专题08 角平分线和垂直平分线重难点题型汇编（七大题型）-2024-2025学年七年级数学下册《重难点题型•高分突破》（北师大版2024新教材）

专题08 角平分线和垂直平分线重难点题型汇编（七大题型） 重难点题型归纳 【题型1：利用垂直平分线的性质求角度】 【题型2：利用垂直平分线定位性质求线段长度】 【题型3；利用角平分线的性质求面积】 【题型4；利用角平分线的性质求边长】 【题型5：角平分线+垂直构造全等模型】 【题型6：角平分线和垂直平分线的综合应用】 【题型7：利用尺规作图综合应用】 【题型1：利用垂直平分线的性质求角度】 1．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，连接，若，，则的度数为（　　） A．24° B．30° C．32° D．48° 2．如图在中，，点D为的中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，则的度数是 ． 3．如图，中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在两侧相交于点、，作直线分别与、交于点，，连接，则 ． 4．如图在中，分别垂直平分边和边，交边于，两点，与所在直线相交于点F．若，求的度数为 ． 【题型2：利用垂直平分线定位性质求线段长度】 5．如图，在中，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点D，交于点O，连接，若的周长比的周长大则的长为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为12，则的周长为（   ） A．17 B．22 C．29 D．30 7．如图，在中，的垂直平分线交于点的垂直平分线交于点F，则的周长是（   ） A．3 B．2 C．4 D．5 8．如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点D，连接，若，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，连接．若，，则的周长为 ．    【题型3；利用角平分线的性质求面积】 10．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点，，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（   ） A．18 B．24 C．30 D．36 11．如图，在中，平分，于点E，若，，，则长是（   ） A．5 B．3 C．4 D．6 12．如图，在中，，平分，，，，则的面积为（   ） A．20 B．25 C．30 D．45 13．如图，是的角平分线，，则的面积是 ． 14．如图，在中，平分，，，则 ． 15．如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线交于点D．若，的面积为8，则的面积为 ． 16．如图， ，和分别平分和，过点P，且与垂直，若，   ，则四边形的面积是 ． 【题型4；利用角平分线的性质求边长】 17．如图，是中的平分线，于点E，，，，的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 18．如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直．若点P到的距离是4，则的长为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 19．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点和．再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接并延长交于点，若点到的距离为2，则 ． 20．如图，平分交于D点，于E点，若，，，则的长为 ． 21．如图，是的平分线，于点E，，，，则 ． 【题型5：角平分线+垂直构造全等模型】 22．如图，是的角平分线上一点，，，垂足分别为，．过点作，交于点，在射线上取一点，使． (1)求证：； (2)求证：． 23．如图，平分，在的两边上分别取点C，D，连接 (1)在射线上求作一点M，使得点M到的距离相等要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明； (2)在（1）的条件下，若，且与的面积分别是6和5，求线段的长度． 24．【感知】如图①，平分，，，易知． 【探究】（1）如图②，平分，，，试说明：； 【应用】（2）如图③，在四边形中，平分，，，，且，则_________（用含a的代数式表示）． 25．四边形中，，平分． (1)如图1，若，E是的中点，求证：平分； (2)如图2，若平分，求证：E是的中点； (3)在（2）的条件下，若，，求四边形的面积． 26．如图所示，在中，，AD是的平分线，交AB于E，F在AC上，．证明： (1)； (2)． 【题型6：角平分线和垂直平分线的综合应用】 27．如图，已知，是的角平分线，垂直平分，分别交于点E，M，F．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型7：利用尺规作图综合应用】 28．如图，是的角平分线． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、于点E、F；（标明字母，保留作图痕迹，不写作法．） (2)连接、，求证：． 29．如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AC于点E，连接BE， （1）请根据作图过程回答问题：直线MN是线段AB的（      ）． A.角平分线；B.垂直平分线；C. 高；D.中线 （2）若中，，，，求AC的长． 30．已知：在△ABC中，BD是边AC的高，BE为∠CBD的角平分线，且AD＝DE．AO为△ABC的中线，延长AO到点F．使得BF∥AC．连接EF．EF交BC于点G．AF交BE于点H． （1）求证：BF＝CD+DE； （2）若∠C＝45°．求证：BD＝BG． 31．如图，在中，，，请用尺规作图法，在的外部求作一点，使，且（保留作图痕迹，不写作法）． 32．如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的面积 33．如图，在中，． (1)求作点到，的距离相等，且点在上（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求的面积． 34．已知在中，，． (1)利用尺规作图，作的垂直平分线交于点E（标上相应的字母，保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，求的周长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 角平分线和垂直平分线重难点题型汇编（七大题型） 重难点题型归纳 【题型1：利用垂直平分线的性质求角度】 【题型2：利用垂直平分线定位性质求线段长度】 【题型3；利用角平分线的性质求面积】 【题型4；利用角平分线的性质求边长】 【题型5：角平分线+垂直构造全等模型】 【题型6：角平分线和垂直平分线的综合应用】 【题型7：利用尺规作图综合应用】 【题型1：利用垂直平分线的性质求角度】 1．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，连接，若，，则的度数为（　　） A．24° B．30° C．32° D．48° 【答案】C 【分析】根据垂直平分线的性质得到，则，再另一条角平分线的定义得到，然后根据三角形内角和可计算出的度数． 本题考查了线段的垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 【详解】解：∵点E在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 2．如图在中，，点D为的中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】连接、，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，然后根据等腰三角形的性质得出垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可． 【详解】解：如图，连接、， ，为的平分线， ， 又∵， ， ∵是的垂直平分线， ∴， ， ∴， ∵为的平分线，， ∴直线为底边上的中线和高线所在的直线， 即垂直平分， ∴， ， 将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合， ∴， ， 在中，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键． 3．如图，中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在两侧相交于点、，作直线分别与、交于点，，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的相关知识点是解题关键． 根据作图描述得垂直平分，可得，利用等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据作图可得，垂直平分， ， ． 故答案为： 4．如图在中，分别垂直平分边和边，交边于，两点，与所在直线相交于点F．若，求的度数为 ． 【答案】/36度 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等角对等边，三角形内角和的知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质．由线段垂直平分线的性质得，，根据三角形内角和，则，再根据对顶角相等，则，根据三角形内角和，则，，最后根据，即可求解． 【详解】解：∵，分别垂直平分边和边， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型2：利用垂直平分线定位性质求线段长度】 5．如图，在中，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点D，交于点O，连接，若的周长比的周长大则的长为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的作法．利用基本作图得到垂直平分，则，，利用等量代换得到的周长，再利用的周长比的周长大14得到，从而得到的长． 【详解】解：由作图得垂直平分， ，， 的周长， 的周长，的周长比的周长大14， ， ， 故选：C． 6．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为12，则的周长为（   ） A．17 B．22 C．29 D．30 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质．先根据垂直平分线的性质可得，再根据三角形的周长公式即可得． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 的周长为，， 的周长为 ， 故选：B． 7．如图，在中，的垂直平分线交于点的垂直平分线交于点F，则的周长是（   ） A．3 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得出，，进而可得出． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点的垂直平分线交于点F， ∴，， ∴的周长为：， 故选：C． 8．如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点D，连接，若，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质及尺规作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，根据即可求解． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ， ， ， 故选：A． 9．如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，连接．若，，则的周长为 ．    【答案】19 【分析】本题主要考查的是垂直平分线的运用，掌握垂直平分线的定义和性质是解题的关键． 由尺规作图可知，为的垂直平分线，得，则的周长为可转化为进而可得答案． 【详解】解：∵在中，分别以点A和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接； ∴为的垂直平分线， ∴， ∴的周长为：， ∵，， ∴的周长为：； 故答案为：19． 【题型3；利用角平分线的性质求面积】 10．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点，，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（   ） A．18 B．24 C．30 D．36 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的尺规作图和性质，过点G作于点H，根据题意得，是的角平分线，得，根据三角形面积公式，即可求出的面积． 【详解】解：过点G作于点H， 根据题意得，是的角平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 11．如图，在中，平分，于点E，若，，，则长是（   ） A．5 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．如图，过作于，证明，再利用面积公式建立方程求解即可. 【详解】解：如图，过作于， ∵平分，， ∴， ∵，，， ∴， 解得：； 故选：B 12．如图，在中，，平分，，，，则的面积为（   ） A．20 B．25 C．30 D．45 【答案】D 【分析】此题考查了角平分线的性质， 如图所示，过点D作交于点E，首先求出，然后根据角平分线的性质求出，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作交于点E ∵， ∴ ∵平分 ∴ ∴的面积为． 故选：D． 13．如图，是的角平分线，，则的面积是 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，掌握其性质及运用是关键． 先作于E，再根据角平分线的性质得到，最后根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：过D作于E， ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴的面积． 故答案为：24． 14．如图，在中，平分，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，以及三角形的面积的应用． 过作于，于，根据角平分线性质定理得出垂线段相等，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过作于，于， ∵平分， ∴， ∵，， ， 故答案为． 15．如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线交于点D．若，的面积为8，则的面积为 ． 【答案】12 【分析】根据基本作图，得平分，过点D作于点E，于点F，则，利用三角形面积公式计算即可．本题考查了角的平分线的基本作图，角的平分线的性质，熟练掌握作图和性质是解题的关键． 【详解】解：根据基本作图，得平分， 过点D作于点E，于点F， 则， ∵， ∴， ∵，的面积为8， ∴， 解得， 故答案为：12． 16．如图， ，和分别平分和，过点P，且与垂直，若，   ，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握相关知识点是解题的关键． 作于点，根据，，得到，根据平分，平分得到，，即可得到答案． 【详解】解：过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴()， ∴， 同理可得：， ， ∴四边形的面积， 故答案为： ． 【题型4；利用角平分线的性质求边长】 17．如图，是中的平分线，于点E，，，，的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．作于点，利用角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式得到，即可得到答案． 【详解】解：作于点， 是中的平分线，，， ， ， ， ． 故选A． 18．如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直．若点P到的距离是4，则的长为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质定理．过点P作于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，，那么，又点P到的距离是4，进而求出． 【详解】解：过点P作于E， ∵，， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∵，， ∴． 故选A． 19．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点和．再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接并延长交于点，若点到的距离为2，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查作图一基本作图、角平分线的性质、点到直线的距离，熟练掌握角平分线的性质、点到直线的距离是解答本题的关键．过点作于点，则，由作图可知，为的平分线，结合角平分线的性质可得． 【详解】解：过点作于点， ∵点到的距离为2， ∴， 由作图可知，为的平分线， 故答案为：2． 20．如图，平分交于D点，于E点，若，，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】过点D作于F，根据角平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算即可． 本题考查的是角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：如图，过点D作，交的延长线于F， 平分，，， ， ，，， ， 解得：， 故答案为： 21．如图，是的平分线，于点E，，，，则 ． 【答案】2 【分析】此题考查了角平分线的性质．首先过点D作于点F，根据角平分线的性质，可得，然后由，求得答案． 【详解】解：过点D作于点F，如图，    ∵是的平分线，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：2． 【题型5：角平分线+垂直构造全等模型】 22．如图，是的角平分线上一点，，，垂足分别为，．过点作，交于点，在射线上取一点，使． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线定义，全等三角形性质和判定，平行线性质，解题的关键在于熟练掌握全等三角形性质和判定． （1）结合角平分线定义，证明，结合全等三角形性质即可证明； （2）结合平行线性质，证明，结合全等三角形性质即可证明． 【详解】（1）证明：是的角平分线上一点， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：， ， 又， ， 又，即， ， 在和中， ， ， ． 23．如图，平分，在的两边上分别取点C，D，连接 (1)在射线上求作一点M，使得点M到的距离相等要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明； (2)在（1）的条件下，若，且与的面积分别是6和5，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图-复杂作图、三角形的面积、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键． （1）结合角平分线的性质，作的平分线，交射线OP于点M，则点M为所求． （2）连接DM，过点M作于点E，于点F，于点H，由角平分线的性质可得，由，可得再由，可得 【详解】（1）解：如图，作的平分线，交射线OP于点M， 则点M为所求． （2）解：连接DM，过点M作于点E，于点F，于点H， 平分，点M在OP上， 平分， ， ， ， ， 24．【感知】如图①，平分，，，易知． 【探究】（1）如图②，平分，，，试说明：； 【应用】（2）如图③，在四边形中，平分，，，，且，则_________（用含a的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． （1）作于E，作于F，先根据角平分线的性质得出，再证明，证明即可得出结论； （2）作于F．首先证明，再证明，得出，即可解决问题； 【详解】（1）证明：如图②中，作于E，作于F， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）作于F． ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 25．四边形中，，平分． (1)如图1，若，E是的中点，求证：平分； (2)如图2，若平分，求证：E是的中点； (3)在（2）的条件下，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)60 【分析】（1）如图1中，过点E作，垂足为F，证明，可得结论； （2）如图2，延长相交于点F，证明，推出，证明，可得结论； （3）证明，可得结论． 【详解】（1）证明：如图1，过点E作，垂足为F， ， ， ， ， ，， 平分，，， ， ，， 平分； （2）如图2，延长相交于点F， 平分，平分， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ， 是的中点； （3）由（2）得， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了梯形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质与判定，四边形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 26．如图所示，在中，，AD是的平分线，交AB于E，F在AC上，．证明： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的性质即可证明； （2）通过证明，，得，再进行等量代换即可． 【详解】（1）证明：∵，是的平分线，， ∴； （2）证明：在与中， ， ∴， ∴； 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，熟记角平分线的性质是解题的关键． 【题型6：角平分线和垂直平分线的综合应用】 27．如图，已知，是的角平分线，垂直平分，分别交于点E，M，F．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．先根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，然后根据角的和差求解即可得． 【详解】解：∵，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【题型7：利用尺规作图综合应用】 28．如图，是的角平分线． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、于点E、F；（标明字母，保留作图痕迹，不写作法．） (2)连接、，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作线段垂直平分线，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质； （1）根据尺规作线段垂直平分线的方法作图即可； （2）连接，与交于点O，证明，可得，根据线段垂直平分线的性质可得，等量代换可得结论． 【详解】（1）解：如图所示： （2）证明：如图，连接，与交于点O， ∵平分， ∴， ∵垂直平分线段， ∴ ∴在和中， ∴ ， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∴． 29．如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AC于点E，连接BE， （1）请根据作图过程回答问题：直线MN是线段AB的（      ）． A.角平分线；B.垂直平分线；C. 高；D.中线 （2）若中，，，，求AC的长． 【答案】（1）B；（2）9． 【分析】（1）连接，，根据作图过程可得，，所以可得直线MN是线段AB的垂直平分线； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，又知在中，，根据角所对的直角边是斜边的一半，可得的长度，从而求得，进而可以求得的值． 【详解】解：（1）连接，，根据作图过程可得， ，， ∴可得直线MN是线段AB的垂直平分线； 故选：B； （2）由（1）可知直线MN是线段AB的垂直平分线， ∴， ∵中，，，， ∴, ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判断定理与性质定理，含角的直角三角形的性质，熟练掌握定理内容解答问题是解题关键． 30．已知：在△ABC中，BD是边AC的高，BE为∠CBD的角平分线，且AD＝DE．AO为△ABC的中线，延长AO到点F．使得BF∥AC．连接EF．EF交BC于点G．AF交BE于点H． （1）求证：BF＝CD+DE； （2）若∠C＝45°．求证：BD＝BG． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用平行线的性质证明△BOF≌△COA，得BF=CA即可； （2）由BD是AE的垂直平分线可知BE=BA，则通过SAS证明△BAC≌△EBF，得∠BFE=∠C=45°，从而∠BGF=90°，再通过AAS证明△BEG≌△BED即可得出BD=BG． 【详解】证明：（1）∵BF∥AC， ∴∠BFO=∠CAO，∠FBO=∠ACO， 又∵AO为△ABC的中线， ∴BO=CO， 在△BOF与△COA中， ∴△BOF≌△COA（AAS）， ∴BF=CA=CD+AD， ∵AD=DE， ∴BF=CD+DE； （2）∵BD是边AC的高，AD＝DE ∴BD垂直平分AE， ∴BA=BE，∠BAC=∠BEA， 又∵BF∥AC， ∴∠BEA=∠EBF=∠BAC，∠FBG=∠C=45°， 在△BAC与△EBF中， ∴△BAC≌△EBF（SAS）， ∴∠BFE=∠C=45°， 又∵∠BGE=∠FBG+∠EFB=90°=∠BDE， 在△BEG与△BED中， ∴△BEG≌△BED（AAS）， ∴BG=BD． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明△BAC≌△EBF得出∠BGE=90°是解题的关键． 31．如图，在中，，，请用尺规作图法，在的外部求作一点，使，且（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，解题关键是准确理解题意，按照题意正确作图． 【详解】解：如图所示，点就是所求作的点； 在中，，， ∴ 由作图可知，点P在的垂直平分线上，， 所以． 32．如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的面积 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，角平分线的性质： （1）根据尺规作角平分线的方法，作图即可； （2）根据角平分线的性质，得到点到边的距离等于的长，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2） 解：设点到的距离为， ∵是的角平分线，， ∴， ∴的面积． 33．如图，在中，． (1)求作点到，的距离相等，且点在上（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质，三角形的面积的计算，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）作的角平分线交于点D，则点到，的距离相等，根据角平分线的作法，画出图形即可； （2）过点D作于H，根据角平分线的性质得，再根据三角形的面积公式即可解决问题． 【详解】（1）解：作的角平分线交于点D，则点到，的距离相等， 如图，点D即为所求； （2）解：过点D作于H， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴的面积 ． 34．已知在中，，． (1)利用尺规作图，作的垂直平分线交于点E（标上相应的字母，保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图作线段的垂直平分线以及垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题关键． （1）利用尺规即可作的垂直平分线交于点D，交于点E； （2）连接，根据垂直平分线的性质即可求的周长． 【详解】（1）解：垂直平分线即为所求： （2）解：连接 ∵的垂直平分线交于点E， ∴， ∴， ∴的周长等于26． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$