专题09 轴对称之将军饮马模型重难点题型汇编（五大题型）-2024-2025学年七年级数学下册《重难点题型•高分突破》（北师大版2024新教材）

专题09 轴对称之将军饮马模型重难点题型汇编（五大题型） 重难点题型归纳 【题型01 ：“2定点1动点”作图问题】 【题型02 ：“2定点1动点”求周长最小值问题】 【题型03 ：“2定点1动点”求线段最小值问题】 【题型04 ：“1定点2动点”-线段/周长最小问题】 【题型05 ：“1定点2动点”-角度问题】 【题型01 ：“2定点1动点”作图问题】 1.如图，一条笔直的河l，牧马人从P地出发，到河边M处饮马，然后到Q地，现有如下四种方案，可使牧马人所走路径最短的是（　　） A． B． C． D． 2.如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（　　） A． B． C． D． 3.已知：如图，点A和点B在直线l同一侧．求作：直线l上一点P，使PA+PB的值最小． 【题型02 ：“2定点1动点”求周长最小值问题】 4．如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，连接、，则的周长的最小值为（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 5．如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点，交于点，为直线上一点，连结，，则的周长最小是（） A． B． C． D． 6．如图，在中，的垂直平分线分别交边于点，若D为边的中点，M为线段上的一个动点，则周长的最小值为（   ） A．7 B．9 C．12 D．14 7．如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交、于点E、F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值是（    ）． A．8 B．10 C．12 D．14 8．如图，在中，，，的面积是16，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 9．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（    ）    A．12 B．8 C．10 D．20 10．如图，在中，，于点D，垂直平分交于点，交于点，是线段上的一个动点，则的周长的最小值是（  ） A．6 B．7 C．10 D．12 【题型03 ：“2定点1动点”求线段最小值问题】 11.已知，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高AD上任一点，F是腰AB上任一点，腰AC＝5，BD＝3，AD＝4，那么线段BE+EF的最小值是（　　） A．5 B．3 C． D． 12.如图，等腰△ABC的面积为9，底边BC的长为3，腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于点E、F，点D为BC边的中点，点M为直线EF上一动点，则DM+CM的最小值为（　　） A．12 B．9 C．6 D．3 13.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（　　） A．4 B．4.8 C．5 D．6 【题型04 ：“1定点2动点”-线段/周长最小问题】 14.如图，在中，，，点在边上，且，点，分别是边，上的动点，当最小时，，则长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 15．如图，在等腰中，在上分别截取，使．再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．已知，．若点分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（  ） A．10 B． C．12 D． 16．如图，在中，，是的一条角平分线，点E，F分别是线段，上的动点，若，，那么线段的最小值是（    ）    A． B．5 C．4 D．6 17．如图，在中，，，，平分，点分别是，边上的动点，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 18．如图，中，，，平分，如果、分别为、上的动点，那么的最小值是（    ） A．2.4 B．3 C．4 D． 19．如图所示，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内一定点，并且OP＝2，点M、N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，当△PMN的周长取最小值时，点O到线段MN的距离为（  ） A．1 B．2 C．4 D．1.5 20．如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝5，则AB的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 21．如图，在△ABC中，AC＝BC＝10，∠ACB＝4∠A，BD平分∠ACB交AC于点D，点E，F分别是线段BD，BC上的动点，则CE＋EF的最小值是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 22．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD=8,AD是BC边上的高．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是(     )． A．6 B．8 C．9.6 D．12 【题型05 ：“1定点2动点”-角度问题】 23．如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 24．如图，四边形中，，，M，N分别是，上的点，当的周长最小时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 25．如图，在五边形中，，，，，在、上分别找到一点 M、N，使得的周长最小，则的度数为（　　 ）    A． B． C． D． 26．如图，四边形ABCD中，∠BAD=121°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找到一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（　　） A．118° B．121° C．120° D．119° 27．如图，若∠AOB=44°，为∠AOB内一定点，点M在OA上，点N在OB上，当△PMN的周长取最小值时，∠MPN的度数为(         ) A．82° B．84° C．88° D．92° 28．如图，四边形中，，在、上分别找一点，使周长最小时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 29．如图已知，为内一定点，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的度数是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 轴对称之将军饮马模型重难点题型汇编（五大题型） 重难点题型归纳 【题型01 ：“2定点1动点”作图问题】 【题型02 ：“2定点1动点”求周长最小值问题】 【题型03 ：“2定点1动点”求线段最小值问题】 【题型04 ：“1定点2动点”-线段/周长最小问题】 【题型05 ：“1定点2动点”-角度问题】 【题型01 ：“2定点1动点”作图问题】 1.如图，一条笔直的河l，牧马人从P地出发，到河边M处饮马，然后到Q地，现有如下四种方案，可使牧马人所走路径最短的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：使牧马人所走路径最短的是， 故选：D． 2.如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：作点M关于直线l的对称点M′，连接M′N交直线l于点Q，则MP+NP＝M′N，此时管道长度最短． 故选：B． 3.已知：如图，点A和点B在直线l同一侧．求作：直线l上一点P，使PA+PB的值最小． 【答案】见试题解答内容 【解答】作法： 作A点关于直线l的对称点A′， 连接A′B交l于点P， 则P点为所求． 【题型02 ：“2定点1动点”求周长最小值问题】 4．如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，连接、，则的周长的最小值为（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】B 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，涉及到线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，三角形面积公式，能够推出周长的最小值为是解题的关键． 连接，，推出周长的最小值为，证明，再利用三角形的面积公式列方程求出即可解决问题． 【详解】解：连接，， ∵直线垂直平分线段， ∴， ∵点D为边的中点，， ∴， ∴周长， ∴周长的最小值为， ∵，点D为边的中点， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴周长的最小值为， 故选：B． 5．如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点，交于点，为直线上一点，连结，，则的周长最小是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、轴对称、最短路线问题等知识，将周长的最小值转化为是解题的关键． 连接，由是的垂直平分线，得，则，由两点之间线段最短可知的最小值为，即可得出答案． 【详解】解：连接， 是的垂直平分线， ， ， 点三点在一条直线上时，的最小，最小值为， 最小值为，此时点与点重合， 周长的最小值为， 故选：C． 6．如图，在中，的垂直平分线分别交边于点，若D为边的中点，M为线段上的一个动点，则周长的最小值为（   ） A．7 B．9 C．12 D．14 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，将军饮马问题，理解将军饮马问题，正确添加辅助线是解题关键．连接，，先证明，，根据三角形面积公式求出，根据线段垂直平分线的性质得到点C关于直线的对称点为点A，根据，即可求出的周长最小值为9． 【详解】解：连接，． ∵，点D是边的中点，， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴， ∵，当点A、M、D共线时取等号， ∴的长为的最小值， ∴的周长最小值为． 故选：B． 7．如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交、于点E、F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值是（    ）． A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，最短线段问题，将的最小值转化为的长是解题关键．连接、，根据等腰三角形三线合一的性质，求出，再根据垂直平分线的性质，得到，从而得出的最小值为的长，即可求出周长的最小值． 【详解】解：如图，连接、， 等腰的底边，D为边的中点， ，， 面积为， ， ， 垂直平分， ， ， 的最小值为的长， 周长的最小值是， 故选：C． 8．如图，在中，，，的面积是16，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，将军饮马问题，理解将军饮马问题，正确添加辅助线是解题关键．连接，，先证明，根据三角形面积公式求出，根据线段垂直平分线的性质得到点C关于直线的对称点为点A，根据，即可求出的周长最小值为10． 【详解】解：连接，． ∵，点D是边的中点， ∴， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴， ∵， ∴的长为的最小值， ∴的周长最小值为． 故选：C 9．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（    ）    A．12 B．8 C．10 D．20 【答案】C 【分析】连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，    ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴的长为的最小值， ∴周长的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查的是轴对称——最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 10．如图，在中，，于点D，垂直平分交于点，交于点，是线段上的一个动点，则的周长的最小值是（  ） A．6 B．7 C．10 D．12 【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质可知点B和点C关于直线EF对称，所以当P与G重合时，的值最小，根据CD和BD的长度即可求得周长的最小值． 【详解】解：如图 ∵， ∴是等腰三角形， ∵，于点D， ∴， ∵直线EF垂直平分BC交AB于点E， ∴点B和点C关于直线EF对称， ∴当P与G重合时，的值最小，最小值等于CD的长， ∴周长的最小值是， 故选B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、轴对称最短路线问题的应用、三角形的面积等，解题的关键是准确找出P点的位置． 【题型03 ：“2定点1动点”求线段最小值问题】 11.已知，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高AD上任一点，F是腰AB上任一点，腰AC＝5，BD＝3，AD＝4，那么线段BE+EF的最小值是（　　） A．5 B．3 C． D． 【答案】C 【解答】解：如图作点F关于AD的对称点F′，连接EF′．作BH⊥AC于H． ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD＝3， ∴点F′在AC上， ∵BE+EF＝BE+EF′， 根据垂线段最短可知，当B，E，F′共线，且与H重合时，BE+EF的值最小，最小值就是线段BH的长． 在Rt△ACD中，AC＝5， ∵•BC•AD＝•AC•BH， ∴BH＝， ∴BE+EF的最小值为， 故选：C 12.如图，等腰△ABC的面积为9，底边BC的长为3，腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于点E、F，点D为BC边的中点，点M为直线EF上一动点，则DM+CM的最小值为（　　） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【解答】解：连接AD，AM． ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∴S△ABC＝BC•AD＝×3×AD＝9，解得AD＝6， ∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴点C关于直线EF的对称点为点A， ∴CM＝AM， ∴CD+CM+DM＝CD+AM+DM， ∵AM+DM≥AD， ∴AD的长为CM+MD的最小值， ∴DM+CM的最小值为6． 故选：C． 13.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（　　） A．4 B．4.8 C．5 D．6 【答案】B 【解答】解：如图所示： 过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M， 过点M作MN⊥BC于点N， ∵BD平分∠ABC， ∴ME＝MN， ∴CM+MN＝CM+ME＝CE． ∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，CE⊥AB， ∴S△ABC＝•AB•CE＝•AC•BC， ∴10CE＝6×8， ∴CE＝4.8． 即CM+MN的最小值是4.8， 故选：B． 【题型04 ：“1定点2动点”-线段/周长最小问题】 14.如图，在中，，，点在边上，且，点，分别是边，上的动点，当最小时，，则长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．作点关于的对称点，作于M，交于P，此时，根据垂线段最短，的最小值等于垂线段的长，利用含角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作于M，交于P，，此时最小， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 15．如图，在等腰中，在上分别截取，使．再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．已知，．若点分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（  ） A．10 B． C．12 D． 【答案】D 【分析】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最值问题． 如图，过点B作于点H，证明的最小值为的长，再利用面积法求出即可． 【详解】解：如图，过点B作于点H． 平分， 关于对称， 作点N关于的对称点，连接， ， 的最小值为的长． 平分， ， ∴， ， ． 故选：． 16．如图，在中，，是的一条角平分线，点E，F分别是线段，上的动点，若，，那么线段的最小值是（    ）    A． B．5 C．4 D．6 【答案】A 【分析】过点作于点，交于，此时，即的最小值，利用面积法可求出的值，即的最小值． 【详解】解：过点作于点，交于，   ，是的一条角平分线， 点为底边的中点，，， 点、关于对称， ， ，此时的最小值， ，， ， ， ， 的最小值为． 故选A． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，属于中考常考题型． 17．如图，在中，，，，平分，点分别是，边上的动点，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】作点关于直线的对称点，连接，证明，得，欲求的最小值，只要求出的最小值，即当时，的值最小，此时与重合，与重合，最小值为的长． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接， 在和中， ， ， ， 欲求的最小值，只要求出的最小值， 当时，的值最小，此时与重合，与重合，最小值为的长． 在中，，，， ， 的最小值是7， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理、轴对称中的最短路线问题、垂线段最短等知识，找出点、的位置是解题的关键． 18．如图，中，，，平分，如果、分别为、上的动点，那么的最小值是（    ） A．2.4 B．3 C．4 D． 【答案】D 【分析】过点作于，交于点，过点作于点，根据角平分线的性质定理得到，进而得到，利用面积法求出，由此得到的最小值． 【详解】解：过点作于，交于点，过点作于点， ∵平分， ∴， ∴， ∵中，，，， ∵， ∴， ∴，即的最小值是 故选D． 【点睛】此题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，还考查了最短路线问题，解题的关键是找到使最小时的动点和． 19．如图所示，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内一定点，并且OP＝2，点M、N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，当△PMN的周长取最小值时，点O到线段MN的距离为（  ） A．1 B．2 C．4 D．1.5 【答案】A 【分析】分别作点P关于OB和OA的对称点和，连接O、O、，则与OB的交点为点，与OA的交点为点，连接P、P，则此时的值即为△PMN的周长的最小值，过点O作OC⊥于点C，求得∠O的值，由含30°角的直角三角形的性质可得答案． 【详解】解：分别作点P关于OB和OA的对称点和，连接O、O、，则与OB的交点为点，与OA的交点为点，连接P、P，则此时的值即为△PMN的周长的最小值，过点O作OC⊥于点C，如图所示： 由对称性可知OP＝O＝O＝2， ∵∠AOB＝60°， ∴∠ ＝2×60°＝120°， ∴∠＝∠ ＝30°， ∵OP＝2，OC⊥， ∴OC＝O＝1； 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质、等腰三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质是解题的关键． 20．如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝5，则AB的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】作E点关于CD的对称点E'，连接PE,E'P,PF，当E',P,F三点共线，E'F⊥AB时，此时EP+FP的值最小，由题意可得∠FE'B=30°，则BE'=2BF，再由BF=5，BE=4，可得10=2CE+4，解得CE=3，可求BC=7． 【详解】解：作E点关于CD的对称点E'，过E'作E'F⊥AB交于点F，交CD于点P，连接PE， ∴PE=PE'， ∴EP+FP=PE'+PF≥E'F， 当E',P,F三点共线，E'F⊥AB时， 此时EP+FP的值最小， ∵△ABC是正三角形， ∴∠B=60°， ∵E'F⊥AB， ∴∠FE'B=30°， ∴BE'=2BF， ∵BF=5，BE=4， ∴E'B=10， ∵CE=CE'， ∴10=2CE+BE=2CE+4， ∴CE=3， ∴BC=7， 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 21．如图，在△ABC中，AC＝BC＝10，∠ACB＝4∠A，BD平分∠ACB交AC于点D，点E，F分别是线段BD，BC上的动点，则CE＋EF的最小值是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】作C点关于BD的对称点C'，过C'作C'F⊥BC交BD于点E，交BC于点F，CE+EF的最小值C'F的长． 【详解】解：如图，作C点关于BD的对称点C'，过C'作C'F⊥BC交BD于点E，交BC于点F， ∴CE+EF=C'E+EF≥C'F， ∴CE+EF的最小值C'F的长， ∴CC'⊥BD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠C'BG=∠GBC， 在△C'BG和△CBG中， ∴BC=BC'， ∵AC=BC=10，∠ACB=120°， ∴∠ABC=30°，BC'=10， 在Rt△BFC'中，C'F=BC'=10×=5， ∴CE+EF的最小值为5， 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称，求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法、通过证明三角形全等找到对称点的准确位置是解题的关键． 22．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD=8,AD是BC边上的高．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是(     )． A．6 B．8 C．9.6 D．12 【答案】C 【分析】由“PC+PQ的最小值”可知本题考查的是两点之间垂线段最短的知识点，根据等腰三角形三线合一定理，可以找到PQ的对称点，从而找到点C到AB的垂线段交AD于点P，从而求出最小值 【详解】因为AB=AC，AD是BC的高，所以AD是∠BAC的角平分线，以AD为对称轴，作Q的对称点E，连接CE与AD交于点P，如图所示： ∵AD是∠BAC的角平分线 ∴QP=PE ∴PC+PQ=PC+PE=EC 要使PC+PQ最小，即EC最小，所以CE是△ABC底边AB上的高的时候，CE最小 由三角形面积公式得：解得，CE=9.6,∴PC+PQ的最小值是9.6，答案选C 【点睛】本题的关键是利用等腰三角形的三线合一找到Q的对称点E 【题型05 ：“1定点2动点”-角度问题】 23．如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题、等边三角形的性质，解决本题的关键是准确找到点的位置． 根据对称性和等边三角形的性质，过点B作交于点F，连接，此时取得最小值，借助等边三角形的性质得，，即可求解． 【详解】解：过点B作交于点F，连接， ∵等边三角形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴， 故选：C． 24．如图，四边形中，，，M，N分别是，上的点，当的周长最小时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作点C关于的对称点E，关于的对称点F，则，，可得，即可得当E、M、N、F在同一条直线上时，的最小值等于线段的长，根据四边形中，，得，根据三角形内角和定理得，根据等边对等角得，，即可得，根据三角形内角和定理即可得． 【详解】解：如图所示，作点C关于的对称点E，关于的对称点F， 则，， ∴， ∴当E、M、N、F在同一条直线上时，的最小值等于线段的长， ∵四边形中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，三角形内角和定理，等边对等角，解题的关键是理解题意，利用对称性构造最短路径． 25．如图，在五边形中，，，，，在、上分别找到一点 M、N，使得的周长最小，则的度数为（　　 ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据要使的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，A关于和的对称点，，即可得出，进而得出即可得出答案． 【详解】解：作A关于和的对称点，，连接，，交于M，交于N，则，即为的周长最小值．作延长线，   ∵， ∴， ∴， ∵，， 且，， ∴， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键． 26．如图，四边形ABCD中，∠BAD=121°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找到一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（　　） A．118° B．121° C．120° D．119° 【答案】A 【分析】如图，作A关于和的对称点，，连接，交于M，交于N，则的长度即为周长的最小值．根据，得出．根据，，且，，可得，即可求出答案． 【详解】如图，作A关于和的对称点，，连接，交于M，交于N， 根据对称的性质有：，， ∴周长的为． 当点、、M、N四点共线时，的值最小，且最小为， 则的长度即为周长的最小值． ∵， ∴． ∵，，且，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查最短路线问题，三角形内角和定理和三角形外角的定义等知识，利用轴对称的性质确定M、N的位置是解题的关键．考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题． 27．如图，若∠AOB=44°，为∠AOB内一定点，点M在OA上，点N在OB上，当△PMN的周长取最小值时，∠MPN的度数为(         ) A．82° B．84° C．88° D．92° 【答案】D 【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点、，连接交OA于M，交OB于N，的周长的最小值为长度，然后依据等腰等腰中，，即可得出，代入求解即可． 【详解】解：如图所示：分别作点P关于OA、OB的对称点、，连接交OA于M，交OB于N， ∴，，， 根据轴对称的性质可得，， ∴的周长的最小值为长度， 由轴对称的性质可得， ∴等腰中， ， ∴ ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，轴对称的性质，等腰三角形的性质等，正确作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 28．如图，四边形中，，在、上分别找一点，使周长最小时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=60°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案． 【详解】作A关于BC和CD的对称点A′,A″,连接A′A″,交BC于M,交CD于N,则A′A″即为△AMN的周长最小值．， ∵∠DAB=120°， ∴∠AA′M+∠A″=180°−120°=60°， ∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″， 且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM， ∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2(∠AA′M+∠A″)=2×60°=120°， 故选C. 【点睛】此题考查轴对称-最短路线问题，解题关键在于作辅助线. 29．如图已知，为内一定点，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点P关于OM、ON对称点分别为P′、P″，当点A、B在P′P″上时，△PAB周长为PA+AB+BP=P′P″，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出∠APB的度数． 【详解】分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″,连接OP′、OP″、P′P″,P′P″交OM、ON于点A. B, 连接PA、PB,此时△PAB周长的最小值等于P′P″. 由轴对称性质可得,OP′=OP″=OP,∠P′OA=∠POA，∠P″OB=∠POB， ∴∠P′OP″=2∠MON=2×40°=80°， ∴∠OP′P″=∠OP''P′=(180°−80°)÷2=50° 又∵∠BPO=∠OP″B=50°,∠APO=∠AP′O=50°， ∴∠APB=∠APO+∠BPO=100°. 故选B. 【点睛】此题考查轴对称-最短路线问题，解题关键在于作辅助线. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$