为 的圆柱的体积之和,即小于 ,故 正确; 对于 ,由题可知水平截面是圆,且圆的半径最小为异面直线 与 之间的距离,因为异面直线 与 的公垂线段的长度为 ,所以水平截面面积的最小值为 ,故 D 错误. 三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 答案 7 命题透析 本题考查线性回归. 解析 由表中数据可得 ,将 代入经验回归方程,可得 ,得 , 所以 . 13. 答案 命题透析 本题考查函数的单调性. 解析 令 ,因为 在 上单调递增,所以 在 上单调递减,且 ,所以 解得 . 14. 答案 命题透析 本题考查余弦定理及基本不等式的应用. 解析 设 的内角 的对边分别为 . 取 的中点 ,连接 ,则 . 因为 ,又 ,所以 ,同理可得 . 因为 . ,所以 ,整理得 . 由余弦定理得 ,当且仅当 时等号成立. 四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 命题透析 本题考查数列的通项公式及错位相减法求前 项和. 解析 (I) 因为 , 所以 , 两式相减,得 ,即 . (3 分) 又因为 ,所以 , (4 分) 所以 是以 3 为首项,3 为公比的等比数列, 故 . (6 分) ( II ) 由 ( I ) 得 . (7 分) 所以 , 则 , (9 分) 所以 , (12 分) 所以 . (13 分) 16. 命题透析 本题考查线面垂直的证明及空间向量在立体几何中的应用. 解析 (I) 如图,连接 . 因为 ,所以 ,又 ,所以 是等边三角形. (1 分) 因为 是 的中点,所以 . (2 分) 因为平面 平面 ,平面 平面 平面 , 所以 平面 . (5 分) (II)如图,取 的中点 ,连接 ,由已知可得 两两互相垂直. (6 分) 以 为原点, 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 设 ,则 , 所以 . (9 分) 设平面 的法向量为 , 则 令 ,得 . (11 分) 易知 是平面 的一个法向量. (12 分) 设平面 与平面 的夹角为 , 则 , 即平面 与平面 的夹角的余弦值为 . (15 分) 17. 命题透析 本题考查利用导数研究函数的性质. 解析 (I) 当 时, ,其定义域为 , (1 分) 则 , (3 分) 令 ,得 , 当 时, , 单调递减,当 时, , 单调递增, 所以 的极小值为 ,无极大值. (6 分) (II) 方法一: 由 ,得 . (7 分) 设 ,易知 在区间(2,4)上单调递增,且 . (8 分) 当 时,在区间(2,4)上, 在区间(2,4)上单调递增, 则 在区间(2,4)上没有零点. (10 分) 当 ,即 时,在区间(2,4)上, 在区间(2,4)上单调递减, 则 在区间(2,4)上没有零点. (12 分) 当 时, , 则存在 ,使得 , 当 时, 单调递减, 当 时, 单调递增, 因为 ,所以要使 有零点, 需满足 ,即 . 综上可得,实数 的取值范围是 . (15 分) 方法二: 因为 ,所以 . 由 ,可得 . (8 分) 令 ,则 , (10 分) 因为 ,所以 , 令 ,则 , 当 时, 恒成立,所以 在区间(2,4)上单调递减,则 , (12 分) 所以 在 时恒成立,则 在区间(2,4)上单调递减, 所以当 时, , 又当 趋向于 2 时, 趋向于 0, 所以,当 在区间(2,4)上有且仅有一个零点时,实数 的取值范围是 . (15 分) 18. 命题透析 本题考查概率的计算及随机变量的数学期望. 解析 (I) 所求概率为 . (2 分) ( II ) 随机抽取 1 名用户,设事件 “该用户未完成健身计划” 为 ,事件 “该用户是普通用户” 为 , 则 , (4 分) (6 分) 故所求概率为 . (8 分) (III) 设甲公司从一个用户处获得的收益为 元,则 的所有可能取值为 50,10, 由题可知 , (9 分) (10 分) 则 . (12 分) 设甲公司对一个用户承担的维护成本为 元, 由题可知 . (14 分) 所以 . (15 分) 要使 的值与 无关,则 ,即 , 所以当 时, 的数学期望与 无关. (17 分) 19. 命题透析 本题考查抛物线的方程与性质, 及直线与圆的位置关系. 解析 (I) 由已知得圆 的圆心为点(m,0),半径为 2, 当 时,易知 与圆 没有公共点; (1 分) 当 时,联立得 消去 ,得 , 令 ,解得 . (3 分) 故 的取值范围是 . (4 分) (II) 圆 的圆心为点 ,半径为 . 设 ,要使 最小,只需 最大,即 最大. 当 时, 取得最大值 , (7 分) 所以 的最小值为 . (8 分) (III) 假设存在实数 满足题意,则 . 如图,当 与坐标原点重合时,设切线 的方程分别为 , 则圆心 到直线 的距离为 ,解得 ①. (9 分) 将 代入抛物线的方程 ,得 ,则直线 , 由直线 和圆 相切,可得 ②, 由①②解得 (其余值均舍去). (11 分) 下面证明当 时,对于 上的任意一点 ,直线 总与圆 相切. 设 , 则直线 的方程为 ,即 , 同理得直线 ,直线 . (13 分) 由直线 与圆 相切,得 ,即 , 同理由直线 与圆 相切得 , 则 为方程 的两个不等实根, 所以 . (15 分) 点 到直线 的距离为 , 即直线 与圆 相切. 综上,存在 ,使得当 在 上运动时,直线 总与圆 相切. (17 分) 学科网（北京）股份有限公司 $$