专题01 数列（四大题型）（福建专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编

专题01 数列 题型概览 题型01等差数列的概念 题型02等差数列的前n项和 题型03等比数列下标和性质及应用 题型04等比数列的前n项和 ( 题型01 ) 等差数列的概念 1．（23-24高二下·福建福州·期末）已知数列满足，，则（    ） A．7 B．8 C．10 D．11 2．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知数列满足，，则 . 3．（23-24高二下·福建三明·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1：若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，若“冰雹猜想”中，则m所有可能的取值集合为 ． 4．（23-24高二下·福建福州·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数，根据上述运算法则得出．猜想的递推关系如下：已知数列满足，，设数列的前 项和为 ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·福建福州·期末）在等差数列中，，则（    ） A．7 B．11 C．14 D．16 6．（23-24高二下·福建厦门·期末）在等差数列中，，，则（    ） A． B． C．1 D．4 7．（23-24高二下·福建福州·期末）已知公差不为0的等差数列满足，则的最小值为（    ） A．9 B． C． D． 8．（23-24高二下·福建南平·期末）已知数列为等差数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. ( 题型02 ) 等差数列的前n项和 9．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．（23-24高二下·辽宁·期中）已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. ( 题型03 ) 等比数列下标和性质及其应用 11．（23-24高二下·福建福州·期末）在等比数列中，，，则 12．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（   ） A． B． C． D． ( 题型0 4 )等比数列的前n项和 13．（23-24高二下·福建福州·期末）设为数列的前项和，已知，. (1)求证：是等差数列； (2)求数列的前项和. 14．（23-24高二下·福建福州·期末）已知数列与等差数列，若，，. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和. 15．（23-24高二下·福建福州·期末）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)令，数列的前项和为，证明：. 16．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知数列满足，. (1)证明：数列为等比数列； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为d的等差数列，令，求数列的前n项和. 1．（23-24高二下·福建泉州·期末）如图，已知正三角形的边长为2，且对任意，，，分别为，，的中点，记的周长为，则（    ） A． B． C．1023 D．2046 2．（23-24高二下·福建福州·期末）已知等差数列与正项等比数列满足，且既是等差数列，又是等比数列. (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 3．（23-24高二下·福建厦门·期末）设为正项等比数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，，求的前项和. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 数列 题型概览 题型01等差数列的概念 题型02等差数列的前n项和 题型03等比数列下标和性质及应用 题型04等比数列的前n项和 ( 题型01 ) 等差数列的概念 1．（23-24高二下·福建福州·期末）已知数列满足，，则（    ） A．7 B．8 C．10 D．11 【答案】A 【分析】由递推公式求解即可． 【详解】依题意，得， ， 故选：A 2．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知数列满足，，则 . 【答案】 【分析】由已知递推关系即可求解． 【详解】因为数列满足，， 所以， ， ， ． 故答案为： 3．（23-24高二下·福建三明·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1：若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，若“冰雹猜想”中，则m所有可能的取值集合为 ． 【答案】 【分析】根据运算规则逆向寻找结果即可. 【详解】若，则，则， 若，则或， 当时，则，则或； 当时，则，则； 综上所述：m所有可能的取值集合为. 故答案为：. 4．（23-24高二下·福建福州·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数，根据上述运算法则得出．猜想的递推关系如下：已知数列满足，，设数列的前 项和为 ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】求出数列的前几项，可得数列中从第4项起以4，2，1循环，然后一一分析判断即可. 【详解】因为数列满足，， 所以 ， 所以， 所以AB正确，C错误， 因为数列中从第4项起以4，2，1循环，而， 所以，所以D正确， 故选：ABD 5．（23-24高二下·福建福州·期末）在等差数列中，，则（    ） A．7 B．11 C．14 D．16 【答案】C 【分析】设出公差，利用等差数列通项公式基本量计算出，从而得到. 【详解】设公差为，则， 所以 故. 故选：C 6．（23-24高二下·福建厦门·期末）在等差数列中，，，则（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】根据等差数列下标和性质计算可得. 【详解】等差数列中，，， 所以，解得. 故选：D 7．（23-24高二下·福建福州·期末）已知公差不为0的等差数列满足，则的最小值为（    ） A．9 B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过等差数列的性质得到，再利用基本不等式中1的妙用来求解最值即可. 【详解】根据等差数列性质可得，则， ， 当且仅当，即时，取“”号. 故选：B. 8．（23-24高二下·福建南平·期末）已知数列为等差数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把等差数列中的项用基本量和表示，列方程组求解即可. （2）用裂项相消直接求解即可. 【详解】（1）设数列的首项为，公差为， 依题意得： 解得： 故. 所以数列的通项公式为：. （2）由（1）知：， 所以， . ( 题型02 ) 等差数列的前n项和 9．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】应用等差数列通项公式及前n项和公式基本量运算，最后求出即可. 【详解】因为， 所以, 所以. 故选：A. 10．（23-24高二下·辽宁·期中）已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用与之间的关系即可求解； （2）由（1）得，进而利用裂项相消法即可求解. 【详解】（1），有， 当时，有， 两式相减得， 当时，由，得， 检验：当时也满足， 所以 （2）由（1）知，， 所以 ， 所以. ( 题型03 ) 等比数列下标和性质及其应用 11．（23-24高二下·福建福州·期末）在等比数列中，，，则 【答案】4 【分析】由等比数列的性质求解． 【详解】在等比数列中，奇数项都是同号的，则， 由，得， 故答案为：4 12．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，可得，再根据等比中项的性质可得，又，再利用倒序相加可得解. 【详解】由数列是公比为的正项等比数列，故， 又，可得， 所以， 由，则，所以， 所以， 则， 故， 故选：B. ( 题型0 4 )等比数列的前n项和 13．（23-24高二下·福建福州·期末）设为数列的前项和，已知，. (1)求证：是等差数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据求出，故是以1为首项，1为公差的等差数列； （2）分组求和，结合等差数列和等比数列求和公式得到答案. 【详解】（1）当时，，则， 因为①， 所以时，②， 由①－②得，时，，即， 因为，所以，即， 故是以1为首项，1为公差的等差数列； （2）由（1），得， 所以， . 14．（23-24高二下·福建福州·期末）已知数列与等差数列，若，，. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由构造等比求通项即可求的通项，由等差数列的通项公式求解； （2），由错位相差法求解即可． 【详解】（1）因为，所以， 又，得， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，故， 则， 设等差数列的公差为，则，解得， 所以． （2）由（1）知，，， 所以， 所以， ， 两式相减，得 ， 故． 15．（23-24高二下·福建福州·期末）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)令，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意，根据计算即可求解； （2）由（1）得，结合裂项相消求和法计算可得，即可证明. 【详解】（1）当时，， 因为时，，满足上式， 所以数列的通项公式为. （2）， ， 因为，所以. 16．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知数列满足，. (1)证明：数列为等比数列； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为d的等差数列，令，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）先把条件转化成的形式，再根据等比数列的定义进行判断. （2）先明确数列的通项公式：，再用分组求和的方法求前项和. 【详解】（1）由，得， 整得，得， 又，所以， 故，． 所以数列是以为首项，为公比的等比数列． 故，从而． （2）依题意，得 所以 从而 . 1．（23-24高二下·福建泉州·期末）如图，已知正三角形的边长为2，且对任意，，，分别为，，的中点，记的周长为，则（    ） A． B． C．1023 D．2046 【答案】D 【分析】先根据图形规律求出，然后按照等比数列求和公式求解即可. 【详解】正三角形的边长为2，周长； 正三角形的边长为4，周长； 正三角形的边长为8，周长; …….. 正三角形的边长为，周长; . 故选：D． 2．（23-24高二下·福建福州·期末）已知等差数列与正项等比数列满足，且既是等差数列，又是等比数列. (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差、等比数列通项公式求得，进而可得通项公式； （2）由（1）可得，利用错位相消法分析求解. 【详解】（1）因为既等差数列，又是等比数列， 故的公差为0，公比为1，所以. 又，设公差为､公比为， 则，解得或（舍去）， 所以. （2）由（1）可得， 所以， ， 所以 ， 所以. 3．（23-24高二下·福建厦门·期末）设为正项等比数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的性质，列出关于的方程，即可求解. （2）先利用累乘法求出的通项公式，再利用裂项相消法求出前项和. 【详解】（1）因为是正项等比数列，所以，公比. 因为，所以， 则，即， 则，得（舍）或， 又因为，所以，所以的通项公式为. （2）依题意得， 当时，，即. 因为，所以， 当时，符合上式，所以的通项公式为. 因为， 所以. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$