5.5 用二次函数解决问题同步练习2024-2025学年苏科版数学九年级下册

5.5 用二次函数解决问题 一、单选题 1．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是．有下列结论： ①飞机着陆后滑行时间t的取值范围是； ②飞机着陆后滑行40m才能完全停下来； ③飞机着陆后到完全停下这段时间的最后10s滑行了450m． 其中，正确结论的个数有（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．如图，是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面再上升，则水面的宽度是多少？（    ） A． B． C． D． 3．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图：以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中运行路线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最远水平距离是（    ）    A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 4．销售某商品，每件进价10元，原售价每件30元，每月可售出80件，若每件售价每上升1元，则每月少售出2件．有下列结论：①售价为10元时，每月总利润最高，为1800元；②售价上升5元时，每月总利润为1750元；③售价为38元和售价为42元时，每月所获总利润相同，其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 5．某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：），某学习小组探究之后得出如下结论， AI ①水面宽度为 ②抛物线的解析式为 ③最大水深为 ④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少为原来的 其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式为．有下列结论： ①滑行的时间为时，滑行的距离是； ②飞机停下前最后内滑行的距离是； ③飞机着陆后滑行了才停下来． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 7．体育课上投掷实心球活动，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为 米． 8．科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：科学家经过猜想、推测出1与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为 ． 温度t/ 0 1 4 植物高度增长量 41 49 49 46 25 9．如图，张爷爷计划在一边靠墙处，用一段长度为的篱笆围成一个长方形菜园，设边长为，菜园面积为，则与之间的函数关系为 ． 10．如图，在等腰中，，，点M是边上的动点，以为腰作等腰，，连接，若N为的中点，连接，则线段的最小值为 ． 11．在四边形中，，，，且，则四边形面积最大值为 ． 12．在平面直角坐标系中，已知抛物线（）及点、．如果线段与抛物线有交点，那么的取值范围是 ． 三、解答题 13．如图，中，，，其中，．    (1)直接写出线段的中点的坐标； (2)反比例函数的图象过点，与交于点，求的值； (3)点为（2）中反比例函数图象上一动点(点在，之间运动，不与，重合)，过点作，交轴于点，过点作轴，交于点，连接，求面积的最大值，并求出此时点的坐标． 14．为解决学生课桌面乱堆乱放现象，班主任王老师计划从文具店购进A，B两种不同型号的书挂袋给学生使用，每名学生1只（班级共40名学生）．已知：购买3只A种书挂袋、2只B种书挂袋需要110元，购买5只A种书挂袋、4只B种书挂袋需要200元． (1)求文具店A种、B种书挂袋售价各为多少元？ (2)已知文具店A，B两种书挂袋的进货价分别为16元和18元．目前正在对B种书挂袋进行促销活动：购买B种书挂袋数量在10只以内（包括10只）时，不优惠；购买B种书挂袋数量不低于10只时，每超过1只，购买的所有B种书挂袋单价均降低元（最低不低于成本），问：王老师的班级选择A，B两种书挂袋各几只时，文具店获利最大？最大利润是多少元？ 15．跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为6米，到地面的距离和均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点的水平距离为1米的点处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点．以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为． (1)求该抛物线的解析式； (2)如果身高为1.85米的小华也想参加跳绳，问绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理由； (3)如果身高1.7米的小明站在之间，且离点的距离为米，绳子甩到最高处时必须超过其头顶，请结合图象，直接写出的取值范围． 16．如图，已知二次函数的图像与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，作直线． (1)求直线的函数表达式； (2)P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作于点Q，当线段取得最大值时，求点P的坐标． 17．抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)若点，求的值； (2)如图，在（1）的条件下，点是抛物线上一点，点为直线下方抛物线上一动点，求四边形的面积为最大值及此时点的坐标； (3)若点是抛物线对称轴上一点，且点的纵坐标为，作直线，将直线向下平移个单位长度得到直线，若直线与抛物线有且仅有一个交点． ①直接写出关于的函数关系式； ②直接写出当时的取值范围． 18．已知抛物线 (a为常数)，该函数图象的顶点为 M． (1)若 求顶点M的坐标； (2)将抛物线L先向右平移 个单位，再向上平移 个单位后得到抛物线，其顶点为 与x轴交于点A 和点B(点A在点B的左侧)，且点 在直线 上，若 求a的值； (3)在（2）的条件下，点P为直线l下方抛物线上一动点，抛物线与直线l交于点C和点D(点C在点 D 的左侧)，当 面积最大时，求点 P 的坐标和 面积的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《5.5 用二次函数解决问题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A C A C A C 1．A 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质；由题意可得，然后依此判断①②③即可． 【详解】解：∵，，开口向下， ∴当时，飞机着陆后滑行的最大距离为， ∴飞机着陆后滑行时间t的取值范围是，故①错误； 飞机着陆后滑行才能完全停下来，故②错误； 飞机前10秒滑行的距离为， ∴飞机着陆后到完全停下这段时间的最后10秒滑行了；故③错误； 综上所述：正确结论的个数有0个； 故选A． 2．C 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点， 则：O为原点，，， 设函数解析式为，把A点坐标代入得， ∴抛物线解析式为， 当水面上升，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当时，对应的抛物线上两点之间的距离， 把代入抛物线解析式得出：， 解得：， ∴此时的水面宽度为， 故选：C． 3．A 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，水喷出的最远水平距离即为抛物线与x轴两个交点的横坐标的差的绝对值，据此求解即可． 【详解】解：当时，解得或， ∴水喷出的最远水平距离是米， 故选：A． 4．C 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设每件商品的实际售价为x元，每月获得的利润为w元，则每件商品的利润为元，销售量为件，据此列出w关于x的函数关系式，再逐一判断即可得到答案． 【详解】解：设每件商品的实际售价为x元，每月获得的利润为w元， 由题意得，， ∵， ∴当，即时，w最大，最大值为1800， ∴售价为40元时，每月总利润最高，为1800元，故①错误； 当时， ， ∴售价上升5元时，每月总利润为1750元，故②正确； 当时， ， 当时， ， ∴售价为38元和售价为42元时，每月所获总利润相同，故③正确； 故选：C． 5．A 【分析】本题考查抛物线的实际应用，根据图象可以判断①；设出池底所在抛物线的解析式为，再把代入解析式求出a即可判断②；把代入解析式求出，再用即可判断③；把代入解析式即可判断④． 【详解】解：①观察图形可知，， 即水面宽度为， 故①错误； ②设池底所在抛物线的解析式为， 将代入，可得， 故抛物线的解析式为； 故②错误； ③∵， ∴当时，， ∴最大水深为， 故③正确； ④当池塘中水面的宽度减少为原来的一半，即水面宽度为时， 将代入，得， 可知此时最深处到水面的距离为， 即为原来的， 故④错误． 故选：A． 6．C 【分析】本题主要考查二次函数的应用，将函数解析式配方成顶点式再逐个分析即可得． 【详解】解：∵， ∴当时，， 即滑行的时间为时，滑行的距离是； 当时，s有最大值，此时， ∴飞机从落地到停下来共需20秒，滑行距离为600m， ∴飞机前10秒滑行的距离为， 即飞机停下前最后内滑行的距离是 当时，y取得最大值600， 即飞机着陆后滑行600米才能停下来， 所以，正确的结论是①③，共2个， 故选：C． 7． 【分析】本题考查了二次函数的应用，将代入求出x的值即可，掌握二次函数的应用是解题的关键． 【详解】解：当时， ， 解得：x或（舍去）． 故答案为：． 8． 【分析】此题主要考查了二次函数的应用．首先利用图标得出一组对称点，然后利用二次函数对称轴与顶点（最值）得出即可． 【详解】解：由，可知抛物线的对称轴为直线， 故当时，植物生长的温度最快． 故答案为：． 9． 【分析】本题考查了与图形有关的二次函数的应用；根据题意表示出长方形的长，由长方形面积即可得到函数式． 【详解】解：由题意知，， ∴； 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了平面直角坐标系，勾股定理，等腰直角三角形的性质，二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先以点A为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，再分别表示，，运用两点距离公式进行列式得，结合二次函数的性质进行分析，即可作答． 【详解】解：以点A为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示： ∵在等腰中，，， ∴ ∵点M是边上的动点，以为腰作等腰，， ∴设，， 则， ∵N为的中点， ∴， 即， ∵ 故 ∵， ∴开口向上，在时，有最小值， 把代入， 得， 即最小值为 故答案为：． 11．/ 【分析】本题考查了直角三角形与二次函数综合．熟练掌握勾股定理，一元二次方程根与系数的关系，添加辅助线构建直角三角形，是解题的关键． 连接， 可得，设，令，得，得，令，得且，解得，四边形面积最大值为． 【详解】连接，如图： ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 设，由勾股定理可得：， ， 令， ， 两边平方整理得：， ， ， 令， ， ，， 关于的函数对称轴在轴右侧，且与轴交点大于， 当时，， 要使有到之间正数解，需要方程，对称轴在左侧， 且， 解得：， 四边形面积最大值为． 故答案为：． 12．或 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数点的坐标特征，一元二次方程，熟练掌握以上知识点并数形结合是解题的关键．由，那么该抛物线开口向上，对称轴为，交轴负半轴，当该抛物线过点时，可算得，，那么当时，；当时，，由线段与抛物线有交点，那么点在的右侧，或者点在的左侧时均满足条件，然后列出不等式，即可得到答案． 【详解】解： 该抛物线开口向上，对称轴为，交轴负半轴， 当该抛物线过点时， ， ，， 当时，；当时，，如图所示， 线段与抛物线有交点， 点在的右侧，或者点在的左侧时均满足条件， 或， 或， ， 或． 故答案为：或． 13．(1) (2) (3)最大值是，此时 【分析】本题考查了二次函数，反比例函数，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是运用数形结合思想解题． （1）先求出B的坐标，再用中点坐标公式求解即可； （2）将代入即可的解； （3）延长交y轴于点Q，交于点L．利用等腰三角形的判定与性质可得出，设点P的坐标为，，则可求出，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：，， ． 又， ． ， 点． 又∵线段的中点是点，， ∴； （2）解：将代入，得． （3）解：延长交y轴于点Q，交于点L．   ，， ． 轴， ，． ， ， ， ． 设点P的坐标为，，则，． ． ． 当时，有最大值，此时． 14．(1)文具店A种、B种书挂袋售价各为20元、25元 (2)当A、B两种书挂袋都是20只时，文具店获利最大，最大利润是200元 【分析】本题考查了二元一次方程组、一次函数和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系正确列式是解题的关键． （1）设文具店A种、B种书挂袋售价各为x元、y元，根据题意得关于x和y的二元一次方程组，求解即可． （2）设B为m只时，文具店获利最大，则A为只，分两种情况计算：①当只时，计算文具店的利润；②当只时，计算文具店的利润，最后比较得出答案． 【详解】（1） 解：设文具店A种、B种书挂袋售价各为x元、y元，根据题意得： ， 解得：． 答：文具店A种、B种书挂袋售价各为20元、25元． （2） 设B种挂书袋为m只，则A种挂书袋为只，根据题意可知： ①当只时，文具店的利润为： ， ∴当只时，利润最大为190元； ②当只时，文具店的利润为： ， ∵， ∴当只时，文具店的最大利润为200元，此时A为20只． ∵， ∴A、B两种书袋均取20只．答：当A、B两种书挂袋都是20只时，文具店获利最大，最大利润是200元． 15．(1) (2)不能，见解析 (3) 【分析】此题考查了二次函数的应用，涉及二次函数的图象和性质、待定系数法等知识，数形结合和熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）求出当时，有最大值为1.8，即可得到结论； （3）求出当时自变量的值，结合图象进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意得点，，代入， 得， 解得， 所求的抛物线的解析式是； （2）， ， 时，有最大值为1.8， ， 绳子不能顺利从他头顶越过． （3）当时，， 解得，， 由图象可知满足条件的的值为． 16．(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法先求解抛物线为，再求解，，再求解一次函数的解析式即可； （2）如图，过作轴交于，连接，，设，则，，再利用二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于， ∴， ∴， ∴， 令，则， 解得：，， ∴， 令时，， ∴， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为； （2）解：如图，过作轴交于，连接，， 设，则， ∴， ∴， 当时，面积最大，而为定值， ∴此时最大， ∴． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数，二次函数的解析式，二次函数与面积问题，线段问题，熟练的利用二次函数的性质解题是关键． 17．(1) (2)， (3)①；② 【分析】（1）把点坐标代入抛物线方程，求解方程得． （2）先确定各点坐标与直线解析式，将拆分为 ，用坐标表示面积得二次函数，依其性质求解． （3）①求关于关系式：确定坐标得直线式，平移后联立抛物线，由推导． ②求取值范围，将关系式代入不等式，换元求解再回代． 【详解】（1）∵抛物线过点 ∴ ∴，抛物线解析式为：； （2）由（1）知，， ∴， ∴， 过点作轴交直线于点， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴， 设，则， ∴，                                     ∴， ∴， ∴当，   此时； （3）①的对称轴为直线， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， 所以，                                     ∴直线平移后的直线的解析式为：， 联立，整理得， ∵直线与抛物线有且仅有一个交点， ∴， 所以； ②当时，， 当时，， ∴． 【点睛】本题主要考查二次函数与坐标轴交点的求法、一次函数解析式的确定、图形面积的计算方法以及直线与抛物线交点问题中判别式的运用，熟练掌握二次函数与坐标轴交点的求法、一次函数解析式的确定方法、图形面积的计算方法以及利用判别式判断直线与抛物线交点个数是解题的关键． 18．(1) (2) (3)面积的最大值，此时 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数与面积综合； （1）由得到抛物线顶点坐标为，把代入计算即可； （2）平移后得到抛物线解析式为，则顶点为，代入得到，再根据列方程求解即可； （3）在（2）的条件下，，先联立抛物线和直线l求出，，过作轴交直线l于，设，则，则，，根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线顶点坐标为， ∴当时，顶点M的坐标为； （2）解：将抛物线先向右平移 个单位，再向上平移 个单位后得到抛物线解析式为， ∴顶点为， ∵点 在直线 上， ∴， 整理得， 令解得， ∵与x轴交于点和点 (点A在点B的左侧)， ∴，， ∴， 整理得， 联立，解得； （3）解：在（2）的条件下，， 联立，解得或， ∵抛物线与直线l交于点C和点D(点C在点 D 的左侧)， ∴，， 过作轴交直线l于，如图， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，最大，此时． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$