数学（长春卷）-学易金卷：2025年中考押题预测卷

窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025年中考押题预测卷（长春卷) 数学参考答案 第I卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 2 3 4 6 7 8 9 A B E B C B 第I卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9.(5+x)(5-x) 10.2 11.1 12.130 13.y=4x+2 14. 三、解答题（本大题共10个小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本题6分)解： 品小 a-a-1）. a(a+1 a-1 (a+1(a-1) 2分 =1.a+la-1 4分 a-1 a(a+1 1 a’ 5分 1 2 代入a=3 ,原式 5。 6分 2 16.(本题6分)解：根据题意画树状图如下： 1/8 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 开始 3分 共有6种等可能的结果，恰好有1部是《周髀算经》的结果数有4种， 42 有1部是《周醉算经》的概率为= 63 446分 17.(本题6分)小解：设小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗x千卡，y千卡热量， [30x+20y=34 由题意得： 20x+40y=70-34 …3分 x=0.8 解得： 0y=0.5' 79咖5分 答：小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗0.8千卡，05千卡热 量. ….6分 18,(本题7分)(1)证明：AE⊥BD,DF⊥AC, ∠AE0=∠DF0=90°， 在△AEO和aDFO中， ∠AEO=∠DFO ∠AOE=∠DOF, AE=DF △AEO≌△DFO|AAS, A0=D0, :四边形ABCD是平行四边形， A0=C0=D0=B0, :AC BD, .四边形ABCD是矩形： 4分 (2)解：由(1)得：四边形ABCD是矩形， ∠BAE-90°×，=30°，A0=B0, 3 ∠OAB=∠ABE, 在直角三角形ABE中，∠ABE=90-LBAE=60°=∠OAB, 2/8 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 LA0E=180°-L0AB-LABE=600.7分 19.(本题7分)(1)4. 2分 (2)①③. 444444分 (3)解：根据信息三可知：美育和体育成绩都在90分及以上的人数只有2人， :七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于优秀”等级的人数有10×品=8人。7分 20.(本题7分) (1) 1分 (2) 3分 (3) 小5分 4) 44a40040a,444a,.a 21,(本题8分)(1)解：设甲、乙两人之间的距离y(m与追赶的时间xs之间的函数关系式为y=红+b, :点(0,90)，(50,0)在该函数图象上， b=90 50k+b=0 3/8 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 9 k=- 解得 5, b=90 即甲、乙两人之间的距离y(m与追赶的时间xs)之间的函数关系式为 9 y=-ex+90: 5 3分 (2)解：甲的速度为：5+90÷50=5+1.8=6.8(m/s), 则甲从A点追赶乙，经过40s,甲走的路程为：6.8×40=272（米） 答：甲从A点追赶乙，经过40s,甲前行了272 米： 6分 （3解：将=10代入y=号+90，得y=} ×10+90=72, 设甲提速后，追上乙需要m秒， 72÷(6.8+1.2-5) =72÷3 =24(秒)， 答：甲追赶10s后，甲、乙相距72米，若此时甲速度增加1.2m/S,提速后甲追上乙还需要24秒.8分 22.(本题9分)(1)√6 2分 (2)解：如图3中，连接AC,将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到aDEC,连接PE,DE,BD,当 B、P、E、D四点共线时，PA+PB+PC值最小，最小值为线段BD的长，设BD交AC于点O, B 图3 “将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到aDEC, :△APC≌△DEC, CP=CE,∠PCE=60°， :△PCE是等边三角形， :PE=CE=CP,ZEPC =LCEP=60. 4/8 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 F菱形ABCD中，∠ABP=∠CBP=,∠ABC=30P LPCB=∠EPC-LCBP=60°-∠30°=30°， .∠PCB=∠CBP=30°， :BP CP, 同理，DE-CE, :BP PE ED 连接AC,交BD于点O, 则AC⊥BD. 在RtBOC中， :∠B0C=90°，∠0BC=30°，BC=4, .B0=BC-sZO8C=4x52 BD=2B0=4V5, -D 45 3 PA+PB+PC的最小值为45， 7分 (3)85 9分 23,(本题10分)(1)解：如图，MF交BC于点N. 根据愿意AM=2,BD=,AB=VAC+BC=10,simA=BC=3 AB5 当MF∥AC时，∠BMN=∠A,∠BNM=∠BCA=90°，由于△DFE为等腰直角三角形， 又因FN1DE,则ND=DE=3. 2 5/8 今学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 sin∠BMN= BN BD+ND BM AB-AM =sin A, BD+ND 1+33 AB-AM10-215' 解得：t= 2分 11 (2)解：如图，过点M作MN⊥BC,过点F作FG⊥BC,N,G分别为垂足， B 根据题意CD=BC-BD=6-4,MN=BM·cos∠BMN=10-20-cosA=8-84,FG=DG=3. -5.m+5.cCD-(MIN+FG)-6 2 ÷=4-103, 6分 10 +33, (3)解：如图，过点F作FP∥BC交AB延长线于点P,过点B作BQ⊥FP,垂足为Q,过点F作 FG⊥BC,G为垂足，则四边形BQFG为矩形. B 根据题意NM∥BC∥FP,BQ∥AC,则∠MFP=∠NMF,∠PBQ=∠A, ∠NMF=∠FMP, ·∠MFP=∠FMP, :MP=FP, 由(2)可知B0=DG=GF-DE=3, 2 ∴.BP=BQ÷COs∠PBQ=3÷ P0-0m∠Pa0- MP-MB+BP=10-21+15-55-21.FP=FQ+PQ=BD+DG+PQ=1+ 44 4 5 21 -21=1+ 4 4 解得：1= 6 10分 24.(本题12分)(1)解：当y=x-3=0时，x=3, 6/8 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 当x=0时，y=x-3=-3, B3,0,C(0,-3。 :B、C在y=-x2+br+c上， -9+3b+c-0 c--3 解得 b=4 (c=-3' y=-x2+4x-3, 当y=-x2+4x-3-0时， 解得x=1,x2=3, ./Al,0）。3分 (2)解：过点P作PD⊥x轴交直线BC于点D, P B 设点P(m,-m2+4m-3,则D(m,m-3, 则PD=-m2+4m-3-(m-3)=-m2+3m, ) 27 2 2 8 3 “20 开口向下，函数有最大值， 且当m=时，△P8C有最大值为 33 P24 47分 (3)解：当点P、M重合时，则-m2+4m-3=-m, /18 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 m=5t3 ①当点M在点P的下方时，即二正<m<5+E 2 由题意得：PN=1, 当点P、N达到对称轴两侧对称的位置时，则m=1.5,这之前矩形内没有函数y的图象， 当m>15时，形区域内的函数y随x的塔大而减小，即？<m<+店 2 ②当点M在点P的上方时，即m<5-或m>5+正 2 2 当点Q在对称轴左侧时，即m+1<2,此时矩形内的抛物线y随的增大而增大， 当点P离开顶点时，即m>2,此时矩形内的抛物线y随x的增大而减小， 即m<5-3 2 综上，m<5-B或 2 3 5+3 2 2分 8/8 ( 11 ) 2025年中考押题预测卷（长春卷） ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) ( 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ) ( 二、填空题（每小题 3 分，共 1 8 分） 9 ． _________________ 10 ． ___________________ 11 ． ___________________ 12 ． _________________ 13 ． ___________________ 14 ． ___________________ )第Ⅱ卷 ( 三、（本大题共10个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1 5 ． （ 6 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( （ 6 分） 17. （ 6 分） （ 7 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 9 . （ 7 分） 20 . （7分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 1 .（ 8 分） 2 2 . （ 9 分） (3)______． ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 3 .（ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 4 .（ 12 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考押题预测卷（长春卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．北京时间2025年1月21日1时12分，经过约小时的出舱活动，“神舟十九号”乘组航天员蔡旭哲、宋令东、王浩泽密切协同，在空间站机械臂和地面科研人员的配合支持下，完成了空间站空间碎片防护装置安装、舱外设备设施巡检等任务．出舱航天员蔡旭哲、宋令东已安全返回问天实验舱，出舱活动取得圆满成功.如果航天员蔡旭哲出舱前5秒记为秒，那么航天员蔡旭哲出舱后10秒应记为（ ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 2．中国四大白瓷系列之一的衢州莹白瓷被誉为瓷中珍品，下图是衢州莹白瓷的直口杯，它的主视图是（   ）． A． B． C． D． 3．第十二届世界运动会将于2025年8月7日至17日在成都举行，届时需要大约15000名志愿者，共同参与成都世运会志愿服务工作．其中数据15000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，滑雪道的长为，则滑雪道的竖直高度的长为（   ） A． B． C． D． 6．在中，，小明按照下面的方法作图：①以B为圆心为半径画弧，交于点D；②分别以C，D为圆心大于为半径画弧，两弧交于点M；③作射线，交于点E．根据小明画出的图形，判断下列说法正确的是（    ） A．E是中点 B． C． D． 7．下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式． 根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式是（   ） A． B． C． D． 8．如图，的顶点坐标分别为，，若反比例函数的图象经过内部或边界上的整点（横、纵坐标都是整数），则k的取值共有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 第Ⅱ卷 2、 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 9．因式分解： ． 10． ． 11．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为 ． 12．如图，中，，，为斜边上一点，作的外接圆，交边于点，若，则的度数为 ． 13．直线向上平移2个单位后得到的直线解析式为 ． 14．如图，在直角坐标系中，等边三角形的顶点A的坐标为，点B，C均在x轴上．将绕顶点A逆时针旋转得到，则点的坐标为 ． 三、解答题（本大题共10个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本题6分）先化简，再求值：，其中． 16．（本题6分）中国古代有许多著名的数学文献，如《周髀算经》《海岛算经》《孙子算经》．某中学拟从这部数学名著中选择部进行学习，用列表法或画树状图法求出选中的部名著中，有部是《周髀算经》的概率，（将《周髀算经》《海岛算经》《孙子算经》分别记为，，） 17．（本题6分）小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录．小亮周六进行了两组运动，第一组安排30个深蹲，20个开合跳，健身软件显示消耗热量34千卡；第二组安排20个深蹲，40个开合跳，健身软件显示两组运动共消耗热量70千卡．小亮平均每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少千卡热量？ 18．（本题7分）如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 19．（本题7分）为落实“双减”政策，培养德智体美劳全面发展的时代新人，某校组织调研学生体育和美育发展水平，现从七年级共名学生中随机抽取名学生，对每位学生的体育和美育水平进行测评后按百分制分数量化，并进行等级评定（成绩用表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；待提高：）．对数据进行整理、描述和分析，部分信息如下． 信息一：体育成绩的人数（频数）分布图如下． 信息二：美育成绩的人数（频数）分布表如下． 分组 人数 信息三：位学生的体育成绩和美育成绩得分统计如下（共个点）． 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：_____； (2)下列结论正确的是_____；（填序号） ①体育成绩低于分的人数占抽取人数的； ②参与测评的名学生美育成绩的中位数对应的等级是“合格”； ③在信息三中，相比于点所代表的学生，点所代表的学生的体育水平与其大致相同，但美育水平还存在一定差距，需要进一步提升； (3)请结合以上信息，估计七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数． 20．（本题7分）如图方格中，小正方形边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点．请按下列要求画出一个符合题意的四边形，且顶点在格点上． (1)在图1中画：是中心对称图形，但不是轴对称图形，且面积为8； (2)在图2中画：是轴对称图形，但不是中心对称图形，且面积为10； (3)在图3中画：既不是中心对称图形又不是轴对称图形，且面积为10； (4)在图4中画：既是中心对称图形又是轴对称图形，且各边长都是无理数，面积为10． 21．（本题8分）如图1，甲、乙两人在一条笔直的公路上同向匀速而行，甲从A点开始追赶乙，甲超过乙之前，甲、乙两人之间的距离与追赶的时间的关系如图2所示，已知乙的速度为． (1)求甲、乙两人之间的距离与追赶的时间之间的函数关系式； (2)甲从A点追赶乙，经过，求甲前行了多少米？ (3)甲追赶后，甲、乙相距多少米？若此时甲速度增加，提速后甲追上乙还需要多少秒？ 22．（本题9分）【问题呈现】小华遇到这样一个问题，如图1，中，，，，在内部有一点，连接、、，求的最小值． 【问题解决】小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接、，则的长即为所求． (1)请你写出图2中，的最小值为______； (2)【类比应用】如图3，直角坐标系中有菱形，点与原点重合，坐标为，，若在菱形内部有一动点，试求的最小值，并求出此时点的坐标是多少； (3)【生活实际】如图4，一个矩形菜地的三个顶点处建有三个菜窖，现打算在矩形菜地内部建一个蔬菜运输点，经研究发现，运输点到三个菜窖的总路程至少为千米，若，则此矩形菜地的面积至少为______平方千米． 23．（本题10分）如图①，在中，，在中，，，边与重合．动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，同时，如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；设运动时间为．解答下列问题： (1)当为何值时，点？ (2)如图③，分别连接，设四边形的面积为．求与的函数关系式； (3)如图④，过点作，交于点，是否存在某一时刻，使平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 24．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于B点，交y轴于C点，抛物线经过B、C两点且与x轴交于另一点A． (1)求A、B、C的坐标及抛物线的解析式； (2)若点P是直线上方抛物线上一点，求面积的最大值及点P的坐标； (3)若点H是抛物线上一动点，且横坐标为m，、为平面内任意两点，连接、，以、为边构造矩形．当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而变化时，求m的取值花围． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考押题预测卷（长春卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．北京时间2025年1月21日1时12分，经过约小时的出舱活动，“神舟十九号”乘组航天员蔡旭哲、宋令东、王浩泽密切协同，在空间站机械臂和地面科研人员的配合支持下，完成了空间站空间碎片防护装置安装、舱外设备设施巡检等任务．出舱航天员蔡旭哲、宋令东已安全返回问天实验舱，出舱活动取得圆满成功.如果航天员蔡旭哲出舱前5秒记为秒，那么航天员蔡旭哲出舱后10秒应记为（ ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 2．中国四大白瓷系列之一的衢州莹白瓷被誉为瓷中珍品，下图是衢州莹白瓷的直口杯，它的主视图是（   ）． A． B． C． D． 3．第十二届世界运动会将于2025年8月7日至17日在成都举行，届时需要大约15000名志愿者，共同参与成都世运会志愿服务工作．其中数据15000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，滑雪道的长为，则滑雪道的竖直高度的长为（   ） A． B． C． D． 6．在中，，小明按照下面的方法作图：①以B为圆心为半径画弧，交于点D；②分别以C，D为圆心大于为半径画弧，两弧交于点M；③作射线，交于点E．根据小明画出的图形，判断下列说法正确的是（    ） A．E是中点 B． C． D． 7．下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式． 根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式是（   ） A． B． C． D． 8．如图，的顶点坐标分别为，，若反比例函数的图象经过内部或边界上的整点（横、纵坐标都是整数），则k的取值共有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 第Ⅱ卷 2、 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 9．因式分解： ． 10． ． 11．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为 ． 12．如图，中，，，为斜边上一点，作的外接圆，交边于点，若，则的度数为 ． 13．直线向上平移2个单位后得到的直线解析式为 ． 14．如图，在直角坐标系中，等边三角形的顶点A的坐标为，点B，C均在x轴上．将绕顶点A逆时针旋转得到，则点的坐标为 ． 三、解答题（本大题共10个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本题6分）先化简，再求值：，其中． 16．（本题6分）中国古代有许多著名的数学文献，如《周髀算经》《海岛算经》《孙子算经》．某中学拟从这部数学名著中选择部进行学习，用列表法或画树状图法求出选中的部名著中，有部是《周髀算经》的概率，（将《周髀算经》《海岛算经》《孙子算经》分别记为，，） 17．（本题6分）小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录．小亮周六进行了两组运动，第一组安排30个深蹲，20个开合跳，健身软件显示消耗热量34千卡；第二组安排20个深蹲，40个开合跳，健身软件显示两组运动共消耗热量70千卡．小亮平均每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少千卡热量？ 18．（本题7分）如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 19．（本题7分）为落实“双减”政策，培养德智体美劳全面发展的时代新人，某校组织调研学生体育和美育发展水平，现从七年级共名学生中随机抽取名学生，对每位学生的体育和美育水平进行测评后按百分制分数量化，并进行等级评定（成绩用表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；待提高：）．对数据进行整理、描述和分析，部分信息如下． 信息一：体育成绩的人数（频数）分布图如下． 信息二：美育成绩的人数（频数）分布表如下． 分组 人数 信息三：位学生的体育成绩和美育成绩得分统计如下（共个点）． 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：_____； (2)下列结论正确的是_____；（填序号） ①体育成绩低于分的人数占抽取人数的； ②参与测评的名学生美育成绩的中位数对应的等级是“合格”； ③在信息三中，相比于点所代表的学生，点所代表的学生的体育水平与其大致相同，但美育水平还存在一定差距，需要进一步提升； (3)请结合以上信息，估计七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数． 20．（本题7分）如图方格中，小正方形边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点．请按下列要求画出一个符合题意的四边形，且顶点在格点上． (1)在图1中画：是中心对称图形，但不是轴对称图形，且面积为8； (2)在图2中画：是轴对称图形，但不是中心对称图形，且面积为10； (3)在图3中画：既不是中心对称图形又不是轴对称图形，且面积为10； (4)在图4中画：既是中心对称图形又是轴对称图形，且各边长都是无理数，面积为10． 21．（本题8分）如图1，甲、乙两人在一条笔直的公路上同向匀速而行，甲从A点开始追赶乙，甲超过乙之前，甲、乙两人之间的距离与追赶的时间的关系如图2所示，已知乙的速度为． (1)求甲、乙两人之间的距离与追赶的时间之间的函数关系式； (2)甲从A点追赶乙，经过，求甲前行了多少米？ (3)甲追赶后，甲、乙相距多少米？若此时甲速度增加，提速后甲追上乙还需要多少秒？ 22．（本题9分）【问题呈现】小华遇到这样一个问题，如图1，中，，，，在内部有一点，连接、、，求的最小值． 【问题解决】小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接、，则的长即为所求． (1)请你写出图2中，的最小值为______； (2)【类比应用】如图3，直角坐标系中有菱形，点与原点重合，坐标为，，若在菱形内部有一动点，试求的最小值，并求出此时点的坐标是多少； (3)【生活实际】如图4，一个矩形菜地的三个顶点处建有三个菜窖，现打算在矩形菜地内部建一个蔬菜运输点，经研究发现，运输点到三个菜窖的总路程至少为千米，若，则此矩形菜地的面积至少为______平方千米． 23．（本题10分）如图①，在中，，在中，，，边与重合．动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，同时，如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；设运动时间为．解答下列问题： (1)当为何值时，点？ (2)如图③，分别连接，设四边形的面积为．求与的函数关系式； (3)如图④，过点作，交于点，是否存在某一时刻，使平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 24．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于B点，交y轴于C点，抛物线经过B、C两点且与x轴交于另一点A． (1)求A、B、C的坐标及抛物线的解析式； (2)若点P是直线上方抛物线上一点，求面积的最大值及点P的坐标； (3)若点H是抛物线上一动点，且横坐标为m，、为平面内任意两点，连接、，以、为边构造矩形．当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而变化时，求m的取值花围． 10 / 11 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$1 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共 10个小题，共 78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（6分） 2025年中考押题预测卷（长春卷） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B铅笔填涂) 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题 3分，共 18分） 9．_________________ 10．___________________ 11．___________________ 12．_________________ 13．___________________ 14．___________________ 一、选择题（每小题 3分，共 24分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 16．（6分） 17. （6分） 18. （7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. （7分） 20. （7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！21.（8分） 22. （9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025年中考押题预测卷（长春卷） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．北京时间2025年1月21日1时12分，经过约小时的出舱活动，“神舟十九号”乘组航天员蔡旭哲、宋令东、王浩泽密切协同，在空间站机械臂和地面科研人员的配合支持下，完成了空间站空间碎片防护装置安装、舱外设备设施巡检等任务．出舱航天员蔡旭哲、宋令东已安全返回问天实验舱，出舱活动取得圆满成功.如果航天员蔡旭哲出舱前5秒记为秒，那么航天员蔡旭哲出舱后10秒应记为（ ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【答案】A 【分析】本题考查了正数和负数，准确理解它们是表示相反意义的量是解题的关键．正数和负数是表示相反意义的量，根据题目中的规定用正数或负数表示即可． 【详解】解：如果航天员蔡旭哲出舱前5秒记为秒，那么航天员蔡旭哲出舱后10秒应记为秒． 故选： 2．中国四大白瓷系列之一的衢州莹白瓷被誉为瓷中珍品，下图是衢州莹白瓷的直口杯，它的主视图是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三视图的特点，理解立体图形特点，掌握三视图的特点是关键． 根据立体图形，三视图的特点分析即可求解． 【详解】解：衢州莹白瓷的直口杯，它的主视图是， 故选：A ． 3．第十二届世界运动会将于2025年8月7日至17日在成都举行，届时需要大约15000名志愿者，共同参与成都世运会志愿服务工作．其中数据15000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：数据15000用科学记数法表示为， 故选：B． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，除法，幂的乘方，积的乘方及合并同类项，熟练掌握幂运算法则及合并同类项得法则是解题的关键．根据幂运算法则及合并同类项法则，即可判断答案． 【详解】解：A、，所以A选项错误，不符合题意； B、，所以B选项正确，符合题意； C、，所以C选项错误，不符合题意； D、，所以D选项错误，不符合题意； 故选：B． 5．如图，滑雪道的长为，则滑雪道的竖直高度的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数的定义解答即可． 本题考查了正弦函数的应用，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，的长为， 故， 故选：B． 6．在中，，小明按照下面的方法作图：①以B为圆心为半径画弧，交于点D；②分别以C，D为圆心大于为半径画弧，两弧交于点M；③作射线，交于点E．根据小明画出的图形，判断下列说法正确的是（    ） A．E是中点 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图，熟练掌握尺规作垂线的方法是解题的关键．根据尺规作图即可解答． 【详解】解：由作图可得，是的垂线， ． 故选：C． 7．下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式． 根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式，掌握不等式的性质，解不等式的方法是关键． 根据不等式的性质“不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变”求解不等式即可． 【详解】解：A、， 解得，， 不等号的方向为改变，不符合题意； B、， 解得，， 不等号的方向为改变，不符合题意； C、， 解得 ，， 不等号的方向改变，解集符合图示，故符合题意； D、， 解得，， 不等号的方向改变，但解集不符合图示，故不符合题意； 故选：C ． 8．如图，的顶点坐标分别为，，若反比例函数的图象经过内部或边界上的整点（横、纵坐标都是整数），则k的取值共有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】根据题意，找到符合条件整点即可得到k的个数．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，找到符合条件的整点是关键． 【详解】解：的顶点坐标分别为，，，点P为内部或边界上的整点， 这样的整点有：，，，， 反比例函数的图象经过内部或边界上的整点横、纵坐标都是整数， 值有1，2，3，4，共4个． 故选：B． 第Ⅱ卷 2、 填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 9．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10． ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了算术平方根的定义，正确化简是解题关键．直接利用算术平方根的定义化简得出答案． 【详解】解：． 故答案为：2． 11．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式求参数，理解一元二次方程两个相等的实数根的含义，掌握根的判别式的计算是关键． 根据，方程有两个相等的实数根即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得，， 故答案为：1 ． 12．如图，中，，，为斜边上一点，作的外接圆，交边于点，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，则，再由圆周角定理即可求得解． 【详解】 如图，， 连接，在中，，则， ∵， ∴， 由圆周角定理得到：． 故答案为：． 13．直线向上平移2个单位后得到的直线解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直线的平移，根据“上加下减，左加右减”的法则求解即可． 【详解】解：直线向上平移2个单位后得到的直线解析式为， 故答案为：． 14．如图，在直角坐标系中，等边三角形的顶点A的坐标为，点B，C均在x轴上．将绕顶点A逆时针旋转得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质、解直角三角形、等边三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．作轴交于点F，根据等边三角形的性质得到，利用余弦的定义求出的长，根据旋转的性质得到是等边三角形，利用三角函数的知识求出和的长，即可求出点的坐标． 【详解】解：如图，作轴交于点F， 由题意得：， ∵是等边三角形，， ∴是的角平分线，， ∴， 在中，， ∴， 由旋转的性质得，是等边三角形，，， 又∵轴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本题6分）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简与求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．利用分式的运算法则化简，再代值计算即可求解． 【详解】解： ， 代入，原式． 16．（本题6分）中国古代有许多著名的数学文献，如《周髀算经》《海岛算经》《孙子算经》．某中学拟从这部数学名著中选择部进行学习，用列表法或画树状图法求出选中的部名著中，有部是《周髀算经》的概率，（将《周髀算经》《海岛算经》《孙子算经》分别记为，，） 【答案】有部是《周髀算经》的概率为． 【分析】本题考查了画树状图法求概率，画出树状图求概率即可，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：根据题意画树状图如下： 共有种等可能的结果，恰好有部是《周髀算经》的结果数有种， ∴有部是《周髀算经》的概率为． 17． （本题6分）小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录．小亮周六进行了两组运动，第一组安排30个深蹲，20个开合跳，健身软件显示消耗热量34千卡；第二组安排20个深蹲，40个开合跳，健身软件显示两组运动共消耗热量70千卡．小亮平均每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少千卡热量？ 【答案】小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗0.8千卡，0.5千卡热量． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，理解数量关系，正确列式求解是关键． 设小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗x千卡，y千卡热量，由此列式方程组求解即可． 【详解】解：设小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗x千卡，y千卡热量， 由题意得：， 解得：， 答：小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗0.8千卡，0.5千卡热量． 18．（本题7分）如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的证明，矩形的判定与性质，三角形内角和定理，通过比值换算，求出角的度数，再通过三角形内角和计算是解题的关键． （1）要证明平行四边形是矩形，证明求得即可． （2）首先根据矩形的性质和得到，，则，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中，， ，， ∵四边形是平行四边形，， ， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）得：四边形是矩形， ，， ， 在直角三角形中，， ． 19．（本题7分）为落实“双减”政策，培养德智体美劳全面发展的时代新人，某校组织调研学生体育和美育发展水平，现从七年级共名学生中随机抽取名学生，对每位学生的体育和美育水平进行测评后按百分制分数量化，并进行等级评定（成绩用表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；待提高：）．对数据进行整理、描述和分析，部分信息如下． 信息一：体育成绩的人数（频数）分布图如下． 信息二：美育成绩的人数（频数）分布表如下． 分组 人数 信息三：位学生的体育成绩和美育成绩得分统计如下（共个点）． 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：_____； (2)下列结论正确的是_____；（填序号） ①体育成绩低于分的人数占抽取人数的； ②参与测评的名学生美育成绩的中位数对应的等级是“合格”； ③在信息三中，相比于点所代表的学生，点所代表的学生的体育水平与其大致相同，但美育水平还存在一定差距，需要进一步提升； (3)请结合以上信息，估计七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数． 【答案】(1) (2)①③ (3)七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数有人 【分析】本题主要考查了条形统计图和统计表，个体占比，中位数的定义，用样本估计总体，熟练掌握从图表中获取信息是解题关键． （1）用样本总体减去良好、合格、待提高的人数，即可求解； （2）①用体育成绩低于分的人数除以样本总体即可求解；②用中位数的定义判断即可求解；③根据坐标得出点和点各自的美育和体育的成绩，判断即可求解； （3）用样本估计总体即可求解． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：①由统计图可知：体育成绩低于分的人数有人， 体育成绩低于分的人数占抽取人数的，故①正确； ②一共有人，成绩从小到大排序，中位数为第位和第位的平均数， 中位数位于之间， 即参与测评的名学生美育成绩的中位数对应的等级是“良好”，故②错误； ③在信息三中，点的美育成绩为，体育成绩为， 点的美育成绩为，体育成绩为， 相比于点所代表的学生，点所代表的学生的体育水平与其大致相同，但美育水平还存在一定差距，需要进一步提升，故③正确； 故答案为：①③． （3）解：根据信息三可知：美育和体育成绩都在分及以上的人数只有人， 七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数有人． 20．（本题7分）如图方格中，小正方形边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点．请按下列要求画出一个符合题意的四边形，且顶点在格点上． (1)在图1中画：是中心对称图形，但不是轴对称图形，且面积为8； (2)在图2中画：是轴对称图形，但不是中心对称图形，且面积为10； (3)在图3中画：既不是中心对称图形又不是轴对称图形，且面积为10； (4)在图4中画：既是中心对称图形又是轴对称图形，且各边长都是无理数，面积为10． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 (4)画图见解析 【分析】（1）利用网格特点画一个面积为的平行四边形即可； （2）利用网格特点画以为对称轴的两个全等三角形，且两个三角形的面积和为即可； （3）利用网格特点画一个四边不相等，且面积为的四边形即可； （4）利用网格特点画一个边长为的正方形即可； 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求； 理由：∵，， ∴四边形是平行四边形，是中心对称图形，不是轴对称图形，， ∴四边形即为所求． （2）解：如图，四边形即为所求； 理由：连接， ∵，， 而， ∴，， ∴四边形即为所求； （3）解：如图，四边形即为所求； 理由：由勾股定理可得：， ， ∴四边形即为所求； （4）解：如图，四边形即为所求； 理由：连接， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形，， ∴四边形即为所求． 【点睛】本题考查的是轴对称图形与中心对称图形的性质，平行四边形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定与性质，图形面积的计算，掌握基础图形的性质是解本题的关键． 21．（本题8分）如图1，甲、乙两人在一条笔直的公路上同向匀速而行，甲从A点开始追赶乙，甲超过乙之前，甲、乙两人之间的距离与追赶的时间的关系如图2所示，已知乙的速度为． (1)求甲、乙两人之间的距离与追赶的时间之间的函数关系式； (2)甲从A点追赶乙，经过，求甲前行了多少米？ (3)甲追赶后，甲、乙相距多少米？若此时甲速度增加，提速后甲追上乙还需要多少秒？ 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． （1）先设出函数解析式，然后根据图象中数据，即可求得该函数的解析式； （2）根据图象中的数据，可以求得甲的速度，然后即可计算出甲从A点追赶乙，经过走的路程； （3）将代入（1）中的函数解析式求出相应的y的值，然后根据（2）中甲的速度，可以求出加速后的速度，最后即可计算出提速后甲追上乙还需要多少秒． 【详解】（1）解：设甲、乙两人之间的距离与追赶的时间之间的函数关系式为， ∵点，在该函数图象上，∴，解得， 即甲、乙两人之间的距离与追赶的时间之间的函数关系式为； （2）解：甲的速度为：（）， 则甲从A点追赶乙，经过，甲走的路程为：（米）， 答：甲从A点追赶乙，经过，甲前行了272米； （3）解：将代入，得， 设甲提速后，追上乙需要m秒， （秒）， 答：甲追赶10s后，甲、乙相距72米，若此时甲速度增加，提速后甲追上乙还需要24秒． 22．（本题9分）【问题呈现】小华遇到这样一个问题，如图1，中，，，，在内部有一点，连接、、，求的最小值． 【问题解决】小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接、，则的长即为所求． (1)请你写出图2中，的最小值为______； (2)【类比应用】如图3，直角坐标系中有菱形，点与原点重合，坐标为，，若在菱形内部有一动点，试求的最小值，并求出此时点的坐标是多少； (3)【生活实际】如图4，一个矩形菜地的三个顶点处建有三个菜窖，现打算在矩形菜地内部建一个蔬菜运输点，经研究发现，运输点到三个菜窖的总路程至少为千米，若，则此矩形菜地的面积至少为______平方千米． 【答案】(1) (2)的最小值为，此时 (3) 【分析】（1）结合旋转性质得，则，，，故，运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）模仿题干，将绕点顺时针旋转，得到，连接，，，当、、、四点共线时，值最小，最小值为线段的长，设交于点．得出是等边三角形，则，再根据菱形的性质得，同理得，故，结合解直角三角形的正列式，，整理得，即可作答． （3）如图4中，将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作交的延长线于．当共线时，的值最小，最小值为线段的长．则，，因为运输点到三个菜窖的总路程至少为千米，列式，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，如图2中， 将绕点顺时针旋转，得到， ， ，，， ， ， ． 在中， ，，， ， 即的最小值为． （2）解：如图3中，连接，将绕点顺时针旋转，得到，连接，，，当、、、四点共线时，值最小，最小值为线段的长，设交于点． 将绕点顺时针旋转，得到， ， ，， 是等边三角形， ，． 菱形中，， ， ，， 同理，， ． 连接，交于点， 则． 在中，，，， ， ，，． 的最小值为， 此时． （3）解：如图4中，将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作交的延长线于．当共线时，的值最小，最小值为线段的长． 设千米，则千米， 千米，，， ， （千米），（千米）， ， ∵运输点到三个菜窖的总路程至少为千米， ∴千米， ， ， ， 的最小值为2千米，的最小值为千米， 此矩形菜地的面积的最小值为平方千米． 【点睛】本题考查了最短路径，勾股定理，旋转性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，解直角三角形的相关运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 23．（本题10分）如图①，在中，，在中，，，边与重合．动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，同时，如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；设运动时间为．解答下列问题： (1)当为何值时，点？ (2)如图③，分别连接，设四边形的面积为．求与的函数关系式； (3)如图④，过点作，交于点，是否存在某一时刻，使平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据时进而推出，以此建立关于分式方程求解即可． （2）首先求出和的高和，然后求得，再根据即可求出结论． （3）通过平行线构造等腰，利用等腰直角三角形的性质分别用表示出和，然后建立关于的方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，交于点． 根据题意． 当时，，由于为等腰直角三角形， 又因，则． ， ， 解得：． （2）解：如图，过点作，过点作分别为垂足． 根据题意． 则， ． （3）解：如图，过点作交延长线于点，过点作，垂足为，过点作为垂足．则四边形为矩形． 根据题意，则， ， ， ， 由（2）可知， ， ， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了直角三角形和等腰三角形的性质，解直角三角形，平行线的性质，勾股定理，矩形的性质和判定，利用三角函数求出相关边的长度是解答本题的关键． 24．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于B点，交y轴于C点，抛物线经过B、C两点且与x轴交于另一点A． (1)求A、B、C的坐标及抛物线的解析式； (2)若点P是直线上方抛物线上一点，求面积的最大值及点P的坐标； (3)若点H是抛物线上一动点，且横坐标为m，、为平面内任意两点，连接、，以、为边构造矩形．当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而变化时，求m的取值花围． 【答案】(1)，，， (2)， (3)或 【分析】（1）利用直线与坐标轴的交点解法，待定系数法依次解答即可； (2) 过点P作轴交直线于点D，结合抛物线，直线解析式，设，则，则， 计算，利用二次函数的最值解答即可． (3) 当点P、M重合时，则，确定，①当点M在点P的下方时和②当点M在点P的上方时，两种情况解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， ∴，， ∵B、C在上， ∴，解得， ∴， 当时，解得，， ∴． （2）解：过点P作轴交直线于点D， 设点，则， 则， ∴， ∵， ∴开口向下，函数有最大值， 且当时，有最大值为， ∴． （3）解：当点P、M重合时，则， ∴， ①当点M在点P的下方时，即， 由题意得：， 当点P、N达到对称轴两侧对称的位置时，则，这之前矩形内没有函数y的图象， 当时，形区域内的函数y随x的增大而减小，即． ②当点M在点P的上方时，即或， 当点Q在对称轴左侧时，即，此时矩形内的抛物线y随x的增大而增大， 当点P离开顶点时，即，此时矩形内的抛物线y随x的增大而减小， 即， 综上，或． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式计算，抛物线的增减性，最值，矩形的性质，求不等式的解集，熟练掌握矩形的性质，抛物线的性质计算是解题的关键． 28 / 29 23 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$