专题03 平行四边形（新疆专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题03 平行四边形 题型概览 题型01平行四边形 题型02特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形 ( 题型01 ) 平行四边形 一、单选题 1．（23-24八下·新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州奇台县·期末）下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（     ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24八下·新疆乌鲁木齐市经开区实验学校·期末）在四边形中，对角线与相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是(　 　) A．AB∥DC， B．AB∥DC，AD∥BC C．， D．， 3．（23-24八下·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市沙依巴克区·期末）如图，在□ABCD中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24八下··新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市沙依巴克区·期末）如图，在平行四边形ABCD中，于点E，于点F，若，则（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24八下·新疆维吾尔自治区克孜勒苏柯尔克孜自治州·期末）如图，平行四边形的对角线交于点，若，△OCD的周长为29，则的值为（    ）    A．18 B．36 C．38 D．39 6．（23-24八下··新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第一中学·期末）如图，在□ABCD中，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 7．（23-24八下·新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州·期末）在□ABCD中，， 则（   ） A． B． C． D． 8．（23-24八下·新疆维吾尔自治区阿克苏地区·期末）如图，□ABCD的对角线交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．②④ 9．（23-24八下·新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州·期末）下列不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．两条对角线相等 D．两条对角线互相平分 10．（23-24八下·新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州·期末）如图，将平行四边形折叠，使点C落在边上的点处，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 11．（23-24八下·新疆维吾尔自治区喀什地区·期末）如图，在▱ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于 （　 　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 12．（23-24八下·新疆维吾尔自治区喀什地区·期末）如图，在▱ABCD中，于点E，于点F．若，且的周长为40，则▱ABCD的面积为（    ） A．48 B．36 C．40 D．24 13．（23-24八下·新疆维吾尔自治区喀什地区疏勒县·期末）平行四边形ABCD中，∠A=50°，则∠B的度数是（    ） A．40° B．50° C．130° D．150° 14．（23-24八下·新疆维吾尔自治区喀什地区疏勒县·期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BE平分∠ABC交CD边于点E，且DE=2，则BC的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 二、填空题 15．（23-24八下·新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州奇台县·期末）如图，在▱ABCD中，于点，如果，则_______． 16．（23-24八下·新疆乌鲁木齐市经开区实验学校·期末）如图，▱ABCD中，，，，对角线，相交于点，过点的线段交于点，交于点，以下说法中：①；②；③；④的面积与的面积比为．其中，正确的序号有_______． 17．（23-24八下·新疆维吾尔自治区克拉玛依市白碱滩区·期末）如图，的对角线交于点O，若，的周长为29，则的值为_______． 18．（23-24八下·新疆维吾尔自治区喀什地区·期末）如图1，平行四边形纸片的面积为120，，．沿两对角线将四边形剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并(、重合)形成对称图形戊，如图2所示，则图形戊的两条对角线长度之和是______．    三、解答题 19．（23-24八下·新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州奇台县·期末）如图，，，点、在上，且． (1)求证：； (2)试证明：以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 20．（23-24八下·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市沙依巴克区·期末）如图，中，点在对角线上，且．求证：四边形是平行四边形． 21．（23-24八下·新疆维吾尔自治区克孜勒苏柯尔克孜自治州·期末）如图，在四边形中，对角线交于点．求证：四边形是平行四边形． 22．（23-24八下·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市·期末）如图，的对角线与相交于点，，，△ABO的周长是．    (1)求的度数； (2)求的长． 23．（23-24八下·新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州·期末）如图，在平行四边形中，点E、F分别是边的中点． (1)求证：； (2)若四边形的周长为12，，，求平行四边形的周长． ( 题型02 ) 特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形 一、单选题 1．（23-24八下·新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州奇台县·期末）下列图形中，是轴对称但不是中心对称的图形是（    ） A．正三角形 B．平行四边形 C．菱形 D．正方形 2．（23-24八下·新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州奇台县·期末）下列命题正确的是（ 　　） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．一组邻边相等的平行四边形是正方形 3．（23-24八下·新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州奇台县·期末）如图，在菱形中，．已知△ABC的周长是12，则菱形的周长是（　 　） A．20 B．16 C．15 D．12 4．（23-24八下·新疆乌鲁木齐市经开区实验学校·期末）如图，在作线段的垂直平分线时，小聪是这样操作的：分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点C，D，则直线即为所求．根据他的作图方法可知四边形一定是（    ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 5．（23-24八下·新疆乌鲁木齐市经开区实验学校·期末）如图，在矩形中，点M在边上，先将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．之后再将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为．若，，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 6．（23-24八下·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市实验学校·期末）已知四边形是平行四边形，下列说法正确的有（    ） ①当时，它是矩形；②当时，它是菱形；③当时，它是矩形；④当时，它是正方形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（23-24八下·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市实验学校·期末）如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线：上，直线分别交轴，轴于点，．将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为(    ) A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 8．（23-24八下·新疆维吾尔自治区克拉玛依市白碱滩区·期末）如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（　　 ） A．当，平行四边形是矩形 B．当，平行四边形是矩形 C．当，平行四边形是菱形 D．当，平行四边形是正方形 9．（23-24八下·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第一中学·期末）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，AC＝12，菱形ABCD的面积为96，则OH的长等于(   ) A．6 B．5 C．4 D．3 10．（23-24八下··新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第一中学·期末）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①CE＝CF，②∠AEB＝75°，③AG＝2GC，④BE+DF＝EF，⑤S△CEF＝2S△ABE，其中结论正确的个数为（　 　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 11．（23-24八下·新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州·期末）若一个菱形的周长是16，则它的边长是（    ） A． B．3 C． D．4 二、填空题 12．（23-24八下·新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州奇台县·期末）如图所示，△ABC中，E、F、D分别是上的中点，要使四边形是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是_________（在△ABC基础上添加） 13．（23-24八下·新疆乌鲁木齐市经开区实验学校·期末）如图，点O是矩形的对角线的中点，点E是的中点，，则的长为_________． 14．（23-24八下·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市实验学校·期末）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，若，，则为_________．    15．（23-24八下·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市实验学校·期末）如图，在矩形中，，点F在上，，点E是上的一个动点，若将四边形沿折叠，则当点B恰好落在矩形的一边上时，长为_________． 16．（23-24八下·新疆维吾尔自治区克拉玛依市白碱滩区·期末）如图，，是正方形的对角线上的两点，，，则四边形的周长是_________． 17．（23-24八下·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第一中学·期末）如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则_________． 18．（23-24八下·新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州·期末）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交， 于点E，F，连接，．若 则 _________． 19．（23-24八下·新疆维吾尔自治区阿克苏地区·期末）如图，在直角坐标系中，菱形的顶点P坐标是，则顶点N的坐标是_________． 20．（23-24八下·新疆维吾尔自治区阿克苏地区·期末）如图，正方形的边长为4，菱形的边长为3，则菱形的对角线的长为_________． 21．（22-23九年级上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市·期末）如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，，，点P是上一动点，点E是的中点，则的最小值为_________． 三、解答题 22．（23-24八下·新疆乌鲁木齐市经开区实验学校·期末）如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，且，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求的长． 23．（23-24八下·新疆乌鲁木齐市经开区实验学校·期末）【实践探究】 如图①，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的，你能说明这是为什么吗？ 【拓展提升】 如图②，在四边形中，，，连接．若，求四边线的面积． 24．（23-24八下·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市实验学校·期末）已知：如图，在□ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF． (1)求证：△ABE≌△FCE； (2)若AF＝AD，判断四边形ABFC的形状，并说明理由． 25．（23-24八下·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市实验学校·期末）如图，在中，∠B=90º，，，点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接、． (1)__________，__________（用表示）； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由； (3)当为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由． 26．（23-24八下·新疆维吾尔自治区克拉玛依市白碱滩区·期末）已知：如图，．，与相交于点，且．．求证：四边形为矩形． 27．（23-24八下·新疆维吾尔自治区克拉玛依市白碱滩区·期末）如图，在平面直角坐标系中，点B为原点，有一个，∠B=90°，，，点D从点C出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时．过点D作于点F，连接． (1)求证：． (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． (3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？ 28．（23-24八下·新疆维吾尔自治区克孜勒苏柯尔克孜自治州·期末）如图，已知AD是Rt△ABC的斜边BC上的中线，分别过点A，B作BC，AD的平行线，两直线交于点E．求证：四边形ADBE是菱形． 29．（23-24八下·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第一中学·期末）如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F是AC上的两点，并且AE=CF，连接DE，BF． （1）求证：△DOE≌△BOF； （2）若BD=EF，连接DE，BF．判断四边形EBFD的形状，并说明理由． 30．（23-24八下·新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州·期末）如图，在矩形中，A在延长线上，且，求证：四边形是平行四边形． 31．（23-24八下·新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州·期末）如图所示△ABC中，，，的平分线交于D点，于点E，于点F．    (1)求证：四边形为正方形； (2)若，，求的长． 32．（2024·新疆维吾尔自治区阿克苏地区·期末）如图，已知：在四边形中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)当，时，则四边形的面积为． 78 / 78 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平行四边形 题型概览 题型01平行四边形 题型02特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形 ( 题型01 ) 平行四边形 一、单选题 1．（23-24八下·新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州奇台县·期末）下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：A、，，两组对边分别相等的四边形为平行四边形，可得四边形是平行四边形，符合题意； B、，，无法得到四边形是平行四边形，不符合题意； C、，，无法得到四边形是平行四边形，不符合题意； D、，，可以得到四边形是等腰梯形，不符合题意； 故选A． 2．（23-24八下·新疆乌鲁木齐市经开区实验学校·期末）在四边形中，对角线与相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是(　 　) A．AB∥DC， B．AB∥DC，AD∥BC C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，利用平行四边形的判定方法依次判断可求解． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵，， ∴四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C、∵，， ∴四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D、由，，不能判定这个四边形是平行四边形，故选项D符合题意； 故选：D． 3．（23-24八下·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市沙依巴克区·期末）如图，在□ABCD中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质逐项分析判断即可求解． 【详解】∵四边形是平行四边形，对角线与相交于点， A. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 4．（23-24八下··新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市沙依巴克区·期末）如图，在平行四边形ABCD中，于点E，于点F，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，再证CF⊥BC，求出∠BCE=37°，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵CF⊥AD， ∴CF⊥BC， ∴∠BCF=90°， ∵∠ECF=53°， ∴∠BCE=90°-53°=37°， ∵CE⊥AB， ∴∠BEC=90°， ∴∠B=90°-∠BCE=90°-37°=53°， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 5．（23-24八下·新疆维吾尔自治区克孜勒苏柯尔克孜自治州·期末）如图，平行四边形的对角线交于点，若，△OCD的周长为29，则的值为（    ）    A．18 B．36 C．38 D．39 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角线互相平分可得的周长等于的周长，可得,从而可求出的值． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， 故选：B． 6．（23-24八下··新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第一中学·期末）如图，在□ABCD中，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行四边形性质得到，求出的度数后，根据两直线平行同旁内角互补，即可求出的度数． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， ， ， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，数量掌握平行线的性质是解答本题的关键． 7．（23-24八下·新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州·期末）在□ABCD中，， 则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质．解题的关键是掌握：平行四边形的对角相等，邻角互补．据此列式解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 8．（23-24八下·新疆维吾尔自治区阿克苏地区·期末）如图，□ABCD的对角线交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．②④ 【答案】D 【分析】由□ABCD，可得，，由平分，可得，证明是等边三角形，则，由，可得，即，可判断①的正误；由，，可求，则，即，可判断②的正误；由为中点，为中点，可得，则，即，可判断③的正误；由，可得，可判断④的正误． 【详解】解：∵□ABCD， ∴，， ∵平分， ∴， ∴△ABE是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即，①错误，故不符合要求； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴；②正确，故符合要求； ∵为中点，为中点， ∴， ∴，即，③错误，故不符合要求； 由题意知，， ∴，④正确，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，中位线等知识．熟练掌握平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，中位线是解题的关键． 9．（23-24八下·新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州·期末）下列不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．两条对角线相等 D．两条对角线互相平分 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟知平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，不符合题意； B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，不符合题意； C、两条对角线相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形对角线也相等，符合题意； D、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，不符合题意；； 故选：C． 10．（23-24八下·新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州·期末）如图，将平行四边形折叠，使点C落在边上的点处，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．根据平行线的性质求出的度数，根据折叠的性质求出的度数，利用三角形内角和求出． 【详解】解：设折痕与平行四边形交点为，如图所示， 四边形是平行四边形， ， ， 根据折叠可得， ． 故选：B． 11．（23-24八下·新疆维吾尔自治区喀什地区·期末）如图，在▱ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于 （　 　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【答案】B 【详解】解：如图， ∵AE平分∠BAD交BC边于点E， ∴∠BAE=∠EAD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC=5cm， ∴∠DAE=∠AEB， ∴∠BAE=∠AEB， ∴AB=BE=3cm， ∴EC=BC-BE=5-3=2cm． 故选B． 12．（23-24八下·新疆维吾尔自治区喀什地区·期末）如图，在▱ABCD中，于点E，于点F．若，且的周长为40，则▱ABCD的面积为（    ） A．48 B．36 C．40 D．24 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质可得，再由平行四边形的面积公式可得，可求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵▱ABCD的周长为40， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴的面积为． 故选：A 13．（23-24八下·新疆维吾尔自治区喀什地区疏勒县·期末）平行四边形ABCD中，∠A=50°，则∠B的度数是（    ） A．40° B．50° C．130° D．150° 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质解决问题即可． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠A＋∠B＝180°， ∵∠A＝50°， ∴∠B＝130°， 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 14．（23-24八下·新疆维吾尔自治区喀什地区疏勒县·期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BE平分∠ABC交CD边于点E，且DE=2，则BC的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】先根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质可得，又根据角平分线的定义可得，从而可得，然后根据等腰三角形的定义可得，最后根据线段的和差可求出CE的长，由此即可得出答案． 【详解】四边形ABCD是平行四边形，， ， ， 平分， ， ， ， 又， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的定义等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 二、填空题 15．（23-24八下·新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州奇台县·期末）如图，在▱ABCD中，于点，如果，则_______． 【答案】/25度 【分析】本题考查平行四边形的性质及直角三角形的两锐角互余，先由平行四边形的性质求出，再利用直角三角形两锐角互锐求出即可．解题关键是理清题中的条件． 【详解】∵四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 16．（23-24八下·新疆乌鲁木齐市经开区实验学校·期末）如图，▱ABCD中，，，，对角线，相交于点，过点的线段交于点，交于点，以下说法中：①；②；③；④的面积与的面积比为．其中，正确的序号有_______． 【答案】①③④ 【分析】过点作于点，连接，易通过证明，得到，再证四边形为菱形，进而判断①；根据平行四边形及菱形的性质，易证为等腰直角三角形，得到，则，设，则，在中，利用勾股定理建立方程，解得，进而求得，由平行线的性质得，由可得，以此判断②；在中，利用勾股定理求得，在中，利用勾股定理求得，以此判断③；易得到的距离为1，到的距离为1，则，，再进一步计算即可判断④． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ∵四边形为平行四边形，， ∴，，，， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， 又∵，， ∴四边形为菱形， ∴，故①正确； ∵四边形为菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设，则， 在中，，则， 解得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②错误； 在中，， ∴， 在中，， ∴，故③正确； ∵， ∴到的距离为1，到的距离为1， ∴， ， ∴，故④正确． 综上，正确的结论有①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积，灵活运用所学知识解决问题是解题关键． 17．（23-24八下·新疆维吾尔自治区克拉玛依市白碱滩区·期末）如图，的对角线交于点O，若，的周长为29，则的值为_______． 【答案】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，结合平行四边形的性质得出的值是解题关键． 根据平行四边形的性质得出，，，进而得出，即可得出的值． 【详解】解：平行四边形的对角线、交于一点，， ，，， 的周长为29， ， ． 故答案为：． 18．（23-24八下·新疆维吾尔自治区喀什地区·期末）如图1，平行四边形纸片的面积为120，，．沿两对角线将四边形剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并(、重合)形成对称图形戊，如图2所示，则图形戊的两条对角线长度之和是______．    【答案】26 【分析】根据题意可得，且与平行四边形边上的高相等．然后根据平行四边形的面积求出，又，进而可得答案． 【详解】 如图，根据题意可得戊是对称图形，所以对角线，且与平行四边形边上的高相等．      ∵平行四边形纸片的面积为120，， ∴， 又， ∴图形戊的两条对角线之和为， 故答案为：26． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和轴对称图形的性质，正确理解题意、得出与平行四边形边上的高相等是关键． 三、解答题 19．（23-24八下·新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州奇台县·期末）如图，，，点、在上，且． (1)求证：； (2)试证明：以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】(1)详见解析；(2)详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及平行四边形的判定，解答此题的关键是要掌握判定方法． （1）由全等三角形的判定定理SAS证得； （2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等证得，则，所以根据平行线的判定可以证得．由全等三角形的对应边相等证得，则易证得结论． 【详解】（1）解：， ， 又， ， ， 在与中， ， ； （2）连接、． 由(1)知，， ，， ， ， 又， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 20．（23-24八下·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市沙依巴克区·期末）如图，中，点在对角线上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，理解并掌握平行四边形的判定定理是解题关键．连接交于，则可知，，结合，可知，然后依据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证明结论． 【详解】证明：连接交于，如下图， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴四边形为平行四边形． 21．（23-24八下·新疆维吾尔自治区克孜勒苏柯尔克孜自治州·期末）如图，在四边形中，对角线交于点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的性质与判定，首先证得，得到，再根据平行四边形的判定定理即可求证． 【详解】解：证明：在与中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形 22．（23-24八下·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市·期末）如图，的对角线与相交于点，，，△ABO的周长是．    (1)求的度数； (2)求的长． 【答案】(1)；(2)． 【分析】本题考查平行四边形的性质； （1）根据平行四边形对角相等即可得答案； （2）根据平行四边形对角线互相平分可得的长，进而可求出； 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ∴； （2）∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 23．（23-24八下·新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州·期末）如图，在平行四边形中，点E、F分别是边的中点． (1)求证：； (2)若四边形的周长为12，，，求平行四边形的周长． 【答案】(1)见解析；(2)14 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，平行四边形的周长，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明且得到四边形为平行四边形，继而得证； （2）利用四边形的周长为12，，求出，继而求出，从而得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即，， 又∵点E，F分别是边，的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴； （2）解：由（1）得：四边形是平行四边形， 又∵四边形的周长为12，即， ∴， ∴， 又∵， ∴平行四边形ABCD的周长． ( 题型02 ) 特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形 一、单选题 1．（23-24八下·新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州奇台县·期末）下列图形中，是轴对称但不是中心对称的图形是（    ） A．正三角形 B．平行四边形 C．菱形 D．正方形 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】解：A．正三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，符合题意； B．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C．菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，不符合题意； C．菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 2．（23-24八下·新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州奇台县·期末）下列命题正确的是（ 　　） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．一组邻边相等的平行四边形是正方形 【答案】B 【分析】本题考查真假命题的判断，熟练掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理解题的关键，利用平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形，故此项错误； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故此项正确； C、对角线相等的四边形有可能是等腰梯形，故此项错误； D、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故此项错误； 故选：B． 3．（23-24八下·新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州奇台县·期末）如图，在菱形中，．已知△ABC的周长是12，则菱形的周长是（　 　） A．20 B．16 C．15 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质；根据菱形的对角线平分一组对角和菱形的四边相等可证△ABC是等边三角形，即可求出菱形的边长，即可求出周长． 【详解】解：四边形是菱形，， ，， 是等边三角形， ， △ABC的周长是12， ， 菱形的周长是， 故选：． 4．（23-24八下·新疆乌鲁木齐市经开区实验学校·期末）如图，在作线段的垂直平分线时，小聪是这样操作的：分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点C，D，则直线即为所求．根据他的作图方法可知四边形一定是（    ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】B 【分析】根据基本作图，得到，可以判定四边形是菱形． 本题考查了线段垂直平分线的作图，菱形的判定定理，熟练掌握基本作图的意义，菱形的判定是解题的关键． 【详解】解：∵分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点C，D， ∴， ∴四边形是菱形． 故选：B． 5．（23-24八下·新疆乌鲁木齐市经开区实验学校·期末）如图，在矩形中，点M在边上，先将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．之后再将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为．若，，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，根据平行线的性质和折叠的性质得出，根据等腰三角形的判定得出；根据折叠和平行线的性质得出，根据等腰三角形的判定得出，证明，设，在中，利用勾股定理求出的值，最后求出结果即可． 【详解】解：∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； 由四边形折叠得到四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6．（23-24八下·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市实验学校·期末）已知四边形是平行四边形，下列说法正确的有（    ） ①当时，它是矩形；②当时，它是菱形；③当时，它是矩形；④当时，它是正方形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据矩形的判定方法，菱形的判断方法，正方形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：①有一个角是的平行四边形是矩形，故正确； ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故正确； ③邻边相等的平行四边形是菱形，故错误； ④对角线相等的平行四边形是矩形，故错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查矩形，菱形，正方形的判定方法，熟练掌握四边形的判定方法是解题关键． 7．（23-24八下·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市实验学校·期末）如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线：上，直线分别交轴，轴于点，．将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为(    ) A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【答案】B 【分析】过B作BM⊥OE于M，过C作CN⊥OF于N，根据AAS定理证得△DAO≌△ABM，△CDN≌△DAO，根据全等三角形的性质求出C点的坐标为(2,3)，由待定系数法求出直线l的解析式为y=-x+4，设平移后点C的坐标为(2,3-m)，代入解析式即可求出m． 【详解】解：过B作BM⊥OE于M，过C作CN⊥OF于N，如图， ∴∠ABM+∠BAM=90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=90°，AB=DA， ∴∠DAO+∠BAM=90°， ∴∠DAO=∠ABM， 在△DAO和△ABM中， ， ∴△DAO≌△ABM(AAS)， ∴OA=BM，OD=AM， ∵B(3,1)， ∴BM=1，OM=3， ∴OA=1， ∴AM=OM-OA=2， ∴OD=2， 同理可证△CDN≌△DAO， ∴DN=OA=1，CN=DO=2， ∴ON=OD+DN=3， ∴C(2,3)， ∵点B(3,1)在直线l：y=kx+4上， ∴3k+4=1， ∴k=-1， ∴直线l的解析式为y=-x+4， 设正方形ABCD沿y轴向下平移m个单位长度后点C的坐标为(2,3-m)， ∵点C在直线l上， ∴-2+4=3-m， 解得：m=1， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的特征，正方形的性质，坐标与图形的变化-平移，全等三角形的判定与性质定理，根据AAS定理证得△DAO≌△ABM，△CDN≌△DAO，求出C点的坐标是解决问题的关键． 8．（23-24八下·新疆维吾尔自治区克拉玛依市白碱滩区·期末）如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（　　 ） A．当，平行四边形是矩形 B．当，平行四边形是矩形 C．当，平行四边形是菱形 D．当，平行四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查了对矩形、菱形和正方形判断的应用，牢记四边形的判定定理是解题的关键. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴当，平行四边形是矩形，故选项A正确，不符合题意； 当，平行四边形是矩形，故选项B正确，不符合题意； 当，平行四边形是菱形，故选项C正确，不符合题意； 当，平行四边形是菱形，但不一定是正方形，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 9．（23-24八下·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第一中学·期末）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，AC＝12，菱形ABCD的面积为96，则OH的长等于(   ) A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】由菱形的面积和对角线AC的长度可求出BD的长，再由勾股定理可求出AD的长，因为菱形的对角线互相垂直得出∠AOD＝90°，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD， ∵菱形ABCD的面积为96， ∴AC•BD＝96， ∴BD＝16， ∴AD＝＝10， ∵∠AOD＝90°，H为AD边中点， ∴OH＝AD＝5． 故选B． 【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解决问题的关键． 10．（23-24八下··新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第一中学·期末）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①CE＝CF，②∠AEB＝75°，③AG＝2GC，④BE+DF＝EF，⑤S△CEF＝2S△ABE，其中结论正确的个数为（　 　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE＝∠DAF，BE＝DF，得到CE＝CF；由正方形的性质就可以得出∠AEB＝75°；设等边三角形边长为x，由勾股定理得到特殊角的边的关系及中线性质得到；利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF和2S△ABE，再通过比较大小就可以得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD， ∵△AEF是等边三角形， ∴AE=AF， 在Rt△ABE和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE=DF， ∴CE=CF，即①说法正确； ∵CE=CF， ∴△ECF是等腰直角三角形， ∴∠CFE=45°， ∵∠AFE=60°， ∴∠AFD=180°60°45°75°， ∵Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴∠AEB=∠AFD=75°，即②正确； ∵AC是正方形ABCD的对角线， ∴∠BCA=45°， ∴AC⊥EF， 又∵CE=CF， ∴AC垂直平分EF， 设边长为，则，， ，即③错误； 在AD上取一点G，连接FG，使AG=GF，如图所示： ∠DAF=∠GFA=15°， ∴∠DGF=2∠DAF=30°， 设DF=1，由（1）可知，BE=DF=1,则AG=GF=2，DG= ， ∴AD=CD=2+ ，CF=CE=CDDF=1+ ， ∴EF=CF= + ，而BE+DF，即④错误； ∵S△ABE +SADF =2S△ABE =2×AD×DF=2+ ，S△CEF = CE×CF= ， ∴S△CEF＝2S△ABE，即⑤正确， 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、特殊三角形的边的关系、三角形中线性质、等边三角形的性质和三角面积公式，熟练掌握并利用相关知识点逐个进行证明是解决问题的关键． 11．（23-24八下·新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州·期末）若一个菱形的周长是16，则它的边长是（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的周长公式即可得到结论． 【详解】解：一个菱形的周长是16， 它的边长， 故选：D． 二、填空题 12．（23-24八下·新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州奇台县·期末）如图所示，△ABC中，E、F、D分别是上的中点，要使四边形是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是_________（在△ABC基础上添加） 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的判定、三角形中位线的判定与性质等知识点，掌握菱形的判定方法成为解题的关键． 先根据三角形的中位线得到可得四边形是平行四边形；再根据菱形的判定可知，即可解答． 【详解】解：∵中，E、F、D分别是上的中点， ∴ ∴四边形是平行四边形， 要使四边形是菱形，则， ∴，即． 故答案为：． 13．（23-24八下·新疆乌鲁木齐市经开区实验学校·期末）如图，点O是矩形的对角线的中点，点E是的中点，，则的长为_________． 【答案】5 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．由三角形中位线定理求出，由勾股定理求出的长，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：为的中点，是的中点， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 故答案为：5． 14．（23-24八下·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市实验学校·期末）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，若，，则为_________．    【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理及等面积法，熟练掌握知识点是解题的关键．先由菱形的性质得到，由勾股定理求出的长度，再由等面积法求解即可． 【详解】解：四边形为菱形，，， ， ， 在中，， ， ， 即， ， 故答案为：． 15．（23-24八下·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市实验学校·期末）如图，在矩形中，，点F在上，，点E是上的一个动点，若将四边形沿折叠，则当点B恰好落在矩形的一边上时，长为_________． 【答案】3或． 【分析】分两种情况讨论，当点B'落在AD边上时，推出BF＝BE＝5，通过勾股定理求出AE的长；当点B'落在CD边上时，利用勾股定理求出CB'的长，进一步求出DB'的长，设AE＝A'E＝x，利用勾股定理列出含x的方程，求出x的值即可． 【详解】解：如图1， 当点B'落在AD边上时， 由折叠知，∠BEF＝∠B'EF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠BFE＝∠B'EF， ∴∠FEB＝∠BFE， ∴BF＝BE， ∵BF＝BC﹣FC＝9﹣4＝5， ∴BE＝5， 在Rt△ABE中， AE＝＝＝3； 如图2，当点B'落在CD边上时， 由折叠知，△BEF≌△B'EF，△ABE≌△A'B'E， ∴FB'＝FB＝5，A'B'＝AB＝CD＝4， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠C＝90°， 在Rt△FCB'中， CB'＝＝＝3， ∴DB'＝CD﹣CB'＝4﹣3＝1， 设AE＝A'E＝x， 在Rt△EA'B'中， EB'2＝EA'2+A'B'2＝x2+42， 在Rt△EDB'中， EB'2＝ED2+DB'2＝（9﹣x）2+12， ∴x2+42＝（9﹣x）2+12， 解得，x＝， ∴AE＝； 故答案为：3或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理等，解题关键是能够分情况讨论，并根据题意画出图形． 16．（23-24八下·新疆维吾尔自治区克拉玛依市白碱滩区·期末）如图，，是正方形的对角线上的两点，，，则四边形的周长是_________． 【答案】 【分析】连接交于点，则可证得，，可证四边形为平行四边形，且，可证得四边形为菱形；根据勾股定理计算的长，可得结论． 【详解】如图，连接交于点， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形为平行四边形，且， ∴四边形为菱形， ∴， ∵，， 由勾股定理得：， ∴四边形的周长， 故答案为. 【点睛】本题考查了正方形的性质、菱形的判定和性质及勾股定理，掌握对角线互相垂直平分的四边形为菱形是解题的关键． 17．（23-24八下·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第一中学·期末）如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则_________． 【答案】5 【分析】此题考查了矩形的折叠问题、勾股定理等知识，由四边形为矩形，得到，证明，则，设，则，在中，，得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， 由翻折可得， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中， ， 即， 解得， ∴． 故答案为：5． 18．（23-24八下·新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州·期末）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交， 于点E，F，连接，．若 则 _________． 【答案】/59度 【分析】本题考查矩形的性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质等知识， 首先证明四边形是菱形，再根据菱形的对角线平分一组对角进行求解； 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，． ∵垂直平分， ∴，，， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴． ∵， ， ∴， ， 故答案为：． 19．（23-24八下·新疆维吾尔自治区阿克苏地区·期末）如图，在直角坐标系中，菱形的顶点P坐标是，则顶点N的坐标是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理等知识点，解此题的关键是，求出菱形的边长．延长交y轴于A，根据菱形的性质得到N的纵坐标和P的纵坐标相同，都是4，由勾股定理求出菱形的边长，即可得到N的横坐标，即可得到答案． 【详解】解：延长交y轴于A，    ∵菱形， ∴轴，， ∵点P坐标是， ∴，，点N的纵坐标为4， ∴， ∴， ∴， 即N的横坐标是8， ∴． 故答案为：． 20．（23-24八下·新疆维吾尔自治区阿克苏地区·期末）如图，正方形的边长为4，菱形的边长为3，则菱形的对角线的长为_________． 【答案】2 【分析】连接，，首先证明出和共线，然后求出，然后利用勾股定理求出，进而利用菱形的性质求解即可． 【详解】如图所示，连接，， ∵四边形是菱形， ∴，且平分， ∵四边形是正方形， ∴，且平分， ∴和共线， ∴是等腰直角三角形， ， ∵正方形的边长为4， ∴， ∴， ∵菱形的边长为3， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了正方形和菱形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 21．（22-23九年级上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市·期末）如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，，，点P是上一动点，点E是的中点，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】由三角形的三边关系可得当点P在上时，的最小值为的长，由菱形的性质可得，，，，由锐角三角函数可求，可证是等边三角形，由等边三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 在中，， ∴当点P在上时，的最小值为的长， ∵四边形是菱形，，， ∴，，，， ∴, ∴， ∴是等边三角形， ∵点E是的中点， ∴， ∵ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，两点之间线段最短，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，利用锐角三角函数求出的度数是解题的关键． 三、解答题 22．（23-24八下·新疆乌鲁木齐市经开区实验学校·期末）如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，且，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)4 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理，角平分线的定义等知识，熟练掌握矩形和等腰三角形的判定是解答的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可得证； （2）先证明，由平行四边形的性质，得到，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，． 23．（23-24八下·新疆乌鲁木齐市经开区实验学校·期末）【实践探究】 如图①，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的，你能说明这是为什么吗？ 【拓展提升】 如图②，在四边形中，，，连接．若，求四边线的面积． 【答案】（1）见解析；（2）18 【分析】（1）由正方形的性质可得，，，由“”可证，可得，即可求解； （2）过点作于点，于点，由“”可得，可得，，可得，由正方形的面积公式可求四边线的面积． 【详解】解：（1）四边形是正方形 ，， ，且， ， 两个正方形重叠部分的面积正方形的， （2）过点作于点，于点， ，， ，且 ，且， ，， ， 四边形是矩形，且 四边形是正方形 ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，正方形的性质，等腰直角三角形，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 24．（23-24八下·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市实验学校·期末）已知：如图，在□ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF． (1)求证：△ABE≌△FCE； (2)若AF＝AD，判断四边形ABFC的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）四边形ABFC是矩形，证明见解析； 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AB∥DC，推出，根据AAS证两三角形全等即可； （2）根据全等得出AB=CF，根据AB∥CF得出平行四边形ABFC，推出BC=AF，根据矩形的判定推出即可； 【详解】（1）证明：如图， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB ∥DC，即AB∥DF， ∴， ∵点E是BC的中点， ∴BE=EC， 在△ABE和△FCE中， ， ∴． （2）四边形ABFC是矩形，理由如下： ∵， ∴AB=FC， ∵AB∥FC， ∴四边形ABFC是平行四边形， ∴AD=BC， ∵AF=AD， ∴AF=BC， ∴四边形ABFC是矩形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，准确应用三角形全等判定的条件是解题的关键． 25．（23-24八下·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市实验学校·期末）如图，在中，∠B=90º，，，点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接、． (1)__________，__________（用表示）； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由； (3)当为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)，；(2)；(3)或12秒 【分析】（1）由已知条件可得中，即可知； （2）由（1）知且，即四边形是平行四边形，若构成菱形，则邻边相等即，可得关于的方程，求解即可； （3）分三种情形讨论①当时，②当时．③若，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动 ∴ ；∠B=90° ∴ ∵ ； 故答案为：， （2）四边形能成为菱形．理由如下： 解：，， ， 又， 四边形是平行四边形， 当时，平行四边形是菱形， ， ， ， ，解得：， 即当时，四边形能够成为菱形； （3）解：①当时，由（2）知四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， 又，即，解得：； ②当时，四边形为矩形， 在中，， ， ，即， 解得：． ③若，则与重合，与重合，此种情况不存在． 综上所述，当或12秒时，△DEF为直角三角形． 【点睛】本题是四边形综合题，考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． 26．（23-24八下·新疆维吾尔自治区克拉玛依市白碱滩区·期末）已知：如图，．，与相交于点，且．．求证：四边形为矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行线的性质、矩形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．先证四边形是菱形，得出，再由平行线的性质得出，则，然后由矩形的判定即可得出结论． 【详解】证明：，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形， ， ， ， ， ， 四边形为矩形． 27．（23-24八下·新疆维吾尔自治区克拉玛依市白碱滩区·期末）如图，在平面直角坐标系中，点B为原点，有一个，∠B=90°，，，点D从点C出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时．过点D作于点F，连接． (1)求证：． (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． (3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？ 【答案】(1)见解析；(2)时，四边形为菱形，理由见解析；(3)或4时，△DEF为直角三角形． 【分析】（1）利用已知用未知数表示出的长，进而得出； （2）首先得出四边形为平行四边形，进而利用菱形的判定与性质得出时，求出t的值，进而得出答案； （3）分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时，分别分析得出即可． 【详解】（1）（1）证明：在中，， ∴， 又∵， ∴． （2）解：四边形能够成为菱形． 理由如下： 设， ∵， ， ∴， ，即， 解得：， ∴． ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴四边形为平行四边形． 四边形为菱形， ，即， 解得：． 即当时，四边形为菱形． （3）解：当或4时，为直角三角形，理由如下： 分情况讨论： ①当时，，即， ∴． ②时，，即， ∴， ③时，此种情况不存在． 综上，当或4时，△DEF为直角三角形． 【点睛】此题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握 以上知识是解题的关键． 28．（23-24八下·新疆维吾尔自治区克孜勒苏柯尔克孜自治州·期末）如图，已知AD是Rt△ABC的斜边BC上的中线，分别过点A，B作BC，AD的平行线，两直线交于点E．求证：四边形ADBE是菱形． 【答案】见解析 【分析】先证四边形ADBE是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得AD＝BC＝BD，然后由菱形的判定即可得出结论． 【详解】证明：根据题意得ADBE，AEBD， ∴四边形ADBE是平行四边形， ∵AD是Rt△ABC的斜边BC上的中线， ∴AD＝BC＝BD， ∴平行四边形ADBE是菱形． 【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． 29．（23-24八下·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第一中学·期末）如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F是AC上的两点，并且AE=CF，连接DE，BF． （1）求证：△DOE≌△BOF； （2）若BD=EF，连接DE，BF．判断四边形EBFD的形状，并说明理由． 【答案】（2）证明见解析；（2）四边形EBFD是矩形．证明见解析． 【分析】（1）根据SAS即可证明； （2）首先证明四边形EBFD是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可证明； 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， ∵AE=CF， ∴OE=OF， 在△DEO和△BOF中， ， ∴△DOE≌△BOF． （2）结论：四边形EBFD是矩形． 理由：∵OD=OB，OE=OF， ∴四边形EBFD是平行四边形， ∵BD=EF， ∴四边形EBFD是矩形． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练相关的基本知识． 30．（23-24八下·新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州·期末）如图，在矩形中，A在延长线上，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定．根据矩形的性质，可得，再由等腰三角形的性质可得，即可求证． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 31．（23-24八下·新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州·期末）如图所示△ABC中，，，的平分线交于D点，于点E，于点F．    (1)求证：四边形为正方形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)4 【分析】（1）直接利用矩形的判定方法以及角平分线的性质得出四边形为正方形； （2）利用三角形面积求法得出的长． 【详解】（1）证明：过点D作于点N，    ∵于点E，于点F， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， 又∵，的平分线交于D点，于点N，于点E，于点F， ∴， ∴矩形是正方形； （2）解：，，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∵ ∴， 则， 故． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定以及三角形面积求法和角平分线的性质等知识，得出是解题关键． 32．（2024·新疆维吾尔自治区阿克苏地区·期末）如图，已知：在四边形中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)当，时，则四边形的面积为． 【答案】(1)见解析；(2)12 【分析】（1）根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可以得到 ，再证明△BED≌△CFD，继而证明四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得到四边形是菱形； （2）可证明四边形是正方形，得出四边形为直角梯形，求出的长，再根据梯形的面积公式即可得四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴∠BED=∠CFD，， ∴△BED≌△CFD， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴菱形是正方形． ∴， ∴， 四边形为直角梯形， 又∵， ∴， ∴，， ∴ ． 故答案为：12． 【点睛】此题主要考查了菱形的判定，正方形的性质及判定，解直角三角形以及线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握四条边都相等的四边形是菱形． 78 / 78 学科网（北京）股份有限公司 $$