6.2数学建模——从自然走向理性之路（教学课件）数学湘教版必修第二册

湘教版 必修第二册 6.2数学建模——从自然走向理性之路 主讲： 湘教版(2019)必修(第二册) 第6章数学建模 湘教版 必修第二册 学习目标 目标 1 重点 2 1.理解数学建模的基本步骤及其逻辑关系。 2.掌握伽利略自由落体运动模型的建立过程及其核心思想。 3.理解模型假设的意义和作用。 难点 3 1.在模型求解和检验过程中，培养学生严谨的科学态度和实验设计能力。 2.如何引导学生从实际问题中抽象出数学模型并进行验证和应用。 1.理解数学建模的基本过程，包括问题描述、模型假设、模型建立、模型求解、模型检验和推广应用。 2.通过伽利略的自由落体运动研究，了解数学建模在自然科学中的应用。 3.培养学生的科学探究精神和逻辑思维能力。 新课导入 在自然科学的发展历程中，数学建模扮演了重要角色。16世纪，伽利略通过对自由落体运动的研究，建立了自由落体运动的数学模型。这一模型不仅揭示了自然规律，还为现代物理学奠定了基础。 今天，我们将通过伽利略的研究，一起探索数学建模的魅力。 下面，我们以自由落体运动方程为例，说明数学建模的过程。 为什么物体下落时会加速？古代人对这一现象的解释是什么？伽利略又是如何研究这一现象的？ 问题1 ：伽利略是如何描述自由落体运动问题的？ 新课讲授 环节二：探究发现，得出结论 1.问题描述 位于高处的物体，如果失去了支撑就会下落，这是每个人都知道的自然现象。 战国时期的墨子以及古希腊哲人亚里士多德就对该现象产生的原因进行过论述，不过古代的人们并不清楚这种现象是力作用的结果，因而普遍认为，导致物体下落的原因是物体的质量。 问题2 ：伽利略在研究自由落体运动时做了哪些假设？ 新课讲授 环节二：探究发现，得出结论 2.模型假设 伽利略通过反复观察发现：物体下落的速度随下落的时间而均匀增加，且速度与时间成正比例关系，即。他注意到，在有介质的空间，物体下落速度必然与物体的形状以及物体的质量有关。因此只能在理想条件下构建物体下落的模型，为此，必须假定在物体下落的过程中空气阻力可以忽略不计。在此假设的前提下，物体下落的速度与物体的形状以及物体的质量无关。 问题3 ：如何建立自由落体运动的数学模型？ 新课讲授 环节二：探究发现，得出结论 3.模型建立 问题4 ：如何求解自由落体运动的模型？ 新课讲授 环节二：探究发现，得出结论 问题5 ：伽利略是如何验证自由落体运动模型的正确性的？ 新课讲授 环节三：模型检验与推广应用 问题5 ：伽利略是如何验证自由落体运动模型的正确性的？ 新课讲授 环节三：模型检验与推广应用 问题6 ：如何将斜面实验的结果推广到自由落体运动？ 新课讲授 环节三：模型检验与推广应用 他实验了不同的倾斜角度，又实验了不同长度的木板，先后一百多次的实验结果均显示，黄铜球下落的距离与下落时间的平方之比近似为一个正常数，进而验证了模型的正确性。 学以致用 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资 1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元.该家庭有20万元资金全部用于理财投资，怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？ 11 学以致用 [解析] 设两类产品的收益与投资的函数分别为， . 由已知得，，所以， . 设投资债券类产品为万元，则投资股票类产品为 万元， 依题意得 ， 令，则 ， 所以当，即 时，收益最大，故当投资债券16万元，投资股票4万元时，获 得最大收益，最大收益为3万元. 12 问题 ：本节课你学到了什么？ 数学建模的基本步骤是什么？ 新课讲授 环节四：小结提升，形成结构 数学建模的基本过程包括： 问题描述、模型假设、模型建立、模型求解、模型检验和推广应用。 通过伽利略的自由落体运动研究，我们不仅了解了自由落体运动的规律，还掌握了数学建模的基本方法。 5.推广应用 新课讲授 环节五：目标检测，检验效果 5.推广应用 新课讲授 环节五：目标检测，检验效果 根据自由落体运动方程的建立过程， 我们可以用图6.2-5所示的框图来表示数学建模的基本过程。 5.推广应用 新课讲授 环节五：目标检测，检验效果 数学建模作为连接数学与实际问题的桥梁! 建立既符合实际! 又能够利用现有方法求解的合理数学模型就成为解决实际问题的关键步骤之一! 需要说明的是! 数学模型与我们通常所说的数学问题是不同的! 一般的数学问题要求叙述严谨" 明确"答案唯一! 而根据实际问题建立的数学模型及由此得到的答案通常不具有唯一性! 判断数学模型的优劣以是否符合实际为标准! 作业 新课讲授 环节六：布置作业，应用迁移 课堂小结 主讲： 湘教版(2019)必修(第二册) 感谢聆听 基于上述假设，如果物体自由下落的时间相同， 物体自由下落的高度 只与运动时间 以及加速度 有关， 此时， 是关于 与 的函数 。 4.模型求解 根据伽利略关于速度与时间成正比例关系，即 的假设， 若物体下落 时的速度为 ，则下落 时的速度为 ，…，下落 时的速度为 。 伽利略当年利用物体下落 路程的平均速度 乘以时间（根据路程=速度×时间）， 得到自由落体运动的路程模型为 。 （此处提示：不受任何阻力，只在重力作用下下落的物体为自由落体。） 上述模型的结果是正确的，但是，它是在取起点与终点的平均速度的情况下得到的， 方法欠直观，同时结论也仅对匀加速运动成立（恰好自由落体运动为匀加速运动）。 下面我们对上述路程模型给出一个直观的近似证明。 我们从 的假设出发，简要说明上述模型的正确性。 由假设 ，即自由落体运动为匀加速运动， 图象为图6.2-1中倾斜的直线。 将图6.2-1所示的自由落体运动经历的时间 等分， 得到一系列相同的时间间隔 ， 由于 很小时，物体速度变化很小， 该时间间隔内的运动可以看成匀速运动， 因此，根据伽利略的假设， 物体每经过一个时间间隔 后，在接下来的时间间隔 内， 物体下降速度会增加， 增加值近似于 ，它对应于图6.2-2中小矩形的面积， 物体在时间 内总的下落高度近似等于所有矩形面积之和。 当时间间隔 趋于0时， 图6.2-2中阶梯形矩形面积就等于倾斜直线、 轴以及时间 对应直线所围成的三角形面积， 即 。 模型分析与检验 伽利略做了一系列的实验来检验模型的正确性，他的实验是在斜面上进行的。 伽利略通过大量的实验验证了这样一个事实： 同样的高度、同样的重物沿垂面下落和斜面下落， 下落的时间之比等于垂直长度和斜面长度之比。 这个事实说明：可以利用斜面进行自由落体的实验。 于是伽利略用一块足够长的木板，在中间凿出一条光滑沟槽， 让光滑的黄铜球沿着沟槽滚下，如图6.2-3。 伽利略用斜面实验验证了模型的正确性后， 将斜面实验的结果推广到与水平面垂直的情况： 随着斜面倾斜角度逐渐增加到 ， 小球的加速度不断变大， 小球逐步过渡到自由落体运动， 如图6.2-4。 至此，他成功地验证了原先的猜想， 得到了自由落体运动的规律。 1.P244 问题研究二. 2.预习 6.3数学建模案例（一）:最佳视角 1.建立数学模型的过程 2.模型优劣的判断 $$