4.2.1指数函数的概念课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.2.1指数函数的概念 高 一 数 学 组 *** 一、学习目标 （1）通过研究旅游人次变化和碳14衰减变化的过程，进一步体会指数函数概念的抽象过程，发展数学抽象和数学建模素养； （2）掌握指数函数的概念，经历用指数函数概念解决简单数学问题和实际问题，提升学生的数学运算，逻辑推理、数学建模素养； （3）了解增长率，衰减率的概念，进一步理解指数增长和指数衰减的概念。 教学重、难点 由不同的情境通过数量和数量关系抽象出指数函数概念。 二、学习重点与难点 随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式．由于旅游人数不断增加，Ａ，Ｂ两地景区自2011年起采取了不同的应对措施，Ａ地提高了景区门票价格，而Ｂ地则取消了景区门票． 问题探究 下表给出了Ａ，Ｂ两地景区2011年至2015年的游客人次以及逐年增加量． 问题1： 比较两地景区游客人数的变化，你发现里怎样的变化规律？ 问题2： 为了更直观的观察规律，能用数学方法描述这种变化规律吗？ 问题3： 观察图象与表格，A地景区的游客人次近似于直线上升（线性增长），你能用数量关系解释这一直观现象吗？B地景区的游客人次是非线性增长的，它又该用什么数量关系解释这一直观现象？ 问题4：问题1数据处理我们发现，B地景区数据的增加量不像A地景区数据的增加量那样大致相等，而是越变越大。这仍然是定性刻画，要定量刻画变化规律，就需要找到与A地景区数据中类似的常数（增加量），你能找到B地景区数据中这个不变量吗？ 问题5： 变量y的增长率为p，经过时间为x,若y的原始值为1，你能建立y与x之间的函数模型吗？ 问题6：当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），若衰减率为p，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，你能表示死亡生物体内碳14含量y与死亡年数x之间的关系吗？ 问题7：科学家发现大约每经过5730年，生物体内的碳14含量衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．你能求出p吗？ 问题8： 增长率为常数p时，我们建立的函数模型是 (p>0):衰减率为常数p时，我们建立的函数模型是 (0<p<1).由于p为常数,所以模型中的1+p,1-p一定为常数。不妨把它们统一记为a,我们就可以得到新的函数模型 ，其中x为自变量，你能求出底数a的取值范围吗？ 概念解析 指数函数的概念 一般地，函数 (a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中 是自变量，函数的定义域是   典例解析 例1．已知指数函数设f(x)＝ax(a>0, 且a≠1),且f(3)=π 求f(0)，f(1)，f(-3)的值； 分析：要求f(0)，f(1)，f(-3)的值，应先求出f(x)＝ax的解析式即先求出a的值； 归纳总结 [规律方法]　 1．在指数函数定义的表达式中，要牢牢抓住三点： (1)底数是大于0且不等于1的常数； (2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上； (3)ax的系数必须为1.2．求指数函数的解析式常用待定系数法 典例解析 例２在问题１中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，Ａ地景区的门票价格为150元，比较这15年间Ａ，Ｂ两地旅游收入变化情况． 解：设经过x年，游客给Ａ，Ｂ两地带来的收入分别为 f（x）和g（x），则f（x）＝1150×（10x+600），g（x）＝1000×278×1.11x．利用计算工具可得，当x=0时，f（0）－g（0）＝412000．当x≈10.22时，f（10.22）≈g（10.22）．结合图可知：当x＜10.22时，f（x）＞g（x），当x＞10.22时，f（x）＜g（x）．当x＝14时，f（14）－g（14）≈347303． 这说明，在2001年，游客给Ａ地带来的收入比Ｂ地多412000万元；随后10年，虽然f（x）＞g（x），但g（x）的增长速度大于f（x）；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2011年2月某个时刻就有f（x）＝g（x）， 这时游客给Ａ地带来的收入和Ｂ地差不多；此后，f（x）＜g（x），游客给Ｂ地带来的收入超过了Ａ地；由于g（x）增长得越来越快，在2015年，Ｂ地的收入已经比Ａ地多347303万元了． 函数y = ax(a0，且a 1)叫做指数函数，其中x是自变量 .函数的定义域是R . 课堂小结 指数函数概念 布置作业： 作业1：阅读思考教材第115页的“放射性物质的衰减”。 作业2：教材第118也习题4.2复习巩固第1题和第2题，综合运用第4题，第7题 y＝ax x R $$