6.1走进异彩纷呈的数学建模世界（教学课件）数学湘教版必修第二册

湘教版 必修第二册 6.1走进异彩纷呈的数学建模世界 主讲： 湘教版(2019)必修(第二册) 第6章数学建模 湘教版 必修第二册 学习目标 目标 1 重点 2 1.理解数学建模的基本步骤及其逻辑关系。 2.掌握数学模型的建立和求解方法。 难点 3 1.在模型求解和验证过程中，培养学生严谨的科学态度和数据分析能力。 2.引导学生从实际问题中抽象出数学模型并进行验证和应用。 1.理解数学建模的基本过程，包括发现问题、提出问题、分析问题、构建模型、求解结论、验证结果和改进模型。 2.通过实际案例，感受数学建模在日常生活和科学研究中的应用。 3.培养学生的数学应用能力和逻辑思维能力。 新课导入 数学建模活动是对现实问题进行抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。 该过程主要包括：在实际情景中从数学的视角发现问题，提出问题，分析问题，构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题。 本章我们将走进丰富多彩的数学建模世界，感受数学的力量与美。 现实世界的问题大致有三类： 新课讲授 创设情境，提出问题 自然方面的问题（如大海的潮汐现象、放射物的衰变、蜂巢的结构）， 社会方面的问题（如养老院的合理布局、传染病的传播机理）， 生活方面的问题（如乘车路线的规划、营养餐的配置）. 根据前人的研究我们已经知晓了很多事物的规律， 但还有更多事物的规律需要探索. 在雨中行走时，速度越快是否淋雨量就越少？ 新课讲授 创设情境，提出问题 在足球比赛中，球员如何找到射门的最佳位置？ 新课讲授 创设情境，提出问题 人们注意到，蜜蜂在构筑巢穴时，蜂房结构为六角柱体，它的开口端是正六边形，底端是封闭的六角棱锥体的底，由三个相同的菱形组成。 底端菱形的所有锐角均为， 所有钝角均为（图 6.1 - 3）。 新课讲授 创设情境，提出问题 你能从数学的角度解释蜜蜂采用上述几何体作为巢穴的原因吗？ 典例分析 案例1（万有引力定律的发现） 8 典例分析 9 典例分析案例2（马尔萨斯人口模型）： 10 典例分析案例2（马尔萨斯人口模型）： 11 典例分析 案例3（哥尼斯堡七桥问题）： 12 典例分析 案例3（哥尼斯堡七桥问题）： 13 典例分析 案例3（哥尼斯堡七桥问题）： 14 典例分析 案例3（哥尼斯堡七桥问题）： 15 学以致用 新知运用 例1 我国是人口大国，人口规模是城市规划和土地利用总体规划中一项重要的控制性 指标，预测人口模型的合理性，不仅影响到未来地区经济和社会发展，还会影响到地 区生态环境可持续发展.因此，建立合理的模型，准确地预测未来人口的发展趋势，制 定合理的人口规划和人口布局方案具有重大的理论意义和现实意义.下面是我国 年人口统计表： 年份 1964 1969 1974 1979 人口数/亿 7.04 8.06 9.08 9.79 年份 1984 1989 1994 1999 人口数/亿 10.34 11.06 11.76 12.52 16 学以致用 根据上表数据，在平面直角坐标系中画出人口增长曲线图，由图可以看出人口数 量不断增加，各点近似在一条直线上，画出一条与标出的8个点最接近的直线，再用待 定系数法求出这条直线对应的一次函数，写出它的解析式. 照这样的增长趋势，试估计2009年我国的人口数量. 17 学以致用 1.确定参数、计算求解 设函数解析式为 ， 因为函数图象经过点， ， 所以解得 所以函数解析式为 . 同理，因为函数图象经过点， ，所以函数解析式为 . 18 学以致用 2.验证结果、改进模型 照这样的增长趋势，我们来估计2009年我国的人口数量. 当时， ， 当时， . 1982年宪法将计划生育定为基本国策，实际到2009年我国人口总数约为13.347亿. 人口的变化受到众多方面因素的影响，因此对人口的预测与控制较复杂，很难在 一个模型中综合考虑到各个因素的影响.看下面二次函数模型. 19 学以致用 （1）问题重述 根据某地区人口从1800年到2000年的人口数据（如下表），建立模型估计出该地 区2010年的人口数量，同时画出拟合效果的图象. 该地区人口统计数据 年份 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 人口数/亿 7.2 13.8 17.2 17.6 24.7 33.6 36.2 年份 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 人口数/亿 48.6 58.1 73.3 89.8 105.6 125.9 149.1 年份 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 人口数/亿 172.2 189.8 230.5 246.7 262.1 271.2 280.3 20 学以致用 （2）分析问题、建立模型 21 学以致用 从作图可以看出，该地区人口数量与年份 的关系可以近似看作二次函数的关系， 即，利用已有数据拟合可得到参数，， . 例如利用，， 三组数据列方程组 解得 即 . 22 学以致用 （3）验证结果 作出函数 的图象如图所示： 从以上二次函数模型和原数据点的拟合效果可以看出，拟合效果在1940年之前还 可以，但是对后期的数据拟合得不好. 23 学以致用 （4）模型应用 我们经常在报刊上看见关于人口增长的预报，说到本世纪末，或到下世纪中叶， 全世界（或某地区）的人口将达到多少亿.你可能注意到不同报刊对同一时间人口的预 报在数字上有较大的区别，这显然是用了不同的人口模型计算的结果. 关于人口模型这方面的内容是很丰富的，我国学者为了解决我国人口迅速增长的 问题，作了大量的调查研究，建立了不少的人口模型，为我国政府制定相应的人口政 策提供依据. 24 学以致用 事实上，人口的预测是一个相当复杂的问题，影响人口增长的因素除了人口基数 与可利用资源量外，还和医疗卫生条件的改善、人们生育观念的变化等因素有关，特 别是在做中短期预测时，我们希望得到满足一定预测精度的结果，比如在刚刚经历过 战争或是在特定的历史条件下采纳了特殊的人口政策等，这些因素本身以及由此引起 的年龄结构变化就变得相当重要，所以也要予以考虑. 25 学以致用 例2 某跨国饮料公司在对全世界所有人均（即人均纯收入）在0.5千美元 千美元 的地区销售该公司饮料的情况调查时发现：该饮料在人均 处于中等水平的地区销 售量最多，然后向两边递减. （1）给出下列几个模拟函数：①；②；③ ；④ 表示人均，单位：千美元，表示年人均饮料的销售量，单位： . 用哪个模拟函数来描述人均饮料的销售量与地区的人均 关系更合适？说明理由. （2）当人均为1千美元时，年人均饮料的销售量为，当人均 为4千美元时， 年人均饮料的销售量为 ，把（1）中你所选的模拟函数求出来，并求出在各个地区 中，年人均 饮料的销售量最多是多少？ 26 学以致用 [解析] （1）用①来模拟比较合适.因为该饮料在人均 处于中等水平的地区销售量 最多，然后向两边递减，而②③④表示的函数在区间上是单调函数，所以②③④都不 合适，故用①来模拟比较合适. 27 学以致用 （2）因为当人均为1千美元时，年人均饮料的销售量为，当人均 为4千美 元时，年人均饮料的销售量为 ， 把分别代入，得 解得 所以函数的解析式为 . 因为，所以当时，年人均 饮料的销售量最多 是 . 28 学以致用 1.芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可以美化居室、净化空气， 还可以美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场.某人准备进军 芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的 种植成本 （单位：元/10千克）与上市时间 （单位：天）的数据情况如表所示： 50 110 250 Q 150 108 150 29 学以致用 （1）根据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本与上市时间 的变 化关系：，，， .求出所选函数的解析式. （2）利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本. 30 学以致用 [解析] （1）由所提供的数据可知，反映芦荟种植成本与上市时间 的变化关系的函 数不可能是常数函数，若用函数，， 中的任意一个来 反映时都应有 ，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合， 所以应选用二次函数 进行描述. 将表格所提供的三组数据分别代入函数 ，可得 解得 31 学以致用 所以反映芦荟种植成本与上市时间的变化关系的函数为 . （2）当上市天数 天时，芦荟种植成本最低，最低为 （元/10千克）. 32 学以致用 2.据调查，人类在能源利用与森林砍伐中使 浓度增加.据测，2015年，2016年和201 7年大气中的 浓度分别比2014年增加了1个单位，3个单位和6个单位.若用一个函数 模拟每年浓度比2014年增加的单位数与年份增加数 的关系，模拟函数可选用二 次函数（其中，，为常数）或函数（其中，， 为常数），又知2018年大气中的 浓度比2014年增加了16.5个单位，请问用以上哪个 函数作模拟函数较好？ 33 学以致用 [解析] 若以 作模拟函数， 则依题意得 . 若以 作模拟函数， 34 学以致用 则 . 利用，对2018年 浓度作估算， 则其数值分别为单位， 单位， ， 作模拟函数与2018年的实际数据较为接近， 故用 作模拟函数较好. 35 学以致用 3.某个体经营者经营了， 两种商品，逐月投资金额与所获纯利润列表如下： 投资 种商品金额/万元 1 2 3 4 5 6 获纯利润/万元 0.65 1.39 1.85 2.00 1.84 1.40 投资 种商品金额/万元 1 2 3 4 5 6 获纯利润/万元 0.25 0.49 0.76 1.00 1.26 1.51 该经营者准备第七个月投入12万元经营这两种商品，但不知投入， 两种商品各多少 万元才划算.请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你 的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润（结果保留两位有效数字）. 36 学以致用 [解析] 以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出， 两种商品 的散点图，如图①②所示. ① ② 37 学以致用 观察散点图可以看出，种商品所获纯利润与投资额 之间的变化规律可以用二次函 数模型进行模拟. 取点为最高点，则 ， 再把点代入，得 ， 解得，所以 . B种商品所获纯利润与投资额 之间的变化规律可以用一次函数模型进行模拟. 设，取点和点 ， 代入得解得所以 . 38 学以致用 故前六个月所获纯利润关于月投资种商品的金额 的函数关系式是 ，前六个月所获纯利润关于月投资种商品的金额 的函数关系 式是 . 设第七个月投入，两种商品的资金分别为，（万元），总利润为 （万元）， 则 39 学以致用 所以 . 所以当时，最大，最大约为，此时 . 故该经营者第七个月把12万元中的3.2万元投资种商品，万元投资 种商品，可获 得最大利润约为4.1万元. 40 学以致用 问题研究：测量学校墙外一座高不可及，但在学校操场可以看得见的高大写字楼 （或其他可见的高大建筑）的高度. 课题 测量校外一座看得见，但从底部看不到顶部的写字楼的高度 本课题成员与分工（全班共分了六组，这是其中一组） 成员姓名 分工 主要工作与贡献 学生甲、乙 测量 学生丙 计数 学生丁 计算 测量工具：测角器和皮尺、计算器 所需时间：2小时 41 学以致用 测量的数 学模型 如图，设测角器高，在地面上选择一点，测得看得见的写字楼 的 仰角 ，再向建筑物前进到达点，测得对建筑物 的仰角 .设，则消去得 . #b# ____________________________________________________ 续表 42 学以致用 测量的数 学模型 故建筑物的高 ______________________________________________ 续表 43 学以致用 测量数据和计算结果 测量数据 项目 角 角 计算高度 第一次 1.2 50 第二次 1.2 50 平均 1.2 50 34 续表 44 学以致用 与本次测量相关的待研究的问题 测量从底部看不到顶部的建筑物高度，除了上述方法外，还有什么方法？ #b# 如果备有测角器和皮尺.如图所示，设测角器高，地面上选择与建筑物 不在同 一直线上的两测点，，在点测得对建筑物的仰角 ，并测得 ，在点测得 ，量出 ，如何求建筑物的高度？ #b# ________________________________ 续表 45 学以致用 提示：在中，由正弦定理得，.在 中，.故建筑物的高度 续表 46 学以致用 总结 这次实践活动中，我们成功地运用了三角知识解决实际问题.通过实 践，我们发现任何事情并不是想象中那么简单.在实践之前，不仅要制定 理论上的方案，还要把很多实际因素考虑进去，包括周围的地形、天气、 仪器、可行度等都是制定计划时需要考虑的重要因素.这次活动是我们首 次将理论运用于实践，纸上得来终觉浅，凡事不容易，身躬力行才能体会 其中的滋味 续表 47 课堂小结 &1& 函数拟合与预测的一般步骤： （1）根据原始数据、表格，绘出散点图； （2）通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线； （3）求出拟合直线或拟合曲线的 函数关系式； （4）利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和 管理提供依据. 主讲： 湘教版(2019)必修(第二册) 感谢聆听 万有引力是英国伟大的物理学家、数学家和天文学家牛顿提出来的， 它是指：任意两个质点通过连心线方向上的引力相互吸引。 该引力大小与它们质量的乘积成正比，与它们距离的平方成反比， 而与两物体的化学组成和其间介质种类无关。 其数学表达式为 。 上式中， 表示两个物体间的引力， 为万有引力常数， ， 表示两个物体的质量， 表示两个物体间的距离（图6.1-5）。 牛顿坐在苹果树下思考引力问题的传奇故事世人皆知， 但万有引力定律的发现则是一个较为漫长艰辛的数学建模与求解过程。 由于需要的数学工具大大超出了当时数学的范围， 经过长达近20年的思考，牛顿才利用开普勒第三定律以及牛顿第二定律，从离心力定律演化出来的向心力定律和自己独立发明的微积分方法，最终建立了万有引力定律模型。 万有引力定律的发现是人类自然科学发展史上最伟大的成果之一， 这条定律对自然科学，尤其是对物理学与天文学的发展有着深远的影响。 人口增长问题是一个深受社会学家关注的问题。 英国经济学家、人口学家马尔萨斯最先研究了这个问题，他发现人口的自然增长率在一定的时间内是一个常数，人口的变化率和当前的人口数目成正比。 根据马尔萨斯的观点，现在我们来建立一个可用来描述人口数量随时间变化的数学模型。 假设某地区在时刻 时的人口总数为 ，经过时间 后该地区人口的变化率与人口数成正比，比例系数为 ，则人口总数的增长可用下列数学模型描述： ，即 。 如果让 充分小，可以得到下面被称为马尔萨斯方程的人口增长模型： ，其中 为开始时刻该地区的人口总数。 马尔萨斯人口增长模型是一个指数型函数， 因此又被称为指数增长模型（如图6.1-6）。 大量数据表明，在自然状态下， 上述模型既可以用来描述某种生长过程， 如人口等生物种群的数量变化， 某人在银行存款数量的变化等， 也可以描述某种传播过程， 例如疾病传染、信息的传播等。 马尔萨斯模型在一个种群的发展初期是合理的，其结论对人类的发展具有启示作用，它提醒人们要防止人口的过快增长，注意人口与生活资源比例协调。 但发展到一定时期后，其缺陷便会凸显出来。由于没有考虑自然条件与生存环境对人口的制约，人口可以无限制增长，显然用该模型做长期的人口预测是不合理的，需要进一步修改。但不能否认的是，马尔萨斯人口模型是人类关于人口理论研究的开创性模型。 在一般情况下，马尔萨斯人口模型中的参数，即增长率是未知的， 如何求解增长率，则是求解数学模型时需要解决的问题。 18世纪时的哥尼斯堡是东普鲁士的一座风景优美的小城， 穿过该小城的普雷格尔河的中心有一座美丽的小岛， 河流及其两条支流把包含岛区在内的哥尼斯堡分为四个区域： 东区 ，北区 ，岛区 以及南区 。 架在河流上的七座桥将这四个区域连接起来， 如图6.1-7所示。 市民在哥尼斯堡城行走时提出这样的问题： 是否能一次走遍这七座桥，每座桥只允许走一次， 最后回到原出发点？ 这就是著名的哥尼斯堡七桥问题。 当地人热衷于上述问题的解决，尝试了各种不同的行走路线都不得其解。 该问题引起了瑞士数学家欧拉的强烈兴趣。 开始时，欧拉试图将所有的走法一一列举出来， 然后对这些走法进行验证，经过计算后欧拉发现不同的走法共有5040种， 这样做既浪费时间，而方法也没有通用性。 经过大约一年时间的思考， 欧拉将该实际问题抽象成一个数学问题， 通过建立数学模型完全解决了哥尼斯堡七桥问题。 欧拉的做法是，首先将岛屿和岸抽象为点，将桥抽象成线， 从而将七桥问题抽象成如下问题：是否可以笔尖不离开纸面， 一笔（不重复经过任何一条路线）画出如图6.1-8所示的图形？ 这就是欧拉为了求解七桥问题而建立的数学模型。 进一步，欧拉得到了上述数学模型的求解方法。 从图6.1-8中可以看出，每个点都是某些曲线的端点， 欧拉将连有偶（奇）数条曲线的点命名为偶（奇）顶点。 容易看出，除去起点和终点外，对于其余的每一个点， 如果笔沿某条线进入该点的话，则它必须沿着另一条线出来， 从而该顶点一定是偶顶点。 从而得到“一笔画”的充分必要条件为：奇顶点个数为0或2。 奇顶点个数为0意味着任意一点都可以作为起点、终点以及中间点， 而奇顶点个数为2时，其中一个奇顶点为起点（即只有出线）， 另一个奇顶点为终点（即只有入线）。 由于七桥问题对应的图形中有4个奇顶点， 不满足“一笔画”的要求， 如此说来人们希望找到的不重复路线根本不存在。 对于长久困扰人们的哥尼斯堡七桥问题， 欧拉将其抽象成一个简单的数学模型。 $$