第16讲 分式的加减法（4个知识清单+10类热点题型讲练+分层练习） -2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（北师大版）

第16讲 分式的加减法 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01最简公分母.......................................................................................................................................................................3 题型02通分...................................................................................................................................................................................5 题型03同分母分式加减法...........................................................................................................................................................8 题型04异分母分式加减法.........................................................................................................................................................10 题型05整式与分式相加减..........................................................................................................................................................14 题型06已知分式恒等式，确定分子或分母..............................................................................................................................16 题型07分式加减混合运算..........................................................................................................................................................20 题型08分式加减的实际应用......................................................................................................................................................23 题型09分式加减乘除混合运算..................................................................................................................................................25 题型10分式化简求值...................................................................................................................................................................27 分层练习.........................................................................................................................................................................................29 夯实基础.........................................................................................................................................................................................29 能力提升.........................................................................................................................................................................................44 知识点1．通分 （1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． （2）通分的关键是确定最简公分母． ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数． ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． （3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式． 知识点2．分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 说明： ①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘． ②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的． 知识点3．分式的混合运算 （1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题 1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式． 3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程． 知识点4．分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． 题型01最简公分母 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）分式和的最简公分母是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简公分母 【分析】本题考查了最简公分母的计算，掌握最简公分母的计算方法是关键． 最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母,这样的公分母叫做最简公分母，由此即可求解． 【详解】解：分式和的最简公分母是， 故选：C ． 2．（24-25八年级下·江苏南京·期中）分式，，的最简公分母是 ． 【答案】 【知识点】最简公分母 【分析】本题主要考查最简公分母，熟练掌握最简公分母是解题的关键；因此此题可根据最简公分母：系数取最小公倍数，相同字母的取指数最高的作为公分母的一部分，不同部分照抄，然后问题可求解． 【详解】解：分式，，的最简公分母是； 故答案为． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）直接写出下列各组分式的最简公分母： (1)；__________ (2)；__________ (3)；__________ (4)；__________ (5)．__________ 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【知识点】最简公分母 【分析】本题考查了最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解答本题的关键．确定最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． （1）（2）（3）（4）（5）根据最简公分母的定义求解即可． 【详解】（1）的最简公分母． 故答案为：； （2）的最简公分母． 故答案为：； （3）的最简公分母． 故答案为：； （4）的最简公分母． 故答案为：； （5）的最简公分母． 故答案为：． 题型02通分 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】通分 【分析】本题考查了通分的基本步骤，先确定最简公分母，再根据分式的基本性质，计算即可． 【详解】∵分式与分式的最简公分母是， ∴分式的分母变为，则将两分式通分后，分式的分子应变为． 故选C． 5．（24-25八年级下·全国·课后作业），依次填 ， ， ， ． 【答案】 【知识点】通分、约分 【分析】本题考查了分式的基本性质，利用了分式的基本性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变． 根据分式的性质可得答案； 【详解】解：； ； ； ； 故答案为：；；；． 6．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列通分是否合理？若不合理，请改正． (1)； 解：， ． (2)． 解  ， ． 【答案】(1)不合理，见解析 (2)不合理，见解析 【知识点】通分 【分析】此题考查了分式的通分， （1）根据通分的方法求解判断即可； （2）根据通分的方法求解判断即可． 【详解】（1）解：原式通分不合理， 改正：，； （2）解：原式通分不合理， 改正：，． 题型03同分母分式加减法 7．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题考查了同分母的分式的减法运算，掌握运算法则是解题的关键． 直接运用同分母的分式的减法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 8．（24-25八年级下·全国·课后作业）填空题： （1）计算： ， ； （2）计算： ， ． 【答案】 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题考查了同分母的分式的加减法，掌握运算法则是解题的关键． （1）直接运用同分母的分式加法法则计算； （2）运用同分母的分式加法法则计算，再化为最简分式； （3）先处理分母，再运用同分母的分式加法法则计算，再化为最简分式； （4）先处理分母，再运用同分母的分式加法法则计算，再化为最简分式． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：； （4）， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题考查了同分母分式加减，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据同分母分式加减运算法则计算即可； （2）根据同分母分式加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型04异分母分式加减法 10．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题主要考查了分式的减法计算，直接根据分式的减法计算法则求解即可． 【详解】解； ， 故选：C． 11．（24-25八年级下·全国·单元测试）若，则整式A、B分别为 、 ． 【答案】 4 【知识点】异分母分式加减法 【分析】题目主要考查分式的加减运算及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据题意计算分式的加法得出，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即 ∴， 解得：， 故答案为：；4． 12．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查了异分母分式的加减运算，通分化为同分母分式的加减运算是解题的关键，注意需要化简到最简分式． （1）先通分，再利用同分母分式的加减运算法则计算； （2）先通分，再利用同分母分式的加减运算法则计算； （3）先通分，再利用同分母分式的加减运算法则计算； （4）先通分，再利用同分母分式的加减运算法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型05整式与分式相加减 13．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】整式与分式相加减、分式乘法 【分析】本题考查分式的加减法和乘法，掌握分式的加减法的法则和乘除法的法则是解题的关键．根据分式的加减法的法则和乘法的法则计算后判定即可． 【详解】A． ，错误，该选项不符合题意； B． ，正确，该选项符合题意； C． ，错误，该选项不符合题意； D． ，错误，该选项不符合题意； 故选：B． 14．（2024·湖北襄阳·一模）计算 ． 【答案】 【知识点】整式与分式相加减 【分析】本题考查了分式的减法，先通分，再相减即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)1 (2) (3) 【知识点】整式与分式相加减、异分母分式加减法、同分母分式加减法 【分析】本题考查分式的加减，熟练掌握分式加减运算法则是解答的关键； （1）根据同分母分式相减时分母不变，分子相减计算即可； （2）先通分，再算加减即可； （3）先通分，再算加减即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． 题型06已知分式恒等式，确定分子或分母 16．（22-23八年级下·重庆北碚·阶段练习）对于任意的值都有，则，值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】异分母分式加减法、已知分式恒等式，确定分子或分母、构造二元一次方程组求解 【分析】对等式右边通分并进行加法运算，再根据对应项系数相等列方程组求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查分式的加法，二元一次方程组．掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 17．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知，则 ． 【答案】5 【知识点】已知分式恒等式，确定分子或分母、加减消元法 【分析】本题考查了分式的加减法、解二元一次方程组，熟练掌握相关知识点是解题的关键．先利用异分母分式的加减法计算得到，从而得到关于的方程组，求解方程即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， ． 故答案为：5． 18．（八年级下·江西鹰潭·阶段练习）对于分式A与B，若（k为常数），则称A是B的“k级牵挂分式”，如分式，，，则A是B的“3级牵挂分式”． (1)若分式是分式C的“级牵挂分式”，则分式C为（    ） A．     B．     C．     D． (2)已知分式，，且分式P是分式Q的“2级牵挂分式”， ①求E（用含x的式子表示）； ②若P的值为正整数，x为正整数，求P的值． (3)已知分式，（a，b为常数），M是N的“1级牵挂分式”，求a，b的值． 【答案】(1)D (2)①；②当时，；当时， (3) 【知识点】已知分式恒等式，确定分子或分母、异分母分式加减法、分式化简求值 【分析】（1）根据定义列式计算即可； （2）①分式P是分式Q的“2级牵挂分式”列式求出E的值即可； ②根据，再根据P的值为正整数，x为正整数，求出结果即可； （3）由M是N的“1级牵挂分式”，得出，整理得出，列出a、b的方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：∵分式是分式C的“级牵挂分式” ∴ ， 故选：D． （2）解：①可得， ， ∵P是Q的“2级牵挂分式”， ∴， ∵； ②由①可得：， ∵P的值为正整数，x为正整数， ∴当时，； 当时，． （3）解：， ， 由M是N的“1级牵挂分式”，可得： ， ∴， 整理得， 由上式恒成立，得， 解得：． 【点睛】本题主要考查了分式化简求值，新定义运算，解题的关键是理解题意，熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 题型07分式加减混合运算 19．（23-24八年级下·河南周口·期中）当x分别取值，，，…，，1，2，…，2017，2018，2019时，计算代数式的值，将所得结果相加，其和等于（    ） A．1 B． C．1009 D．0 【答案】D 【知识点】分式加减混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查的是分式的求值， 先把和代入代数式，并对代数式化简求值，得到它们的和为0，进而求解即可． 【详解】解：当和时， ， ∴， ∵当时，． ∴其和等于0． 故选：D． 20．（八年级下·全国·课前预习）计算＝ ． 【答案】1 【知识点】分式加减混合运算 【解析】略 21．（24-25八年级下·江苏南京·期中）阅读下列材料 在分式中，分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，． (1)下列式子中，属于真分式的是 （填序号）； ；；； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (3)已知整数使分式的值为整数，则满足条件的整数 ． 【答案】(1)； (2)； (3)或或或． 【知识点】分式加减混合运算 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． （）根据真分式的定义即可求解； （）根据题意，把分式化为整式与真分式的和的形式即可； （）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出的值． 【详解】（1）解：根据真分式的定义可知：是真分式；是整式；真分式；是假分式； 故选：； （2）解：； （3）解： ， ∵的值为整数，为整数， ∴或， 解得：或或或， 故答案为：或或或． 题型08分式加减的实际应用 22．（23-24八年级下·河南郑州·期末）“郑在加速，出行无忧”郑州地铁8号线有望今年底试运营，某施工队每天挖掘隧道a米，改进施工技术后每天能多挖掘，那么同样挖掘b米隧道，比原来少用的天数可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式加减的实际应用 【分析】本题考查分式的运算，根据题意，得到改进技术后，每天可以挖掘米，利用原来需要的天数减去现在需要的天数，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：； 故选A． 23．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）临近春节，甲厂联系一辆车送m名员工返乡过年，租金为3000元，临出发时，有3名乙厂员工也随车返乡，如果所有乘车人员平均分摊车费，则甲厂员工最后人均车费比原来少了 元． 【答案】 【知识点】分式加减的实际应用 【分析】本题考查的是分式的加减运算，先根据题意列代数式，再进行分式的减法运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 24．（24-25八年级下·全国·课后作业）从甲地到乙地有两条路，每条路的长度都是，其中第一条路是平路，第二条有的上坡路、的下坡路．小强在上坡路上的骑车速度为，在平路上的骑车速度为，在下坡路上的骑车速度为． (1)当小强走第二条路时，他从甲地到乙地需要多少时间？ (2)他走哪条路花费时间少？少用多少时间？ 【答案】(1) (2)走第一条路花费时间少，少 【知识点】分式加减的实际应用 【分析】本题考查了速度，路程，时间之间的关系，异分母分式的加减运算的实际应用，解题的关键是理解题意，掌握速度，路程，时间之间的关系． （1）分别表示出上坡路的时间和下坡路的时间，然后相加即可； （2）表示出走第一条路所用时间，然后作差求解即可． 【详解】（1）解：走第二条路所用时间：； （2）解：走第一条路所用时间： ∴ ∴走第一条路花费时间少，少． 题型09分式加减乘除混合运算 25．（24-25八年级下·全国·单元测试）甲，乙两人分别从、两地同时出发，若相向而行，则相遇；若同向而行，则甲追上乙．甲，乙两人的速度之比为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式加减乘除混合运算、行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了相遇问题和追击问题，涉及分式的混合运算，正确理解题意，建立方程组是解题的关键．设甲的速度为，乙的速度为y，两地相距S，根据题意，得，解方程组解得即可． 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为y，两地相距S， 根据题意，得， 解得， 故， 故选：C． 26．（24-25八年级下·全国·课后作业）填空题： （1） ； （2） ． 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）先通分计算括号内，除法变乘法，进行约分化简即可； （2）除法变乘法，约分后，再通分进行计算即可． 【详解】解：（1）原式； 故答案为：； （2）； 故答案为：． 27．（24-25八年级下·江苏南京·期中）在一条河里，甲、乙两船从A港口同时同向逆流出发，分别航行1小时后立即原路返航，若甲船在静水中的速度为，乙船在静水中的速度为，水流速度为，甲、乙两船是否同时返回A港？为什么？ 【答案】甲、乙两船不能同时返回A港，理由见详解 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的加减运算，读懂题意，熟练应用作差法比较大小是解题的关键．分别表示出甲乙两船返回的时间，通过作差法，比较时间的大小，得到结果． 【详解】解：依题意，∵甲船逆流航行1小时的路程为，甲返航时实际速度为， ∴甲返航时间为， ∵乙船逆流航行1小时的路程为，乙返航时实际速度为， ∴乙返航时间为， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴甲、乙两船不能同时返回A港． 题型10分式化简求值 28．（24-25八年级下·全国·单元测试）下列各式中，正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式化简求值 【分析】此题考查分式的除法运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据分式的除法运算法则计算即可． 【详解】解：A、，故该项错误，不符合题意； B、，故该项错误，不符合题意； C、，故该项正确，符合题意； D、，故该项错误，不符合题意； 故选：C． 29．（24-25八年级下·全国·单元测试）．括号内应依次填入： 、 【答案】 【知识点】分式化简求值 【分析】题目主要考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题关键． 根据分式的性质求解即可． 【详解】解：， 故答案为：；． 30．（24-25八年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为4 【知识点】分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把三个分式通分，再把分子去括号后合并同类项并分解因式，接着把分子与分母约分化简，再求出，并代入化简结果中求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 夯实基础 一、单选题 1．分式、、的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把各分母中能够分解因式的进行因式分解，则可找出分式的最简公分母． 【详解】∵ ∴最简公分母为 故选：C． 【点睛】本题考查了最简公分母，注意事项：把各分母进行因式分解，先找系数的最大公因数，再找所有因式的最高次幂，则它们的积便是分母的最简公分母． 2．下列运算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的加减乘除运算法则求解即可． 【详解】，选项A运算正确； ，选项B运算正确； ，选项C运算错误； ，选项D运算正确． 故选：C． 【点睛】本题考查的了分式的加减乘除运算，熟知分式的加减乘除运算的法则是解答此题的关键． 3．若x和y互为倒数，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先将化简，再利用互为倒数，相乘为1，算出结果，即可 【详解】 ∵x和y互为倒数 ∴ 故选：B 【点睛】本题考查代数式的化简，注意互为倒数即相乘为1 4．计算①；②；③；④所得结果中，是整式的是（    ）. A．①② B．①③ C．②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】根据整式的性质，对各选项进行计算，从而依次判断即可. 【详解】解：①是整式， ②不是整式， ③是整式， ④不是整式， 综上可知①、③是整式，故答案选B. 【点睛】本题考查整式的判断，对各式进行计算后判断即可，注意对整式判断时可逆向思考只有分母不为含字母的即是整式. 5．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式运算法则，逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、，选项A不符合题意； B、，选项B不符合题意； C、，选项C不符合题意； D、，选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查分式运算，涉及通分、分式加减运算法则等知识，熟练掌握分式相关运算法则是解决问题的关键． 6．已知，且，则的值为（      ） A． B．± C．2 D． 【答案】A 【分析】已知，变形可得，，可以得出和的值，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的化简求值问题，完全平方公式的变形求值，二次根式的除法，观察式子可以得出应该运用完全平方式来求解，要注意、的大小关系以及本身的正负关系． 7．如图，若，则表示的值的点落在(    )    A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】B 【分析】把变形得，代入即可求出分式的值，再看值的点落在的位置． 【详解】解：∵， ， ∴==， ∴表示的值的点落在段②， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的值，能正确把变形为是解此题的关键． 8．当x分别取值，，，…，，1，2，…，2017，2018，2019时，计算代数式的值，将所得结果相加，其和等于（    ） A．1 B． C．1009 D．0 【答案】D 【分析】本题考查的是分式的求值， 先把和代入代数式，并对代数式化简求值，得到它们的和为0，进而求解即可． 【详解】解：当和时， ， ∴， ∵当时，． ∴其和等于0． 故选：D． 二、填空题 9．同分母分式相加减， 不变， 相加减. 【答案】 分母, 分子 【分析】利用同分母分式的加减法则填写即可得到结果． 【详解】同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减. 故答案为分母；分子. 【点睛】本题考查分式的加减法，熟记分式的加法法则是解题关键. 10．填空： （1） ； （2） ． 【答案】 ； /； /； ； ； ． 【分析】（1）根据异分母分式的加法法则进行计算即可； （2）根据异分母分式的加法法则进行计算即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：，， （2） 故答案为：，， 【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握异分母分式的加减法法则是解题的关键． 11．将分式和进行通分时，分母可因式分解为 ，分母可因式分解为 ，因此最简公分母是 ． 【答案】 【分析】根据平方差公式即可分解a2－9，再提取公因式可分解9－3a，找系数的最小公倍数，字母的最高次幂，即可得出最简公分母． 【详解】解：∵a2－9＝（a＋3）（a－3）， 9－3a＝3（3－a）＝－3（a－3）， ∴分式和的最简公分母为－3（a＋3）（a－3）． 故答案为：（a＋3）（a－3），－3（a－3），－3（a＋3）（a－3）． 【点睛】本题考查了分式的通分，通分的关键是分解各个分母，找出最简公分母． 12．若恒成立，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先将等式的左边通分并化简得出，再根据等式恒成立得出，根据题意列二元一次方程组求解即可得出答案． 【详解】解： 恒成立， ， 故答案为：． 13．如果记=f（x），并且f（1）表示当x=1时y的值，即f（1）=；f()表示，当x=时y的值，即f()=；那么f（1）+f（2）+f()+f（3）+f()+…+f（2021）+f()+f（2022）+f()= ． 【答案】2021.5 【分析】首先利用分式的加减运算法则求得的值，然后利用加法的结合律，即可求得f（1）+f（2）+f()+f（3）+f()+…+ f（2021）+f()+f（2022）+f()的值． 【详解】解：， f（1）+ f（2）+f()+f（3）+f()+…+ f（2021）+f()+f（2022）+f()=f（1）+ [f（2）+f()]+[f（3）+f()]+…+ [f（2021）+f()]+[f（2022）+f()]=+1+1+…+ 1+1=+(2022-1)= 2021.5 故答案为：2021.5． 【点睛】此题考查了分式的加减运算法则，难度适中，解题的关键是发现规律：，然后利用加法的结合律求解即可． 14．按要求填空： 小王计算的过程如下： 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 ．……第五步 小王计算的第一步是 （填“整式乘法”或“因式分解”），计算过程的第 步出现错误．直接写出正确的计算结果是 ． 【答案】 因式分解 三 【分析】观察解题的过程，分析每一步变形的依据，根据异分母分式的减法找出出错的步骤，计算出正确的结果即可． 【详解】解： ，小王计算的第一步是因式分解，计算过程的第三步出现错误．直接写出正确的计算结果是． 故答案为：因式分解，三，． 【点睛】本题考查异分母分式的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 三、解答题 15．化简：． 【答案】 【分析】先通分算括号内的，把除法化为乘法，再分解因式约分． 本题考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质． 【详解】解：原式 ． 16．计算：． 【答案】 【分析】首先利用平方差公式把分母展开，然后通分再算减法，最后约分成最简分式即可． 【详解】解：原式 =． 【点睛】本题考查了分式的减法运算，关键是通分化为同分母的分式，当分母是多项式时，一定要分解因式再找最简公分母． 17．计算： （1）；（2）；（3）． 【答案】（1）；（2）；（3）1． 【分析】利用同分母分式的加减计算法则进行计算即可． 【详解】解：（1）原式， ； （2）原式， ； （3）原式， ， ． 【点睛】此题主要考查了分式的加减，关键是掌握同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． 18．（1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据异分母分式相加减法则，异分母分式相加减，先通分，分母都变为，变为同分母分式，再加减计算即可； （2）根据异分母分式相加减法则，异分母分式相加减，先通分，使前两项分数的分母都变为，变为同分母分式，再加减计算，约分化简，再把这项写成同分母的形式，再加减计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 【点睛】本题考查了异分母分式相加减，熟练掌握异分母分式相加减法则是解题的关键． 19．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据完全平方公式和多项式乘以多项式的计算法则去括号， 然后合并同类项即可； （2）根据分式的混合计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了整式的混合计算，分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 20．两个多项式和，，．．其中被墨水污染了． （1）求多项式． （2）取其中适合的一个数：，，，求的值． 【答案】（1）；（2）当时，． 【分析】（1）把代入中，确定出即可； （2）先化简，再确定使分式成立的x的值，把的值代入原式计算即可求出值． 【详解】解：（1） （2） 或时，分母，分式无意义， 时原式． 【点睛】此题考查了整式的加减、分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键，分式化简后求值要注意选取的数要确保原分式有意义． 能力提升 一、单选题 21．若，，且，则等于（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对原式进行化简，然后利用之间的关系求解即可. 【详解】原式= ∵ ∴ ∴原式= 故选B 【点睛】本题主要考查了分式的加减乘除混合运算，合理利用之间的关系是解题的关键. 22．如图，若，则表示的值的点落在(    )    A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】B 【分析】把变形得，代入即可求出分式的值，再看值的点落在的位置． 【详解】解：∵， ， ∴==， ∴表示的值的点落在段②， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的值，能正确把变形为是解此题的关键． 二、填空题 23．计算： ． 【答案】 【分析】先通分并利用同分母分式的加法法则计算即可. 【详解】. 【点睛】本题考查了分式的加减法，解题的关键是先通分再计算. 24．＝ . 【答案】0 【分析】先通分，再分母不变，分子相减即可求解． 【详解】． 故答案为：0． 【点睛】本题考查了分式加减运算的法则，熟记法则是解题的关键． 三、解答题 25．计算． 【答案】 【分析】先由因式分解进行整理，然后除法变为乘法进行化简，再合并同类项即可． 【详解】解： = = = =． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 26．欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一，他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献，也在初等数学中留下了不凡的足迹．设为两两不同的非零实数，称为欧拉分式． (1)写出对应的表达式； (2)化简对应的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加减法，熟练掌握分式的加减运算法则是解答本题的关键． （1）把代入表达式即可求出对应的表达式； （2）把代入表达式，然后通分并化简即可求出对应的表达式． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 分式的加减法 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01最简公分母.......................................................................................................................................................................3 题型02通分...................................................................................................................................................................................5 题型03同分母分式加减法...........................................................................................................................................................8 题型04异分母分式加减法.........................................................................................................................................................10 题型05整式与分式相加减..........................................................................................................................................................14 题型06已知分式恒等式，确定分子或分母..............................................................................................................................16 题型07分式加减混合运算..........................................................................................................................................................20 题型08分式加减的实际应用......................................................................................................................................................23 题型09分式加减乘除混合运算..................................................................................................................................................25 题型10分式化简求值...................................................................................................................................................................27 分层练习.........................................................................................................................................................................................29 夯实基础.........................................................................................................................................................................................29 能力提升.........................................................................................................................................................................................44 知识点1．通分 （1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． （2）通分的关键是确定最简公分母． ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数． ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． （3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式． 知识点2．分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 说明： ①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘． ②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的． 知识点3．分式的混合运算 （1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题 1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式． 3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程． 知识点4．分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． 题型01最简公分母 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）分式和的最简公分母是（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏南京·期中）分式，，的最简公分母是 ． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）直接写出下列各组分式的最简公分母： (1)；__________ (2)；__________ (3)；__________ (4)；__________ (5)．__________ 题型02通分 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·全国·课后作业），依次填 ， ， ， ． 6．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列通分是否合理？若不合理，请改正． (1)； 解：， ． (2)． 解  ， ． 题型03同分母分式加减法 7．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·全国·课后作业）填空题： （1）计算： ， ； （2）计算： ， ． 9．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 题型04异分母分式加减法 10．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级下·全国·单元测试）若，则整式A、B分别为 、 ． 12．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型05整式与分式相加减 13．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 14．（2024·湖北襄阳·一模）计算 ． 15．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 题型06已知分式恒等式，确定分子或分母 16．（22-23八年级下·重庆北碚·阶段练习）对于任意的值都有，则，值为（    ） A．， B．， C．， D．， 17．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知，则 ． 18．（八年级下·江西鹰潭·阶段练习）对于分式A与B，若（k为常数），则称A是B的“k级牵挂分式”，如分式，，，则A是B的“3级牵挂分式”． (1)若分式是分式C的“级牵挂分式”，则分式C为（    ） A．     B．     C．     D． (2)已知分式，，且分式P是分式Q的“2级牵挂分式”， ①求E（用含x的式子表示）； ②若P的值为正整数，x为正整数，求P的值． (3)已知分式，（a，b为常数），M是N的“1级牵挂分式”，求a，b的值． 题型07分式加减混合运算 19．（23-24八年级下·河南周口·期中）当x分别取值，，，…，，1，2，…，2017，2018，2019时，计算代数式的值，将所得结果相加，其和等于（    ） A．1 B． C．1009 D．0 20．（八年级下·全国·课前预习）计算＝ ． 21．（24-25八年级下·江苏南京·期中）阅读下列材料 在分式中，分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，． (1)下列式子中，属于真分式的是 （填序号）； ；；； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (3)已知整数使分式的值为整数，则满足条件的整数 ． 题型08分式加减的实际应用 22．（23-24八年级下·河南郑州·期末）“郑在加速，出行无忧”郑州地铁8号线有望今年底试运营，某施工队每天挖掘隧道a米，改进施工技术后每天能多挖掘，那么同样挖掘b米隧道，比原来少用的天数可以表示为（    ） A． B． C． D． 23．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）临近春节，甲厂联系一辆车送m名员工返乡过年，租金为3000元，临出发时，有3名乙厂员工也随车返乡，如果所有乘车人员平均分摊车费，则甲厂员工最后人均车费比原来少了 元． 24．（24-25八年级下·全国·课后作业）从甲地到乙地有两条路，每条路的长度都是，其中第一条路是平路，第二条有的上坡路、的下坡路．小强在上坡路上的骑车速度为，在平路上的骑车速度为，在下坡路上的骑车速度为． (1)当小强走第二条路时，他从甲地到乙地需要多少时间？ (2)他走哪条路花费时间少？少用多少时间？ 题型09分式加减乘除混合运算 25．（24-25八年级下·全国·单元测试）甲，乙两人分别从、两地同时出发，若相向而行，则相遇；若同向而行，则甲追上乙．甲，乙两人的速度之比为（   ）． A． B． C． D． 26．（24-25八年级下·全国·课后作业）填空题： （1） ； （2） ． 27．（24-25八年级下·江苏南京·期中）在一条河里，甲、乙两船从A港口同时同向逆流出发，分别航行1小时后立即原路返航，若甲船在静水中的速度为，乙船在静水中的速度为，水流速度为，甲、乙两船是否同时返回A港？为什么？ 题型10分式化简求值 28．（24-25八年级下·全国·单元测试）下列各式中，正确的是（   ）． A． B． C． D． 29．（24-25八年级下·全国·单元测试）．括号内应依次填入： 、 30．（24-25八年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中． 夯实基础 一、单选题 1．分式、、的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 2．下列运算错误的是（　　） A． B． C． D． 3．若x和y互为倒数，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．计算①；②；③；④所得结果中，是整式的是（    ）. A．①② B．①③ C．②③ D．①③④ 5．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 6．已知，且，则的值为（      ） A． B．± C．2 D． 7．如图，若，则表示的值的点落在(    )    A．段① B．段② C．段③ D．段④ 8．当x分别取值，，，…，，1，2，…，2017，2018，2019时，计算代数式的值，将所得结果相加，其和等于（    ） A．1 B． C．1009 D．0 二、填空题 9．同分母分式相加减， 不变， 相加减. 10．填空： （1） ； （2） ． 11．将分式和进行通分时，分母可因式分解为 ，分母可因式分解为 ，因此最简公分母是 ． 12．若恒成立，则的值是 ． 13．如果记=f（x），并且f（1）表示当x=1时y的值，即f（1）=；f()表示，当x=时y的值，即f()=；那么f（1）+f（2）+f()+f（3）+f()+…+f（2021）+f()+f（2022）+f()= ． 14．按要求填空： 小王计算的过程如下： 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 ．……第五步 小王计算的第一步是 （填“整式乘法”或“因式分解”），计算过程的第 步出现错误．直接写出正确的计算结果是 ． 三、解答题 15．化简：． 16．计算：． 17．计算： （1）；（2）；（3）． 18．（1）． （2）． 19．计算： (1) (2) 20．两个多项式和，，．．其中被墨水污染了． （1）求多项式． （2）取其中适合的一个数：，，，求的值． 能力提升 一、单选题 21．若，，且，则等于（    ）. A． B． C． D． 22．如图，若，则表示的值的点落在(    )    A．段① B．段② C．段③ D．段④ 二、填空题 23．计算： ． 24．＝ . 三、解答题 25．计算． 26．欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一，他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献，也在初等数学中留下了不凡的足迹．设为两两不同的非零实数，称为欧拉分式． (1)写出对应的表达式； (2)化简对应的表达式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$