专题02 一元函数的导数及其应用（七大题型）（福建专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编

专题02 一元函数的导数及其应用 题型概览 题型01导数及其几何意义 题型02求某点处的导数值 题型03简单复合函数的导数 题型04利用导数研究函数的单调性 题型05利用导数研究函数的极值 题型06利用导数研究函数的最值 题型07利用导数研究曲线上某点的切线方程 ( 题型01 ) 导数及其几何意义 1．（23-24高二下·福建漳州·期末）设函数在附近有定义，且，为常数，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·福建宁德·期末）已知函数在点处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·福建福州第四中学·期末）若直线是函数的图象在某点处的切线，则实数 . ( 题型02 ) 求某点处的导数值 4．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 5．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知函数，则的值为（     ） A．1 B． C．0 D． 6．（23-24高二下·福建龙岩·期末）已知函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（23-24高二下·福建宁德·期末）函数在时的瞬时变化率为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 ( 题型03 ) 简单复合函数的导数 8．（23-24高二下·福建福州·期末）下列求导运算正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（23-24高二下·福建莆田·期末）已知和为上的可导函数，满足：，，且为奇函数.写出函数图象的一个对称中心，可以为 .若，则 . ( 题型04 ) 利用导数研究函数的单调性 10．（23-24高二下·福建泉州·期末）设函数的导函数为，已知函数的图象如图所示，则的图象不可能是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二下·福建莆田·期末），，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二下·福建莆田·期末）函数，的图象大致为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数，若任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 14．（23-24高二下·福建龙岩·期末）若函数在上单调递减，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二下·福建龙岩·期末）已知，若，，，则（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高二下·福建福州·期末）已知为函数的导函数． (1)若在处的切线与直线平行，求实数a的值； (2)讨论的单调性； (3)若，证明：当时，． ( 题型0 5 )利用导数研究函数的极值 17．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知函数，若有两个极值点，且，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高二下·福建漳州·期末）若关于的不等式有唯一的整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（23-24高二下·福建福州·期末）设是函数的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知三次函数的对称中心为. (1)求实数，的值； (2)求的极值. 20．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知， (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性; (3)设，当时，证明:. ( 题型0 6 )利用导数研究函数的最值 21．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知函数，若，则实数的最大值为（     ） A．1 B． C． D． 22．（23-24高二下·福建漳州·期末）已知函数在处取得极值. (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 23．（23-24高二下·福建泉州·期末）曼哈顿距离，也被称为出租车距离，是指在平面上，一个点沿着网格线（即沿着水平或垂直方向）移动到另一个点的最短距离.它是一种简单而有效的度量方式，广泛应用于计算机科学中的图论、机器人路径规划、以及机器学习中作为距离度量等领域.已知在平面直角坐标系xOy中，A，B的曼哈顿距离记作，点M在函数的图象上. (1)若，，且，求n； (2)已知，求的取值范围； (3)已知点，为的中点，记的最大值为，求的最小值. 24．（23-24高二下·福建三明·期末）已知函数. (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若函数的最小值是1，求的值. ( 题型0 7 )利用导数研究曲线上某点的切线方程 25．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线的斜率； (2)若，讨论的单调性； (3)若，且时，恒成立，求实数的取值范围. 26．（23-24高二下·福建泉州·期末）定义:若函数与的图象在区间上有且仅有一个公共点，则称函数与在区间上单交，此交点被称为“单交点”.已知函数. (1)当，判断函数在点处的切线与函数是否在R上单交，若是，并求出“单交点”的坐标;若不是，说明理由? (2)若函数与在上存在“单交点”，求的值. 27．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知函数，，为的导函数．（注：是自然对数的底数） (1)求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若无极值点，求实数的取值范围． 28．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的极值. 一、单选题 1．（23-24高二下·福建莆田·期末）某质点的运动方程是，则该质点在时的瞬时速度是（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 2．（23-24高二下·福建三明·期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数，则（    ） A．的极大值点为 B．的极大值为 C．有两个零点 D．直线是曲线的一条切线 6．（23-24高二下·福建泉州·期末）设函数，则（     ） A．当时，直线不是曲线的切线 B．若有三个不同的零点，则 C．当时，存在等差数列，满足 D．若曲线上有且仅有四点能构成一个正方形，则 三、填空题 7．（23-24高二下·福建漳州·期末）已知关于的不等式恒成立，则的最大值为 . 8．（23-24高二下·福建泉州·期末）英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛.其定义是:对于函数，若满足，则称数列为牛顿数列.已知，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为，继续牛顿法的操作得到数列.设，数列的前项积为.若对任意的恒成立，则整数的最小值为 . 9．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围为 . 10．（23-24高二下·福建福州·期末）已知，，若，则的最小值为 . 四、解答题 11．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数． (1)当时，判断的单调性； (2)证明：当时，． 12．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数. (1)讨论的单调区间； (2)若在区间上存在唯一零点，证明：. 13．（23-24高二下·福建三明·期末）已知函数在定义域上不单调. (1)求的取值范围； (2)若函数存在两个极值点，且极大值点为，最大的零点为，求证：. 14．（23-24高二下·福建厦门·期末）已知函数在处的切线方程为. (1)求b，k； (2)若的极大值为0，求的取值范围. 15．（23-24高二下·福建莆田·期末）设是直角坐标平面上的一点，曲线是函数的图象.若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”.已知. (1)求证：； (2)设，判断为函数的“几度点”，并说明理由； (3)设，若为函数的“3度点”，求实数的取值范围. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元函数的导数及其应用 题型概览 题型01导数及其几何意义 题型02求某点处的导数值 题型03简单复合函数的导数 题型04利用导数研究函数的单调性 题型05利用导数研究函数的极值 题型06利用导数研究函数的最值 题型07利用导数研究曲线上某点的切线方程 ( 题型01 ) 导数及其几何意义 1．（23-24高二下·福建漳州·期末）设函数在附近有定义，且，为常数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知条件化为，然后使用导数的定义即可得到结果. 【详解】在中用替换，知. 所以. 故. 故选：D. 2．（23-24高二下·福建宁德·期末）已知函数在点处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由切线的几何意义得，将代入切线方程得，从而得解. 【详解】由切线方程，得， 将代入切线方程，得，所以， 则. 故选：C 3．（23-24高二下·福建福州第四中学·期末）若直线是函数的图象在某点处的切线，则实数 . 【答案】 【分析】利用导数的几何意义直接求解. 【详解】设切点为. 由题意可得：，解得：，代入得：. 故答案为： ( 题型02 ) 求某点处的导数值 4．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】对函数求导，再令，得，即可求解． 【详解】， 令，得，得， 则，得， 故选：C 5．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知函数，则的值为（     ） A．1 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】根据导数的求导法则求，进而可求. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 6．（23-24高二下·福建龙岩·期末）已知函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】求导，即可代入求解. 【详解】由得， 故， 故选：B 7．（23-24高二下·福建宁德·期末）函数在时的瞬时变化率为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】求导，即可代入求解. 【详解】由可得， 故时的瞬时变化率为， 故选：B ( 题型03 ) 简单复合函数的导数 8．（23-24高二下·福建福州·期末）下列求导运算正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】由导数的基本运算求解． 【详解】对于A项，为常数，则，故A项错误； 对于B项，，故B项正确； 对于C项，，则，故C项正确； 对于D项，，故D项错误， 故选：BC 9．（23-24高二下·福建莆田·期末）已知和为上的可导函数，满足：，，且为奇函数.写出函数图象的一个对称中心，可以为 .若，则 . 【答案】 （，答案不唯一） 11 【分析】根据给定条件，利用复合函数求导可得，结合奇函数的意义并求导可得函数图象的关于直线对称，进而求出周期求出对称中心；由导数探讨原函数可得，并探求函数的周期，借助函数图象平移求出的周期，再赋值计算即得结果. 【详解】由，求导得，又， 则，即， 所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，即为函数图象的一个对称中心， 由为奇函数，得，求导得， 即，函数的图象关于直线对称，则点是图象的一个对称中心， 显然有，即， 于是，函数是以4为周期的周期函数， 所以函数的图象关于点对称； 由，得，即有（为常数）， 而，则，取，得， 因此，又，则， 即，，于是函数是周期为4的周期函数， 又，则函数的图象可由的图象平移而得， 从而函数是周期为4的周期函数，， 显然，因此， ，则， 又，则， 所以. 故答案为：；11 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论： （1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立； （2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为. ( 题型04 ) 利用导数研究函数的单调性 10．（23-24高二下·福建泉州·期末）设函数的导函数为，已知函数的图象如图所示，则的图象不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合导函数的图象分析的单调性，再结合偶函数的导函数为奇函数判断即可. 【详解】由导函数的图象可知当或时， 当或时， 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 且的图象关于原点对称，即为奇函数， 设为偶函数，即，所以，所以为奇函数， 即偶函数的导函数（导函数存在）为奇函数， A、B、D三个图象均关于轴对称，即为偶函数，满足导函数为奇函数，符合题意； C选项的图象对应的函数为非奇非偶函数，不符合题意. 故选：C 11．（23-24高二下·福建莆田·期末），，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件变形得到在区间区间上恒成立，构造函数，得到在区间单调递增，对求导，利用导数与函数单调性间的关系，求出的增区间，即可求出结果. 【详解】因为，不等式在区间上恒成立， 即，也即在区间上恒成立， 整理得到在区间上恒成立， 令，所以在区间上单调递增， 又，令，得到， 当，，即在区间的单调递增， 所以，得到， 故选：B. 12．（23-24高二下·福建莆田·期末）函数，的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，得出的奇偶性和在区间上的单调性，结合图象，选项A符合题意，选项BCD不符合题意，即可求出结果. 【详解】因为，关于原点对称，又， 即为偶函数， 当时，，， 令，则为增函数，因为，， ，使，即有， 当时，，时，， 即，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以， 又，，， ，当时，，时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，结合图象，选项A符合题意，选项BCD不符合题意， 故选：A. 13．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数，若任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】首先将不等式同构变形，转化为，利用函数的不等式解抽象不等式，再利用参变分离转化为最值问题，即可求解. 【详解】， ， 设，，函数单调递增， 即，则， 即， 设，，， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以当时，函数取得最大值， 所以，则. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对不等式进行同构变形，，从而转化为利用导数分析函数性质问题. 14．（23-24高二下·福建龙岩·期末）若函数在上单调递减，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据在上单调递减，故在恒成立，则由即可求解. 【详解】由题意可知，在上单调递减， 所以在恒成立， 所以，解得， 故实数的取值范围为， 所以的最小值为. 故选：B. 15．（23-24高二下·福建龙岩·期末）已知，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将两边取对数得，令，通过导数判断函数单调性即可. 【详解】由题意，因为， 所以等式两边取对数化解得， 令， 所以， 当时，即，在单调递增； 当时，即，在单调递减； 因为， 且， 所以， 所以. 故选：D. 16．（23-24高二下·福建福州·期末）已知为函数的导函数． (1)若在处的切线与直线平行，求实数a的值； (2)讨论的单调性； (3)若，证明：当时，． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义，由函数值即直线斜率列方程求值； （2）令，对求导，结合找到临界点对分类讨论即可求解； （3）构造函数，由结合（1）中结论可得，利用函数单调性得最值，即可得证. 【详解】（1），， 又直线的斜率为， 由题意，，即. （2）， 令，则， 当，则，从而， 当，则当时，， 当时，， 综上所述，当，在定义域内是增函数，当，在上是单调递减，在上是单调递增. （3）不妨设， 则， 由（1）可知若，则在上单调递减，在上是单调递增. 则在处取最小值，则的最小值为， 从而， 则在上单调递增，所以当时，， 即当时，. ( 题型0 5 )利用导数研究函数的极值 17．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知函数，若有两个极值点，且，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】有两个极值点，则方程有两个实根，设，利用导数研究单调性，作出函数图像，可知，，随a的减小而增大，当时解得，可求实数a的取值范围. 【详解】，有两个极值点，则有两个零点， 即方程有两个实根，也即方程有两个实根， 令，则， 所以解得，解得， 从而在上单调递增，在上单调递减， 时；时，， 据此可作出函数的图像如下： 首先当且仅当时，直线与函数的图象有两个交点， 其次，由图可知，且当时，随a的减小而增大， 不妨考虑的情形，此时，因为，所以， 将代入得：，两式相除得，故，即． 所以当且仅当时，有两个极值点、且． 故选：B 18．（23-24高二下·福建漳州·期末）若关于的不等式有唯一的整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】转化为有唯一的整数解，构造函数，利用导数讨论单调性，作出函数图象即可得解. 【详解】不等式有唯一的整数解，等价于有唯一的整数解， 记，则， 当时，；当时，. 所以，在上单调递增，在上单调递减， 所以，当时，取得极大值， 因为，所以，所以，即， 作出函数的图象如图：    因为不等式有唯一的整数解，所以，即. 故选：B 19．（23-24高二下·福建福州·期末）设是函数的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知三次函数的对称中心为. (1)求实数，的值； (2)求的极值. 【答案】(1) (2)极大值为，极小值为.· 【分析】（1）对函数，两次求导，结合新定义求解； （2）求导，得零点，再列表得到函数的单调性求解． 【详解】（1）因为， 所以 ， 所以， 又因为函数的对称中心为， 所以， 即，解得. （2）由（1）知，， 所以， 由，得或，· 当变化时，，的变化情况如下表所示： 1 2 0 0 2 因此，的极大值为，极小值为. 20．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知， (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性; (3)设，当时，证明:. 【答案】(1)的极小值为，无极大值 (2)答案见详解 (3)证明见详解 【分析】（1）求导，利用导数判断的单调性和极值； （2）求导可得，讨论的符号，结合判别式分析求解； （3）利用作差法，整理可得，令，构建，利用导数可得，进而分析证明. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为， 若，则，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以的极小值为，无极大值. （2）因为， 可知的定义域为，且， 若，则，可知在内单调递增； 若，则，可知有2个实根，， 且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增； 综上所述：若，在内单调递增； 若，在内单调递减，在内单调递增. （3）当时，则， 可得 对任意的，则，则， 令，则， 设，则， 可知在内单调递增，则，即， 可得， 即，所以. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． ( 题型0 6 )利用导数研究函数的最值 21．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知函数，若，则实数的最大值为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】整理可得，换元令，构建，可知对任意恒成立，利用导数判断的单调性和最值，结合恒成立问题分析求解. 【详解】设，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，且当趋近于0或时，趋近于， 所以在内的值域为. 因为的定义域为， 若，整理可得， 令，设，则， 可知对任意恒成立， 若，则对任意恒成立， 可知在内单调递增，则，符合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则， 设，则对任意恒成立， 可知在内单调递减，且， 则不等式的解集为，即； 综上所述：，所以实数的最大值为. 故选：D. 【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题 1.分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． 2.函数思想法 第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 22．（23-24高二下·福建漳州·期末）已知函数在处取得极值. (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)，； (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）由已知得到，，进而得到方程组，解之即可； （2）由（1）可知，然后对，利用导数得出函数单调性，结合端点值比较大小即可得解. 【详解】（1）由，知. 而在处取得极值，故，. 故有方程组，即. 所以，. （2）由（1）知，，故，. ， 当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 而直接计算知，，， 故在上的最大值为，最小值为. 23．（23-24高二下·福建泉州·期末）曼哈顿距离，也被称为出租车距离，是指在平面上，一个点沿着网格线（即沿着水平或垂直方向）移动到另一个点的最短距离.它是一种简单而有效的度量方式，广泛应用于计算机科学中的图论、机器人路径规划、以及机器学习中作为距离度量等领域.已知在平面直角坐标系xOy中，A，B的曼哈顿距离记作，点M在函数的图象上. (1)若，，且，求n； (2)已知，求的取值范围； (3)已知点，为的中点，记的最大值为，求的最小值. 【答案】(1)或； (2)； (3)． 【分析】（1）根据曼哈顿距离的定义即可得到； （2）根据曼哈顿距离的定义得，再分类讨论去绝对值，然后通过导数分析在的单调性即可求解； （3）根据曼哈顿距离的定义得，去绝对值，构造函数利用导数分析单调性即可求解. 【详解】（1）由题意，得， 从而可得，即，解得或； （2）设，则， ①当时，， 令，则， 所以在单调递增，从而； ②当时，则， 令，则， 所以在单调递减，从而， 综上，可得的取值范围为． （3）设，，K为MN的中点，则，， 所以，   ， 令（），则， 所以在单调递增，故； 令（），则， 当时，，所以在单调递减； 当时，，所以在单调递增， 故； 从而 ， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为． 【点睛】根据题意曼哈顿距离的定义理解列式，再结合绝对值和导数分析函数单调性来解决. 24．（23-24高二下·福建三明·期末）已知函数. (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若函数的最小值是1，求的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用导数求出切线斜率，再求切点坐标，利用直线点斜式方程即可求解； （2）利用导数求出函数的极值，根据题意，极小值即为最小值，建立方程得解. 【详解】（1）当时，. ， ，即切线斜率. 所以切线方程为，即 （2）函数的定义域为. 当时，.所以在上单调递减，无最小值. 当时，令，得；令，得. 所以在单调递减，在单调递增， 所以最小值为. 所以，即. 综上所述. ( 题型0 7 )利用导数研究曲线上某点的切线方程 25．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线的斜率； (2)若，讨论的单调性； (3)若，且时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）先依据和的图象过点求出参数值，进而求出函数解析式，接着求出导函数，根据导数几何意义再求出即可得解. （2）根据函数的导函数对参数进行分类讨论得出导函数的正负情况即可得解. （3）恒成立等价于，所以对a进行分类讨论研究函数的导函数情况，从而求得函数的单调性和最小值情况即可得解. 【详解】（1）因为，，所以， 又因为函数的图象过点， 所以， 即，故，解得， 所以，故， 即曲线在点处的切线的斜率为. （2）因为，所以，所以， 当时，，在区间R上单调递增； 当时，令，解得， 当时，；当时，， 所以函数在单调递减，在单调递增. 综上：当时，在区间R上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）因为，所以， 所以， 设，则， 所以，时，所以在上单调递增，且； ①当时，，即， 所以函数在上单调递增， 所以当时，，所以符合题意， . ②当时，又在上单调递增，且， 当时，， ，使得， ，，即，所以在上单调递减； ，，即，所以在上单调递增， 所以，所以不合题意. 综上，实数的取值范围为. 【点睛】思路点睛：研究恒成立求参问题通常转化成研究函数最值问题，恒成立等价于，故可用导数工具结合分类讨论法研究函数的单调性，从而求得函数的最小值，判断是否满足即可得解. 26．（23-24高二下·福建泉州·期末）定义:若函数与的图象在区间上有且仅有一个公共点，则称函数与在区间上单交，此交点被称为“单交点”.已知函数. (1)当，判断函数在点处的切线与函数是否在R上单交，若是，并求出“单交点”的坐标;若不是，说明理由? (2)若函数与在上存在“单交点”，求的值. 【答案】(1)函数在点处的切线与函数在R上单交，单交点为； (2)3 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程，与联立，得到只有一个根，故在点处的切线与函数是否在R上单交，并求出单交点坐标； （2）转化为，故，，构造，求导得到其单调性和极值，最值情况，从而得到答案. 【详解】（1），，， 故在点处的切线方程为， 时，， 联立与得， ，解得， 故函数在点处的切线与函数在R上单交， 当时，，故单交点坐标为； （2）令，定义域为， 令，即， 故，， 令，则，， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增，且， 故在处取得极小值，也是最小值，且， 若函数与在上存在“单交点”，故. 【点睛】方法点睛：分离参数法基本步骤为： 第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式， 第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用导函数或基本不等式进行求解. 第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论. 27．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知函数，，为的导函数．（注：是自然对数的底数） (1)求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若无极值点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得切线方程； （2）二次求导，根据二阶导的正负情况可得导函数的单调性； （3）法一：求导，可知导函数无变号零点，根据导函数的单调性可得导函数的最值，分情况讨论导函数零点情况； 法二：求导，分离参数，可转化为函数与直线无相交交点，数形结合可得解. 【详解】（1）因为，所以， 所以，， 即切线斜率，切点为， 所以切线方程为，即； （2）由（1）得， 设， 则， 当时，恒成立，所以在上单调递增，即在上单调递增； 当时，令，解得，令，解得， 即在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，在上单调递增； 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （3）法一： 由（1）可知： 当时，恒成立，所以单调递增，无极值点； 当时，在上单调递增，即在上单调递增； 又，， 所以有一个变号零点，即有一个变号零点，有一个极值点，不成立； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 即， 又当时，， 又函数无极值点，即无变号零点， 所以， 解得，即， 综上所述，； 法二：由无极值点，即无变号零点， 当时，无零点，此时函数无极值点，满足题意； 当时，令，则有， 原题等价于函数与直线无相交交点， 又，令，解得， 即当时，，即在是上单调递增；当时，，即在是上单调递减； 则， 又当时，，当时，， 即的图像如图所示， 则，解得， 所以. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 28．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的极值. 【答案】(1)； (2)当时，取得极大值；当x=0时，取得极小值0． 【分析】（1）先求导函数再代入求出斜率结合点斜式即可写出切线方程； （2）先求出导函数再根据导数正负得出单调性即可求出极值. 【详解】（1）由，得切点为， ， 从而切线的斜率， 故所求的切线方程为，即． （2）的定义域为，且， 令，得或， 当x变化时，，的变化情况如下表 x 0 ＋ 0 － 0 ＋ 单调递增 单调递减 0 单调递增 作出的图象，如图 由图可知当时，取得极大值；当x=0时，取得极小值0． 一、单选题 1．（23-24高二下·福建莆田·期末）某质点的运动方程是，则该质点在时的瞬时速度是（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【分析】求导，利用导数的几何意义得到瞬时速度. 【详解】，当时，， 故质点在时的瞬时速度为12. 故选：D 2．（23-24高二下·福建三明·期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数有两个零点，等价于有两个根，即有两个根，转化为两个函数图象有两个交点，结合导数画出图象草图，即可得解. 【详解】函数有两个零点,等价于有两个根，即有两个根， 令，， 令，，所以在R上单调递增； 又， 所以当时，，即，当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值为， 当时，当时， 要想有两个根，只需要，即 故选：A. 3．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】求导，分和，根据函数单调性得到不等式，求出，根据是的真子集，得到答案；或根据条件转化为恒成立进而即得. 【详解】法一：因为， 所以，当时，， 此时在上单调递增， 当时，， 令得，解得， 令得，解得， 故在上单调递减，在上单调递增， 要想在上单调递增，则，解得， 故， 综上，， 由于是的真子集， 则“”是“在上单调递增”的充分不必要条件. 法二：由题可得在上恒成立， 即恒成立，又， 所以，下面同解法一. 故选：A 4．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数运算化简后求导来进行判断最大值，剩下两个值利用作差比较大小即可. 【详解】由得：， 因为函数的定义域为， 则当时，，所以在和上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 所以当时， 有极大值， 又由，得， 所以. 故选：D. 二、多选题 5．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数，则（    ） A．的极大值点为 B．的极大值为 C．有两个零点 D．直线是曲线的一条切线 【答案】ABD 【分析】AB选项，求出定义域，求导得到函数单调性，进而得到的极大值点为，极大值为；C选项，根据函数单调性和特殊点函数值判断出零点个数；D选项，设切点，根据切线斜率得到方程，求出为方程的一个根，进而求出是曲线的一条切线. 【详解】AB选项，的定义域为，， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值点为，极大值为，AB正确； C选项，由于极大值为，当时，恒成立， 趋向于0时，趋向于， 故在上存在一个零点，在上无零点， 综上，函数只有1个零点，C错误； D选项，设切点，，， 故，显然，故为方程的一个根， 故切点为， 故切线方程为，故D正确. 故选：ABD 6．（23-24高二下·福建泉州·期末）设函数，则（     ） A．当时，直线不是曲线的切线 B．若有三个不同的零点，则 C．当时，存在等差数列，满足 D．若曲线上有且仅有四点能构成一个正方形，则 【答案】BCD 【分析】对于A，利用导数的几何意义分析判断，对于B，由题意可得，化简后可得答案，对于C，由判断，对于D，由函数关系式可得的图象关于点对称，则正方形的中心为，不妨设正方形的4个顶点分别为，设出的方程，与曲线联立结合弦长公式可求出，同理可得，则可得与的关系，表示出，再构造函数可得答案. 【详解】对于A，当时，，则， 因为，所以曲线在点处的切线方程为，所以A错误， 对于B，因为有三个不同的零点，所以， 所以， 所以，所以B正确， 对于C，当时，， 因为，， ，，， 所以， 因为是公差为1的等差数列， 所以存在等差数列，满足，所以C正确， 对于D，由，得 当时，，所以在上单调递增， 所以曲线上不存在4个点能构成正方形，所以， 因为， 所以的图象关于点对称，所以此正方形的中心为， 不妨设正方形的4个顶点分别为，其中一条对角线的方程为，则 ，解得， 所以，同理可得， 由，得， 化简得， 根据题意可知方程只有一个正解， 因为上式不成立， 所以， 因为，所以，得， 设，则， 令，由题意可知，只需要直线与函数的图象只有唯一的公共点即可， 结合对勾函数图象可知，，得，所以D正确，    故选：BCD 【点睛】关键点点睛：此题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数的零点与方程根的关系，利用导数研究函数的切线方程，选项D解题的关键是根据函数解析式求出，则可得的图象关于点对称，进一步得正方形的中心为，考查转化思想和计算能力，属于难题. 三、填空题 7．（23-24高二下·福建漳州·期末）已知关于的不等式恒成立，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据导数的几何意义，以及两条曲线在处的导数值和函数值相等即可求解. 【详解】当时，， 令，则， 所以 当即时，与在处相切，且，满足题意，所以， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题关键在于通过寻找相同导数建立方程求. 8．（23-24高二下·福建泉州·期末）英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛.其定义是:对于函数，若满足，则称数列为牛顿数列.已知，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为，继续牛顿法的操作得到数列.设，数列的前项积为.若对任意的恒成立，则整数的最小值为 . 【答案】2 【分析】利用导数求出曲线在点处的切线方程，可得出，结合可求出的值，推导出，可求得，进而可求得整数的最小值. 【详解】由，则，， 所以，曲线在点处的切线方程为，即， 由题意可知点在直线上，所以，， ，则， ， ， 因为函数的零点近似值为r，且函数在上为增函数， 因为，，由零点存在定理可知， 由题意可知，，故整数的最小值为2. 故答案为: 2 【点睛】关键点点睛：本题考查数列不等式恒成立问题，解题的关键在于利用导数求出切线方程，得出数列的递推公式，利用数列的递推公式求解. 9．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意可知，显然不是零点，故只有一个非零实数根，令，，对求导，结合导数分析的单调性，结合函数图象即可求解． 【详解】因为有且仅有一个零点， 显然不是零点， 故只有一个非零实数根， 令，， 则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，， ， 当时，，，其大致图象如图所示，    结合函数图象可知，当时，符合题意． 故答案为：． 10．（23-24高二下·福建福州·期末）已知，，若，则的最小值为 . 【答案】3 【分析】合理分析题意，利用同构得到，再利用导数确定的单调性，消元后把目标式变为一元函数，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，易得定义域为， 而，所以在上单调递增，故， 所以， ， 当且仅当时取等，此时解得. 故答案为：3 【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是利用同构思想得到，然后化简目标式，由基本不等式得到所要求的最值即可． 四、解答题 11．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数． (1)当时，判断的单调性； (2)证明：当时，． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2)证明见解析 【分析】（1）把代入解析式对函数求导，然后结合导数与单调性关系即可求解； （2）分类讨论，当时成立；当时，，构造函数即可证明． 【详解】（1）当时，，则， 令，则恒成立， 在上单调递增，又因为， 则当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． （2）证明：， 所以，令， 则，所以在上单调递增， 当时，，又， 有，即单调递减；，即单调递增， 所以，而此时， 所以当时，成立； 当时，可得，所以，所以， 又，所以存在，使得，即， ， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，由可得， ， 下面证明， 令，所以， 所以在上单调递增，所以， 即得证，即成立， 综上，当时，成立． 【点睛】难点点睛：本题综合考查导数的应用，难点在于不等式的证明，解答时要结合函数的结构特征，构造函数，结合单调性以及隐零点进行解决. 12．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数. (1)讨论的单调区间； (2)若在区间上存在唯一零点，证明：. 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）求导，分和两种情况，利用导数求原函数的单调区间； （2）由题设得，从而得若要证明，则只需，即只需，通过构造函数，利用导数证明即可得证. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，令，解得；令，解得； 可知的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上所述：若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）因为在区间上存在唯一零点， 所以存在唯一的，有，化简得， 若要证明，则只需，即只需证明， 设，则， 令，则， 所以当时，单调递增， 所以， 所以当时，单调递增， 所以， 即当时，有不等式成立， 综上所述：若在区间上存在唯一零点，则. 13．（23-24高二下·福建三明·期末）已知函数在定义域上不单调. (1)求的取值范围； (2)若函数存在两个极值点，且极大值点为，最大的零点为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，结合韦达定理分类讨论进行求解； （2）根据题意结合（1）中结论，利用零点存在定理得出最大零点的大致区域，构建，利用单调性分析可得，即可得结果. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且， 当或，即时，恒成立， 此时在单调递减，不合题意； 当时，在有两个不等实根， 由韦达定理知，两根之积为1 较大根为，则较小根为， 此时在，单调递减，在单调递增， 此时函数不单调，有两个极值点； 故所求实数的取值范围是. （2）令，则， 可知在内单调递增，则，可得， 令，则， 可知在内单调递增，则，可得， 由（1）可知，当时，在，单调递减，在单调递增， 且， 又因为，且， 令，则， 所以函数在单调递减，故， 从而在有唯一零点， 即函数的最大的零点为，所以， 由（1）可知，， 所以 . 令， 则， 所以在单调递减， 当时，，即， 由（1）可知，在上单调递减，且， 因此，故. 【点睛】方法点睛：利用导数研究含参函数的极值时，往往要根据函数的单调性进行判定；函数的零点、不等式的证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理，注意分类讨论和数形结合思想的应用. 14．（23-24高二下·福建厦门·期末）已知函数在处的切线方程为. (1)求b，k； (2)若的极大值为0，求的取值范围. 【答案】(1)，. (2). 【分析】（1）根据导数的几何意义可知，，切点为，将切点坐标代入，以上两式联立可求出和的值. （2）由（1）得，定义域为，求出，再对参数分类讨论，得到参数的取值范围. 【详解】（1），切点为， 所以，所以，. （2）由（1）得，定义域为， . ①当时，，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增；所以有极小值，无极大值，不符合题意； ②当时，，令，得或. ⅰ）若，则，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以有极小值，极大值为，不符合题意； ⅱ）若，则，所以在上单调递减， 所以无极值，不符合题意； ⅲ）若，则，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以有极小值，极大值为，满足题意. 综上所述，. 15．（23-24高二下·福建莆田·期末）设是直角坐标平面上的一点，曲线是函数的图象.若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”.已知. (1)求证：； (2)设，判断为函数的“几度点”，并说明理由； (3)设，若为函数的“3度点”，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）构造函数，利用导数探讨最小值即得. （2）设出切点坐标，利用导数求出切线方程，代入点的坐标并构造函数，利用导数结合零点存在性定理分类讨论的零点即可. （3）设出切点坐标，利用导数求出切线方程，代入点的坐标得，利用导数探讨方程有3个不同解即得. 【详解】（1）令函数，求导得， 当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以. （2）设过点的直线与函数图象相切的切点，而， 因此该切线方程为，即有， 整理得，令， 函数有个零点，等价于过点恰能作图象的条切线，即是的“度点”， 求导得，当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减，， ①当时，，此时函数仅有一个零点，是的“1度点”； ②当时，， 当时，，则， 当时，，即是函数在的唯一零点， 因此函数仅有一个零点，是的“1度点”； ③当时，， 由，得，则，， 取，则 ，于是，使得， 即函数在上有唯一零点，又是函数在上的唯一零点， 因此函数有两个零点，是的“2度点”； ④当时，， 取，则， 于是，使得，即函数在上有唯一零点， 显然是函数在上的唯一零点， 因此函数有两个零点，是的“2度点”， 所以当或时，是的“1度点”； 当或时，是的“2度点”. （3）设过的直线与曲线相切的切点为，而， 因此该切线方程为，即有，整理得， 由为函数的“3度点”，得方程有3个不同的解，令， 求导得，当或时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在处取得极大值，在处取得极小值， 而当时，恒有，， 因此当且仅当，即时，直线与曲线有3个不同交点， 即方程有3个不同的解，则过点的切线条数为3， 所以实数的取值范围是. 【点睛】思路点睛：解决过某点的函数f(x)的切线问题，先设出切点坐标，求导并求出切线方程，然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$