专题13 倍值函数（2大题型）-2025年新高考数学函数与导数压轴小题专题突破

专题13 倍值函数 【题型归纳】 题型一：倍值函数的判断 题型二：求参数范围问题 【方法技巧总结】 函数的定义域为D，若存在闭区间，使得函数同时满足①在上是单调函数；②在上的值域为，则称为“倍值函数”． 【典型例题】 题型一：倍值函数的判断 【典例1-1】（多选题）函数的定义域为D，若存在闭区间，使得函数同时满足①在上是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“k倍值区间”．下列函数存在“3倍值区间”的有（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【典例1-2】已知函数的定义域为，若存在区间，使得同时满足下列条件：（1）在上是单调函数；（2）在上的值域是.则称区间为函数的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有 . ①.    ②. ③.    ④. 【变式1-1】已知函数的定义域为，若存在闭区间，使得满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍增区间”，下列函数存在“倍增区间”的是（    ）. A． B． C． D． 【变式1-2】设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在上是单调函数；②在上的值域是，则称区间是函数的“和谐区间”，下列结论错误的是（    ） A．函数存在“和谐区间” B．函数不存在“和谐区间” C．函数存在“和谐区间” D．函数不存在“和谐区间” 题型二：求参数范围问题 【典例2-1】对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：①在上是单调的；②当的定义域是时，的值域是，则称是该函数的“倍值区间”．若函数存在“倍值区间”，则a的取值范围是 ． 【典例2-2】设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍增函数”．若函数（其中）为“倍增函数”，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】如果函数在定义域内存在区间，使在上的值域是，那么称为“倍增函数”，若函数为“倍增函数”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知是常数，如果函数满足以下条件：①在定义域内是单调函数；②存在区间,使得，则称为“反倍增三函数”.若是“反倍增三函数”，那么的取值范围是 . 【变式2-3】设函数的定义域为D，若满足：①在D内是单调增函数；②存在，使得在上的值域为，那么就称是定义域为D的“成功函数”.若函数（且）是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围是 . 【过关测试】 1．（2025·高三·内蒙古赤峰·期中）设函数的定义域为，若满足：在内是单调函数，且存在（），使得在上的值域为，那么就称是定义域为的“成功函数”.若函数（，）是定义域为的“成功函数”，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．设函数的定义域为D，若满足：①在D内是单调增函数；②存在（），使得在上的值域为，那么就称是定义域为D的“成功函数”.若函数（，是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为，若满足①在内是单调函数；②存在使在上的值域为，那么就称为“成功函数”，若函数，（）是“成功函数”，则的取值范围是      A． B． C． D． 4．已知函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在区间，使在上的值域为，那么就称函数为“成功函数”．若函数（，且）是“成功函数”，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江西·一模）函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在使得在上的值域为，则称函数为“成功函数”．若函数（其中，且）是“成功函数”，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·云南昆明·模拟预测）对于定义域为的函数，若存在区间，使得同时满足： ①在区间上是单调函数； ②当的定义域为时，的值域也为，则称区间为该函数的一个“和谐区间” 已知定义在上的函数有“和谐区间”，则正整数k取最小值时，实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·吉林·三模）函数的定义域为，对给定的正数，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的级“理想区间”.下列结论错误的是（    ） A．函数（）存在1级“理想区间” B．函数（）不存在2级“理想区间” C．函数（）存在3级“理想区间” D．函数，不存在4级“理想区间” 8．（2025·高三·山东德州·期中）函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足：在上是单调递增函数，且在上的值域为（），则称区间为的“倍值区间”．如下四个函数，存在“2倍值区间”的是（    ） A．， B． C． D． 9．（2025·北京通州·三模）函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足：在上是单调函数且在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”.现有如下四个函数：①，②，③，④.那么上述四个函数中存在“倍值区间”的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2025·高三·安徽·开学考试）设函数 的定义域为 ，若函数 满足条件： 存在 ，使 在 上的最小值为 ，最大值为 ，其中 为正整数，则称 为“ 倍缩函数”. 若函数 为“4 倍缩函数”，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”.若函数（其中）为“倍缩函数”，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．设函数的定义域为，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”．若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．函数的定义域为，若满足：（1）在内是单调函数：（2）存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“梦想函数”.若函数是“梦想函数”，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（多选题）对于定义域为的函数，若存在区间，同时满足下列条件：①在上是单调的；②当时，有，则称为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的是（    ） A． B． C． D． 16．（多选题）设对于定义域为D的函数，若存在区间，使得同时满足： ①在上单调 ②当的定义域为时，的值域也为，则区间为该函数的一个“和谐区间”． 下列说法正确的是（    ） A．区间是的一个“和谐区间” B．函数的所有“和谐区间为，， C．若函数存在“和谐区间”，则实数k的取值范围是 D．函数存在“和谐区间” 17．（多选题）对于定义域为的函数，若存在区间，使得同时满足，①在上是单调函数，②当的定义域为时，的值域也为，则称区间为该函数的一个“和谐区间”，则（    ） A．函数有3个“和谐区间”； B．函数，存在“和谐区间” C．若定义在上的函数有“和谐区间”，实数的取值范围为 D．若函数有“和谐区间”，则实数的取值范围为 18．（多选题）函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足①在上是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”.下列函数存在“3倍值区间”的有（   ） A． B． C． D． 19．对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：①在上是单调的；②当的定义域是时，的值域是，则称是该函数的“倍值区间”.若函数存在“倍值区间”，则的取值范围是 . 20．给出下列四个命题:①命题“”为真，则实数的范围是；②设，则“”是“”的充要条件；③关于的方程，存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；④函数的定义域为D，若满足：（1）在D内是单调函数；（2）存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“梦想函数”．若函数是“梦想函数”，则t的取值范围是；其中真命题有 （填序号） 21．若区间满足：（1）函数在区间上有定义且单调；②函数在区间上的值域为，则称区间为函数的优越区间．若函数存在优越区间，则实数的取值范围是 ． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 倍值函数 【题型归纳】 题型一：倍值函数的判断 题型二：求参数范围问题 【方法技巧总结】 函数的定义域为D，若存在闭区间，使得函数同时满足①在上是单调函数；②在上的值域为，则称为“倍值函数”． 【典型例题】 题型一：倍值函数的判断 【典例1-1】（多选题）函数的定义域为D，若存在闭区间，使得函数同时满足①在上是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“k倍值区间”．下列函数存在“3倍值区间”的有（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】BC 【解析】A：在上递增，令，由于在上无交点， 所以不存在上的值域为，不符合； B：在上递减，令且，即， 故时，存在上的值域为，符合； C：在上递增，令且，可得， 故时，存在上的值域为，符合； D：在，，而在上递减，则在上递增， 又，所以在上的值域为， 令且，可得，不合题设； 故选：BC 【典例1-2】已知函数的定义域为，若存在区间，使得同时满足下列条件：（1）在上是单调函数；（2）在上的值域是.则称区间为函数的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有 . ①.    ②. ③.    ④. 【答案】①②④ 【解析】对于①，，，， 在区间上是增函数，且值域为，则区间是函数的“倍值区间”，①正确. 对于②，，，， 在区间上是减函数，且值域为，则区间是函数的“倍值区间”，②正确. 对于③，在上单调递减，在上单调递增， 假定函数存在倍值区间， 若在上单调递增，则， 即有，而或，无解， 若在上单调递减， 则，即，两式相减得， 而，则两式相加得，矛盾，不存在倍值区间，③错误； 对于④，当时，，函数在上单调递减， 于是在上单调递增，且值域为，因此区间是函数的“倍值区间”，④正确. 故答案为：①②④. 【变式1-1】已知函数的定义域为，若存在闭区间，使得满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍增区间”，下列函数存在“倍增区间”的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A.：在上单调递增，则根据题意有有两个不同的解，不成立，所以A不正确. 对于B：在上单调递增，根据题意有在上有两个不同的解，解得：，符合题意，所以B正确. 对于C： ，若，函数在单增，则有有两个解，即在上有两个解，不符合，若 ，仍然无解，所以C不正确. 对于D：在上单调递增，则有两个解，不成立，所以D不正确. 故选B. 【变式1-2】设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在上是单调函数；②在上的值域是，则称区间是函数的“和谐区间”，下列结论错误的是（    ） A．函数存在“和谐区间” B．函数不存在“和谐区间” C．函数存在“和谐区间” D．函数不存在“和谐区间” 【答案】B 【解析】A中，当时，在上是单调增函数，且在上的值域是， 存在“和谐区间”，原命题正确； B中，当时，在上是单调增函数，且在上的值域是， 存在“和谐区间”，原命题错误； C中，，分子分母同时除以，得， 函数在是严格增函数，且在上的值域是存在“和谐区间”， 原命题正确； D中，当时，是单调增函数， 假设存在满足题意，则，且， 即，且，且，即，且； 由和的图象可知，方程无解，假设不成立，即函数不存在“和谐区间”， 原命题正确； 故选：B. 题型二：求参数范围问题 【典例2-1】对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：①在上是单调的；②当的定义域是时，的值域是，则称是该函数的“倍值区间”．若函数存在“倍值区间”，则a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由函数单调递增，且函数存在“倍值区间”， 知存在，使得， 设 则，且， 所以， 因此二次函数在上有两个零点，且， 则 解得， 故答案为：． 【典例2-2】设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍增函数”．若函数（其中）为“倍增函数”，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意知，函数在上单调递增且是“倍增函数”； 可得，即， 是方程的两个根； 设，则，此时方程为， 即方程有两个不等的实根，且两根都大于0， 可得，解得； 故满足条件的取值范围是． 故选：A. 【变式2-1】如果函数在定义域内存在区间，使在上的值域是，那么称为“倍增函数”，若函数为“倍增函数”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于在定义域上是增函数，根据“倍增函数”的定义可知，且.则，所以.构造函数，即有两个解.，令，解得所以在区间上递减，在上递增，极小值也即是最小值为.注意到当时，，，当时，，所以. 故选：D 【变式2-2】已知是常数，如果函数满足以下条件：①在定义域内是单调函数；②存在区间,使得，则称为“反倍增三函数”.若是“反倍增三函数”，那么的取值范围是 . 【答案】. 【解析】由题意得，的定义域是，是单调递减函数，假设满足题意的区间为，则由题意可知，，则问题等价于求使得函数与有两个不同的交点的的取值范围，如下图所示，则可知， ∴的取值范围是，故填：. 【变式2-3】设函数的定义域为D，若满足：①在D内是单调增函数；②存在，使得在上的值域为，那么就称是定义域为D的“成功函数”.若函数（且）是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围是 . 【答案】 【解析】依题意，函数（且）在定义域R上为单调递增函数，则， 而时，不满足条件，所以， 设存在，使得在上的值域为， 所以，即， 所以，n是方程的两个不等的实根，设， 当时，则，所以方程等价为的有两个不等的正实根， 即，所以，解得，舍去； 当时，则，所以方程等价为在上有两个不等的正实根，则，无解； 所以. 故答案为： 【过关测试】 1．（2025·高三·内蒙古赤峰·期中）设函数的定义域为，若满足：在内是单调函数，且存在（），使得在上的值域为，那么就称是定义域为的“成功函数”.若函数（，）是定义域为的“成功函数”，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵， 当且仅当时有恒大于零，不会恒小于零， ∴，在上单调递增. 由题意得，要使为“成功函数”，则在上至少有两个解. ∵，故， ∴问题可化为在上至少有两个解. 设，得在上有两个不同的解， 令，其图象开口向上，对称轴为，过点，且， ∴即可，解得， ∴. 故选：B 2．设函数的定义域为D，若满足：①在D内是单调增函数；②存在（），使得在上的值域为，那么就称是定义域为D的“成功函数”.若函数（，是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，函数定义域为R，令，显然， 函数在上单调性与在R上单调性相同，则函数在R上单调递增， 显然，而当时，函数不满足条件②，因此， 由于函数在上的值域为，则，即， 于是是方程的两个不等实根， 令，当时，则方程有两个不等的正实根， 因此，解得； 当时，则方程在上有两个不等的正实根， 则，无解； 所以t的取值范围是. 故选：A 3．函数的定义域为，若满足①在内是单调函数；②存在使在上的值域为，那么就称为“成功函数”，若函数，（）是“成功函数”，则的取值范围是      A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵，（）是“成功函数”，当时，f（x）在其定义域内为增函数， 当时，f（x）在其定义域内为增函数，∴f（x）在其定义域内为增函数， 由题意得，∴，， 令，当时， 有两个不同的正数根， ∴，解得，舍去； 当时，在上有两个不同的正数根， ∴，无解； 所以. 故选A． 4．已知函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在区间，使在上的值域为，那么就称函数为“成功函数”．若函数（，且）是“成功函数”，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，函数（，且）是“成功函数”， 可得函数在其定义域内为增函数，且在上的值域为， 则，即，所以方程必有两个不相等的实数根． 又由，即， 令，当时，关于的方程有两个不相等的正实数根，可得，解得； 当时，关于的方程在上有两个不相等的正实数根， 所以，无解； 所以. 故选D． 5．（2025·江西·一模）函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在使得在上的值域为，则称函数为“成功函数”．若函数（其中，且）是“成功函数”，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为、的单调性相同， 所以为定义域上的增函数， 因为存在使得在上的值域为， 所以，即有两解， 即有两个不相等的实数根， 令，当时，则在上有两个不同的解， 所以，解得； 当时，则在上有两个不同的解， 则 ，无解， 所以. 故选：D． 6．（2025·云南昆明·模拟预测）对于定义域为的函数，若存在区间，使得同时满足： ①在区间上是单调函数； ②当的定义域为时，的值域也为，则称区间为该函数的一个“和谐区间” 已知定义在上的函数有“和谐区间”，则正整数k取最小值时，实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若函数有“和谐区间”，则在上单调递增， 且在定义域内有两个不等的实数根， ，即， 又在区间单调递减， 在区间单调递增，且，所以， 又因为与直线在有两个交点， ，所以，得， 所以正整数的最小值为，， 即，， 此时，实数的取值范围是. 故选：B. 7．（2025·吉林·三模）函数的定义域为，对给定的正数，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的级“理想区间”.下列结论错误的是（    ） A．函数（）存在1级“理想区间” B．函数（）不存在2级“理想区间” C．函数（）存在3级“理想区间” D．函数，不存在4级“理想区间” 【答案】D 【解析】A中，当时，在上是单调增函数，且在上的值域是， 所以存在1级“理想区间”，所以A正确； B中，当时，在上是单调增函数，且在上的值域是，所以不存在2级“理想区间”，所以B正确； C中，由，得，当时，，所以在上为增函数，假设存在，使得，则有，即，由，得或，所以当时，满足条件，即区间为，所以C正确； D中，若存在“4级理想区间” ，则是方程的两个根，由和在内有3个交点，如图所示，所以该方程存在两个不等的根，故存在“4级理想区间” ，所以D错误， 故选：D 8．（2025·高三·山东德州·期中）函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足：在上是单调递增函数，且在上的值域为（），则称区间为的“倍值区间”．如下四个函数，存在“2倍值区间”的是（    ） A．， B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A:，函数在上单调递增， 若函数存在“倍值区间”，则， 令，，则， 所以在上单调递减，故在上不可能存在两个零点， 所以函数不存在“2倍值区间”，故A错误； 对于B:为增函数，若函数存在“2倍值区间”，则， 令，则，所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，即有两个根，所以存在2倍值区间，故B正确； 对于C:在上单调递增， 若函数存在“2倍值区间”，则， 所以，解得. 所以函数不存在“2倍值区间”，故C错误； 对于D：为增函数， 若存在“2倍值区间”，则， 结合及的图象知，方程无解， 故不存在“2倍值区间”，D错误； 故选：B 9．（2025·北京通州·三模）函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足：在上是单调函数且在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”.现有如下四个函数：①，②，③，④.那么上述四个函数中存在“倍值区间”的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】①为增函数，若函数存在“倍值区间”，则， 令，则，所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，所以恒成立， 即无零点，所以不存在“倍值区间”，故①错误； 对于②在上单调递增， 若函数存在“倍值区间”，则， 所以，解得. 所以函数存在“倍值区间”，故②正确； 对于③函数在定义域上单调递增， 若函数存在“倍值区间”，则， 令，则，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，， ， 所以在上存在一个零点， 所以在定义域上存在两个零点， 方程有解，其中，， 所以函数存在“倍值区间”，故③正确； 对于④，函数在上单调递增， 若函数存在“倍值区间”，则， 令，，则， 所以在上单调递减，故在上不可能存在两个零点， 所以函数不存在“倍值区间”，故④错误； 故选：B 10．（2025·高三·安徽·开学考试）设函数 的定义域为 ，若函数 满足条件： 存在 ，使 在 上的最小值为 ，最大值为 ，其中 为正整数，则称 为“ 倍缩函数”. 若函数 为“4 倍缩函数”，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于为单调递增函数，故为增函数， 则，即， 所以是方程的两个根． 设，则，关于的方程为有两个不等的正实根， 所以，解得， 故选：B． 11．设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数为“倍缩函数”，得存在，使在上的值域是， 显然函数在上单调递增，而函数在上单调递增，因此在上是增函数， 则，即， 于是是方程的两个不等实根，设，有， 则方程有两个不等的正实根，因此，解得， 所以满足条件的取值范围是. 故选：B 12．设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”.若函数（其中）为“倍缩函数”，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知可得， 在上是增函数； 即 ，是方程的两个根， 设，则，此时方程为即方程有两个不等的实根，且两根都大于； 解得：， 满足条件的范围是. 故选：A 13．设函数的定义域为，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”．若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】判处出单调递增，可得，进而可得，为方程的两个实根，进一步转化为函数与有两个交点，求出斜率为的切线方程为，切线在轴上的截距为，只需即可.因为函数为“倍缩函数”， 所以存在，使在上的值域为， 由于单调递增，所以， 即，为方程的两个实根， 进一步转化为函数与有两个交点， 不妨先求出与函数相切且斜率为的直线方程． 对于数，求导得，令，解得，， 所以斜率为的切线方程为， 该直线在轴上的截距为， 要使函数与有两个交点， 则，所以， 故选：B． 14．函数的定义域为，若满足：（1）在内是单调函数：（2）存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“梦想函数”.若函数是“梦想函数”，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 是单调函数 若 ，则是减函数，所以为增函数； 若，则是增函数，所以为增函数； 由于， 所以，即对于任意的恒成立， 所以,有两解， 又因为 ，所以满足有两解的t的取值范围为 . 故选：D 15．（多选题）对于定义域为的函数，若存在区间，同时满足下列条件：①在上是单调的；②当时，有，则称为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于选项A，是和单调递减函数，若存在区间， 则有，则有，取，，则存在区间符合要求，所以选项A正确； 对于选项B，在单调递增，若存在区间，，使， 解得，，不符合，即在上不是单调函数，舍去； 另一方面，在为减函数，若存在区间，，则， 解得，不符合，舍去，所以选项B不正确； 对于选项C，因为在整个定义域上单调递增，若存在区间，，则有， 解得，，或，，或，， 可取，，即存在区间符合题意，故选项C正确； 对于选项D，是定义在上的单调增函数， 若存在区间，，使， 即有两个不等实数根，转化为有两个不等实数根， 即与有两个不同的交点，观察图象知满足条件，所以选项D正确． 故选：ACD. 16．（多选题）设对于定义域为D的函数，若存在区间，使得同时满足： ①在上单调 ②当的定义域为时，的值域也为，则区间为该函数的一个“和谐区间”． 下列说法正确的是（    ） A．区间是的一个“和谐区间” B．函数的所有“和谐区间为，， C．若函数存在“和谐区间”，则实数k的取值范围是 D．函数存在“和谐区间” 【答案】BCD 【解析】对于A项，因为在上单调递减，值域为，不符合题意，故A项错误； 对于B项，在上单调递增，则， 所以，是的两个不等的实根， 又，，， 所以的所有“和谐区间”为、、，故B项正确； 对于C项，因为存在“和谐区间”， 在上单调递增， 所以， 所以，是的两个不等的实根， 令，（），则在上有两个不等的实根， 令，对称轴为， 则，解得，故C项正确； 对于D项，因为在，上单调递增，则， 所以，是的两个不等的实根， 又或， 所以，， 又， 所以存在“和谐区间”为，故D项正确. 故选：BCD. 17．（多选题）对于定义域为的函数，若存在区间，使得同时满足，①在上是单调函数，②当的定义域为时，的值域也为，则称区间为该函数的一个“和谐区间”，则（    ） A．函数有3个“和谐区间”； B．函数，存在“和谐区间” C．若定义在上的函数有“和谐区间”，实数的取值范围为 D．若函数有“和谐区间”，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【解析】对A，因为函数在上单调递增， 所以有，即，为的两个实根，解得可能取值为，0， 即函数的有3个“和谐区间”，，，故A正确； 对B，由于当，只有一解，故不存在“和谐区间”，故B错误 对C，在上有“和谐区间”， 所以存在区间，使函数的值域为， 函数在上单调递增， ，为关于的方程的两个实根，即方程在上有两个不等的实根，即在上有两个不等的实根，令与，问题转化为函数与的图象，在上存在两个不同的交点，函数在单调递减，在上单调递增． ，且，， 此时，解得， 故． 对D，函数在定义域单调递减， 当的定义域为时，的值域也为， ①，②两式相减可得， ， 即③， 将③代入②，， 令，得，又，， 故实数的取值范围为． 故选：ACD． 18．（多选题）函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足①在上是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”.下列函数存在“3倍值区间”的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】A：为上的增函数， 若存在“3倍值区间”，则， 结合及的图象知，方程无解， 故不存在“3倍值区间”，A错误； B：为上的减函数， 若存在“3倍值区间”，则有，得， 又，， 所以可取，，符合题意， 所以存在“3倍值区间”，B正确； C：为上的增函数， 若存在“3倍值区间”，则， 结合得，符合题意， 所以存在“3倍值区间”，C正确； D：对于， 当时，；当时，，由于在上单调递减， 从而可得在上单调递增， 若存在“3倍值区间”且，则有， 解得，不符合题意， 所以不存在“3倍值区间”，D错误. 故选：BC 19．对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：①在上是单调的；②当的定义域是时，的值域是，则称是该函数的“倍值区间”.若函数存在“倍值区间”，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由函数单调递增，且函数存在“倍值区间”， 存在，使得， 设,则，且，所以， 因此二次函数在上有两个零点，且， 则，解得， 故答案为：. 20．给出下列四个命题:①命题“”为真，则实数的范围是；②设，则“”是“”的充要条件；③关于的方程，存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；④函数的定义域为D，若满足：（1）在D内是单调函数；（2）存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“梦想函数”．若函数是“梦想函数”，则t的取值范围是；其中真命题有 （填序号） 【答案】②③ 【解析】对于①：命题“”为真， 当时恒成立，当时则，解得， 综上可得实数的范围是，故①错误； 对于②：设， 与均为上的增函数，为增函数， ， ，即， ，充分性成立， 若， 则， ，则，必要性成立， 故，，则“”是“”的充要条件，故②正确； 对于③：方程，可化为， 当时，，解得或， 即，，，解得，，， 故方程恰有个不同的实根，故③正确； 对于④：设，则， 当时，为增函数，也是增函数，则为增函数， 当时，为减函数，也是减函数，则为增函数， 综上可得：为增函数，即在内是单调函数． 是单调递增函数， 若为“梦想函数”， 则有，即方程有两个不同的正数解， 即可得有两个不同的正数解， 当时，即方程有两个不等的实数根， 则有，可得，舍去； 当时，即方程在上有两个不等的实数根， 所以，所以. 即的取值范围为，故④错误. 故答案为：②③ 21．若区间满足：（1）函数在区间上有定义且单调；②函数在区间上的值域为，则称区间为函数的优越区间．若函数存在优越区间，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】令，解得，可知的定义域为， 因为在定义域内单调递增， 若存在优越区间，则， 即方程在上有两个不相等的实根， 令，则， 所以关于的方程，即在上有两个不相等的实根， 令，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$