专题01 平面向量及其应用（广东专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题01 平面向量及其应用 题型概览 题型01平面向量的概念 题型02平面向量的运算 题型03平面向量基本定理及坐标表示 题型04平面向量的应用 ( 题型01 ) 平面向量的概念 1．（23-24高一下·广东惠州·期末）下列命题中正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．共线向量一定是相等向量 C．若为实数，则向量与方向相同 D．单位向量的模都相等 【答案】D 【知识点】零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量）、平面向量共线定理证明点共线问题 【分析】对于A：根据向量以及零向量的定义分析判断；对于BC：举反例说明即可；对于D：根据单位向量的定义分析判断. 【详解】对于选项A：根据向量的定义可知：任意向量均有方向，且规定零向量的方向是任意的，故A错误； 对于选项B：例如，是非零向量，可知是共线向量但不是相等向量，故B错误； 对于选项C：例如是非零向量，且，可知向量与方向相反，故C错误； 对于选项D：根据定义可知：单位向量的模均为1，所以单位向量的模都相等，故D正确； 故选：D. ( 题型02 ) 平面向量的运算 2．（23-24高一下·广东广州·期末）已知为的外接圆圆心，，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【知识点】数量积的运算律 【分析】利用圆的性质，得到，将转换为，进而求出最大值. 【详解】如图所示：    因为为的外接圆圆心，，所以， 且， 所以， 故当共线反向时，取到最大值. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出，再由数量积的运算律得到. 3．（23-24高一下·广东韶关·期末）数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理.例如: 如图甲，在中，D 为BC的中点，则在 中，有，在中，有，两式相加得，因为 D 为 BC的中点，所以，于是如图乙，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点. (1)如图乙，请用“算两次”的方法证明：； (2)如图乙，若与的夹角为，求与的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量夹角的计算、数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】（1）根据题意结合向量加法分析证明； （2）根据题意结合（1）可求，进而结合向量夹角公式运算求解. 【详解】（1）因为， 则， 且E，F分别为AD，BC的中点，则， 所以. （2）由题意可知：， 由（1）可知：，即， 则， ，即， 所以与的夹角的余弦值. 4．（23-24高一下·广东湛江·期末）下列选项正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．若向量，，则 C．命题“，”的否定是真命题 D．非零向量，满足，则有 【答案】ACD 【知识点】判断命题的必要不充分条件、全称命题的否定及其真假判断、平行向量（共线向量）、垂直关系的向量表示 【分析】对于A：根据包含关系分析充分、必要条件；对于B：举反例说明即可；对于C：先判断原命题的真假性，进而可知其否定的真假性；对于D：根据数量积的运算律分析判断. 【详解】对于选项A：因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确； 对于选项B：例如，满足，， 但不共线，故B错误； 对于选项C：因为，即命题“，”为假命题， 所以命题“，”的否定是真命题，故C正确； 对于选项D：因为，则， 可得，整理可得， 且，为非零向量，所以，故D正确； 故选：ACD. 5．（23-24高一下·广东广州·期末）在中，已知，则向量在向量上的投影向量为 . 【答案】 【知识点】平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积、数量积的运算律、求投影向量 【分析】由，可得，再由，得，则得，然后根据投影向量的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为 . 故答案为： 6．（19-20高一·全国·课后作业）已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求投影向量 【分析】由，得是中点，从而得出，，作于，即为向量在向量上的投影向量，设，求出，后可得结论． 【详解】因为，所以是中点，则是圆直径，， 又，所以是等边三角形，， 设，则，作于，则，所以， 即为向量在向量上的投影向量，． 故选：B． 7．（23-24高一下·广东·期末）已知的外接圆圆心为O，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量加法的法则、求投影向量 【分析】由题意得出为的外接圆的直径以及，再根据投影向量的概念直接计算即可得解. 【详解】因为，所以O为BC边中点， 所以为外接圆的直径，且（为外接圆半径）， 又，故， 所以，则在上的投影向量为. 故选：B. 8．（23-24高一下·广东云浮·期末）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】由平面向量的加减法、数乘运算求解即可. 【详解】. 故选：D 9．（23-24高一下·广东潮州·期末）下列命题正确的是（    ） A．若向量、满足，则或 B．若向量、满足，则向量、的夹角为钝角 C．若，，则向量在向量方向上的投影向量为 D．设、是同一平面内两个不共线的向量，若，，则、可作为该平面的一个基底 【答案】CD 【知识点】平行向量（共线向量）、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示、求投影向量 【分析】A选项，可举出反例；B选项，利用向量数量积公式即可判断；C选项，根据投影向量公式进行求解；D选项，先求出以，不共线，从而得到D正确. 【详解】A选项，当非零向量满足时，，故A错误； B选项，当向量，满足，向量，的夹角为钝角或反向，故B错误； C选项，由，， 向量在向量方向上的投影向量为，C正确； D选项，，是同一平面内两个不共线的向量， 设，则，故，无解， 所以，不共线，故，可作为该平面的一个基底，D正确. 故选：CD 10．（23-24高一下·广东梅州·期末）欧拉是伟大的数学家，也是最多产的数学家，他在数论、复变函数、变分法、拓扑学、微分方程、力学等等领域都有杰出贡献．1765年，欧拉在他的著作《三角形的几何学》中指出，任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直线上（这条直线被称为三角形的欧拉线），此外，外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半．为证明以上结论，我们作以下探究： 如图，点O、G、H分别为△的外心、重心、垂心．   (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：． 注：①重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成2：1； ②垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直； ③外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】平面向量的混合运算、三角形的心的向量表示 【分析】（1）根据重心将中线长度分成的性质，结合平面向量的线性运算证明即可； （2）根据平面向量的线性运算证明即可； （3）根据欧拉定理与平面向量的线性运算证明即可. 【详解】（1）为△的重心，连接并延长交于， 则为中点，且.    在△中，为中点，， 得证. （2）在△中，为中点， . 为△的重心，， 则在△中，有， 得证. （3）连结并延长和，取、的中点、， 连结和，因为点为的外心，所以有， 因为点为的垂心，所以有， 所以 而又，，， 从而， 而， 同理，， 因为， 所以 所以.    11．（23-24高一下·广东江门·期末）如图，在平行四边形中，点是的中点，点，分别是，的四等分点.设，. (1)用，表示，； (2)若，，，求与的夹角的余弦值. 【答案】(1), (2) 【知识点】用基底表示向量、向量夹角的计算 【分析】（1）利用向量的三角形法则即可求解 （2）根据向量夹角公式即可求解； 【详解】（1）因为点是的中点，点，分别是，的四等分点 所以， 因为，. 所以 （2）因为，，， 所以， 所以 ， 令与的夹角为 ， 所以与的夹角的余弦值为. ( 题型03 ) 平面向量基本定理及坐标表示 12．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知向量，，若，则m的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【知识点】已知向量垂直求参数 【分析】由向量垂直的坐标表示列方程等于零求解，可得结论. 【详解】根据题意知，，， 则，解之可得 故选：D 13．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知向量，． (1)求； (2)设，的夹角为，求的值； (3)若向量与互相垂直，求k的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】向量夹角的坐标表示、已知向量垂直求参数、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】（1）直接利用向量的坐标运算求解即可； （2）利用向量夹角的坐标公式求解即可； （3）利用向量垂直的坐标运算列式求解即可. 【详解】（1）因为，，所以； （2）； （3）因为，，所以，， 由向量与互相垂直得，， 所以，化简得，解得. 14．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知向量，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】BCD 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】根据题意分析可知不共线，结合向量共线的坐标表示运算求解. 【详解】因为，，， 则， 若点A，B，C能构成三角形，即A，B，C不共线，则不共线， 可得，即， 结合选项可知A错误；BCD正确. 故选：BCD. 15．（23-24高一下·广东韶关·期末）已知点 O是平面直角坐标系的原点，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，作，垂足为D，则下列结论正确的是（    ） A． B．设 四边形OABP有可能是平行四边形 C．将绕 O逆时针旋转得到向量 则的坐标为 D． 【答案】BCD 【知识点】由向量线性运算结果求参数、坐标计算向量的模、三角函数的化简、求值——诱导公式、数量积的坐标表示 【分析】对于A：根据向量的模长公式运算求解；对于D：根据向量的线性运算结合向量相等运算求解即可；对于C：根据三角函数值的定义结合诱导公式运算求解；对于D：结合向量投影运算求解. 【详解】由题意可得：， 对于选项A：可得，故A错误； 对于选项B：因为， 若四边形OABP是平行四边形，则， 可得，解得， 所以四边形OABP有可能是平行四边形，故B正确； 对于选项C：设， 则，即， 可知， 则， ， 所以的坐标为，故C正确； 对于选项D：由题意可知：在方向上的投影为， 所以，故D正确； 故选：BCD. 16．（23-24高一下·广东广州·期末）设,向量，，若，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】利用向量共线的坐标表示求出值. 【详解】向量，，由，得，解得. 故选：A 17．（23-24高一下·广东云浮·期末）已知向量，若，则（    ） A． B． C．-6 D．6 【答案】D 【知识点】利用向量垂直求参数 【分析】根据向量垂直的坐标运算即可求解. 【详解】因为，所以，解得. 故选：D 18．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，已知，，且点是的重心.过点的直线与线段、分别交于点、.设，（，）.    (1)求的值，并判断是否为定值，若是则求出定值，若不是请说明理由； (2)若的周长为，的周长为.设，记，求的取值范围. 【答案】(1)，是定值，理由见详解 (2) 【知识点】平面向量基本定理的应用、平面向量综合 【分析】（1）根据题意可得，变形可得，根据三点共线，即可得的值； （2）根据题意可得，，故得的表达式，根据的范围，利用函数性质，即可得答案. 【详解】（1）已知，，所以， 所以， 因为，，则，， 因为点是的重心，所以， 因为在直线上，所以. （2）， 所以， 设，由（1）得，所以 所以 因为，，又因为，则， 因为，所以， 因为，所以当时，的最小值为：，当或时，的最大值为：，所以， 因为的对称轴为，所以在上单调递增，又因为在上也是单调递增，所以在上单调递增， 所以当时，，当时，， 所以的取值范围为 【点睛】本题的关键在于利用小问（1）所得的结论，结合根据三点共线确定，将双变量函数化为单变量函数，结合函数的定义域求函数的值域. 19．（23-24高一下·广东云浮·期末）已知平面向量，则下列结论正确的是（    ） A．一定可以作为一个基底 B．一定有最小值 C．一定存在一个实数，使得 D．若，则在上的投影向量的坐标为 【答案】BCD 【知识点】向量垂直的坐标表示、求投影向量、基底的概念及辨析、坐标计算向量的模 【分析】对A，借助基底的定义与向量共线定理计算即可得；对B，借助模长定义计算即可得；对C，根据数量积的运算律得到，计算即可得；对D，由投影向量的定义求解即可得. 【详解】对于A，当时，，不能作为平面向量的一个基底，A错误； 对于B，由，得，所以有最小值，B正确； 对于C，由，两边同时平方得，解得，C正确； 对于D，当时，，则，D正确. 故选：BCD. 20．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知向量，，． (1)求在上的值域； (2)求函数图象的对称中心坐标和对称轴方程． 【答案】(1)； (2)对称中心，对称轴. 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、辅助角公式、数量积的坐标表示 【分析】（1）利用数量积的坐标表示，结合二倍角的余弦公式及辅助角公式化简求得，再求出值域. （2）由（1）中函数式，结合正弦函数性质求出对称中心及对称轴. 【详解】（1）依题意，， 当时，，则， 所以的值域为. （2）由，得， 所以函数图象的对称中心坐标为； 由，得， 所以函数图象的对称轴方程为. 21．（23-24高一下·广东潮州·期末）已知向量，. (1)若，求实数x的值； (2)若，，求向量与的夹角. 【答案】(1) (2) 【知识点】向量垂直的坐标表示、向量夹角的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示列出方程，解方程即可； （2）根据共线向量的坐标表示列出方程，解之可得，结合数量积的定义计算即可求解. 【详解】（1）已知， 因为，所以，解得； （2）因为， 又，所以， 解得，所以. 所以， 因为，所以. ( 题型04 ) 平面向量的应用 22．（23-24高一下·广东广州·期末）已知a，b，c分别是三内角A，B，C所对的三边，且． (1)求A的大小； (2)若，的面积为，求a，b； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)． 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式可得答案； （2）由求出，再由余弦定理可得答案； （3）利用两角和的正弦展开式可得，设，由的范围求出的范围，再由余弦定理得，可得，利用配方法可得答案. 【详解】（1）由正弦定理得 ， 因为， 所以， 即， 因为，所以，故， 所以， 因为，所以， 故，解得； （2）因为，所以， 即，所以， 又因为，即， 所以； （3）因为， 所以， 设，因为，所以， 由（1）知，由余弦定理， 得，， ， ， 当时，取最小值；时，取最大值． 所以的取值范围是． 23．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，在中，． (1)求的长； (2)已知点D在平面内，且，求四边形的周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）由余弦定理解方程可得； （2）由已知，问题转化为求的最大值.先根据题意得四点共圆，借助对角互补求出， 再在中利用余弦定理得边角关系，利用基本不等式可求最值. 【详解】（1）在中，， 由余弦定理得，，即， 化简得，解得（舍），或， 故的长为； （2）已知点D在平面内，且， 则四点共圆，， 则， 在中，由余弦定理得，， 则， ，， 解得，当且仅当时等号成立. 即的最大值为， 又，故四边形周长的最大值为. 24．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东、B点北偏西的D点有一艘船发出求救信号，位于B点南偏西且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，则该救援船到达D点最快所需时间为（    ） A．0.2小时 B．0.3小时 C．0.5小时 D．1小时 【答案】A 【知识点】正弦定理解三角形、正、余弦定理的其他应用、余弦定理解三角形 【分析】在中，先由正弦定理，求出；在中，根据余弦定理，求出的长，即可求出结果. 【详解】由题意，在中，，，， 所以， 由正弦定理可得，， 则； 又在中，，， 由余弦定理可得， ，所以， 因此救援船到达点需要的时间为小时. 故选：A. 25．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度大小为，水流速度的大小为，当航程最短时，这艘船行驶完全程共需要时间 ． 【答案】 【知识点】向量加法法则的几何应用、速度、位移的合成 【分析】当实际速度垂直于河岸航程最短，根据向量加法的平行四边形法则求解即可. 【详解】当实际速度垂直于河岸，船的航程最短． 设实际速度、船速、水流速度分别为、、， 如图，，已知， 则，河宽， 所以，船的航行时间． 所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要． 故答案为：. 26．（23-24高一下·广东湛江·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． (1)求角B的大小； (2)若的外接圆半径为1，求边长b的值； (3)若，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】余弦定理边角互化的应用、基本不等式求积的最大值、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）根据题意利用余弦定理边角转化即可得结果； （2）利用正弦定理运算求解即可； （3）根据题意利用基本不等式可得，结合面积公式运算求解. 【详解】（1）因为，即， 由余弦定理可得， 且，所以. （2）由正弦定理可知：（为的外接圆半径）， 所以. （3）由题意可知：，且，即， 又因为，即，解得， 当且仅当时，等号成立， 可得， 所以的面积的最大值为. 27．（23-24高一下·广东韶关·期末）如图，某工程队将从A 到D 修建一条隧道，工程队从A 出发向正东行 到达B，然后从B向南偏西方向行了一段距离到达C，再从C 向北偏西方向行了到达D. 已知C在A 南偏东方向上，则A 到D 修建隧道的距离为（    ）km. A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】距离测量问题、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】由题意，在△ABC中，由正弦定理得，在△ACD中，由余弦定理求得． 【详解】连接AC， 可得， ，， 在中，由正弦定理得， 即，则， 在中，由余弦定理得， 则． 故选：C． 28．（23-24高一下·广东韶关·期末）设的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求B； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用正弦定理可得，即可得结果； （2）利用余弦定理可得，再结合面积公式运算求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 且，则，可得，即， 且，所以. （2）由余弦定理可得：， 即，整理可得，解得或（舍去）， 所以的面积. 29．（23-24高一下·广东广州·期末）已知的内角A，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若，为线段的中点，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、数量积的运算律 【分析】（1）利用余弦定理化简，可得，即可求得答案； （2）利用向量的加法法则可得，平方并结合数量积的运算律，可得关于的方程，求得，根据三角形面积公式即得答案. 【详解】（1）因为，且，则，即， 又因为，则， 因为，所以. （2）因为为线段的中点，所以，则， 即，解得或(舍)， 因为，且，则 所以. 30．（23-24高一下·广东广州·期末）的内角，，所对的边分别为，，，已知，，若三角形有唯一解，则整数构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】利用正弦定理按角为锐角、直角分类求解即得. 【详解】由正弦定理，得，则， 由于有唯一解，则或，解得或， 所以整数构成的集合为. 故选：C 31．（23-24高一下·广东肇庆·期末）已知的内角的对边分别为，若，，为平面内一点，且满足． (1)求； (2)求的最小值； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、数量积的运算律、已知数量积求模、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据正弦定理和商关系得出角的值； （2）利用余弦定理、基本不等式和向量数量积公式，计算得出结果； （3）先用向量的运算和向量的模计算公式化简，在结合正余弦弦定理转化为，利用角的取值范围求得的取值范围； 【详解】（1）正弦定理得 因为，所以. （2）为平面内一点，且满足，则为外接圆圆心，设外接圆半径为,由（1）知，， 所以 余弦定理得 当时取等号； ， 所以的最小值为； （3） 解法一： 若，所以 根据正弦定理得, 所以 因为， 因此的取值范围为； 解法二：根据正弦定理，得，所以， 从而. 因为，所以， 所以， 所以 . 因为，所以， 所以. 所以， 所以的取值范围为. 2 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平面向量及其应用 题型概览 题型01平面向量的概念 题型02平面向量的运算 题型03平面向量基本定理及坐标表示 题型04平面向量的应用 ( 题型01 ) 平面向量的概念 1．（1．（23-24高一下·广东惠州·期末）下列命题中正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．共线向量一定是相等向量 C．若为实数，则向量与方向相同 D．单位向量的模都相等 ( 题型02 ) 平面向量的运算 2．（23-24高一下·广东广州·期末）已知为的外接圆圆心，，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 3．（23-24高一下·广东韶关·期末）数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理.例如: 如图甲，在中，D 为BC的中点，则在 中，有，在中，有，两式相加得，因为 D 为 BC的中点，所以，于是如图乙，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点. (1)如图乙，请用“算两次”的方法证明：； (2)如图乙，若与的夹角为，求与的夹角的余弦值. 4．（23-24高一下·广东湛江·期末）下列选项正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．若向量，，则 C．命题“，”的否定是真命题 D．非零向量，满足，则有 5．（23-24高一下·广东广州·期末）在中，已知，则向量在向量上的投影向量为 . 6．（19-20高一·全国·课后作业）已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·广东·期末）已知的外接圆圆心为O，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·广东云浮·期末）在中，，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·广东潮州·期末）下列命题正确的是（    ） A．若向量、满足，则或 B．若向量、满足，则向量、的夹角为钝角 C．若，，则向量在向量方向上的投影向量为 D．设、是同一平面内两个不共线的向量，若，，则、可作为该平面的一个基底 10．（23-24高一下·广东梅州·期末）欧拉是伟大的数学家，也是最多产的数学家，他在数论、复变函数、变分法、拓扑学、微分方程、力学等等领域都有杰出贡献．1765年，欧拉在他的著作《三角形的几何学》中指出，任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直线上（这条直线被称为三角形的欧拉线），此外，外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半．为证明以上结论，我们作以下探究： 如图，点O、G、H分别为△的外心、重心、垂心．   (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：． 注：①重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成2：1； ②垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直； ③外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． 11．（23-24高一下·广东江门·期末）如图，在平行四边形中，点是的中点，点，分别是，的四等分点.设，. (1)用，表示，； (2)若，，，求与的夹角的余弦值. ( 题型03 ) 平面向量基本定理及坐标表示 12．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知向量，，若，则m的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 13．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知向量，． (1)求； (2)设，的夹角为，求的值； (3)若向量与互相垂直，求k的值． 14．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知向量，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（    ） A．0 B．1 C． D． 15．（23-24高一下·广东韶关·期末）已知点 O是平面直角坐标系的原点，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，作，垂足为D，则下列结论正确的是（    ） A． B．设 四边形OABP有可能是平行四边形 C．将绕 O逆时针旋转得到向量 则的坐标为 D． 16．（23-24高一下·广东广州·期末）设,向量，，若，则（    ） A． B． C． D．2 17．（23-24高一下·广东云浮·期末）已知向量，若，则（    ） A． B． C．-6 D．6 18．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，已知，，且点是的重心.过点的直线与线段、分别交于点、.设，（，）.    (1)求的值，并判断是否为定值，若是则求出定值，若不是请说明理由； (2)若的周长为，的周长为.设，记，求的取值范围. 19．（23-24高一下·广东云浮·期末）已知平面向量，则下列结论正确的是（    ） A．一定可以作为一个基底 B．一定有最小值 C．一定存在一个实数，使得 D．若，则在上的投影向量的坐标为 20．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知向量，，． (1)求在上的值域； (2)求函数图象的对称中心坐标和对称轴方程． 21．（23-24高一下·广东潮州·期末）已知向量，. (1)若，求实数x的值； (2)若，，求向量与的夹角. ( 题型04 ) 平面向量的应用 22．（23-24高一下·广东广州·期末）已知a，b，c分别是三内角A，B，C所对的三边，且． (1)求A的大小； (2)若，的面积为，求a，b； (3)求的取值范围． 23．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，在中，． (1)求的长； (2)已知点D在平面内，且，求四边形的周长的最大值． 24．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东、B点北偏西的D点有一艘船发出求救信号，位于B点南偏西且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，则该救援船到达D点最快所需时间为（    ） A．0.2小时 B．0.3小时 C．0.5小时 D．1小时 25．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度大小为，水流速度的大小为，当航程最短时，这艘船行驶完全程共需要时间 ． 26．（23-24高一下·广东湛江·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． (1)求角B的大小； (2)若的外接圆半径为1，求边长b的值； (3)若，求的面积的最大值． 27．（23-24高一下·广东韶关·期末）如图，某工程队将从A 到D 修建一条隧道，工程队从A 出发向正东行 到达B，然后从B向南偏西方向行了一段距离到达C，再从C 向北偏西方向行了到达D. 已知C在A 南偏东方向上，则A 到D 修建隧道的距离为（    ）km. A． B． C． D． 28．（23-24高一下·广东韶关·期末）设的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求B； (2)若，求的面积. 29．（23-24高一下·广东广州·期末）已知的内角A，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若，为线段的中点，且，求的面积. 30．（23-24高一下·广东广州·期末）的内角，，所对的边分别为，，，已知，，若三角形有唯一解，则整数构成的集合为（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高一下·广东肇庆·期末）已知的内角的对边分别为，若，，为平面内一点，且满足． (1)求； (2)求的最小值； (3)若，求的取值范围． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$