专题02 勾股定理（新疆专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题02 勾股定理 题型概览 题型01勾股定理 题型02勾股定理的逆定理 ( 题型01 ) 勾股定理 一、单选题 1．（23-24八下·新疆乌鲁木齐市经开区实验学校·期末）若一个直角三角形的两条直角边长分别为5和12，则其第三边的长为（    ） A． B．9C．D．13 2．（23-24八下·新疆维吾尔自治区克孜勒苏柯尔克孜自治州·期末）如图，在边长为1的正方形中，点在边上，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八下·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第一中学·期末）在下列四组数中，属于勾股数的是（　　） A．2，3，4B．3，4，5C．4，6，7 D．6，8，9 4．（23-24八下·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第一中学·期末）如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（    ） A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 5．（23-24八下·新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州·期末）下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．2，3，4 B．4，5，6 C．7，8，9 D．3，4，5 6．（23-24八下·新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州·期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是4、5、2、4，则最大正方形E的面积是（    ）    A．15 B．61 C．69 D．72 7．（23-24八下·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市·期末）如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八下·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市·期末）如图，某公园的一块草坪旁边有一条直角小路，公园管理处为了方便群众，沿修了一条近路，已知米，米，则走这条近路可以少走（   ）米路 A．30 B．20 C．50 D．40 9．（23-24八下·新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州·期末）在直角三角形中，两直角边的长度分别为和．则斜边的长为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八下·新疆维吾尔自治区喀什地区·期末）有一个三角形两边长分别为4和5，要使三角形为直角三角形，则第三边长为（  ） A．3 B． C．3或 D．3或 二、填空题 11．（23-24八下·新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州奇台县·期末）已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为_________． 12．（23-24八下·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市沙依巴克区·期末）已知△ABC，，，是边上的中线，那么点到直线的距离是_________． 13．（23-24八下·新疆维吾尔自治区克拉玛依市白碱滩区·期末）如图，长方体鱼缸长宽高分别为120cm，50cm，40cm，一只壁虎从外表面点A出发，沿长方体表面爬到内侧点E处，点E在棱上且距离上沿10cm，壁虎爬行最短路程是_________cm． 14．（23-24八下·新疆维吾尔自治区克孜勒苏柯尔克孜自治州·期末）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是_________ 15．（23-24八下·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第一中学·期末）如图，圆柱的底面周长是14cm，圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为_________. 16．（23-24八下·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第一中学·期末）如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则________． 17．（23-24八下·新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州·期末）受台风影响，马路边一颗大树在离地面处折断，大树顶端落在离大树底部处，则大树折断之前高_________． 18．（23-24八下·新疆维吾尔自治区吐鲁番市·期末）若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为_________． 19．（23-24八下·新疆维吾尔自治区喀什地区·期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接CE，则CE的长为_________． 20．（23-24八下·新疆维吾尔自治区喀什地区疏勒县·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则EF的长度是_________． 三、解答题 21．（23-24八下·新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州奇台县·期末）如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量米，求这棵树的高度．（结果保留根号） 22．（23-24八下·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市实验学校·期末）如图，在四边形中，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 23．（23-24八下·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第一中学·期末）如图，在中，∠B=90º，，，，，求四边形的面积． 24．（23-24八下·新疆维吾尔自治区阿克苏地区·期末）小明同学在学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝离地面的高度（如图），他进行了如下操作： ①测得的长度为（注：）； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长度为； ③牵线放风筝的小明同学的身高为． 求风筝离地面的高度（结果保留两位小数，）． 25．（23-24八下·新疆维吾尔自治区喀什地区·期末）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，若AD＝2BD，AC＝3，BC＝2，求BD的长． 26．（23-24八下·新疆维吾尔自治区喀什地区·期末）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向600km的B处，以每小时200km的速度向北偏东60°的方向移动，距台风中心500km的范围内是受台风影响的区域． （1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？ （2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？ ( 题型02 ) 勾股定理的逆定理 一、单选题 1．（23-24八下·新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州奇台县·期末）下列各组数中，能构成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（23-24八下·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市实验学校·期末）下列各组数中，不能作直角三角形三边长的是（    ） A．4，5，6 B．1，1， C．5，3，4 D．1，， 3．（23-24八下·新疆维吾尔自治区克拉玛依市白碱滩区·期末）下列各组数中以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（23-24八下·新疆维吾尔自治区克孜勒苏柯尔克孜自治州·期末）下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．（23-24八下·新疆维吾尔自治区阿克苏地区·期末）现有两根长度分别为和的木棒，下列长度的木棒能跟过两根木棒拼成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八下·新疆维吾尔自治区吐鲁番市·期末）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 7．（23-24八下·新疆维吾尔自治区吐鲁番市·期末）已知三角形的三边长，，满足，则该三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 8．（23-24八下·新疆维吾尔自治区喀什地区·期末）如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（　　） A．7，， B．，， C．3，4，5 D．5，， 二、填空题 9．（23-24八下·新疆维吾尔自治区喀什地区·期末）若△ABC的三边a、b、c满足，则△ABC的面积为_________． 三、解答题 10．（23-24八下·新疆乌鲁木齐市经开区实验学校·期末）在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且满足++|c﹣2|=0，判断△ABC是否构成直角三角形，并说明理由． 11．（23-24八下·新疆维吾尔自治区克拉玛依市白碱滩区·期末）如图，在△ABC中，，，，是的边上的高，为垂足，且，.    (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的长. 12．（23-24八下·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第一中学·期末）如图，在中，∠B=90º，，，，，求四边形的面积． 13．（23-24八下·新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州·期末）如图，在边长为的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上； (1)证明△ABC是直角三角形； (2)求边上的高． 14．（23-24八下·新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D是网格线的交点． (1)探索与的位置关系，并说明理由； (2)求四边形的面积． 15．（23-24八下·新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州·期末）如图所示，在四边形中，∠D=90º，，，，． (1)试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)求四边形的面积． 16．（23-24八下·新疆维吾尔自治区喀什地区·期末）已知△ABC的三边分别为a，b，c，且满足，， ，求证△ABC为直角三角形． 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 勾股定理 题型概览 题型01勾股定理 题型02勾股定理的逆定理 ( 题型01 ) 勾股定理 一、单选题 1．（23-24八下·新疆乌鲁木齐市经开区实验学校·期末）若一个直角三角形的两条直角边长分别为5和12，则其第三边的长为（    ） A． B．9C．D．13 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的长的平方和等于斜边长的平方，据此求解即可． 【详解】解：∵一个直角三角形的两条直角边长分别为5和12， ∴第三边的长为， 故选：D． 2．（23-24八下·新疆维吾尔自治区克孜勒苏柯尔克孜自治州·期末）如图，在边长为1的正方形中，点在边上，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，尺规作线段； 设，可得，表示出，然后利用勾股定理构建方程求出即可． 【详解】解：由作图得：， 设，则， ∴， 由勾股定理得：，即， 解得：，即的长为， 故选：B． 3．（23-24八下·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第一中学·期末）在下列四组数中，属于勾股数的是（　　） A．2，3，4B．3，4，5C．4，6，7 D．6，8，9 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，理解定义：“能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数．”是解题的关键． 【详解】解：A、，故不是勾股数，不符合题意； B、，故是勾股数，符合题意； C、，故不是勾股数，不符合题意； D、，故不是勾股数，不符合题意； 故选：B． 4．（23-24八下·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第一中学·期末）如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（    ） A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 【答案】D 【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深为x尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 芦苇的长度＝13（尺）， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么．也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解．有时也可以利用勾股定理列方程求解． 5．（23-24八下·新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州·期末）下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．2，3，4 B．4，5，6 C．7，8，9 D．3，4，5 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数：满足勾股定理且是正整数的数；利用勾股数的定义进行判断，逐个计算即可． 【详解】解：、因为，所以不是勾股数； 、因为，所以不是勾股数； 、因为，所以不是勾股数； 、因为，又3，4，5都是正整数，是勾股数． 故选：D． 6．（23-24八下·新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州·期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是4、5、2、4，则最大正方形E的面积是（    ）    A．15 B．61 C．69 D．72 【答案】B 【分析】根据勾股定理可知：直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方．两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积． 【详解】解：如下图：    由勾股定理可知：， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型． 7．（23-24八下·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市·期末）如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理的公式算出正方形的对角线长，即可得到答案． 【详解】解：数轴上正方形的边长为1， 则正方形的对角线长为：，即 则点A表示的数为 故答案为D 【点睛】本题考查勾股定理及两点间距离公式，熟记勾股定理的公式是解题的关键． 8．（23-24八下·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市·期末）如图，某公园的一块草坪旁边有一条直角小路，公园管理处为了方便群众，沿修了一条近路，已知米，米，则走这条近路可以少走（   ）米路 A．30 B．20 C．50 D．40 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出AC即可解决问题． 【详解】解：在Rt△ABC中， ∵AB=40米，BC=30米， ∴AC==50（米）， 30+40-50=20（米）， ∴他们踩坏了50米的草坪，只为少走20米的路． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意正确应用勾股定理． 9．（23-24八下·新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州·期末）在直角三角形中，两直角边的长度分别为和．则斜边的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的长的平方和等于斜边长的平方，据此求解即可． 【详解】解；∵在直角三角形中，两直角边的长度分别为和， ∴斜边的长为， 故选：A． 10．（23-24八下·新疆维吾尔自治区喀什地区·期末）有一个三角形两边长分别为4和5，要使三角形为直角三角形，则第三边长为（  ） A．3 B． C．3或 D．3或 【答案】D 【详解】解：当5为斜边时，则第三边长为：=3； 当4和5都是直角边时，则第三边长为：=， 综上所述，则这个三角形的第三边长为3或． 故选：D 二、填空题 11．（23-24八下·新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州奇台县·期末）已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为_________． 【答案】5或 【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论． 【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时， 第三边的长为：； ②长为3、4的边都是直角边时， 第三边的长为：； ∴第三边的长为：或5， 故答案为：或5． 12．（23-24八下·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市沙依巴克区·期末）已知△ABC，，，是边上的中线，那么点到直线的距离是_________． 【答案】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质及勾股定理的计算，同时也利用了三角形的面积．如图，过作的延长线于，首先可以证明，然后可以三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过作的延长线于， ，，是边上的中线， ，， ， ， ， 点到直线的距离是． 故答案为： 13．（23-24八下·新疆维吾尔自治区克拉玛依市白碱滩区·期末）如图，长方体鱼缸长宽高分别为120cm，50cm，40cm，一只壁虎从外表面点A出发，沿长方体表面爬到内侧点E处，点E在棱上且距离上沿10cm，壁虎爬行最短路程是_________cm． 【答案】130 【分析】根据题意，要爬行到内侧点E处，可作出点E关于A’D’的对称点E’，连接AE’，利用勾股定理求解即为爬行的最短路程． 【详解】解：作点E关于A’D’的对称点E’，连接AE’， 根据题意可得：，， ∴， 在中， ， ∴爬行的最短路程为130cm， 故答案为：130． 【点睛】题目主要考查轴对称的性质及勾股定理的应用，理解题意，作出相应图形是解题关键． 14．（23-24八下·新疆维吾尔自治区克孜勒苏柯尔克孜自治州·期末）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是_________ 【答案】7或25 【分析】已知的这两条边可以为直角边，也可以是一条直角边一条斜边，从而分两种情况进行讨论解答． 【详解】 解：直角三角形的两边长分别为3和4，分两种情况： 当3、4都为直角边时，第三边长的平方； 当3为直角边，4为斜边时，第三边长的平方． 故答案为：7或25． 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 15．（23-24八下·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第一中学·期末）如图，圆柱的底面周长是14cm，圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为_________. 【答案】25cm 【分析】把圆柱沿母线展开，点B展开后的对应点为B′，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为AB′，再根据勾股定理计算出AB′的长度即可． 【详解】把圆柱沿母线展开，点B展开后的对应点为B′，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为AB′，如图所示： ∵AC=24，CB′=7， ∴在Rt△ACB′，AB′=， ∴最短路程为25cm． 故答案是：25cm. 【点睛】考查了平面展开-最短路径问题，先把立体图形展开成平面图形，再根据两点之间，线段最短和勾股定理求解． 16．（23-24八下·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第一中学·期末）如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则________． 【答案】5 【分析】此题考查了矩形的折叠问题、勾股定理等知识，由四边形为矩形，得到，证明，则，设，则，在中，，得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， 由翻折可得， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中， ， 即， 解得， ∴． 故答案为：5． 17．（23-24八下·新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州·期末）受台风影响，马路边一颗大树在离地面处折断，大树顶端落在离大树底部处，则大树折断之前高_________． 【答案】 【分析】运用勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意，作图如下， ，，， ∴， ∴数的高度为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理与实际问题的综合，掌握勾股定理的运用是解题的关键． 18．（23-24八下·新疆维吾尔自治区吐鲁番市·期末）若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为_________． 【答案】3或 【分析】根据勾股定理逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，再分5为斜边或第三边为斜边两种情况考虑，即可求出第三边． 【详解】解：当较大的数5为斜边时，第三边， 当第三边为斜边时，第三边， 故答案为：3或． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，熟练掌握勾股定理的逆定理及分情况考虑是解题关键． 19．（23-24八下·新疆维吾尔自治区喀什地区·期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接CE，则CE的长为_________． 【答案】 【详解】EF垂直且平分AC，故AE=EC，AO=OC． 所以△AOE≌△COE． 设CE为x． 则DE=AD-x，CD=AB=2． 根据勾股定理可得x2=（3-x）2+22 解得CE=． 20．（23-24八下·新疆维吾尔自治区喀什地区疏勒县·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则EF的长度是_________． 【答案】 【分析】先利用矩形的性质得CD=AB=3，BC=AD=5，∠B=∠D=∠C=90°，则根据折叠的性质得AF=AD=5，EF=DE，再利用勾股定理计算出BF=4，则CF=BC-BF=1，设DE=EF=x，CE=3-x，然后利用勾股定理得到12+(3-x)2=x2，再解方程求出x即可． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴CD=AB=3，BC=AD=5，∠B=∠D=∠C=90°， ∵△ADE沿直线AE折叠，点D刚好落在BC边上的点F处， ∴AF=AD=5，EF=DE， 在Rt△ABF中，BF= ， ∴CF=BC-BF=5-4=1， 设DE=EF=x，CE=3-x，， 在Rt△CEF中，∵CF2+CE2=EF2， ∴12+(3-x)2=x2， 解得x=， 即EF的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 三、解答题 21．（23-24八下·新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州奇台县·期末）如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量米，求这棵树的高度．（结果保留根号） 【答案】大树的高度为米 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键，根据勾股定理可得到，再由即为树高，进而得到答案. 【详解】解：由题可得：，， ∵， 在中，由勾股定理得：， ∴米. 答：大树的高度为米. 22．（23-24八下·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市实验学校·期末）如图，在四边形中，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）连接，在中，由勾股定理可求得，在中，设，根据勾股定理即可求得的长； （2）根据三角形的面积公式分别求得和，然后根据即可求得答案． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，，， ∴在中，． 在中，设， 则， 即：， 解得：． ∴的长为． （2）解：∵，． ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、求三角形的面积，熟练应用勾股定理求解是解题的关键. 23．（23-24八下·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第一中学·期末）如图，在中，∠B=90º，，，，，求四边形的面积． 【答案】四边形的面积为 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握相关的定理．先根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理得到，最后根据，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ， ，， ，， ， ， ， 四边形的面积为． 24．（23-24八下·新疆维吾尔自治区阿克苏地区·期末）小明同学在学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝离地面的高度（如图），他进行了如下操作： ①测得的长度为（注：）； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长度为； ③牵线放风筝的小明同学的身高为． 求风筝离地面的高度（结果保留两位小数，）． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 由题意知，，，由勾股定理得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 由勾股定理得，， ∴， ∴风筝离地面的高度为． 25．（23-24八下·新疆维吾尔自治区喀什地区·期末）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，若AD＝2BD，AC＝3，BC＝2，求BD的长． 【答案】． 【详解】试题分析：因为CD⊥AB，所以△ACD和△BCD都是直角三角形，都利用勾股定理表示CD的长，得到方程即可求解． 试题解析：根据题意CD2=AC2-AD2=32-（2BD）2=9-4BD2， CD2=BC2-BD2=22-BD2=4-BD2， ∴9-4BD2=4-BD2， 解得BD2=， ∴BD=． 26．（23-24八下·新疆维吾尔自治区喀什地区·期末）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向600km的B处，以每小时200km的速度向北偏东60°的方向移动，距台风中心500km的范围内是受台风影响的区域． （1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？ （2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？ 【答案】（1）A城受到台风的影响；（2）4. 【分析】（1）点到直线的线段中垂线段最短，故应由A点向BC作垂线，垂足为M，若AM＞500则A城不受影响，否则受影响； （2）点A到直线BC的长为500千米的点有两点，分别设为D、G，则△ADG是等腰三角形，由于AM⊥BC，则M是DG的中点，在Rt△ADM中，解出MD的长，则可求DG长，在DG长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间． 【详解】解： （1）A城受到这次台风的影响， 理由：由A点向BC作垂线，垂足为M， 在Rt△ABM中，∠ABM=30°，AB=600km，则AM=300km， 因为300＜500，所以A城要受台风影响； （2）设BC上点D，DA=500千米，则还有一点G，有 AG=500千米． 因为DA=AG，所以△ADG是等腰三角形， 因为AM⊥BC，所以AM是DG的垂直平分线，MD=GM， 在Rt△ADM中，DA=500千米，AM=300千米， 由勾股定理得，MD==400（千米）， 则DG=2DM=800千米， 遭受台风影响的时间是：t=800÷200=4（小时）， 答：A城遭受这次台风影响时间为4小时． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及点到直线的距离=速度×时间等，构造出直角三角形是解题关键． ( 题型02 ) 勾股定理的逆定理 一、单选题 1．（23-24八下·新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州奇台县·期末）下列各组数中，能构成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理逐项分析判断即可. 【详解】解：、∵， ∴，，不能构成直角三角形，故选项不符合题意； 、∵， ∴，，不能构成直角三角形，故选项不符合题意； 、∵， ∴，，能构成直角三角形，故选项符合题意； 、∵， ∴，，不能构成直角三角形，故选项不符合题意； 故选：． 2．（23-24八下·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市实验学校·期末）下列各组数中，不能作直角三角形三边长的是（    ） A．4，5，6 B．1，1， C．5，3，4 D．1，， 【答案】A 【分析】利用勾股定理的逆定理求解，若满足勾股定理的逆定理则能够组成直角三角形． 【详解】解：根据勾股定理的逆定理可知，若三个数满足，则可以构成直角三角形， A. ，不能构成直角三角形三边长，负符合题意； B. 1，1，，满足，能构成直角三角形三边长，不符合题意； C. 5，3，4，满足，能构成直角三角形三边长，不符合题意； D. 1，，，满足，能构成直角三角形三边长，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理的逆应用，判断三个数能否构成直角三角形的三边长，比较简单，关键是看这三个数是否满足． 3．（23-24八下·新疆维吾尔自治区克拉玛依市白碱滩区·期末）下列各组数中以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．由勾股定理的逆定理逐项分析即可解题． 【详解】解：A.∵ ， ， 能构成直角三角形，故A不符合题意； B.∵ ， 不能构成直角三角形，故B符合题意； C. ∵， ， ∴能构成直角三角形，故C不符合题意； D. ∵ ∴能构成直角三角形，故D不符合题意， 故选：B． 4．（23-24八下·新疆维吾尔自治区克孜勒苏柯尔克孜自治州·期末）下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断，掌握勾股定理的逆定理是解决本题的关键．根据勾股定理的逆定理，即可求得． 【详解】解：A、，故是直角三角形，故A选项不符合题意； B、，故是直角三角形，故B选项不符合题意； C、，故不是直角三角形，故C选项符合题意； D、，故是直角三角形，故D选项不符合题意． 故选：C． 5．（23-24八下·新疆维吾尔自治区阿克苏地区·期末）现有两根长度分别为和的木棒，下列长度的木棒能跟过两根木棒拼成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理对各选项判断作答即可． 【详解】解：由题意知，A中，能构成直角三角形，故符合要求； B中，不能构成直角三角形，故不符合要求； C中，不能构成直角三角形，故不符合要求； D中，不能构成直角三角形，故不符合要求； 故选：A． 6．（23-24八下·新疆维吾尔自治区吐鲁番市·期末）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据直角三角形斜边最长及勾股定理逆定理逐项分析即可求解． 【详解】A.，不符合题意； B. ，不符合题意； C.，不符合题意； D. ，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，理解勾股定理逆定理是解题的关键． 7．（23-24八下·新疆维吾尔自治区吐鲁番市·期末）已知三角形的三边长，，满足，则该三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】先根据非负数的性质求出abc的值，再根据勾股定理逆定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴a=6，b=8，c=10， ∵62+82=102， ∴该三角形的形状为直角三角形． 故选D． 【点睛】本题考查了非负数的性质，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形是解答本题的关键． 8．（23-24八下·新疆维吾尔自治区喀什地区·期末）如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（　　） A．7，， B．，， C．3，4，5 D．5，， 【答案】B 【分析】 本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形． 先分别求出两小边的平方和，以及最长边的平方，再看看是否相等即可． 【详解】解：A. ，以7，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B. ，以，，为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；     C. ，以3，4，5为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D.  ，以5，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 二、填空题 9．（23-24八下·新疆维吾尔自治区喀什地区·期末）若△ABC的三边a、b、c满足，则△ABC的面积为_________． 【答案】30 【详解】∵|a−5|+(b−12)²+=0， ∴a−5=0，b−12=0，c−13=0， 解得a=5，b=12，c=13， ∵5²+12²=13²， ∴△ABC是直角三角形， ∴△ABC的面积为5×12÷2=30. 故答案为30. 三、解答题 10．（23-24八下·新疆乌鲁木齐市经开区实验学校·期末）在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且满足++|c﹣2|=0，判断△ABC是否构成直角三角形，并说明理由． 【答案】构成直角三角形，见解析 【分析】根据非负数的性质求出a，b，c，再根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：△ABC构成直角三角形，理由如下： ∵++|c﹣2|=0， ∴a﹣=0，b﹣4=0，c﹣2=0， 解得a=，b=4，c=2， ∵， ∴ ∴△ABC构成直角三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、绝对值及算术平方根的非负性，关键在于根据非负数的性质求出a，b，c，从而得出三角形的形状． 11．（23-24八下·新疆维吾尔自治区克拉玛依市白碱滩区·期末）如图，在△ABC中，，，，是的边上的高，为垂足，且，.    (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的长. 【答案】(1)是直角三角形；(2)． 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理的应用． （1）根据勾股定理先求出，再利用勾股定理的逆定理判断即可； （2）由是的边上的高，利用面积法计算即可． 【详解】（1）解：∵在△ABC中，，，， 根据勾股定理， ∵， ∴是直角三角形； （2）解：∵是的边上的高， ∴， ∴． 12．（23-24八下·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第一中学·期末）如图，在中，∠B=90º，，，，，求四边形的面积． 【答案】四边形的面积为 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握相关的定理．先根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理得到，最后根据，即可求解． 【详解】解：在中，∠B=90º，，， ， ，， ，， ， ， ， 四边形的面积为． 13．（23-24八下·新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州·期末）如图，在边长为的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上； (1)证明△ABC是直角三角形； (2)求边上的高． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）利用勾股定理及勾股定理的逆定理即可证明； （2）利用等积法求解即可． 【详解】（1）证明：∵△ABC的三个顶点均在边长为的小正方形组成的网格的格点上， ∴，，， ∵， ∴△ABC是直角三角形； （2）解：设BC边上的高为， ∴ ∴， ∴， ∴边上的高为． 【点睛】本题考查勾股定理及勾股定理逆定理，三角形的面积，运用了等积法的思想．掌握勾股定理及勾股定理逆定理是解题的关键． 14．（23-24八下·新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D是网格线的交点． (1)探索与的位置关系，并说明理由； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)．理由见解析；(2)30． 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理. （1）根据图中的数据，根据勾股定理的逆定理得到； （2）将四边形的面积分解为两个三角形的面积分别计算即可. 【详解】（1）解：．理由如下， 理由如下：由题意， ，，， ∴， ∴，即； （2）解：∴ . 15．（23-24八下·新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州·期末）如图所示，在四边形中，∠D=90º，，，，． (1)试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)△ABC为直角三角形；理由见解析；(2)36 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理：解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形． （1）先求出，再根据，得出结论即可； （2）代入数据计算即可． 【详解】（1）解：△ABC为直角三角形，理由如下： ∵∠D=90º， ，， ∴根据勾股定理得：， 在△ABC中，， ∴△ABC为直角三角形． （2）解： ． 16．（23-24八下·新疆维吾尔自治区喀什地区·期末）已知△ABC的三边分别为a，b，c，且满足，， ，求证△ABC为直角三角形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了完全平方公式，勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．利用完全平方公式可得，进而可得，根据勾股定理逆定理可得△ABC为直角三角形． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 又∵ ∴， ∴，． ∴△ABC是直角三角形． 18 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$