专题02 利用导数研究函数的性质、极值与最值（7大题型）-2024-2025学年高二数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题02 利用导数研究函数的性质、极值与最值 【题型归纳目录】 题型一：已知单调性求参数 题型二：含参函数单调性的讨论 题型三：利用导数研究函数的性质 题型四：求函数的极值 题型五：已知极值求参数 题型六：求函数的最值 题型七：已知最值求参数 【知识点梳理】 一、函数单调性与导函数符号的关系 一般地，函数的单调性与其导数正负有以下关系：在某个区间内，如果，那么函数在该区间内单调递增；如果，那么函数在该区间内单调递减． 二、求可导函数单调区间的一般步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； （3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； （4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性． 注①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例如，在上，，当时，；当时，，而显然在..上是单调递增函数． ②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立．因为，即或，当时，函数在区间上单调递增．当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立．这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件．于是有如下结论： 单调递增； 单调递增； 单调递减； 单调递减． 三、含参函数单调性的讨论 1、导函数为含参一次型的函数单调性 导函数的形式为含参一次函数时，首先讨论一次项系数为0，导函数的符号易于判断，当一次项系数不为雩，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数图像判定导函数的符号，写出函数的单调区间． 2、导函数为含参二次型函数的单调性 当主导函数（决定导函数符号的函数）为二次函数时，确定原函数单调区间的问题转化为探究该二次函数在给定区间上根的判定问题．对于此二次函数根的判定有两种情况： （1）若该二次函数不容易因式分解，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域； （2）若该二次函数容易因式分解，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而判断原函数的单调性． 3、导函数为含参二阶求导型的函数单调性 当无法直接通过解不等式得到一阶导函数的符号时，可对“主导”函数再次求导，使解题思路清晰．“再构造、再求导”是破解函数综合问题的强大武器． 在此我们首先要清楚之间的联系是如何判断原函数单调性的． （1）二次求导目的：通过的符号，来判断的单调性； （2）通过赋特殊值找到的零点，来判断正负区间，进而得出单调性． 四、函数极值的概念 设函数在点处连续且，若在点附近的左侧，右侧，则为函数的极大值点；若在附近的左侧，右侧，则为函数的极小值点． 函数的极值是相对函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点． 五、求可导函数极值的一般步骤 （1）先确定函数的定义域； （2）求导数； （3）求方程的根； （4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． 注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号． ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点． 为可导函数的极值点；但为的极值点． 六、函数的最大值、最小值 若函数在闭区间上的图像是一条连续不间断的曲线，则该函数在上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取得． 七、求函数的最大值、最小值的一般步骤 设是定义在区间上的函数，在可导，求函数在上的最大值与最小值，可分两步进行： （1）求函数在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值； ②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得． 【典型例题】 题型一：已知单调性求参数 【例1】（22-23高二下·四川自贡·期末）若函数 在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高二下·广西玉林·期末）函数在R上是单调递增的充分条件是：（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-3】（23-24高二下·河南驻马店·期末）若函数 为定义域内的单调递增函数，则实数a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型二：含参函数单调性的讨论 【例2】（23-24高二下·云南红河·期末）已知函数，（）. (1)当时，求出方程解的个数； (2)讨论函数的单调性. 【变式2-1】（23-24高二下·河南郑州·期末）已知函数，其中. (1)当时，求函数在上的最大值； (2)讨论的单调性. 题型三：利用导数研究函数的性质 【例3】（多选题）（24-25高二下·福建厦门·期中）已知.不等式的解集为且，则下列说法中正确的是（    ） A．函数的极大值点为1 B．函数的对称中心为 C．当时， D．过点且与曲线相切的直线有2条 【变式3-1】（多选题）（24-25高二下·福建三明·期中）关于函数，下列判断正确的是（    ） A．函数的极小值是2 B．函数在上有唯一零点 C．存在实数，使得成立 D．对任意两个正实数，且，若，则 【变式3-2】（多选题）（24-25高二下·福建·期中）已知函数，则（    ） A．导函数有无数个零点 B．有无数个零点 C．当时，在上存在极小值点，无极大值点 D．当时，是图象的一条切线 【变式3-3】（多选题）（24-25高二下·山东·期中）若函数，则（   ） A．的图象是中心对称图形 B．在上单调递减 C．的极小值点为 D．有两个零点 题型四：求函数的极值 【例4】（23-24高二下·贵州安顺·期末）函数的所有极值之和为 . 【变式4-1】（23-24高二下·山东菏泽·期末）函数的极小值为 . 【变式4-2】（23-24高二下·安徽合肥·期末）已知，函数有两个不同极值点，则 . 【变式4-3】（24-25高二下·重庆·期中）函数的极大值点为 ． 【变式4-4】（23-24高二下·广西玉林·期末）已知函数，讨论的单调性，并求其极值． 题型五：已知极值求参数 【例5】（23-24高二下·福建厦门·期末）已知函数在处的切线方程为. (1)求b，k； (2)若的极大值为0，求的取值范围. 【变式5-1】（23-24高二下·贵州黔西·期末）已知函数（为自然对数的底数）. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有极小值且极小值不小于0，求实数的取值范围. 【变式5-2】（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极大值，且极大值大于，求的取值范围. 题型六：求函数的最值 【例6】（23-24高二下·北京朝阳·期末）已知函数，且. (1)求函数的单调区间； (2)若函数的极小值为，求a的值. 【变式6-1】（23-24高二上·云南昆明·期末）已知曲线在点处的切线方程为，a，. (1)求a； (2)求在区间上的最大值与最小值． 【变式6-2】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求在上的最值． 【变式6-3】（24-25高二下·安徽宿州·期中）已知函数在处取得极值. (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间的最大值与最小值. 【变式6-4】（24-25高二下·重庆·期中）已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)证明：当时，的最小值不大于． 【变式6-5】（24-25高二下·上海静安·期中）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求在上的最大值． 题型七：已知最值求参数 【例7】（24-25高二下·上海·期中）已知函数 ． (1)当时，判断在定义域上的单调性； (2)若函数在上的最小值为，求实数的值． 【变式7-1】（24-25高二下·湖北·期中）已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)若函数在上的最小值为，求实数的值. 【变式7-2】（24-25高二上·安徽六安·期末）已知函数. (1)若在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若在区间上的最小值为，求实数的值. 【变式7-3】（23-24高二下·山东青岛·期末）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若的最小值为，求的值. 【强化训练】 1．（23-24高二下·甘肃白银·期末）若函数的单调递增区间是，则（    ） A． B． C． D．2 2．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知函数在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）若对任意的，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二上·陕西西安·期末）函数的极小值为（   ） A． B． C． D．不存在 5．（22-23高二下·浙江杭州·期中）已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·山西·期中）已知函数有最大值，则a的值为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·北京丰台·期中）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·江苏扬州·期中）已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2025·河北邯郸·模拟预测）已知函数，则（    ） A．的极小值为 B．有两个零点 C．存在使得关于的方程有三个不同的实根 D．的解集为 10．（多选题）（24-25高二下·重庆·期中）已知实数有，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二下·湖北·期中）已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是 . 12．（24-25高二下·湖南常德·期中）已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围为 . 13．（24-25高二下·天津·期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 14．（23-24高二下·河北张家口·期末）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论的单调性． 15．（23-24高二下·山东烟台·期末）已知函数. (1)当时，求过点且与图象相切的直线的方程； (2)讨论函数的单调性. 16．（24-25高二下·重庆·期中）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若函数在上的最小值是，求a的值. 17．（24-25高二下·广东湛江·期中）已知函数． (1)当时，求在上的最值； (2)求的单调区间． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 利用导数研究函数的性质、极值与最值 【题型归纳目录】 题型一：已知单调性求参数 题型二：含参函数单调性的讨论 题型三：利用导数研究函数的性质 题型四：求函数的极值 题型五：已知极值求参数 题型六：求函数的最值 题型七：已知最值求参数 【知识点梳理】 一、函数单调性与导函数符号的关系 一般地，函数的单调性与其导数正负有以下关系：在某个区间内，如果，那么函数在该区间内单调递增；如果，那么函数在该区间内单调递减． 二、求可导函数单调区间的一般步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； （3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； （4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性． 注①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例如，在上，，当时，；当时，，而显然在..上是单调递增函数． ②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立．因为，即或，当时，函数在区间上单调递增．当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立．这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件．于是有如下结论： 单调递增； 单调递增； 单调递减； 单调递减． 三、含参函数单调性的讨论 1、导函数为含参一次型的函数单调性 导函数的形式为含参一次函数时，首先讨论一次项系数为0，导函数的符号易于判断，当一次项系数不为雩，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数图像判定导函数的符号，写出函数的单调区间． 2、导函数为含参二次型函数的单调性 当主导函数（决定导函数符号的函数）为二次函数时，确定原函数单调区间的问题转化为探究该二次函数在给定区间上根的判定问题．对于此二次函数根的判定有两种情况： （1）若该二次函数不容易因式分解，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域； （2）若该二次函数容易因式分解，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而判断原函数的单调性． 3、导函数为含参二阶求导型的函数单调性 当无法直接通过解不等式得到一阶导函数的符号时，可对“主导”函数再次求导，使解题思路清晰．“再构造、再求导”是破解函数综合问题的强大武器． 在此我们首先要清楚之间的联系是如何判断原函数单调性的． （1）二次求导目的：通过的符号，来判断的单调性； （2）通过赋特殊值找到的零点，来判断正负区间，进而得出单调性． 四、函数极值的概念 设函数在点处连续且，若在点附近的左侧，右侧，则为函数的极大值点；若在附近的左侧，右侧，则为函数的极小值点． 函数的极值是相对函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点． 五、求可导函数极值的一般步骤 （1）先确定函数的定义域； （2）求导数； （3）求方程的根； （4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． 注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号． ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点． 为可导函数的极值点；但为的极值点． 六、函数的最大值、最小值 若函数在闭区间上的图像是一条连续不间断的曲线，则该函数在上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取得． 七、求函数的最大值、最小值的一般步骤 设是定义在区间上的函数，在可导，求函数在上的最大值与最小值，可分两步进行： （1）求函数在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值； ②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得． 【典型例题】 题型一：已知单调性求参数 【例1】（22-23高二下·四川自贡·期末）若函数 在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的定义域为，且， 令，可得， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以函数的唯一极值点为， 因为函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数， 则函数在区间上存在极值点，且， 所以，解得. 故选：A. 【变式1-1】（23-24高二下·广西玉林·期末）函数在R上是单调递增的充分条件是：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以． 因为函数在R上单调递增，所以恒成立， 则，解得， 所以函数在R上是单调递增的充分条件是的非空子集. 只有B选项符合. 故选：B. 【变式1-2】（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】法一：因为， 所以，当时，， 此时在上单调递增， 当时，， 令得，解得， 令得，解得， 故在上单调递减，在上单调递增， 要想在上单调递增，则，解得， 故， 综上，， 由于是的真子集， 则“”是“在上单调递增”的充分不必要条件. 法二：由题可得在上恒成立， 即恒成立，又， 所以，下面同解法一. 故选：A 【变式1-3】（23-24高二下·河南驻马店·期末）若函数 为定义域内的单调递增函数，则实数a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数求导得由题意可知， 在内恒成立，即在内恒成立， 故，令， 令，得， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 则函数在有最大值为， 故， 故选：B. 题型二：含参函数单调性的讨论 【例2】（23-24高二下·云南红河·期末）已知函数，（）. (1)当时，求出方程解的个数； (2)讨论函数的单调性. 【解析】（1）当时，， 即， 设， 则， 且定义域为， 故在时，恒成立，在上单调递增， 在时，恒成立，在上单调递减， 所以， 故只有一个解， 即方程只有一个解. （2）函数定义域为， 由题意， 当时，在时，恒成立，在上单调递增， 当时，的解为，的解为， 在上递增，在上递减． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上递增，在上递减． 【变式2-1】（23-24高二下·河南郑州·期末）已知函数，其中. (1)当时，求函数在上的最大值； (2)讨论的单调性. 【解析】（1）当时，， 则， 所以，当或时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递减， 故函数在和上单调递增，在上单调递减， 又， 所以，函数在上的最大值为； （2）函数的定义域为， ， 当时，由，可得，， 当时，当时，，此时，函数单调递减， 当或时，，此时，函数单调递增， 当时，对任意的，， 此时，函数在上单调递增； 当时，当时，，此时，函数单调递减， 当或时，，此时，函数单调递增， 综上所述，当时，函数在、上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在、上的单调递增，在上单调递减. 题型三：利用导数研究函数的性质 【例3】（多选题）（24-25高二下·福建厦门·期中）已知.不等式的解集为且，则下列说法中正确的是（    ） A．函数的极大值点为1 B．函数的对称中心为 C．当时， D．过点且与曲线相切的直线有2条 【答案】BCD 【解析】对于A：因为不等式的解集为且， 即不等式的解集为且， 所以方程的根为和（二重根）， 得，即， 所以，则，得， 令，或， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极大值点，故A错误； 对于B：由选项A知， 则， 所以， 即的一个对称中心为，故B正确； 对于C：令，当时，则， 只需. 而，由， 得，即，所以，故C正确； 对于D：由选项A知， 设在点的切线方程为， 由切线经过点得，， 整理得，即， 因式分解得：， 解得或，此时存在两条切线满足题意，故D正确. 故选：BCD. 【变式3-1】（多选题）（24-25高二下·福建三明·期中）关于函数，下列判断正确的是（    ） A．函数的极小值是2 B．函数在上有唯一零点 C．存在实数，使得成立 D．对任意两个正实数，且，若，则 【答案】BD 【解析】对于A，因为，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值，所以A错误； 对于B，函数，则， 由于， 即在上恒成立， 所以函数在上单调递减， 又当时，，当时，， 所以函数在上有唯一零点， 即函数有且只有1个零点，故B正确； 对于C，由， 可得当x且趋于无穷大时，无限接近于0，也无限趋于0， 故不存在实数，使得成立， 即不存在实数，使得成立，C错误； 对于D，由得 要证，只要证，即证， 由于，故令，则， 故在上单调递增， 则，即成立，故成立，所以D正确． 故选：BD． 【变式3-2】（多选题）（24-25高二下·福建·期中）已知函数，则（    ） A．导函数有无数个零点 B．有无数个零点 C．当时，在上存在极小值点，无极大值点 D．当时，是图象的一条切线 【答案】AC 【解析】对于A，，当时，， 注意到的值域是，且它的图象是一条波浪起伏的曲线，如下图, 从而导函数有无数个零点，故A正确； 对于B，如图所示， 注意到的值域是，且它的图象是一条波浪起伏的曲线， 而显然是增函数，且当时，， 也就是说此时的图象与的图象才可能有交点， 由于区间长度有限，故交点个数必定有限，故B错误； 对于C，当且时，，， 当时，， 所以我们只需研究的根的情况即可， 设， 求导得，， 因为在上都单调递增， 所以在上单调递增， 注意到， 从而在上存在唯一的使得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以，因为， 所以存在唯一的使得， 当时，，当时，， 所以在时，单调递减，在时单调递增， 所以在上存在极小值点，无极大值点，故C正确； 对于D，当时，，注意到，且也经过点， 对求导得，，因为，故D错误. 故选：AC. 【变式3-3】（多选题）（24-25高二下·山东·期中）若函数，则（   ） A．的图象是中心对称图形 B．在上单调递减 C．的极小值点为 D．有两个零点 【答案】ABC 【解析】函数中，，解得或， 即函数的定义域为， 对于A，， 因此函数为奇函数，函数图象关于对称，A正确； 对于B，又，当时，； 当时，，即在上单调递减，在上单调递增，B正确； 对于C，由奇函数的对称性知，在上单调递增，在上单调递减， 因此的极小值点为，极大值点为，C正确； 对于D，由选项B知，函数在有最小值， 因此函数在上无零点，由称性知函数在上无零点，D错误. 故选：ABC 题型四：求函数的极值 【例4】（23-24高二下·贵州安顺·期末）函数的所有极值之和为 . 【答案】4 【解析】函数的定义域为，求导得， 由，得或，由，得或， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 于是当时，取得极大值， 当时，取得极小值， 所以函数的所有极值之和为. 故答案为：4 【变式4-1】（23-24高二下·山东菏泽·期末）函数的极小值为 . 【答案】 【解析】函数的定义域为， 又， 所以当或时，当或时， 所以在，上单调递增，在，上单调递减， 所以在处取得极小值，即极小值为. 故答案为： 【变式4-2】（23-24高二下·安徽合肥·期末）已知，函数有两个不同极值点，则 . 【答案】4. 【解析】由，可得， 令，即，解得， 所以. 故答案为：. 【变式4-3】（24-25高二下·重庆·期中）函数的极大值点为 ． 【答案】 【解析】函数的定义域为R，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值点为，极小值点为1. 故答案为： 【变式4-4】（23-24高二下·广西玉林·期末）已知函数，讨论的单调性，并求其极值． 【解析】的定义域为，， 令，解得， 所以当或时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，有极大值， 当时，有极小值. 题型五：已知极值求参数 【例5】（23-24高二下·福建厦门·期末）已知函数在处的切线方程为. (1)求b，k； (2)若的极大值为0，求的取值范围. 【解析】（1），切点为， 所以，所以，. （2）由（1）得，定义域为， . ①当时，，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增；所以有极小值，无极大值，不符合题意； ②当时，，令，得或. ⅰ）若，则，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以有极小值，极大值为，不符合题意； ⅱ）若，则，所以在上单调递减， 所以无极值，不符合题意； ⅲ）若，则，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以有极小值，极大值为，满足题意. 综上所述，. 【变式5-1】（23-24高二下·贵州黔西·期末）已知函数（为自然对数的底数）. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有极小值且极小值不小于0，求实数的取值范围. 【解析】（1），则，， 显然是增函数，又，所以， ， 切线方程为，即； （2）由已知，有极小值，则有解，由，得， 设的解为， 时，，递减，时，，递增， 因此为的极小值， 由得， 极小值， 记， 易知函数是减函数，， 当时，，当时，， 所以当时，， 当时，，当时，， 而的极小值不小于0， 所以的取值范围是. 【变式5-2】（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极大值，且极大值大于，求的取值范围. 【解析】（1）， 当时，. 所以曲线在点处的切线方程，即. （2）由（1）知，， ①当时，在上单调递增，无递减区间， ②当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 综上：当时，在上单调递增，无递减区间， 当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）因为有极大值，且极大值大于， 故，且在处取极大值， ，即， 令， 恒成立，在上单调递增， 又，当且仅当时成立， 故，当且仅当时成立， 因此的取值范围是. 题型六：求函数的最值 【例6】（23-24高二下·北京朝阳·期末）已知函数，且. (1)求函数的单调区间； (2)若函数的极小值为，求a的值. 【解析】（1）由题函数定义域为，， 所以当时，若，；，； 故此时函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，若，；，； 故此时函数在和上单调递减，在上单调递增； 综上，当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为和. （2）由（1）当时，函数的极小值为， ，符合； 当时，函数的极小值为， ，符合. 故a的值为或. 【变式6-1】（23-24高二上·云南昆明·期末）已知曲线在点处的切线方程为，a，. (1)求a； (2)求在区间上的最大值与最小值． 【解析】（1）由，得， 由题意可得，即，解得. （2）由（1）可得， ， 令，可得或，所以在区间上，随的变化情况如下表： 0 2 3 0 0 1 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 10 由上表可得在区间上的最大值为10，最小值. 【变式6-2】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求在上的最值． 【解析】（1），令，解得， 当时，，所以的增区间为， 当时，，所以的减区间为， 所以的增区间为，减区间为． （2）由（1）可知，在上的极小值， 又因为，， 故最大值为，最小值为． 【变式6-3】（24-25高二下·安徽宿州·期中）已知函数在处取得极值. (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间的最大值与最小值. 【解析】（1）由题意得，由题意得，即，解得， 故，定义域为R， ，令得或，令得， 故在，上单调递增，在上单调递减， 易知为极小值点，符合题意， 所以单调递增区间为，，单调递减区间为. （2）由（1）知，在，上单调递增，在上单调递减， 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，. 又，， 故的最大值为2，最小值为. 【变式6-4】（24-25高二下·重庆·期中）已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)证明：当时，的最小值不大于． 【解析】（1）的定义域为，． 当时，，的单调递减区间为； 当时，令，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增． 综上，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）当时，由（1）可知． 令，， 则， 因在上单调递减， 则在上单调递减，且， 故当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减，故， 所以，故当时，的最小值不大于． 【变式6-5】（24-25高二下·上海静安·期中）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求在上的最大值． 【解析】（1）函数的定义域为，则． 因为时，由，可得，由，可得． 此时，函数的增区间为，减区间为． 综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为． （2）当时，函数在上单调递减， 此时，； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 此时，； 当时，函数在上单调递增，此时，． 综上所述：. 题型七：已知最值求参数 【例7】（24-25高二下·上海·期中）已知函数 ． (1)当时，判断在定义域上的单调性； (2)若函数在上的最小值为，求实数的值． 【解析】（1）由题意得函数的定义域为， 因为，所以， 当时，令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增. （2）若函数在上的最小值为， 则对于恒成立，且存在使得等号成立， 得到恒成立，即对于恒成立， 令，则恒成立，而， 令，，令，， 故在上单调递减，在上单调递增， 得到，故. 【变式7-1】（24-25高二下·湖北·期中）已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)若函数在上的最小值为，求实数的值. 【解析】（1）当时，，． 令， 同理：或 所以：在单调递增，在单调递减，在单调递增． 当时，取得极大值； 当时，取得极小值． （2）解法一：由题：，． ①当时，，在单调递增，． ②当时，，在单调递减，． ③当时，在单调递增，在单调递减． 此时：不合题意． ④当时，，在单调递增，． 综上：的值为． 解法二：由题：，． ①当时，，在单调递增，． ②当时，由于，在上的最小值小于，与题目矛盾，故不成立； 综上：的值为． 解法三：由题：，． 由题：的最小值为，则必有：． 当时，，在单调递增， ． 故：的值为． 【变式7-2】（24-25高二上·安徽六安·期末）已知函数. (1)若在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若在区间上的最小值为，求实数的值. 【解析】（1）由题意函数的定义域为， ， 因为在区间上单调递增，所以在上恒成立， 只需，即实数的取值范围是. （2）令，得或， ①当时，恒成立，在单调递增， 所以，不合题意，舍去； ②当时，；， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以，解得； ③当时，恒成立，在单调递减， 所以，解得，舍去； 综上所述，. 【变式7-3】（23-24高二下·山东青岛·期末）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若的最小值为，求的值. 【解析】（1）， 当时，，所以在上单调递增 当时，由得，由得 所以在区间单调递减，在区间单调递增 （2）由（1）知，当时，在区间单调递增，无最小值 当时，在区间单调递减，在区间单调递增 所以，所以 令，则， 由得，， 所以在区间单调递增，在区间单调递减，所以的最大值为 所以， 所以的值为1. 【强化训练】 1．（23-24高二下·甘肃白银·期末）若函数的单调递增区间是，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解析】， 若，则可得在上单调递减， 若，令，可得， 所以在上单调递增， 又因为的单调递增区间是，所以. 故选：D. 2．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知函数在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，，则在上无实数解，或有重根， 由，得，即， 令，则， 故当时，，当时，， 且，作出函数在上的图象如图所示，观察可知，或. 故选：D 3．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）若对任意的，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，恒成立，即当时，恒成立， 设，则单调递减， 而在上恒成立，即在上恒成立， 所以. 故选：C. 4．（22-23高二上·陕西西安·期末）函数的极小值为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【解析】由题知函数的定义域为， 则. 令，得（舍去）. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以函数的极小值为. 故选：A 5．（22-23高二下·浙江杭州·期中）已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 设， 则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，， 又因为， 所以. 故选：D. 6．（24-25高二下·山西·期中）已知函数有最大值，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知，且； 令，解得或（舍）； 显然当时不合题意， 当时，若，易知，此时函数在上单调递增， 若，易知，此时函数在上单调递减； 所以在处取得极大值，也是最大值，即， 解得，符合题意； 当时，若，易知，此时函数在上单调递减， 若，易知，此时函数在上单调递增； 此时无最大值，不符合题意； 综上可知，. 故选：A. 7．（24-25高二下·北京丰台·期中）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 因为在区间上单调递增， 所以，对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 因为，， 所以，即实数的取值范围是. 故选：B. 8．（24-25高二下·江苏扬州·期中）已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则， 因为， 所以， 所以，即在上单调递增， 又，所以， 故当时，，即， 整理得，两边同除以，即可得， 所以当且仅当时，， 所以的解集为. 故选：B. 9．（多选题）（2025·河北邯郸·模拟预测）已知函数，则（    ） A．的极小值为 B．有两个零点 C．存在使得关于的方程有三个不同的实根 D．的解集为 【答案】AC 【解析】函数的定义域为，， 由得或；由得，有极大值，极小值，A正确； 由极大值和极小值均小于0知最多一个零点，B不正确； 当时，，当时，，当时，有三个不同的实根，C正确； 当时，，此时，D不正确． 故选：AC． 10．（多选题）（24-25高二下·重庆·期中）已知实数有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，取，，A错误； 对于B，令函数，求导得，在上单调递增， 由，得，即，因此，B正确； 对于C，令函数，，函数在上单调递增， 由，得，则，，因此，C正确； 对于D，取，则，D错误. 故选：BC 11．（24-25高二下·湖北·期中）已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为，所以， 依题意，函数在上有两个变号零点，由，得， 令，，于是直线与函数在上的图象有两个交点， 而，由，得，由，得， 即函数在上单调递增，在上单调递减，又， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象， 观察图象知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 即函数在上有两个变号零点，函数在上有两个极值点， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 12．（24-25高二下·湖南常德·期中）已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为，所以 令函数，则在上单调递减， 所以在上恒成立，所以， 即.令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，，当时，， 且由题干可知，，即， 若，则恒成立， 当时，恒成立等价于当时，， 故时，恒成立，故. 令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值，所以； 综上所述，正实数的取值范围为. 故答案为：. 13．（24-25高二下·天津·期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由于函数在区间上单调递增， 所以在上恒成立，即恒成立， 由在上单调递增，则， ，所以实数的取值范围为. 故答案为：． 14．（23-24高二下·河北张家口·期末）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论的单调性． 【解析】（1）当时，， 定义域为，所以， 令，，令，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以极小值为， ，无极大值. （2）由上问得， 而，令，解得, 此时恒成立，故在上单调递增， 令，解得，令， 解得或，当时， ，故，，， 此时令，， 令，， 此时在上单调递减， 在上单调递增， 当时，， 由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 当时，，，， ，令，， 令，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递减， 在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 在上单调递增， 当时，在上单调递增. 15．（23-24高二下·山东烟台·期末）已知函数. (1)当时，求过点且与图象相切的直线的方程； (2)讨论函数的单调性. 【解析】（1）当时，，所以. 设切点为，则， 所以，切线方程为， 将代入得，解得或， 故过的切线方程为或. （2）. 当时，，恒有，函数单调递增， 当时，，当，或时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，当，或时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减. 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减. 16．（24-25高二下·重庆·期中）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若函数在上的最小值是，求a的值. 【解析】（1）易知的定义域为， 可得； 若，可得，此时在上单调递增； 若，令，解得； 当时，，即可得在上单调递减； 当时，，即可得在上单调递增； 综上可得，时，在上单调递增； 时，在上单调递减，在上单调递增； （2）由（1）可知，当时，在上单调递增， 此时无最小值，不合题意； 当时，可知在上单调递减，在上单调递增； 此时在处取得极小值，也是最小值； 因此，解得，符合题意； 当时，在上单调递减，此时无最小值，不合题意； 综上可知， 17．（24-25高二下·广东湛江·期中）已知函数． (1)当时，求在上的最值； (2)求的单调区间． 【解析】（1）当时，，, 则， 则在上单调递减， 所以，无最小值． （2）， （i）若，则，所以在单调递减； （ii）若，则由得． 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增． 综上所述，当时，的单调减区间为（）；无单调增区间． 当时，的单调减区间为，单调增区间为． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$