专题01 导数的基本概念和切线有关的问题（7大题型）-2024-2025学年高二数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题01 导数的基本概念和切线有关的问题 【题型归纳目录】 题型一：导数的概念与运算 题型二：在点P处的切线 题型三：过点P的切线 题型四：已知切线求参数问题 题型五：公切线问题 题型六：切线条数问题 题型七：利用平移切线法求距离最值问题 【知识点梳理】 一、基本概念 1、导数的概念 设函数在附近有定义，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限，即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值做函数在处的导数，记作或即 2、导数的几何意义 函数在处的导数，表示曲线在点处的切线的斜率，即，其中为切线的倾斜角，如图所示，过点的切线方程为 3、导数的物理意义：设时刻一车从某点出发，在时刻车走了一定的距离在时刻，车走了这一段时间里车的平均速度为当与很接近时，该平均速度近似于时刻的瞬时速度．若令，则可以认为，即就是时刻的瞬时速度． 二、基本初等函数的导数公式 基本初等函数的导数公式如表 ，为正整数 为有理数 注： 三、导数的运算法则（和、差、积、商） 设均可导，则 （1）（2） （3）（4） 注： 四、复合函数的导数 复合函数的导数与函数的导数之间具有关系，该关系用语言表述就是“对的导数等于对的导数与对的导数的乘积”，也就是先把当作一个整体，把对求导，再把对求导，这两者的乘积就是复合函数对的导数，即． 五、函数在处的导数几何意义 函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）的几何意义是在曲线y＝f（x）上点（x0，f（x0））处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数s（t）对时间t的导数）．相应地，切线方程为． 【典型例题】 题型一：导数的概念与运算 【例1】（23-24高二下·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设是的导函数，且，则（   ） A．18 B．9 C．6 D．3 【变式1-1】（23-24高二下·江西景德镇·期末）设函数，则（    ） A． B．2 C． D．1 【变式1-2】（23-24高二下·福建漳州·期末）设函数在附近有定义，且，为常数，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二：在点P处的切线 【例2】（24-25高二下·山东济宁·期中）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二下·重庆·期中）已知函数，则曲线在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二下·四川南充·期中）曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高二下·上海杨浦·期中）若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则实数 （    ） A．1 B． C．2 D． 题型三：过点P的切线 【例3】（24-25高二下·四川凉山·期中）已知曲线，则曲线过原点的切线方程为 . 【变式3-1】（24-25高二下·北京房山·期中）分别过点和作曲线的切线，切线的斜率分别为 和 . 【变式3-2】（24-25高二上·江苏泰州·期末）过点作曲线的切线，写出其中的一条切线方程 ． 【变式3-3】（23-24高二下·北京石景山·期末）已知函数的导函数为，则 ，过点且与曲线相切的直线方程为 . 题型四：已知切线求参数问题 【例4】（23-24高二下·天津滨海新·期末）已知，直线与曲线相切，则的最小值是 ． 【变式4-1】（23-24高二下·吉林白城·期末）设函数，若函数在处的切线斜率为，则 ． 【变式4-2】（23-24高二下·甘肃·期末）已知直线与曲线相切，则的值为 ． 【变式4-3】（23-24高二下·江西抚州·期末）若直线与曲线相切，则 . 题型五：公切线问题 【例5】（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知直线既是函数的切线也是二次函数的切线，则 . 【变式5-1】（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）函数与函数公切线的斜率为 . 【变式5-2】（23-24高二下·广东东莞·期末）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 【变式5-3】（23-24高二下·湖南株洲·期末）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．则a的值是 题型六：切线条数问题 【例6】（23-24高二上·广东深圳·期末）过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高二下·河北张家口·期末）过点作两条直线与曲线（e是自然对数的底数）相切，切点的横坐标分别为，，则的值为（    ） A．e B．e C．3 D．3 【变式6-2】（23-24高二下·安徽·期末）过点能向曲线作切线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式6-3】（23-24高二下·浙江衢州·期末）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型七：利用平移切线法求距离最值问题 【例7】（24-25高二下·江苏镇江·期中）若点是曲线上任意一点，则到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高二下·山东枣庄·阶段练习）点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式7-2】（24-25高二上·江苏南京·期末）实数、、、满足：，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25高二上·山西运城·期末）已知点是抛物线上的一个动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【强化训练】 1．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期中）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·北京大兴·期末）已知函数若过点存在条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山西阳泉·期末）已知点是抛物线上的一个动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 4．（23-24高二上·江苏南京·期末）若，则（   ） A． B．6 C．3 D．-3 5．（23-24高二下·广东中山·期末）若点在曲线上移动，经过点的切线的倾斜角为，则角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·云南昆明·期末）过点且与曲线相切的直线斜率为（    ） A． B． C．1 D．4 7．（23-24高二下·贵州安顺·期末）函数在点处的切线倾斜角为（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知曲线，称曲线上的点为“边线点”，曲线称为“边线曲线”，则（   ） A．“边线曲线”关于对称 B．“边线曲线”在处切线的斜率为 C．存在“边线点”，使得 D．“边线点”到原点距离的最小值为2 9．（多选题）（23-24高二下·辽宁·期末）已知与x轴的三个交点依次为，且在这三个交点处的切线斜率分别记为，则（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知曲线在原点处的切线与曲线在处的切线重合，则（    ） A． B． C． D．曲线在处的切线方程为 11．（多选题）（23-24高二下·广东佛山·期末）在平面直角坐标系中，过点有且只有一条直线与曲线相切，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二下·全国·期末）函数的一条切线平分圆，则该切线的方程为 . 13．（24-25高二下·上海·期中）已知 ，函数在点处切线的斜率是4，则实数 ． 14．（23-24高二上·山东聊城·期末）若直线与曲线相切，也与曲线相切，则的斜率为 ． 15．（24-25高二下·广西南宁·期中）设点A在直线上，点B在函数的图象上，则的最小值为 . 16．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数在处的切线方程为，则 ． 17．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）若函数在区间的平均变化率为0，则d= ．（写出一个符合条件的值即可） 18．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 19．（23-24高二下·山东青岛·期末）已知，过点可作曲线的两条切线，则的取值范围为 ；若切点为，，则的取值范围为 . 20．（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）已知实数满足，则的最小值为 . 21．（23-24高二下·北京·期中）已知函数 (1)求在点处的切线方程； (2)若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 导数的基本概念和切线有关的问题 【题型归纳目录】 题型一：导数的概念与运算 题型二：在点P处的切线 题型三：过点P的切线 题型四：已知切线求参数问题 题型五：公切线问题 题型六：切线条数问题 题型七：利用平移切线法求距离最值问题 【知识点梳理】 一、基本概念 1、导数的概念 设函数在附近有定义，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限，即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值做函数在处的导数，记作或即 2、导数的几何意义 函数在处的导数，表示曲线在点处的切线的斜率，即，其中为切线的倾斜角，如图所示，过点的切线方程为 3、导数的物理意义：设时刻一车从某点出发，在时刻车走了一定的距离在时刻，车走了这一段时间里车的平均速度为当与很接近时，该平均速度近似于时刻的瞬时速度．若令，则可以认为，即就是时刻的瞬时速度． 二、基本初等函数的导数公式 基本初等函数的导数公式如表 ，为正整数 为有理数 注： 三、导数的运算法则（和、差、积、商） 设均可导，则 （1）（2） （3）（4） 注： 四、复合函数的导数 复合函数的导数与函数的导数之间具有关系，该关系用语言表述就是“对的导数等于对的导数与对的导数的乘积”，也就是先把当作一个整体，把对求导，再把对求导，这两者的乘积就是复合函数对的导数，即． 五、函数在处的导数几何意义 函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）的几何意义是在曲线y＝f（x）上点（x0，f（x0））处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数s（t）对时间t的导数）．相应地，切线方程为． 【典型例题】 题型一：导数的概念与运算 【例1】（23-24高二下·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设是的导函数，且，则（   ） A．18 B．9 C．6 D．3 【答案】A 【解析】. 故选：A. 【变式1-1】（23-24高二下·江西景德镇·期末）设函数，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【解析】由题， 故由导数定义得. 故选：A. 【变式1-2】（23-24高二下·福建漳州·期末）设函数在附近有定义，且，为常数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在中用替换，知. 所以. 故. 故选：D. 【变式1-3】（23-24高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D错误； 故选：C. 题型二：在点P处的切线 【例2】（24-25高二下·山东济宁·期中）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得 所以 又，∴切点为 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故选：D. 【变式2-1】（24-25高二下·重庆·期中）已知函数，则曲线在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得， 所以，又， 所以曲线在处的切线方程为， 即， 故选：A. 【变式2-2】（24-25高二下·四川南充·期中）曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得， 当时，，即在点处的切线斜率为. 所以，所求切线方程为，即. 故选：D. 【变式2-3】（24-25高二下·上海杨浦·期中）若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则实数 （    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】由题意知，， 所以该切线的斜率为， 又该切线与直线垂直， 所以，解得. 故选：B 题型三：过点P的切线 【例3】（24-25高二下·四川凉山·期中）已知曲线，则曲线过原点的切线方程为 . 【答案】 【解析】由，则， 设切点为， 所以，解得， 所以切点为，切线的斜率 所以过原点的切线方程为：，即. 故答案为： 【变式3-1】（24-25高二下·北京房山·期中）分别过点和作曲线的切线，切线的斜率分别为 和 . 【答案】 【解析】设切点为，由，得 所以切线方程为，即， 将代入得，解得，此时过点与曲线相切的切线斜率为， 将代入得，解得，此时过点与曲线相切的切线斜率为. 故答案为：；. 【变式3-2】（24-25高二上·江苏泰州·期末）过点作曲线的切线，写出其中的一条切线方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】由可得， 设过点作曲线的切线的切点为，则， 则该切线方程为， 将点代入切线得，解得或， 所以切点为或， 所以切线方程为或. 故答案为：（答案不唯一） 【变式3-3】（23-24高二下·北京石景山·期末）已知函数的导函数为，则 ，过点且与曲线相切的直线方程为 . 【答案】 4 【解析】的导数为， ，解得，故，即； 设过点且与曲线相切，切点为，且， 故切线斜率为，即切线方程为， 切线方程过点，代入方程可得，解得或， 当时，直线方程为； 当时，直线方程为. 故答案为：4，. 题型四：已知切线求参数问题 【例4】（23-24高二下·天津滨海新·期末）已知，直线与曲线相切，则的最小值是 ． 【答案】25 【解析】根据题意，设直线与曲线的切点为， 因为，直线的斜率为， 所以，，， 所以， 因为， 所以，当且仅当时等号成立. 所以的最小值是25. 故答案为：25. 【变式4-1】（23-24高二下·吉林白城·期末）设函数，若函数在处的切线斜率为，则 ． 【答案】1 【解析】由，得， 因为函数在处的切线斜率为， 所以，解得. 故答案为：1 【变式4-2】（23-24高二下·甘肃·期末）已知直线与曲线相切，则的值为 ． 【答案】 【解析】由得：， 设切点，又因为，， 所以在点处的切线方程为：， 整理得： 由于是切线，则满足， 则代入得：， 又由于，则． 故答案为：. 【变式4-3】（23-24高二下·江西抚州·期末）若直线与曲线相切，则 . 【答案】2 【解析】因为，所以. 由， 因为，所以切点坐标为， 因为点在直线上，所以. 故答案为：2 题型五：公切线问题 【例5】（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知直线既是函数的切线也是二次函数的切线，则 . 【答案】/ 【解析】设直线与函数相切于点， 与相切于点， 其中，， 故且，， 联立与得，解得，故， 又，故，即， 化简得 将代入中得 ，解得. 故答案为： 【变式5-1】（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）函数与函数公切线的斜率为 . 【答案】1或 【解析】不妨设公切线与函数的切点为，与函数的切点为； 易知，， 因此公切线斜率为，因此， 可得，即 又易知，整理可得， 即，即，解得或； 因此可得斜率为或. 故答案为：1或 【变式5-2】（23-24高二下·广东东莞·期末）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 【答案】 【解析】和分布求导，得到和. 设直线与和的切点分别为，， 则切线方程分别为，，， 化简得，，. 依题意上述两直线与是同一条直线， 所以，，解得， 所以 故答案为：. 【变式5-3】（23-24高二下·湖南株洲·期末）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．则a的值是 【答案】3 【解析】由题意知，，，， 则在点处的切线方程为， 即，设该切线与切于点， 其中，则，解得， 将代入切线方程，得， 则，解得； 故答案为：3 题型六：切线条数问题 【例6】（23-24高二上·广东深圳·期末）过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设切点为，∵，∴， ∴M处的切线斜率，则过点P的切线方程为， 代入点的坐标，化简得， ∵过点可以作三条直线与曲线相切， ∴方程有三个不等实根. 令，求导得到， 可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 如图所示， 故，即. 故选：A. 【变式6-1】（23-24高二下·河北张家口·期末）过点作两条直线与曲线（e是自然对数的底数）相切，切点的横坐标分别为，，则的值为（    ） A．e B．e C．3 D．3 【答案】C 【解析】由，得， 设切点坐标为，则切线斜率为，所以切线方程为. 因为点在切线上，所以，即， 结合题意，则，是上述方程的根，所以根据韦达定理得. 故选：. 【变式6-2】（23-24高二下·安徽·期末）过点能向曲线作切线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】设切点为，由求导得,故切线斜率为，则切线方程为：， 因曲线经过点，则，又，则得，， 化简得，（*）， 令，则，因，故在上恒成立， 即在上为增函数， 又，而，由零点存在定理可得，在上必有一个零点， 即方程（*）只有一个解，故切线只有一条. 故选：B. 【变式6-3】（23-24高二下·浙江衢州·期末）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设切点， 又，所以切线斜率为：. 由点斜式，切线方程为：. 因为切线过点，所以. 所以：. 因为过原点的切线有两条，所以关于方程有两解. 由（）， 设，则， 由得， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，且当时，. 所以有两解，则. 故选：A 题型七：利用平移切线法求距离最值问题 【例7】（24-25高二下·江苏镇江·期中）若点是曲线上任意一点，则到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当曲线在点的切线与直线平行时，点到直线的距离的最小， 由，可得， 令，解得或（舍去），则， 所以平行于直线与曲线相切的切点坐标为， 由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为. 所以点到直线的距离的最小值为. 故选：C. 【变式7-1】（23-24高二下·山东枣庄·阶段练习）点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】因为点是曲线上任意一点， 所以当点处的切线和直线平行时，点到直线的距离最小． 因为直线的斜率等于1，曲线的导数， 令，可得或(舍去)， 所以在曲线上与直线平行的切线经过的切点坐标为， 所以点P到直线的最小距离为. 故选：D. 【变式7-2】（24-25高二上·江苏南京·期末）实数、、、满足：，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得，又， 所以，的最小值转化为 上的点与上的点的距离的平方的最小值， 由，得， 与平行的直线的斜率为， 由，解得或（舍），可得切点为， 切点到直线的距离的平方，即为的最小值， 所以，的最小值为． 故选：D. 【变式7-3】（24-25高二上·山西运城·期末）已知点是抛物线上的一个动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】设直线与抛物线相切于点，显然切点位于第一象限， 在第一象限内，由，得，则， 所以，即，所以点的坐标为， 所以的最小值为点到直线的距离，即. 故选：A. 【强化训练】 1．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期中）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得， 则， 由直线的点斜式方程可得，化简可得. 故选：C 2．（23-24高二下·北京大兴·期末）已知函数若过点存在条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设切点坐标为. 由题意得， 所以函数的图像在点处的切线的斜率为， 所以切线方程为， 因为切线过点，所以， 则，由题意可知,这个方程有三个不等实根. 设，则， 由得，由得或. 所以函数在和上单调递减， 在上单调递增，又当趋近于正无穷时，趋近于； 当趋近于负无穷，趋近于正无穷，且， 所以的大致图象如图， 所以要使直线与函数的图象有三个交点， 则. 故选：C 3．（24-25高二上·山西阳泉·期末）已知点是抛物线上的一个动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】设直线与抛物线相切于点，显然切点位于第一象限， 在第一象限内，由，得，则， 所以，即，所以点的坐标为， 所以的最小值为点到直线的距离，即. 故选：A 4．（23-24高二上·江苏南京·期末）若，则（   ） A． B．6 C．3 D．-3 【答案】C 【解析】. 故选：C. 5．（23-24高二下·广东中山·期末）若点在曲线上移动，经过点的切线的倾斜角为，则角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，，则 所以过点切线斜率 所以 所以得 故选：D 6．（23-24高二上·云南昆明·期末）过点且与曲线相切的直线斜率为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【解析】设过点与曲线相切的切点坐标为， 由求导得：，则切线方程为， 于是，整理得，解得， 所以所求切线的斜率为1. 故选：C 7．（23-24高二下·贵州安顺·期末）函数在点处的切线倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，， 设在点处的切线倾斜角为， 则有，由，则. 故答案为：A. 8．（多选题）（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知曲线，称曲线上的点为“边线点”，曲线称为“边线曲线”，则（   ） A．“边线曲线”关于对称 B．“边线曲线”在处切线的斜率为 C．存在“边线点”，使得 D．“边线点”到原点距离的最小值为2 【答案】ABD 【解析】对于A：因为在曲线上，则，点满足，所以点也在曲线上，所以“边线曲线”关于对称，A选项正确： 对于B：由，可得，， 所以“边线曲线”关于轴，轴，原点对称， 所以“边线曲线”在处切线的斜率有正负两个值，且互为相反数， 因为，所以以为例， ，当时，， 所以由对称性可知，在处切线的斜率为，B正确； 对于C：因为，所以，所以，即得，C错误； 对于D：“边线点”到原点距离 ， 当且仅当即时取最小值2，D选项正确. 故选：ABD. 9．（多选题）（23-24高二下·辽宁·期末）已知与x轴的三个交点依次为，且在这三个交点处的切线斜率分别记为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】， 由或；由. 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 又. 所以函数的图象关于点中心对称. 对A：因为 ， 所以，故A正确； 对B：因为的对称中心为，所以， 又因为在上单调递增，所以， 所以，故B不正确； 对C：令，是方程其中的一个根， 所以，则另两个根分别为和，所以有，因为， 又因为在上单调递增，所以，故C正确； 对D：设A，B，C对应的横坐标分别为，，，且， 所以 ，， 则，故D正确． 故选：ACD 10．（多选题）（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知曲线在原点处的切线与曲线在处的切线重合，则（    ） A． B． C． D．曲线在处的切线方程为 【答案】ACD 【解析】令，则， 依题意，解得，故A正确； 依题意可得曲线在原点处的切线过点，所以，故C正确； 又，所以， 则曲线在处的切线方程为，故B错误，D正确. 故选：ACD 11．（多选题）（23-24高二下·广东佛山·期末）在平面直角坐标系中，过点有且只有一条直线与曲线相切，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】设切点为，由求导得，，即切线斜率为，则切线方程为：（*）. 对于A，把点代入（*）得，，解得， 即切点只有一个，故切线只有一条，故A正确； 对于B，把点 代入（*）得，， 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 又，即方程有且只有一个根， 由题意知，此时切线有且只有一条，故B正确； 对于C，把点代入（*）得，， 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 又，即在上恒成立， 故方程在上无实数解，故C错误； 对于D，把点代入（*）得，， 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 又，因， ， 由零点存在定理知，在和上各有一个零点， 即方程在上有两个实根，故切线有两条，故D错误. 故选：AB. 12．（23-24高二下·全国·期末）函数的一条切线平分圆，则该切线的方程为 . 【答案】 【解析】圆的圆心坐标为， 依题意该切线过圆心， 由，则，设切点为， 则， 所以切线方程为， 又，整理得， 令，则，当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以关于的方程有且仅有一个解， 所以切点为，切线的斜率为， 则切线方程为，即. 故答案为： 13．（24-25高二下·上海·期中）已知 ，函数在点处切线的斜率是4，则实数 ． 【答案】 【解析】由题意，， 因为函数在点处切线的斜率是4， 所以，解得. 故答案为：. 14．（23-24高二上·山东聊城·期末）若直线与曲线相切，也与曲线相切，则的斜率为 ． 【答案】/ 【解析】设直线切曲线于点，切曲线于点， 由得，则直线的方程为， 即； 由可得，则直线的方程为， 即， 所以，， 消去可得，即，可得， 因此，直线的斜率为. 故答案为：. 15．（24-25高二下·广西南宁·期中）设点A在直线上，点B在函数的图象上，则的最小值为 . 【答案】 【解析】设切点为，则切线与平行， 即有，所以，所以切点为， 当点为切点时，点到直线距离最小， 由点到直线的距离公式有， 故答案为：. 16．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数在处的切线方程为，则 ． 【答案】14 【解析】由导数的几何意义知，在处，切线方程的斜率等于切点处的导函数值， 可得， 又切点，在切线方程上，则， 因此，. 故答案为：14. 17．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）若函数在区间的平均变化率为0，则d= ．（写出一个符合条件的值即可） 【答案】π（答案不唯一，） 【解析】由平均变化率可知， 故，所以. 故答案为：π（答案不唯一，） 18．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【解析】，所以， 故切线方程为， 故答案为：． 19．（23-24高二下·山东青岛·期末）已知，过点可作曲线的两条切线，则的取值范围为 ；若切点为，，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】对于第一空：已知，过点可作曲线的两条切线，， 若切点为，，则， 整理得，同理， 所以关于的方程在上有两根，且不是该方程的根， 设，则， 若，则，这表明单调递减，故此时最多有一个零点， 从而，当时，，当时，， 所以当时，单调递增，当时，单调递减， 设，则当时，，当时，， 所以要使关于的方程在上有两根， 只需，令， 则， 当时，，当时，， 所以当时，单调递减，当时，单调递增，且注意到， 所以满足的的范围为； 对于第二空：由以上分析可知，， 所以， 令，所以的值域为， 即的取值范围为. 故答案为：；. 20．（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）已知实数满足，则的最小值为 . 【答案】2 【解析】由于，可得；，可得. 可将看作曲线任一点，看作直线任一点． 表示距离的平方. 由求导得，令，即. 令，则，则在上增函数， 又，则的解为. 则与相切，且与平行的直线方程为. 可知的最小值为. 故答案为：2． 21．（23-24高二下·北京·期中）已知函数 (1)求在点处的切线方程； (2)若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程. 【解析】（1）因为，所以， 故曲线在点处的切线方程为，即； （2）设切点为，则，切线方程为， 因为切线经过原点，故，所以， 故，切点为，切线方程为， 即过原点的切线方程为. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$