专题03 导数常考解答题全归纳（9大题型）-2024-2025学年高二数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题03 导数常考解答题全归纳 【题型归纳目录】 题型一：实际应用问题 题型二：证明不等式 题型三：恒成立问题 题型四：存在性我让他 题型五：双变量问题 题型六：零点问题 题型七：新定义问题 题型八：极值点偏移问题 题型九：洛必达法则 【知识点梳理】 一、利用导数研究函数恒成立问题 1、分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题． 一般地，若对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． 2、直接讨论法 直接讨论法是指但成立问题中的函数结构并不是很复杂，可以通过直接求导得到极值点，再对极值点直接讨论，从而求得参数的取值情况．其常用的手段是因式分解、求根公式以及观察法；若无法求得极值时，常可利用零点存在性定理，确定零点的范围后再进行讨论，研究函数的单调性等． 3、放缩法 在解决导数问题时，如果出现了指数与对数、三角与对数、三角与指数，或其它超越函数的组合时，则会因函数结构的复杂使问题的解决变得困难．如果我们利用熟悉的不等式过渡，利用不等式进行放缩，将原函数的复杂结构转化为较为简单的结构，则可提高解题速度，使解题效率大幅度地提高．其主要的放缩手段有以下三种： （1）利用函数的有界性直接放缩； （2）对一阶导数进行放缩； （3）对二阶导数放缩． 二、利用导数研究函数零点问题 1、利用导数确定函数零点的常用方法 （1）图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极（最）值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需使用极限）． （2）利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数． 2、利用函数的零点求参数范围的方法 （1）分离参数（）后，将原问题转化为的值域（最值）问题或转化为直线与的图象的交点个数问题（优选分离、次选分类）求解； （2）利用函数零点存在定理构建不等式求解； （3）转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解． 【典型例题】 题型一：实际应用问题 【例1】（24-25高二下·上海·期中）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元的管理费，预计当每件产品的售价为x元时，一年的销售量为万件. (1)用解析法表示分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x之间的函数； (2)求分公司一年的利润L的最大值M关于实数a的函数. 【解析】（1）依题意，，. （2）由（1）知，，， ， 令，解得，， 当时，，当时，，在上严格单调递减， 时，的最大值为，即； 当时，，当时，，在上严格单调递增， 当时，，在上严格单调递减， 则当时，的最大值为，即， 所以. 【变式1-1】（22-23高二下·上海嘉定·期中）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元()的管理费，预计当每件产品的售价为x元() 时，一年的销售量为 万件． (1)求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x的函数关系式(并写出函数的定义域)； (2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)． 【解析】（1）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：． （2）． 令得或（不合题意，舍去）． ，．在两侧的值由正变负． 所以当即时， ． 当即时，， 所以 答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）； 若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）． 【变式1-2】（23-24高二下·甘肃临夏·期末）某种药材的种植加工过程，受天气、施肥、管理等因素影响，农民按照药材色泽、大小等将药材分为上等药材、中等药材、普通药材，并分类装箱，已知去年生产了8箱药材，其中上等药材2箱，中等药材2箱，其他为普通药材. (1)若在去年生产的药材中随机抽取4箱，设X为上等药材的箱数，求X的分布列和数学期望； (2)已知每箱药材的利润如表： 等级 上等药材 中等药材 普通药材 利润（元/箱） 4000 2000 -1200 今年市场需求增加，某农户计划增加产量，且生产的上等药材、中等药材、普通药材所占比例不变，但需要的人力成本增加，每增加m箱，成本相应增加元，假设你为该农户决策，你觉得目前应不应该增加产量？如果需要增加产量，增加多少箱最好？如果不需要增加产量，请说明理由. 【解析】（1）X的可能取值为0，1，2， ，，， X的分布列如表： X 0 1 2 P . （2）按原计划生产药材每箱平均利润为（元）， 则增加箱药材，利润增加为元，成本相应增加元， 所以增加净利润为. 设（或），则， 当时，， 当时，，且， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值， 所以需要增加产量，增加20箱最好. 题型二：证明不等式 【例2】（23-24高二下·北京通州·期中）设函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求，的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求证：当时，有. 【解析】（1）由可得， 根据切线方程可得其斜率为，因此，解得； 又， 所以可得. （2）由（1）可知， 所以可得，易知其定义域为； 则， 令，解得； 所以当时，；当时，； 因此的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）证明：令函数， 可得， 令， 因此可得恒成立，所以在上单调递增， 可得，即恒成立， 所以在上单调递增，可得， 即，所以； 因此当时，有. 【变式2-1】（23-24高二下·江西萍乡·期中）函数． (1)当时，求的极值点个数； (2)若时，单调递减，求的取值范围； (3)求证：． 【解析】（1）由题知，， 令，得， 故在和上单调递减，在上单调递增； 则在处有极小值，在处有极大值，即有2个极值点； （2）， 由题知，当时，恒成立，即， 设，故在上单调递减， 则，故； （3）由（2）知，当且时，， 令，得， 即 则， … 将以上各不等式左､右两边分别相加得： ， 即， 即 即 故，得证． 【变式2-2】（23-24高二下·海南·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个极值点，证明：. 【解析】（1）当时，，， ，，切线方程为， 即. （2）由题意得有两个不等正根，不妨设， 令，得. 设，则， 令，则， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，， . ，， 令，则. 当时，，， 当时，，， 在上单调递增. ，，. 又，故，所以， 设， 则当时在单调递减， 当时，在单调递增，故当，故 易知，. 令，则， 在上单调递减，， ，， ，而，. 题型三：恒成立问题 【例3】（24-25高二上·四川眉山·期中）已知函数（）. (1)讨论的单调区间； (2)如果是曲线上的任意一点，若以为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值； 【解析】（1）函数的定义域为，则 ①当时，恒成立，在上单调递增； ②当，由得，由得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由题意，以为切点的切线的斜率满足， 所以对恒成立. 又当时，，所以的最小值为. 【变式3-1】（24-25高二上·江西宜春·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上恒成立，求的取值范围； 【解析】（1）当时，， ， 所以曲线在点处切线的斜率， 又， 所以曲线在点处切线的方程为即. （2）因为在区间上恒成立，即， 对，即恒成立， 令，只需， ，， 当时，有，则， 在上单调递减，符合题意， 当时，令， 其对应方程的判别式， 若即时，有，即， 在上单调递减，，符合题意， 若即时，，对称轴， 又， 方程的大于1的根为， ，，即， ，，即， 所以函数在上单调递增，，不合题意. 综上，在区间上恒成立， 综上，实数的取值范围为. 【变式3-2】（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知函数，，其中在处取得极值 (1)求的值； (2)求函数的单调区间； (3)若恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为，则，其中， 因为函数在处取得极值，则，解得， 经检验，合乎题意. 因此，. （2）由（1）可知，，其中， 则， 由，可得，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 所以，函数的增区间为，减区间为. （3）， 当时，由，可得， 令，其中， 则， 令，其中，则， 所以，函数在区间上单调递增， 因为，， 由零点存在定理可知，存在唯一的，使得， 即，即， 令，其中，则， 所以，函数在上为增函数， 因为，则，，由，可得， 则，所以，， 且当时，，即， 当时，，即， 所以，函数的减区间为，增区间为， 所以，，则， 所以，实数的取值范围是. 题型四：存在性我让他 【例4】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知奇函数在处取得极大值2． (1)求的解析式； (2)若，使得有解，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为是奇函数，所以， 即，所以，所以． 由，得． 因为在上取得极大值， 所以，解得， 经检验，当时，在处取得极大值， 故． （2）由（1）可知，， 当时，， 当和时，， 即在上单调递增，在，上单调递减， 所以在取得极小值，在处取得极大值， 又因为，，，， 所以在上的最大值为，最小值为， 要使得有解，则，解得， 所以的取值范围为． 【变式4-1】（23-24高三上·贵州安顺·期末）已知函数 (1)求的单调增区间； (2)方程在有解，求实数m的范围. 【解析】（1）的定义域为R， ， 当时，；时，； 故单调增区间为，； （2）由（1）知，函数在区间，上单调递增， 在区间上单调递减， ∵，，，， ∴，， 故函数在区间上的最大值为4，最小值为1， ∴， ∴. 【变式4-2】（24-25高二下·福建漳州·期中）已知函数，. (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数单调性； (3)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 【解析】（1）由求导可得，， 又， 所以在处的切线方程为，即. （2）由题意，，，定义域为， 则， 因为，所以， 当时，，故在上单调递减； 当时，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）当时，若对于任意，总存在，使得， 即在上的最小值大于等于在的最小值， 由（2）知，时，在上单调递减，在上单调递增， 故， ，， 因为，所以在上恒成立，故在上单调递减， 则， 所以，即， 令，， 则， 故在上单调递减， 又， 所以当时，，当时，， 故m的取值范围为. 题型五：双变量问题 【例5】（24-25高二下·河南·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个极值点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，证明：当时，. 【解析】（1）当时，，所以， 所以，所以曲线在点处的切线斜率， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为， 因为有两个极值点， 意味着有两个不同的变号正根. 设，，则. 若，，在上单调递增，不会有两个正根； 当，令，得， 所以当时，所以在上单调递增； 当时，所以在上单调递减. 又当时，当时， 要使有两个正根，需，即，解得. 所以当时，有两个极值点. （3）的定义域为， 因为有两个极值点，意味着是有两个不同正根. 所以，且， 所以，所以， 所以，当时， ， 令，即证当时，对恒成立. 令，则. 因为，所以，所以， 所以在上单调递增，所以，即， 所以当时，恒成立. 【变式5-1】（24-25高二下·北京·期中）已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)若，，求的取值范围； (3)若、，讨论与的大小关系，并说明理由． 【解析】（1）因为，则，所以， 所以在处的切线方程为，即. （2）令，其中，则， 由，可得. 当时，即当时，对任意的，， 此时，函数在上单调递增，则，合乎题意； 当时，即当时，由可得，由可得， 所以，函数在区间上单调递减， 故，不合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. （3）不妨设，且当时，，故函数在上单调递增， 先比较与的大小，即比较与的大小关系， 令，其中，所以， 故函数在上单调递增， 因为，所以，即， 即，故， 因为，故，所以， 故. 【变式5-2】（24-25高二下·广东湛江·期中）设函数． (1)时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有两个极值点且，证明：． 【解析】（1）的定义域为． 所以，， 因此曲线在点处的切线方程为， 取得． （2）． （i）时，在单调递增． （ii）时，令，则， ，． 则单调递增．单调递减． 综上所得， 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （3）由（2）知，因为是方程的两根，所以．可得. 等价于． 其中． 因此待证式等价于，两侧同时加，得， 即证，等价于， 由且得， 记，则， 记，则，所以单调递减， 所以，则，所以单调递减，所以，证毕． 题型六：零点问题 【例6】（24-25高二下·福建厦门·期中）已知函数. (1)若函数的极值点在内，求的取值范围； (2)若有两个零点，求正实数的取值范围. 【解析】（1）由， 则， 要使函数的极值点在内， 则在上有解， 即在上有解，则，解得， 即m的取值范围为. （2）由，， 则， 因为，，令，得， 当时，，函数在单调递增， 当时，，函数在单调递减， 又时，，时，， 要使有两个零点，则恒成立， 设，则， 所以函数在上单调递增，又， 则，解得. 综上所述，m取值的范围为. 【变式6-1】（24-25高二下·广东茂名·期中）已知函数. (1)证明：当时，； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题意，的定义域为， 当时，，，令，解得. 当时，，单调递减， 当时，，单调递增. 当时有最小值为，. （2）. ①当时，恒成立，在上单调递增； ②当时，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增. 综上：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）①当时，恒成立，在上单调递增，最多有一个零点，不合题意； ②当时，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增. 的极小值也是最小值为. 又当时，，当时，因为且比的增长速度快很多，所以. 要使有两个零点，只要即可， 则，可得. 综上，若有两个零点，则的取值范围是. 【变式6-2】（24-25高二下·河南洛阳·期中）已知函数，． (1)当时，函数的最小值为，求实数a的值； (2)当时，试确定函数的零点个数，并说明理由． 【解析】（1）由求导得：，因， 当，即时，，则函数在上单调递减， 故，显然不符合题意； 当，即时，，则函数在上单调递增， 故，显然不符合题意； 当，即时，由可得， 当时，，则函数在上单调递减； 当时，，则函数在上单调递增， 故，由，可得，符合题意. 故实数a的值为. （2）由，可得， 显然是该方程的一个实数解，故是函数的一个零点； 当时，方程可化简为，设函数，则， 由可得，当时，，则函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 故函数的最小值为， 即对任意的，恒成立，故方程无实数解，即时，函数不存在零点. 综上，函数有且只有1个零点. 题型七：新定义问题 【例7】（23-24高二下·甘肃临夏·期末）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．已知函数． (1)若是函数的“拐点”，求a的值和函数的单调区间； (2)若函数的“拐点”在y轴右侧，讨论的零点个数． 【解析】（1）由题可知，， ， 因为是函数的“拐点”， 所以，解得． 所以， ． 令，得或， 令，得， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为和. （2）由（1）可知，函数的拐点横坐标为，所以， 令，解得或； 令．解得． 所以的单调递减区间为，单调递增区间为和， 所以的极小值为， 的极大值为． 当，即时，有三个零点; 当，即时，有两个零点; 当，即时，有一个零点. 【变式7-1】（23-24高二下·江苏南京·期中）设函数在区间上可导，为函数的导函数.若是上的减函数，则称为上的“上凸函数”；反之，若为上的“上凸函数”，则是上的减函数. (1)判断函数在上是否为“上凸函数”，并说明理由； (2)若函数是其定义域上的“上凸函数”，求的取值范围； 【解析】（1）由题意，， 令，则， 当时，， 即此时，所以即单调递减， 从而由定义可知函数在上是“上凸函数”； （2）因为， 所以， 设，则， 由题意函数是其定义域上的“上凸函数”， 所以单调递减， 从而当时，恒成立，即当时，恒成立， 因为一元二次函数的对称轴为， 当，即时，恒成立，只需即可，解得，即； 当，即时，恒成立，只需，即，解得； 综上所述，的取值范围为. 【变式7-2】（23-24高二下·山东临沂·期末）刻画曲线的弯曲程度是几何研究的重要内容．曲线的曲率是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，曲线的曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大．若记，则函数在点处的曲率． (1)求函数在点处的曲率； (2)已知函数存在两个不同的点，，使得在，处的曲率为0， （i）求的取值范围； （ii）当时，证明． 【解析】（1）， ， 在点处的曲率为. （2）(i)， ， 存在两个不同的点，使得的曲率为0， 即有两个不同的解， 即有两个不同的解， ， 令，得，令，得， 当时，单调递增， 当时，单调递减， ， 又当时，恒成立，且时，， . (ii)由得， 要证明:，只要证， 而， 令，则，欲证， 只要证:， 即即可. 令， ， 在时单调递增， 则， ，即， . 题型八：极值点偏移问题 【例8】（23-24高二下·吉林长春·期中）已知函数. (1)若的极小值为-4，求的值； (2)若有两个不同的极值点，证明：. 【解析】（1），当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，取得极小值， 由，解得或（舍去）. 故的值为。 （2）由题意可知，方程有两个不同的正实数根，即有两个不同的实数根. 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 验证可知，， 由得，所以. 当时，方程，即方程，则有两个不同的正实数根. 设，则， 所以在上单调递增，在上单调递减. 不妨设，则. 令， 则， 所以在上单调递增，则当时，， 所以 又，函数在上单调递减， 所以，则， 因为，故. 【变式8-1】（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数． (1)若，讨论的单调性． (2)已知关于的方程恰有个不同的正实数根． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【解析】（1）当时，，则； 令，解得：或， 当时，；当时，； 在，上单调递增，在上单调递减. （2）（i）由得：， 恰有个正实数根，恰有个正实数根， 令，则与有两个不同交点， ，当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，又， 当从的右侧无限趋近于时，趋近于；当无限趋近于时，的增速远大于的增速，则趋近于； 则图象如下图所示， 当时，与有两个不同交点， 实数的取值范围为； （ii）由（i）知：，， ，， ， 不妨设，则， 要证，只需证， ，，，则只需证， 令，则只需证当时，恒成立， 令， ， 在上单调递增，， 当时，恒成立，原不等式得证. 【变式8-2】（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个零点，且，证明：. 【解析】（1）当时，， 曲线在处切线的斜率为， 又切线方程为， 即曲线在处的切线方程为； （2）若有两个零点， 则， 得. ，令，则， 故， 则， ， 令，则， 令，则， 在上单调递增， ， ，则在上单调递增， ， 故. 题型九：洛必达法则 【例9】已知． （1）求的单调区间； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）的定义域为，， 令，则 所以当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增，所以时，（1）， 即在上单调递增， 所以的增区间为，无减区间． （2）对任意，不等式恒成立等价于对任意，恒成立． 当，对任意，不等式恒成立等价于对任意，恒成立． 记，则， 记， 则， 所以在单调递减，又（1）， 所以，时，，即， 所以在单调递减． 所以， 综上所述，的取值范围是． 【变式9-1】已知函数． （1）若函数在点，（1）处的切线经过点，求实数的值； （2）若关于的方程有唯一的实数解，求实数的取值范围． 【解析】解：（1），在点，（1）处的切线的斜率（1）， 又（1），切线的方程为， 即，由经过点， 可得． （2）证明：易知为方程的根， 由题只需说明当和时原方程均没有实数解即可． ①当时，若，显然有，而恒成立，此时方程显然无解， 若，，， 令，故在单调递增，在单调递减， 故在单调递减， 从而，，此时方程也无解． 若，由， 记，则， 设，则有恒成立， 恒成立， 故令在上递增，在上递减 （1），可知原方程也无解， 由上面的分析可知时，，方程均无解． ②当时，若，显然有，而恒成立，此时方程显然无解， 若，和①中的分析同理可知此时方程也无解． 若，由， 记，则， 由①中的分析知， 故在恒成立，从而在上单调递增， 当时，， 如果，即，则， 要使方程无解，只需，即有 如果，即，此时，，方程一定有解，不满足． 由上面的分析知时，，方程均无解， 综合①②可知，当且仅当时，方程有唯一解， 的取值范围为． 【变式9-2】已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直． （1）求实数的值； （2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1），； 函数在处取得极值，； 又曲线在点处的切线与直线垂直，； 解得：； （2）不等式恒成立可化为，即； 当时，恒成立；当时，恒成立， 令，则； 令，则； 令，则； 得在是减函数，故，进而 （或，， 得在是减函数，进而）． 可得：，故，所以在是减函数， 而要大于等于在上的最大值，但当时，没有意义， 变量分离失效，我们可以由洛必达法得到答案，，故答案为． 【强化训练】 1．（23-24高二下·北京西城·期末）为冷却生产出来的工件，某工厂需要建造一个无盖的长方体水池，要求该水池的底面是正方形，且水池最大储水量为．已知水池底面的造价为，侧面的造价为．（注：衔接处材料损耗忽略不计） (1)把水池的造价S（单位：元）表示为水池底面边长x（单位：m）的函数； (2)为使水池的总造价最低，应如何确定水池底面的边长？ 【解析】（1）因为水池底面边长，所以长方体水池高为， 所以； （2）令，所以， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，有最小值， 所以为使水池的总造价最低，应确定水池底面的边长为. 2．（23-24高二下·山东临沂·期中）已知函数. (1)若函数在处有极小值，求的值； (2)当时，求证. 【解析】（1）∵，∴， ∵在处有极小值，∴.即， ∴. 检验：当时，， ∵，即， 当时，，， ∴，∴，∴单调递减. 当时，， ∴，∴单调递增. 综上，当时，在处有极小值； （2）当时，时，， 则有， 故只需证明当时，， 当时，在区间上单调递增， 又，， 故在区间上有唯一实根，且， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 从而当时，取得最小值， 由，得，， 故， 综上，当时，. 3．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)证明：对. 【解析】（1）由题意得：切点，， 则，设切线方程：，化简得：. （2）要证：，即证：， 令，则， 又，则在单调递减， 所以，即，则得证． 4．（23-24高二下·山东临沂·期中）已知函数， (1)当时，讨论的单调性； (2)若任意，，都有恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，，定义域为， 则， 令，则， 令，解得， ，解得. ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴当时，函数取得最大值， ∴， ∴， ∴函数在上单调递减. （2）易知在上单调递增 ∴任意，都有， ∵任意，，都有恒成立 ∴在上恒成立， 当时，不等式可化为，恒成立， 当时，， 令，， 则， ∵当时，，即， ∴当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， ∴当时，函数取得最小值，∴， 综上，实数的取值范围是. 5．（23-24高二下·湖北武汉·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)证明时，； (3)若对于任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）， 当时，；当时，， 的增区间为，减区间为． （2）令， 当时，；当时，， 当时，，即， 原不等式等价于， 为上的减函数，， 只需证明，即， 令， 当时，，当时，， 原不等式成立． （3）当时，由（2）知,又， ， 原不等式在上恒成立． 当时，令． ， 在内必有零点，设为，则， ， ，而， 综上所述实数的取值范围是． 6．（23-24高二下·四川眉山·期末）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若存在，使，求的取值范围． 【解析】（1）易知函数定义域为，因为 ， 令 ，得 令 ，得，令 ，得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减. （2）由 ，得 ， 因为，所以，， 当时，，符合题意； 设， 当时，则，所以在上单调递增， 所以，不符合题意； 当时，令，得 ， 令，得 ，所以 ， 则存在，使，满足题意， 综上，的取值范围是. 7．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期中）已知函数， (1)证明：当时，； (2)设且函数，若恒成立，求实数的值； (3)设函数，讨论当时，函数在的零点个数. 【解析】（1）设，则在区间上恒成立， 故在上为减函数，故，得到， 即成立. （2）由题意得， 令，， ，所以在上递增，在上递减， 时，从而有， 又，则，所以， 当时，，时，， 故有. （3）由题意得，则， 当，则，即有在上递增； 若，由得到，由得到， 即有时，的增区间为，减区间为； 所以的极小值为，也为最小值． ① 当，即， 的最小值大于， 则在区间上无零点； ② 当，即，即有，而， ，，则在上有一个零点； ③ 当，即，即有， (i)若，即，而， 当时，，则在上有零点． 当时，，则在上有个零点； (ii)若，即，而，，则在上有零点． 综上：当时，函数无零点； 当或时，函数有零点； 当时，函数有个零点． 8．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知函数. (1)当时，求证； (2)讨论的单调性； (3)讨论零点个数. 【解析】（1）若，则，， 令，则，解得； 令，则，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 所以. （2）因为， 若，则，可知在上单调递减； 若，令，则，解得； 令，则，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减； 综上所述：若，在上单调递减； 若，在内单调递增，在内单调递减. （3）若，可知在上单调递减， 当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于； 可知有且仅有1个零点； 若，可知在内单调递增，在内单调递减， 当趋近于，时，趋近于 则， 可知在内单调递增，且， 当时，则，即，可知无零点； 当时，则，可知有且仅有1个零点； 当时，则，可知有且仅有2个零点； 综上所述：当时，无零点； 当或时，有且仅有1个零点； 当时，有且仅有2个零点. 9．（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数在点处的切线方程为． (1)求实数，的值； (2)求函数的单调区间和极值； (3)若两个不相等的实数，满足：，求证：． 【解析】（1）因为，所以， 切线方程为即， 由题意，解得； （2）由（1）可知，， 令得，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，所以有极大值为，无极小值； （3）因为，所以， 设，则，令得， 令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 不妨取，欲证，即证， 又因为在上单调递减，故只需证， 又因为，故也即证， 构造函数， 则等价于证明对恒成立． ， 因为，所以，所以， 则在上单调递增， 所以，即已证明对恒成立， 故原不等式成立． 10．（24-25高二下·江苏徐州·期中）已知函数 (1)当时，求的单调区间； (2)若存在两个极值点， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【解析】（1）当时，， 则，当且仅当时取等号. 故此时在R上单调递增； （2）（i）因存在两个极值点， 则. 令，则方程有两个相异正根. 注意到，因其有两个相异正根， 则； （ii）证明：由（i）可得， 设，结合，则. 则 ， 则要证，.即证，其中. 令，则. 令，则， 则在上单调递增，得. 则，得在上单调递增， 则当时，即. 11．（23-24高二下·重庆·期末）已知函数． (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若函数恰有两个极值点，且的最大值为，求证：． 【解析】（1）由题意可得在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，故，即； （2），令， 由函数有两个极值点， 则有两个变号零点， ， 当时，，不符，故舍去； 当时，则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又， 又当时，，则， 故此时此时至多存在一个零点，不符，故舍去； 当时，则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 有，则，故， 则有，， 则，即，同理， 则，故， 即， 由的最大值为，令，则有， 即，令，， 则 ， 令，， 则恒成立， 故在上单调递增，则， 则，故在上单调递增， 则. 12．（23-24高二下·江苏苏州·期末）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的最大值； (3)若关于的方程有两个实根，，求证：． 【解析】（1），， 又，则有， 即曲线在处的切线方程为； （2）由题意可得在上恒成立， 令，则， 令，则， 则当时，，故在上单调递增， 则当时，， 当时，，故在上单调递增， 有，符合要求， 当时，由，， 则存在，使，即当时，， 当，， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，不符合要求，故舍去， 综上所述，，故实数的最大值为； （3）， 由，即有有两个实根，， 令，， 当时，恒成立，不可能有两个实根，故舍去； 当，则时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则有，即， 又， 不妨令，则有， 有，令，，即有， 则有，即， 即，则要证，只需证， 即证， 令，即证， 令，， 则恒成立， 故在上单调递减，故， 即有在时恒成立，故得证； 由（2）可知，当时，在上恒成立， 即在上恒成立， 则当时，，即， 由，则、， 故，， 则，， 又，即，即， 即，则有， 整理得，即，即， 即； 综上，得证. 13．（23-24高二下·上海嘉定·期末）设. (1)若，求函数的图象在处的切线方程； (2)若在 上恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数存在两个极值点，求证：. 【解析】（1）当时，，则，则， 又，则切线方程为，即； （2），令， 则，当时，有， 故在上单调递增，即在上单调递增， 则， 当时，，则在上单调递增， 有，满足要求； 当时，则，又， 则必存在，使，即， 当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 则 ，令， 则， 则在上单调递减，则， 即，故此时不符合题意，故舍去， 综上所述，； （3）由（2）得， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 又函数存在两个极值点，则，即， 则有，要证，即证， 又，，在上单调递增， 即只需证，又， 即只需证， 令 ，， 则 ， 即在上恒成立，即在上单调递减， 则， 即，即得证. 14．（23-24高二下·吉林松原·期末）罗尔 中值定理是微分学中的一条重要定理，根据它可以推出拉格朗日中值定理和柯西 中值定理，它们被称为微分学的三大中值定理. 罗尔中值定理的描述如下：如果函数 满足三个条件①在闭区间 上的图象是连续不断的，②在开区间内是可导函数，③，那么在 内至少存在一点，使得等式成立. (1)设方程 有一个正根，证明：方程 必有一个小于的正根. (2)设函数是定义在上的连续且可导函数，且.证明：对于，方程 在 内至少有两个不同的解. (3)设函数.证明：函数在区间 内至少存在一个零点. 【解析】（1）证明：令函数， 显然在 上连续，在内可导， 则， 由条件知， 由罗尔中值定理知，至少存在一点，使得， 即方程必有一个小于的正根. （2）令，则. 由，得，所以. 因为，所以， 由罗尔中值定理知，至少存在一个，使得， 即. 同理，因为，由罗尔中值定理知， 至少存在一个，使得，所以 . 故方程在内至少存在两个不同的解. （3）证明：令 ，则 . 由，得， 则，又因为 是连续且可导函数， 由罗尔中值定理知，存在，使得， 则 ，所以. 故函数区间 内至少存在一个零点. 15．（23-24高二下·贵州毕节·期末）中国古建筑具有悠久的历史，屋顶的设计形式有硬山、悬山、攒尖、歇上、庑殿等，具有独特的线条美感，其曲线之美让人称奇．曲线的曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标，定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率． (1)若曲线与在处的曲率分别为，，求证：； (2)求曲线曲率的平方的最大值． 【解析】（1）因为，则，． 即， 可得曲线在处的曲率为 又因为，则，． 即， 可得曲线在处的曲率为 ， 因为，所以. （2）因为 则， 可得 令，则 设，令 则在上恒成立． 可知函数在上单调递增 当时，取得最大值为2，即的最大值为2． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 导数常考解答题全归纳 【题型归纳目录】 题型一：实际应用问题 题型二：证明不等式 题型三：恒成立问题 题型四：存在性我让他 题型五：双变量问题 题型六：零点问题 题型七：新定义问题 题型八：极值点偏移问题 题型九：洛必达法则 【知识点梳理】 一、利用导数研究函数恒成立问题 1、分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题． 一般地，若对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． 2、直接讨论法 直接讨论法是指但成立问题中的函数结构并不是很复杂，可以通过直接求导得到极值点，再对极值点直接讨论，从而求得参数的取值情况．其常用的手段是因式分解、求根公式以及观察法；若无法求得极值时，常可利用零点存在性定理，确定零点的范围后再进行讨论，研究函数的单调性等． 3、放缩法 在解决导数问题时，如果出现了指数与对数、三角与对数、三角与指数，或其它超越函数的组合时，则会因函数结构的复杂使问题的解决变得困难．如果我们利用熟悉的不等式过渡，利用不等式进行放缩，将原函数的复杂结构转化为较为简单的结构，则可提高解题速度，使解题效率大幅度地提高．其主要的放缩手段有以下三种： （1）利用函数的有界性直接放缩； （2）对一阶导数进行放缩； （3）对二阶导数放缩． 二、利用导数研究函数零点问题 1、利用导数确定函数零点的常用方法 （1）图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极（最）值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需使用极限）． （2）利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数． 2、利用函数的零点求参数范围的方法 （1）分离参数（）后，将原问题转化为的值域（最值）问题或转化为直线与的图象的交点个数问题（优选分离、次选分类）求解； （2）利用函数零点存在定理构建不等式求解； （3）转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解． 【典型例题】 题型一：实际应用问题 【例1】（24-25高二下·上海·期中）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元的管理费，预计当每件产品的售价为x元时，一年的销售量为万件. (1)用解析法表示分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x之间的函数； (2)求分公司一年的利润L的最大值M关于实数a的函数. 【变式1-1】（22-23高二下·上海嘉定·期中）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元()的管理费，预计当每件产品的售价为x元() 时，一年的销售量为 万件． (1)求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x的函数关系式(并写出函数的定义域)； (2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)． 【变式1-2】（23-24高二下·甘肃临夏·期末）某种药材的种植加工过程，受天气、施肥、管理等因素影响，农民按照药材色泽、大小等将药材分为上等药材、中等药材、普通药材，并分类装箱，已知去年生产了8箱药材，其中上等药材2箱，中等药材2箱，其他为普通药材. (1)若在去年生产的药材中随机抽取4箱，设X为上等药材的箱数，求X的分布列和数学期望； (2)已知每箱药材的利润如表： 等级 上等药材 中等药材 普通药材 利润（元/箱） 4000 2000 -1200 今年市场需求增加，某农户计划增加产量，且生产的上等药材、中等药材、普通药材所占比例不变，但需要的人力成本增加，每增加m箱，成本相应增加元，假设你为该农户决策，你觉得目前应不应该增加产量？如果需要增加产量，增加多少箱最好？如果不需要增加产量，请说明理由. 题型二：证明不等式 【例2】（23-24高二下·北京通州·期中）设函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求，的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求证：当时，有. 【变式2-1】（23-24高二下·江西萍乡·期中）函数． (1)当时，求的极值点个数； (2)若时，单调递减，求的取值范围； (3)求证：． 【变式2-2】（23-24高二下·海南·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个极值点，证明：. 题型三：恒成立问题 【例3】（24-25高二上·四川眉山·期中）已知函数（）. (1)讨论的单调区间； (2)如果是曲线上的任意一点，若以为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值； 【变式3-1】（24-25高二上·江西宜春·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上恒成立，求的取值范围； 【变式3-2】（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知函数，，其中在处取得极值 (1)求的值； (2)求函数的单调区间； (3)若恒成立，求实数的取值范围. 题型四：存在性我让他 【例4】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知奇函数在处取得极大值2． (1)求的解析式； (2)若，使得有解，求实数的取值范围． 【变式4-1】（23-24高三上·贵州安顺·期末）已知函数 (1)求的单调增区间； (2)方程在有解，求实数m的范围. 【变式4-2】（24-25高二下·福建漳州·期中）已知函数，. (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数单调性； (3)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 题型五：双变量问题 【例5】（24-25高二下·河南·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个极值点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，证明：当时，. 【变式5-1】（24-25高二下·北京·期中）已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)若，，求的取值范围； (3)若、，讨论与的大小关系，并说明理由． 【变式5-2】（24-25高二下·广东湛江·期中）设函数． (1)时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有两个极值点且，证明：． 题型六：零点问题 【例6】（24-25高二下·福建厦门·期中）已知函数. (1)若函数的极值点在内，求的取值范围； (2)若有两个零点，求正实数的取值范围. 【变式6-1】（24-25高二下·广东茂名·期中）已知函数. (1)证明：当时，； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求实数的取值范围. 【变式6-2】（24-25高二下·河南洛阳·期中）已知函数，． (1)当时，函数的最小值为，求实数a的值； (2)当时，试确定函数的零点个数，并说明理由． 题型七：新定义问题 【例7】（23-24高二下·甘肃临夏·期末）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．已知函数． (1)若是函数的“拐点”，求a的值和函数的单调区间； (2)若函数的“拐点”在y轴右侧，讨论的零点个数． 【变式7-1】（23-24高二下·江苏南京·期中）设函数在区间上可导，为函数的导函数.若是上的减函数，则称为上的“上凸函数”；反之，若为上的“上凸函数”，则是上的减函数. (1)判断函数在上是否为“上凸函数”，并说明理由； (2)若函数是其定义域上的“上凸函数”，求的取值范围； 【变式7-2】（23-24高二下·山东临沂·期末）刻画曲线的弯曲程度是几何研究的重要内容．曲线的曲率是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，曲线的曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大．若记，则函数在点处的曲率． (1)求函数在点处的曲率； (2)已知函数存在两个不同的点，，使得在，处的曲率为0， （i）求的取值范围； （ii）当时，证明． 题型八：极值点偏移问题 【例8】（23-24高二下·吉林长春·期中）已知函数. (1)若的极小值为-4，求的值； (2)若有两个不同的极值点，证明：. 【变式8-1】（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数． (1)若，讨论的单调性． (2)已知关于的方程恰有个不同的正实数根． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【变式8-2】（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个零点，且，证明：. 题型九：洛必达法则 【例9】已知． （1）求的单调区间； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 【变式9-1】已知函数． （1）若函数在点，（1）处的切线经过点，求实数的值； （2）若关于的方程有唯一的实数解，求实数的取值范围． 【变式9-2】已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直． （1）求实数的值； （2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【强化训练】 1．（23-24高二下·北京西城·期末）为冷却生产出来的工件，某工厂需要建造一个无盖的长方体水池，要求该水池的底面是正方形，且水池最大储水量为．已知水池底面的造价为，侧面的造价为．（注：衔接处材料损耗忽略不计） (1)把水池的造价S（单位：元）表示为水池底面边长x（单位：m）的函数； (2)为使水池的总造价最低，应如何确定水池底面的边长？ 2．（23-24高二下·山东临沂·期中）已知函数. (1)若函数在处有极小值，求的值； (2)当时，求证. 3．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)证明：对. 4．（23-24高二下·山东临沂·期中）已知函数， (1)当时，讨论的单调性； (2)若任意，，都有恒成立，求实数的取值范围. 5．（23-24高二下·湖北武汉·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)证明时，； (3)若对于任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 6．（23-24高二下·四川眉山·期末）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若存在，使，求的取值范围． 7．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期中）已知函数， (1)证明：当时，； (2)设且函数，若恒成立，求实数的值； (3)设函数，讨论当时，函数在的零点个数. 8．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知函数. (1)当时，求证； (2)讨论的单调性； (3)讨论零点个数. 9．（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数在点处的切线方程为． (1)求实数，的值； (2)求函数的单调区间和极值； (3)若两个不相等的实数，满足：，求证：． 10．（24-25高二下·江苏徐州·期中）已知函数 (1)当时，求的单调区间； (2)若存在两个极值点， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 11．（23-24高二下·重庆·期末）已知函数． (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若函数恰有两个极值点，且的最大值为，求证：． 12．（23-24高二下·江苏苏州·期末）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的最大值； (3)若关于的方程有两个实根，，求证：． 13．（23-24高二下·上海嘉定·期末）设. (1)若，求函数的图象在处的切线方程； (2)若在 上恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数存在两个极值点，求证：. 14．（23-24高二下·吉林松原·期末）罗尔 中值定理是微分学中的一条重要定理，根据它可以推出拉格朗日中值定理和柯西 中值定理，它们被称为微分学的三大中值定理. 罗尔中值定理的描述如下：如果函数 满足三个条件①在闭区间 上的图象是连续不断的，②在开区间内是可导函数，③，那么在 内至少存在一点，使得等式成立. (1)设方程 有一个正根，证明：方程 必有一个小于的正根. (2)设函数是定义在上的连续且可导函数，且.证明：对于，方程 在 内至少有两个不同的解. (3)设函数.证明：函数在区间 内至少存在一个零点. 15．（23-24高二下·贵州毕节·期末）中国古建筑具有悠久的历史，屋顶的设计形式有硬山、悬山、攒尖、歇上、庑殿等，具有独特的线条美感，其曲线之美让人称奇．曲线的曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标，定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率． (1)若曲线与在处的曲率分别为，，求证：； (2)求曲线曲率的平方的最大值． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$