精品解析：山东省济南市2023届高三下学期3月一模数学试题

2023年3月济南市高三模拟考试 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，即可得解. 【详解】因为，因此，复数的虚部为. 故选：A. 2. 已知集合，，若，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据定义域求出，由得到a的取值范围. 【详解】由题意得，解得，故， 因为，所以. 故选：A 3. 已知等比数列前n项积为，，公比，则取最大值时n的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 4或5 D. 6或7 【答案】C 【解析】 【分析】先求出等比数列通项公式，进而得到，求出答案. 【详解】， 故， 因为，所以或5时，取得最大值. 故选：C 4. 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为，则原圆锥的母线长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆台的母线长为，根据圆台的侧面积公式求出圆台的母线长，利用圆台的性质以及相似三角形即可求解. 【详解】设圆台的母线长为，因为该圆台侧面积为， 则由圆台侧面积公式可得，所以， 设截去的圆锥的母线长为，由三角形相似可得， 则，解得， 所以原圆锥的母线长， 故选：. 5. 从正六边形的6个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角形是直角三角形的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法求出古典概型的概率. 【详解】以点为例，以点为其中一个顶点的三角形有，共10个， 其中直角三角形为，共6个， 故所得三角形是直角三角形的概率为. 故选：C 6. 已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测画法的知识确定正确答案. 【详解】正三角形的高为， 根据斜二测画法知识可知， 直观图的面积为. 故选：B 7. 自然数的位数为（参考数据：）（ ） A. 607 B. 608 C. 609 D. 610 【答案】C 【解析】 【分析】由题意求出的值，可将写成，即可得到结果. 【详解】因为， 所以，即的位数为. 故选:C 8. 函数（且）的零点个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可得，令，，可得出，利用导数分析函数的单调性，即可得出结论. 【详解】由可得，即， 因为且，则， 令，令，则， ， 令，则， 所以，函数在上单调递增， 因为， ， 令，其中， 则，所以，函数在上单调递增， 所以，， 由零点存在定理可知，存在，使得， 且当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，， 所以，函数的零点个数为，即函数的零点个数为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知平面向量，则（ ） A. B. C. 在上的投影向量的模为 D. 与的夹角为钝角 【答案】AC 【解析】 【分析】由模长的计算可得A正确；由向量垂直的坐标表示可得B错误；由投影向量的模的计算可得C正确；由向量的夹角公式可得D错误. 【详解】A：由题意可得，故A正确； B：因为， 所以，故B错误； C：在上的投影向量的模为，故C正确； D：与的夹角的余弦为，所以夹角不是钝角，故D错误； 故选：AC. 10. 如图，棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱的中点，则（ ） A. 直线为异面直线 B. C. 直线与平面所成角的正切值为 D. 过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为9 【答案】BC 【解析】 【分析】作出图形，利用中位线定理和平行的传递性即可判断选项A；利用等体积法计算即可判断选项B；根据线面角的概念即可判断选项C；利用平面的性质即可判断选项D. 【详解】对于A，连接， 由题意可知，因为，所以，所以共面， 故选项A错误； 对于B，连接， 由题意可知， 所以，故选项B正确； 对于C，连接， 由正方体的性质可知平面，所以即为直线与平面所成的角，则，故选项C正确； 对于D，连接， 根据正方体的性质可得，且， 所以平面即为过点B，E，F的平面截正方体的截面，该四边形为梯形，其上底，下底为，高为，所以截面面积为，故选项D错误； 故选：BC 11. （多选）在平面直角坐标系中，由直线上任一点P向椭圆作切线，切点分别为A，B，点A在x轴的上方，则（    ） A. 恒为锐角 B. 当垂直于x轴时，直线的斜率为 C. 的最小值为4 D. 存在点P，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A项，利用椭圆的切点弦方程可得过椭圆左焦点，再判定以为直径的圆与直线的位置关系即可；对于B项，当垂直于x轴时，可直接解得切线方程判定即可；对于C项，特殊值法判定即可；对于D项，取中点，易知，建立方程计算即可. 【详解】对于A项，设切线方程为 联立得：， ∵直线与椭圆相切，故则， ∴切线PA的方程为，同理切线PB的方程为， 而P点在上，故， 又满足该方程组，故， 显然过定点，即椭圆左焦点. 以为直径的圆半径最大无限接近，但该圆与一直相离，即始终为锐角，A正确； 对于B项，由A得，轴时，，易得， ，故B正确； 对于C项，由B知轴时，，此时，故C错误； 对于D项，取中点，若，则， 即为等腰三角形，， 化简得，由A知：， 整理得：，显然存在P满足题意，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：对于小题，提高效率可以用特殊值法，极端位置猜测，这里也需要积累一些比较常用的二级结论： （1）过椭圆上一点的切线方程， （2）椭圆外一点引两条切线，切点连线方程为； （3）椭圆的准线方程：，过准线引椭圆的两条切线，切点连线过对应焦点. 12. 已知函数，记的最小值为，数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若数列满足，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式和柯西不等式推导出，从而得到A正确，B错误；构造函数得到在上恒成立，结合等比数列求和公式证明出C正确；D选项，化简得到，再用裂项相消法求和，证明出结论. 【详解】A选项，，故， 由基本不等式可得，故，当且仅当时，等号成立， 故，A正确； B选项，由柯西不等式得 ， 当且仅当时，等号成立， 故， ，故，当且仅当时，等号成立， 故， 依次类推，可得，当且仅当等号成立， 故 ，B错误； C选项，设，， 则在上恒成立， 故在上单调递减， 所以，故在上恒成立， ，C正确； D选项，， ， 故，D正确. 故选：ACD 【点睛】常见的裂项相消法求和类型： 分式型：，，等； 指数型：，等， 根式型：等， 对数型：，且； 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 展开式中的常数项为______． 【答案】160 【解析】 【分析】由题意利用二项式定理可得解. 【详解】二项式的展开式的通项公式， 令，可得， 所以展开式中的常数项为. 故答案为：160. 14. 在平面直角坐标系中，圆关于直线对称的圆为，则的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】直线为线段的垂直平分线，确定线段的中点和斜率即可求出的方程为. 【详解】圆，即，其圆心， 又的圆心， 根据题意可得直线为线段的垂直平分线， 又，线段的中点， 则直线的方程为，即. 故答案为：. 15. 已知函数在上的值域为，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由，结合正弦型函数值域可确定整体所处范围，进而解不等式求得结果. 【详解】当时，， 在上的值域为，，解得：， 即的取值范围为. 故答案为：. 16. 机器学习是人工智能和计算机科学的分支，专注于使用数据和算法来模仿人类学习的方式．在研究时需要估算不同样本之间的相似性，通常采用的方法是计算样本间的“距离”，闵氏距离是常见的一种距离形式．两点的闵氏距离为，其中为非零常数．如果点在曲线上，点在直线上，则的最小值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数可证得，由此可分别在、和的情况下，去掉绝对值符号，则可化简得到最小值. 【详解】设，，则， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，； 即； 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述：的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义运算的最值求解问题，解题关键是能够通过分类讨论的方式，去除所求距离形式中的绝对值符号，从而化简所求式子得到可求最值的形式. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知函数． （1）求的单调递减区间； （2）中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，求A的内角平分线的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式得到，进而求出单调递减区间； （2）先求出，从而得到，由列出方程，求出的长. 【小问1详解】 因为 所以，, 解得，, 所以的单调递减区间为． 【小问2详解】 因为，所以． 因为，所以，所以， 所以， 故， 由题意知，， 所以， 即， 所以． 18. 如图，四棱锥中，是等边三角形，，． （1）证明：； （2）若，，求点A到平面距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点O，连接，结合题意和三角形全等得到，利用线面垂直的判定得到平面，再利用线面垂直的性质即可得证； （2）结合（1）的结论，建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，求出平面的法向量和所在直线的方向向量，利用空间向量的方法即可求解. 【小问1详解】 如图，连接，交于点O，连接， 由， 可得，所以， 又，所以， 所以，即O为中点， 在等腰中，可得， 在等腰中，，又，平面， 所以平面，又平面， 所以． 【小问2详解】 由（1）可得，， 又， 所以， 由于为正三棱锥，点P在底面的垂足一定在上，设垂足为M， 根据正三棱锥的性质可得， 如图，过点作的平行线，以的平行线所在直线为轴，以所在直线为x轴，y轴建立空间直角坐标系． 可得， 又， （或） 设平面的法向量，可得 不妨令，可得， 所以， 故所以点A到平面的距离为． 19. 已知数列满足． （1）若数列满足，证明：是常数数列； （2）若数列满足，求的前项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）计算出，得到是常数数列； （2）在（1）的基础上，得到，，利用分组求和得到答案. 【小问1详解】 因为 ， 所以， 所以是常数数列． 【小问2详解】 由（1），， 所以． 因为， 所以 ， 所以． 20. 为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平，某体质监测中心抽取了该较10名学生进行体质测试，得到如下表格： 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩（分） 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，，经计算，． （1）求； （2）规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列； （3）经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用，的值分别作为，的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为Y，求Y的数学期望．附：若，则，，． 【答案】（1） （2）分布列见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用求平均数公式计算即可； （2）求出X的可能取值和对应的概率，写成分布列； （3）计算出，得到，利用所给条件得到学生的体质测试成绩恰好落在区间得概率约为0.9545，得到，求出答案. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 因为体质测试不合格的学生有3名， 所以X的可能取值为0，1，2，3． 因为． 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 【小问3详解】因为， 所以． 因为， 所以学生的体质测试成绩恰好落在区间得概率约为0.9545， 故， 所以． 21. 已知抛物线（p为常数，）． （1）若直线与H只有一个公共点，求k； （2）贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线．法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了De Casteljau算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出抛物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论．如图，A，B，C是H上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D，E，F，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）联立直线的方程和抛物线方程，消去后利用判别式求得的值. （2）求得过三点的切线方程，进而求得的恒坐标，根据抛物线的知识证得结论成立. 【小问1详解】 将代入， 化简得（*）， 方程（*）的判别式， 化简得， 即． 【小问2详解】 设， 设抛物线在点处的切线方程为， 由消去并化简得， ， ，， 解得，故切线方程为， ， ， 即， 同理可求得抛物线上过点B，C的切线方程分别为： ，， 由过的切线方程两两联立，可以求得交点D，E，F的横坐标分别为： ，，， 注意到结论中线段长度的比例可以转化为点的横坐标的比例， 得， 命题得证． 22. 已知函数． （1）当，求曲线在点处的切线方程． （2）若在上单调递增，求a的取值范围； （3）若的最小值为1，求a． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导函数的几何意义求出切线方程； （2）参变分离，构造，求导，得到其最小值，求出a的取值范围； （3）注意到，多次求导得到，从而分，，与，结合函数单调性，极值和最值情况，求出答案 【小问1详解】 ， ， 所以曲线在点处的切线方程， 即． 【小问2详解】 因为在区间上恒成立， 所以， 令，则， 令，则， 当时，单调递增，， 所以，所以在上单调递增， 故， 所以． 【小问3详解】 ， 令，则， 令，则， 当时，， 则，， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 在上单调递增，且， 所以，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 所以． 所以适合， 当时，当时，， 在上单调递减，， 上单调递减， 因为，所以在上单调递减， 此时，舍去． 当时，当时，， 在上单调递减，， 在上单调递增，，舍去； 当时，当时，在上单调递增， 在上单调递减， 在上单调递增， 此时，，舍去． 综上，． 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法： 一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件； 二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论； 三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023年3月济南市高三模拟考试 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，若，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知等比数列的前n项积为，，公比，则取最大值时n的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 4或5 D. 6或7 4. 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为，则原圆锥的母线长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 5. 从正六边形的6个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角形是直角三角形的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 自然数的位数为（参考数据：）（ ） A. 607 B. 608 C. 609 D. 610 8. 函数（且）的零点个数为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知平面向量，则（ ） A B. C. 在上的投影向量的模为 D. 与的夹角为钝角 10. 如图，棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱的中点，则（ ） A. 直线异面直线 B. C. 直线与平面所成角正切值为 D. 过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为9 11. （多选）在平面直角坐标系中，由直线上任一点P向椭圆作切线，切点分别为A，B，点A在x轴的上方，则（    ） A. 恒为锐角 B. 当垂直于x轴时，直线的斜率为 C. 的最小值为4 D. 存在点P，使得 12. 已知函数，记的最小值为，数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若数列满足，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 展开式中的常数项为______． 14. 在平面直角坐标系中，圆关于直线对称的圆为，则的方程为______． 15. 已知函数在上的值域为，则的取值范围为__________． 16. 机器学习是人工智能和计算机科学的分支，专注于使用数据和算法来模仿人类学习的方式．在研究时需要估算不同样本之间的相似性，通常采用的方法是计算样本间的“距离”，闵氏距离是常见的一种距离形式．两点的闵氏距离为，其中为非零常数．如果点在曲线上，点在直线上，则的最小值为_____________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知函数． （1）求的单调递减区间； （2）中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，求A的内角平分线的长． 18. 如图，四棱锥中，等边三角形，，． （1）证明：； （2）若，，求点A到平面的距离． 19. 已知数列满足． （1）若数列满足，证明：是常数数列； （2）若数列满足，求的前项和． 20. 为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平，某体质监测中心抽取了该较10名学生进行体质测试，得到如下表格： 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩（分） 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，，经计算，． （1）求； （2）规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列； （3）经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用，的值分别作为，的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为Y，求Y的数学期望．附：若，则，，． 21. 已知抛物线（p为常数，）． （1）若直线与H只有一个公共点，求k； （2）贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要参数曲线．法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了De Casteljau算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出抛物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论．如图，A，B，C是H上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D，E，F，证明：． 22. 已知函数． （1）当，求曲线在点处的切线方程． （2）若在上单调递增，求a的取值范围； （3）若的最小值为1，求a． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$