河南省郑州外国语学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

郑外2024-2025学年高二下期期中考试试卷参考答案 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。） 1-4:CCDD 5-8:ACCB 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.） 9.BCD 10.ABD 11.ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.号13.是14.-2 四、解答题（本题共5小题，共77分.） 15.解：(1)依题意，c-25=C2,即=2a0解得n=8, 所以(1+2x)的展开式中二项式系数最大的项是第5项：C(2x)4=1120x4,…6分 (2)由(1)知，(1+2x)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+ag(x+2)8, 取x=-2,得a0=38=6561,取x=-1,得a0+=1a1=1, 所以∑9=1a4=1-a0=-6560, …13分 16.解：(1)选手甲在该次比赛得分数为40分有两种情况：进入高分组，答对2个问题： 进入低分组，答对4个问题故概率为： =c)目)+)c)=是 …6分 (2)X的可能取值有0,20,40,60,80， P(X=0=C()=器Px=20)=C4((周=器 PX=40)=c()(月=嘉，Px=60)=c(月月°=品 Px=80)=C)= 所以分布列为： X 0 20 40 60 80 81 108 54 12 1 P 256 256 256 256 256 所以E(X)=20×4×=20, …15分 17.解：(1)设直线k:y=2x+m与曲线y=f(x)=e2x的切点坐标为(xo,yo), 由于f'(x)=2e2x,则f'(x)=2e2xo=2, 试卷第1页，共5页 解得x0=0,y0=e2x0=1, 则切点坐标为(0,1) 直线k:y-1=2x,即y=2x+1. 邮， 得4x2+(4-a)x+1=0, 由△=(4-a)2-16=0,解得a=8或a=0(舍去)， 当a=8时，得x=子 符合题意， 所以a=8 …7分 (2)①当a<0时，则函数g(x)=Va的定义域为(-m,0] 由于f月=e<e°=1，g(月=ax=1, 则f(月)<g()不符合题意。 所以a<0不符合题意 ②当a>0时，则函数g(x)=Vax的定义域为[0，+m). 显然f(0)≥g(0) 当x>0时，f)≥g,得e“≥V应，即va≤层 令h)=后c>,则h'()= 2-e2立-2-e= 2xvx 当0<x<时，h'(x)<0,h(x)在(0，)上单调递减， 当x>时，(x)>0,hx)在（存，+∞）上单调递增。 则当x=时，h(x)取得最小值，其值为h(得=2V 则Va≤2We,即a≤4e. 综上所述，a的取值范围为(0,4e. …15分 18.解：(1)a有8数字、b有8数字可取，有放回地随机抽取两次（每次抽取1个球）， 共有8×8=64种取法，0M=(1,-1),0N=(a,b),MN=(a-1,b+1), 若oM.0N=0,则a-b=0,即a=b,符合条件的基本事件 (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(7,7),(8,8)有8种， 若0M.MN=0,则a-1-b-1=0,即a-b=2,符合条件的基本事件 (3,1),(4,2),(5,3),(6,4),(7,5),(8,6)有6种， 所以P()==品 …4分 试卷第2页，共5页 (2)直线OM的方程为x+y=0,设N点到直线OM的距离为d=la+, 因为0M=V2,所以SAMON=xV2×增=地≤5， 2 可得引a+b川≤10，符合条件的基本事件有 (1,1),(1,2),(13),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7).(1,8) (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(25).(2,6),(2,7),(2,8) (3,1).(3,2).(33).(3,4),(35),(3,6),(3,7), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1).(5,2).(5,3),(5,4),(5,5), (61),(6,2),(6,3),(6,4),(7,1),(7,2),(7,3),(8,1),(8,2), 共43个，P(B)=号 …10分 (3)α有8数字、b有8数字可取，有放回地随机抽取两次（每次抽取1个球）， 共有8×8=64种取法 设直线与直线OM垂直，且过原点，因为koM=一1，则直线：y=x 其64个点中，有8个落在直线y=x上，剩余56个点中，一半在直线y=x上方， 一半在直线y=x下方，要想∠MOW是锐角，则点N应在直线y=x下方， 其中满足要求的点有28个， 故LMON是锐角即P(C)-器= 与：y=x平行且过M点的直线方程为m:y=x-2, 若△MON是锐角三角形，则点N落在直线：y=x与直线m:y=x-2之间， 根据点的坐标特征，应在直线y=x-1上， 满足要求的点有(2,1)，(3,2)，(4,3)，(5,4)，(6,5)，(7,6)，(8,7)共7个， 所以P(CnD)= 所以P(D1c)=PC=乎= …17分 P(C) 16 试卷第3页，共5页 19.解：(1)f'()=+x-(a+1)=-a-, (x>0) 当a≤0时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+o)上单调递增： 当0<a<1时，令f'(x)>0可得x>1或0<x<a,令f'(x)<0可得a<x<1, 故f(x)在(0，a)和(1，+o∞)上单调递增，在(a,1)上单调递减： 当a=1时，f(x)在(0，+∞)上单调递增： 当a>1时，令f'(x)>0可得x>a或0<x<1,令f'(x)<0可得1<x<a, 故f(x)在(0,1)和(a,+o∞)上单调递增，在(1，a)上单调递减， …4分 (2)f'6)=+x-(a+1)=-a-,x>0), 当a≤2时，f'(x)>0在区间[2，e上恒成立，函数f(x)单调递增， 函数f(x)的最小值为f(2)=adn2+2-2(a+1)=aln2-2a, 当a≥e时，f'(x)<0在区间[2，e上恒成立，函数f(x)单调递减， 函数fe)的最小值为f回=a+号-ea+)=a-ea+号-e, 当2<a<e时，列表如下： (2,a) (a,e) f'(x)<0 + f(x) 单调递减 单调递增 函数f)的最小值为f(@)=alha+号-aa+)=alna a2 -a 综上可得： 当a≤2时，函数f(x)的最小值为f(2)=an2-2a, 当a之e时，函数f(x)的最小值为f(e)=a-ea+g -e, 当2<a<e时，函数f(x)的最小值为f(a)=alna- 2-a …10分 (3)当a≤1时，f'(x)==ax-卫， ①当0<a<1时，由(1）)知函数f(x)在(a,1)上单调递减，在(0，a),(1,+o∞)上单调递增， 又因为f(x)楼大值=f(a)=adna-a2-a<0,而x趋近正无穷时，fx)趋近正无穷， 故f(x)在(0，+∞)上只有一个零点： ②当a=1时，f)=x+号-2x, f(x)在(0，+∞)上单调递增，且连续不间断， 且f(1=-三<0，f(4)=1n4>0,故f(x)在(0，+∞)上只有-个零点. 试卷第4页，共5页 ③当a=0时，令f)=号-x=0解得x=2, 即f(x)在(0，+o)上只有一个零点， ④当a<0时，令f'(x)>0可得x>1,令f'(x)<0可得0<x<1, 所以函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+o∞)上单调递增， 当x趋近正无穷时，f(x)趋近正无穷，当x趋近0时，f(x)趋近正无穷， 若f(1)=-a->0,即a<-时，f(x)在(0，+o)上无零点. 若f(①=-a-=0,即a=-时，f)在(0，+∞)上只有一个零点， 若f()=-a-<0,即-号<a<0时，f)在(0，+m)上有两个零点， 综上：当a<-时，函数f)无零点， 当a=-或0≤a≤1时，函数f(x)的零点个数为1， 当-<a<0时，函数f(x)的零点个数为2. …17分 试卷第5页，共5页试卷第 1 页，共 4 页 郑州外国语学校 2024-2025 学年高二下期期中考试试卷 数 学 （120分钟 150分） 一、单选题（本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1．函数𝑓(𝑥) = 3𝑥 + ln2的导数为（ ） A．3𝑥ln3 + 1 2 B．3𝑥 + 1 2 C．3𝑥ln3 D． 3𝑥 ln3 2．已知随机变量𝜉服从正态分布𝑁(4, 𝜎2)，若𝑃(2 < 𝜉 < 6) = 3𝑝，𝑃(𝜉 ≤ 6) = 4𝑝，则 𝑝 =（ ） A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1 3．(𝑥 + 1 𝑥 ) (1 − 2𝑥)4的展开式中𝑥2的系数为（ ） A．24 B．−24 C．−36 D．−40 4．某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清 明”“谷雨”“立夏”七张知识展板放置在七个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两 块展板相邻．且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（ ） A．265 B．320 C．480 D．960 5．若函数𝑓(𝑥) = e𝑥+𝑚 − ln𝑥在(1, +∞)上单调递增，则实数𝑚的取值范围是（ ） A． 𝑚 ≥ −1 B．𝑚 > −1 C．𝑚 ≥ 0 D．−1 ≤ 𝑚 < 0 6．定义在(0, π 2 )上的函数𝑓(𝑥)，𝑓′(𝑥)是𝑓(𝑥)的导函数，且𝑓′(𝑥) < −tan𝑥 ⋅ 𝑓(𝑥)恒成立， 则（ ） A．𝑓 ( π 6 ) > √2𝑓 ( π 4 ) B．√3𝑓 ( π 6 ) > 𝑓 ( π 3 ) C． 𝑓 ( π 6 ) > √3𝑓 ( π 3 ) D．√2𝑓 ( π 6 ) < √3𝑓 ( π 4 ) 7．设𝐴, 𝐵, 𝐶为一个随机试验中的三个事件且概率均不为 0，则𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐵)的充要条 件是（ ） A．𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) B．𝑃(𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑃(𝐴 ∪ 𝐶) C．𝑃(𝐴?̅?) = 𝑃(?̅?𝐵) D．𝑃(𝐴𝐶) = 𝑃(𝐵𝐶) 试卷第 2 页，共 4 页 8．如图，这是一张圆形纸片，其半径𝑅 = 2√3，剪掉周围的白色部分，将阴影部分折 起，使得点𝑃𝑖（𝑖 =1，2，…，6）重合于点 P，得到正六棱锥𝑃 − 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹，则该六棱 锥体积的最大值是（ ） A． 384√5 125 B． 192√5 125 C． 192√5 25 D． 96√5 25 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求的．全部选对的得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分） 9．若𝑘 ∈ Z，则函数𝑓(𝑥) = 𝑥𝑘e𝑥的函数图象可能是（ ） A． B． C． D． 10．甲、乙、丙、丁、戊 5 名大学生参加 2024 年郑开马拉松志愿者服务活动，有赛 道补给、路线引导、物品发放、兴奋剂检测四项工作可以安排，则以下说法正确的是 （ ） A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为45 B．若每项工作至少有 1 人参加，则不同的方法数为 240 试卷第 3 页，共 4 页 C．如果兴奋剂检测工作不安排，其余三项工作至少安排 1 人，则这 5 名同学全部 被安排的不同方法数为300 D．每项工作至少有 1 人参加，甲乙不会兴奋剂检测，但能从事其他三项工作，丙、 丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是126 11．已知函数𝑓(𝑥) = 4𝑥3 − 6𝑥2 + (2 − 𝑎)𝑥 + 2𝑏，则下列结论正确的是（） A．当𝑎 = 2时，若𝑓(𝑥)有三个零点，则𝑏的取值范围是（0，1） B．当𝑎 = 2且𝑥 ∈ (0,1)时，𝑓(cos𝑥) < 𝑓(cos2𝑥) C．∀𝑥 ∈ 𝑅，𝑓(𝑥) + 𝑓(1 − 𝑥) = 2𝑏 − 𝑎 2 D．若𝑓(𝑥)存在极值点𝑥0，且𝑓(𝑥0) = 𝑓(𝑥1)，其中𝑥0 ≠ 𝑥1，则2𝑥0 + 𝑥1 = 3 2 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．） 12．已知书架的第一层随机摆放了 1 本语文书，2 本不同的数学书，3 本不同的英语 书.现从中不放回地依次抽取 2 本书，则在已经确定其中一本抽取的是语文书的条件下， 第二本抽取的是数学书的概率为 ． 13．某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红 球与绿球的概率都是 1 2 ，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、 绿球的概率分别为 1 3 ,  2 3 ，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为 3 5 ,  2 5 ， 记第𝑛(𝑛 ≥ 1, 𝑛 ∈ N)次按下按钮后出现红球的概率为𝑃𝑛，则 𝑃4−𝑃5 19𝑃4−9 = ． 14．已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎𝑛+1 = e 𝑎𝑛−1(𝑛 ∈ 𝑁∗)，𝑎2 + 𝑎3 = 3𝑥0，其中𝑥0为函数𝑦 = e 𝑥−1 − 𝑥2(𝑥 > 1)的极值点，则𝑎1 + 𝑎2 − 𝑎3 = . 四、解答题（本题共 5小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分 13 分）已知二项式(1 + 2𝑥)𝑛的展开式中第 6 项和第 7 项的系数．．相等． (1)求展开式中二项式系数．．．．．最大的项； (2)若(1 + 2𝑥)𝑛 = 𝑎0 + 𝑎1(𝑥 + 2) + 𝑎2(𝑥 + 2) 2 + ⋯+ 𝑎𝑛(𝑥 + 2) 𝑛，求∑ 𝑎𝑖 𝑛 𝑖=1 的值． 16．（本小题满分 15 分）为宣扬中国文化，某校组织古诗词知识比赛.比赛分为两阶段， 试卷第 4 页，共 4 页 第一阶段为基础知识问答，每位选手都需要回答 3 个问题，答对其中至少 2 个问题， 进入第二阶段，否则被淘汰；第二阶段分高分组和低分组，第一阶段 3 个问题都答对 的选手进入高分组，共回答 4 个问题，每答对一个得 20 分，答错不得分；第一阶段 答对 2 个问题的选手进入低分组，共回答 4 个问题，每答对一个得 10 分，答错不得 分.第一阶段，每个问题选手甲答对的概率都是 2 3 ；第二阶段，若选手甲进入高分组， 每个问题答对的概率都是 1 4 ，若选手甲进入低分组，每个问题答对的概率都是 1 2 . (1)求选手甲在该次比赛得分数为 40 分的概率； (2)已知该次比赛选手甲进入了高分组，记选手甲在该次比赛中得分数为𝑋，求随机变 量𝑋的分布列和期望值. 17．（本小题满分 15 分）已知函数𝑓(𝑥) = e2𝑥, 𝑔(𝑥) = √𝑎𝑥（𝑎 ∈ 𝑅，且𝑎 ≠ 0）. (1)若𝑎 > 0，直线𝑙: 𝑦 = 2𝑥 + 𝑚与曲线𝑦 = 𝑓(𝑥)和曲线𝑦 = 𝑔(𝑥)都相切，求𝑎的值； (2)若𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥)，求𝑎的取值范围. 18．（本小题满分 17 分）已知不透明的盒子中有 8 个相同的乒乓球，球上标有数字 1， 2，3，…，8，有放回地随机抽取两次（每次抽取 1 个球），记下球上的数字𝑎，𝑏，原 点𝑂(0,0)和点𝑀(1,−1)，点𝑁(𝑎, 𝑏)． (1)记事件𝐴:𝑂𝑀⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⋅ 𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0或𝑂𝑀⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⋅ 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 0．求事件𝐴发生的概率𝑃(𝐴)． (2)记事件𝐵:△ 𝑀𝑂𝑁的面积不大于 5．求事件𝐵发生的概率𝑃(𝐵)． (3)记事件𝐶: ∠𝑀𝑂𝑁是锐角．事件𝐷:△ 𝑀𝑂𝑁是锐角三角形．求在事件𝐶发生的条件下事 件𝐷发生的概率𝑃(𝐷|𝐶 )． 19．（本小题满分 17 分）已知函数𝑓(𝑥) = 𝑎ln𝑥 + 𝑥2 2 − (𝑎 + 1)𝑥，𝑎 ∈ 𝑅. (1)讨论𝑓(𝑥)的单调性； (2)求函数𝑓(𝑥)在区间[2, e]上的最小值； (3)当𝑎 ≤ 1时，判断函数𝑓(𝑥)的零点个数.