专题07反比例函数（14大类型提分练+期末培优提升，优选73题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编（江苏专用）

专题07反比例函数 （14大类型提分练+期末培优提升，优选73题） 目录 类型一、反比例函数的定义 1 类型二、反比例函数经过的点 2 类型三、反比例函数的增减性 3 类型四、反比例函数性质的叙述 5 类型五、反比例函数与一次函数的图象 7 类型六、利用反比例函数的k值求面积 8 类型七、已知图形面积求反比例函数的k值 11 类型八、反比例函数的对称性 13 类型九、反比例函数与一次函数、不等式问题 16 类型十、反比例函数与一次函数综合问题 19 类型十一、反比例函数的简单应用 23 类型十二、反比例函数与实际问题 26 类型十二、反比例函数与一次函数的应用 29 类型十三、反比例函数与探究性问题 32 类型十四、反比例函数与几何压轴问题 37 《反比例函数》期末培优专项训练 44 类型一、反比例函数的定义 1．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）下列函数中，变量y是x的反比例函数的为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的定义，逐项判断即可． 【详解】解：A、是正比例函数，则此项不符题意； B、叫做是的反比例函数，则此项不符题意； C、叫做是的反比例函数，则此项符合题意； D、是正比例函数，则此项不符题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数，解题的关键是熟记定义，一般地，形如（是常数，）的函数叫做是的反比例函数． 2．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）若函数是反比例函数，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查反比例函数的定义：形如(为常数，)的函数就叫做反比例函数，解题的关键是掌握反比例函数的定义． 根据反比例函数的定义列出关于方程或不等式，求解即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， 且， 解得：， ∴的值为2． 故答案为：2． 3．（22-23八年级下·江苏·期末）当 时，函数是反比例函数． 【答案】1 【分析】根据反比例函数定义列出代数式求解即可得到答案． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴，解得， 故答案为：1． 【点睛】本题考查反比例函数定义、解方程及不等式，熟练掌握反比例函数定义，掌握因式分解解方程及不等式是解决问题的关键． 类型二、反比例函数经过的点 4．（22-23八年级下·江苏连云港·期末）已知点在反比例函数（为常数，）的图象上，下列各点中，一定在该函数图像上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把点代入反比例函数 ，求出的值，再根据为定值对各选项进行逐一检验即可． 【详解】解：∵点在反比例函数 的图象上， ∴． A、∵，∴此点在函数图象上； B、∵，∴此点不在函数图象上； C、∵，此点不在函数图象上； D、∵，此点不在函数图象上． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，掌握反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 5．（23-24八年级下·江苏常州·期末）反比例函数的图象经过，，三点，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数的性质，求得反比例函数的解析式是解题的关键． 根据反比例函数的定义得出，求出反比例数解析式为，然后将代入进而即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过， ∴ 解得：， ∴ ∴反比例数解析式为， 将点代入得，，解得：， 故答案为：1． 6．（22-23八年级下·江苏南京·期末）反比例函数的图像经过点、及，则 ． 【答案】2 【分析】设反比例函数解析式为，把点代入求出的值，得到反比例函数的解析式为，将、分别代入分别求出的值，最后计算即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 把点代入得， 反比例函数的解析式为：， 把、分别代入得， ，， 解得：，， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的横纵坐标之积为． 类型三、反比例函数的增减性 7．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）若点、、都在反比例函数（为常数）的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图形的增减性是解题的关键． 根据可得反比例函数图形经过第二、四象限，每个象限中随的增大而增大，由此即可求解． 【详解】解：已知反比例函数（为常数）， ∵， ∴反比例函数图象经过第二、四象限，每个象限中随的增大而增大，且时，，时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 故选：B ． 8．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若点、、都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了，反比例函数所在象限，反比例函数的增减性，解题的关键是：熟练掌握反比例函数的增减性．由反比例函数，得到，反比例函数经过一、三象限，由三点纵坐标的符号，得到，，，由反比例函数在第一象限，随的增大而减小，得到，即可求解． 【详解】解：∵点、、都在反比例函数的图像上，， ∴反比例函数经过一、三象限， ∵，，， ∴，，， ∵反比例函数在第一象限，随的增大而减小，， ∴， ∴， 故选：B． 9．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图像上，则 ．（填 “”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质；根据，可得反比例函数的图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，即可求解． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在二、四象限， ∵， ∴点，在第四象限，y随x的增大而增大， ∴． 故答案为：． 类型四、反比例函数性质的叙述 10．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）下列关于反比例函数的说法正确的是（    ） A．它的图象在第二、四象限 B．它的图象既是轴对称图形也是中心对称图形 C．当时， D．y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，理解和掌握反比例函数的图象和性质是正确判断的前提．根据反比例函数的图象和性质逐个进行判断即可得出答案． 【详解】解：A．反比例函数的图象是双曲线，它的两个分支分布在一、三象限，因此选项A不符合题意； B．反比例函数的图象是关于原点为对称中心的中心对称图形，同时也是以直线，直线为对称轴的轴对称图形，故选项B符合题意； C．把代入得：，故选项C不符合题意； D．函数，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而减少，故选项D不符合题意； 故选：B． 11．（22-23八年级下·江苏南京·期末）关于函数的图象有以下四个结论：①函数图象与坐标轴没有公共点；②函数图象关于直线对称；③函数图象关于直线对称；④函数图象关于成中心对称．其中正确的个数是(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】作出函数的图象，根据函数图象即可判断． 【详解】如图，作出函数的图象， 由图象可知：函数图象与坐标轴有公共点，∴①错误； 函数图象关于直线对称，∴②正确； 函数图象关于直线对称，∴③正确； 函数图象关于成中心对称，∴④正确； ∴正确的个数是3个． 故选：C． 【点睛】本题考查从函数图象上获取信息，反比例函数图象的特点，中心对称的概念，解题的关键是能够正确画出函数图象． 12．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）探究函数的图像发现，可以由的图像先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到．根据以上信息判断，下列直线中与函数的图像没有公共点的是（    ） A．经过点且平行于x轴的直线 B．经过点且平行于x轴的直线 C．经过点且平行于y轴的直线 D．经过点且平行于y轴的直线 【答案】B 【分析】由题意可得平移后的反比例函数不会与直线，相交，分析判断出答案． 【详解】由题意得函数的图像可以由先向右平移个单位，再向下平移3个单位得到． 由反比例图像性质和平移的定义可得函数不会与直线，相交． 故选B． 【点睛】本题考查了平移的定义和反比例函数、一次函数的图像性质．本题解题的关键在于掌握平移的定义以及反比例函数、一次函数的图像性质．运用了数形结合的数学思维． 类型五、反比例函数与一次函数的图象 13．（23-24八年级下·江苏·期末）一次函数（k为常数，且）图像上两点，，且，下列关于反比例函数图像性质的说法中，正确的是（    ） A．图像关于y轴对称 B．图像在第一、第三象限 C．y随x的增大而增大 D．当时， 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，先根据题意得到，进而得到反比例函数图像经过第二、四象限，在每个象限内，y随x增大而增大，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴一次函数中，y随x增大而减小， ∴， ∴反比例函数图像经过第二、四象限，在每个象限内，y随x增大而增大， ∴当时，， ∵反比例函数不关于y轴对称， ∴四个选项中，只有D选项说法正确，符合题意， 故选：D． 14．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的图像综合判断，分和先判断反比例函数和一次函数的图像所在的象限，再结合一次函数图像与坐标轴的交点即可求解． 【详解】解：当时，一次函数的图像经过第一、二、三象限，且经过点；反比例函数的图像在第一、三象限，没有选项中的图像符合题意； 当时，一次函数的图像经过第二、三、西象限，且经过点，反比例函数的图像在第二、四象限，选项C中图像符合题意，选项A、B、D中图像不符合题意， 综上，选项C符合题意， 故选：C． 15．（22-23八年级下·江苏南京·期末）函数在平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图像是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】由，得到，函数的图象可以看作由函数的图象向右平移2个单位长度得到，据此可判断的图象． 【详解】∵ ∴ ∴函数的图象可以看作由函数的图象向右平移2个单位长度得到 故选：A 【点睛】本题考查反比例函数的图象，理解两个函数图象的特点是解题的关键． 类型六、利用反比例函数的k值求面积 16．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，点O为坐标原点，菱形的边在x轴的正半轴上，对角线交于点D，反比例函数的图象经过点A和点D，若菱形的面积为6，则为（　　  ） A．2 B．1 C．3 D．6 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用，设，，中点坐标公式求出，根据点D在反比例函数图象上，以及菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：设，， ∵菱形， ∴，， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 17．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，点A、B分别是x轴、y轴上的点，过点A、B分别作x轴、y轴的垂线交于点C，反比例函数的图像分别与交于点D、E，连接，若，且的面积是9，则k的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，解题的关键设出点的坐标．设，则，用表示出，的坐标，利用面积求出即可解答． 【详解】解：设，， 则， ， ，， ， ， 解得， ． 故选：C． 18．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）如图，平行于轴的直线与反比例函数和的图象交于两点，点是轴上任意一点，且的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，的几何意义，由的几何意义得出，即有，求出的值即可，理解反比例函数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵轴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 类型七、已知图形面积求反比例函数的k值 19．（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，和均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线上，与相交于点P，则图中的面积为（    ） A． B．6 C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质及反比例函数系数k的几何意义等知识，难度适中．通过平行线的性质利用面积法找出面积相等的三角形是关键．根据等边三角形的性质可得，从而得到，进而得到，过点B作于点E，则，由反比例函数系数k的几何意义，可得，即可求解． 【详解】解：∵和均为正三角形， ∴， ∴， ∴， 过点B作于点E，则， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故选B． 20．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，点是反比例函数图象上的一点，作轴于点，轴于点，点、分别是、上的点，且的面积为，的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】设点的坐标为，利用面积将线段和用含有、的代数式表示出来，进而将线段和也用的代数式表示出，利用面积公式即可求出． 本题考查了反比例函数中值的几何意义，，图象上点的坐标之积等于． 【详解】解：设点的坐标为，则，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 21．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）如图，四边形是平行四边形，点A、B分别在反比例函数和的图像上，点C、D都在x轴上，则的面积为 ．    【答案】10 【分析】过点A作规于E，过点B作规于F，设与y轴交于G，MJ ，，再根据平等四边形与矩形的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作规于E，过点B作规于F，    ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， ∵点A、B分别在反比例函数和的图像上， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：10． 【点睛】本题考查反比例函数的系数k的几何意义，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，熟练掌握反比例函数的系数k的几何意义是解题的关键． 类型八、反比例函数的对称性 22．（21-22八年级下·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过点，，则下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则、关于原点对称 D．若，，则 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数的性质是解题的关键．据此进行判断即可． 【详解】解：A．∵，即与异号， ∴点，在第一、三象限或第二、四象限， ∴，原说法正确，故此选项符合题意； B．∵， ∴，或，， ∴，则或，则， ∴反比例函数的图像在第一、三象限， ∴，原说法错误，故此选项符合题意； C．∵， ∴， ∴， ∴， ∴、关于原点对称，原说法正确，故此选项不符合题意； D．若，则反比例函数的图像在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∴当时，，原说法正确，故此选项不符合题意． 故选：B． 23．（21-22八年级下·江苏扬州·期末）若反比例函数与一次函数的图像的一个交点的坐标为，则关于的方程的解是 ． 【答案】， 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【详解】解：反比例函数与一次函数的图象的一个交点的坐标为， 反比例函数与一次函数的图象的另一个交点的坐标是， 关于的方程的解是，； 故答案是：，． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握反比例函数图象的中心对称性．关于原点对称的两个点的横、纵坐标分别互为相反数． 24．（21-22八年级下·江苏无锡·期末）如图，过原点的直线交反比例函数图象于P、Q点，过点Р分别作x轴，y轴的垂线，交反比例函数的图象于A、B点，已知，则图中阴影部分的面积为 ；且当时，的值为 ． 【答案】 6 【分析】连接OA，OB，延长BP交x轴于点C，易求， 由P，Q关于与原点成中心对称，得OP=OQ，利用等底同高的三角形的面积相等可得，易求，同理可得：所以．设点C（m，0）m＞0．则P（m，），A（m，），B（），即可求得AP＝，利用三角形面积公式得到，解得a＝1．5，进一步求得． 【详解】 连接PQ，OA，OB，延长BP交x轴于点C， 设点C对应的数为m，m＞0.则P（m，），B（m，） ∴OC=m，PC=，BC= ∴， ∴ ∵P、Q关于原点成中心对称， ∴OP=OQ ∴ ∴ 同理可得： 所以 设点C（m，0）m＞0． 则P（m，），A（m，），B（，）， ∴AP＝， ∵S△APB＝3， ∴ ∴a＝， ∵b−a＝3，∴b＝， 故答案为：6，． 【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，关于原点对称的点的坐标的性质，三角形的面积．利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 类型九、反比例函数与一次函数、不等式问题 25．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，两点，当时，则自变量的取值范围是 ．    【答案】或 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的图象与不等式的解，解题的关键是数形结合． 根据图象中一次函数与反比例函数的分布即可求出取值范围． 【详解】解：∵一次函数与反比例函数的图象相交于点，两点， 由图象知，当时，即一次函数在反比例函数上方，此时或， 故答案为：或． 26．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，直线与双曲线交于点A和点B，已知点A的坐标是，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数图象和反比例函数图象的交点问题，关于原点对称的坐标特点，以及利用函数图象解不等式，根据一次函数图象和反比例反比例函数图象都是关于原点对称的，得出A和B关于原点对称，从而求出B点坐标，观察图象找出直线在双曲线的下方时x的范围即可解答． 【详解】解∶∵一次函数图象和反比例函数图象都是关于原点对称的， ∴A和B关于原点对称， ∵点A的坐标是， ∴点B的坐标为， 由图象可得，当或时，直线在双曲线的下方， ∴不等式的解集是或， ∴不等式的解集是或， 故答案为∶ 或． 27．（21-22八年级下·江苏淮安·期末）一次函数与反比例函数的图像交于和两点，若，则x的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】把（-4，-1）代入得，把代入得n=2，即点A坐标为（2，2），把A、B坐标代入，得，作出，的图像即可得． 【详解】解：把（-4，-1）代入得，， ∴， 把代入得， 解得，n=2， ∴点A坐标为（2，2）， 把A、B坐标代入， 解得，， ∴， 如图所示： ∵， ∴或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数，解题的关键是掌握一次函数的性质，反比例函数的性质． 28．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）一次函数与反比例函数交于A、B两点，其横坐标分别为2和，则不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，读懂题意，掌握函数图象法是解题关键．先根据题意画出图象，再利用函数图象法即可得出答案． 【详解】解：如图： 根据图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上面， ∴不等式的解集是或， 故答案为：或． 类型十、反比例函数与一次函数综合问题 29．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点，与x轴交于点B，连结并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点C． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数的对称性，三角形面积，解题的关键是数形结合； （1）先求出点的坐标，然后代入反比例函数解析式，求出的值即可； （2）由一次函数的解析式求得点的坐标，利用反比例函数的对称性求得点的坐标，然后根据即可求解； （3）根据图象即可求得． 【详解】（1）解：在一次函数的图象上， ， 解得， 点的坐标为， ， 反比例函数的对应的函数关系为； （2）解：当时，， 解得， 点的坐标为． 点在反比例函数的图象上， ，根据对称性， 点的坐标为， ； （3）解：由图象可得， 当或时，直线的图象在反比例函数的图象的上面 ∴当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，或． 30．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于、两点． (1)求的值； (2)当时，的取值范围是__________； (3)当时，的取值范围是__________； (4)若轴上存在点，使得的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或； (3)或； (4)或． 【分析】（）把代入可得，把代入即可求得； （）根据点与点关于原点对称，即可得到的坐标，观察函数图象即可求解； （）根据图象即可求解； （）根据即可求得，求得或； 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）把代入可得， ∴， 把代入，得， ∴； （2）∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴关于原点对称，， 由图象可知，当或时，， 故答案为：或； （3）由正比例函数与反比例函数的对称性可知， 由图象可知，当或时，， ∴当时，的取值范围是或， 故答案为:或； （4）∵的面积为， ∴， ∴， ∴或． 31．（23-24八年级下·江苏南京·期末）平面直角坐标系中，横坐标为a的点A在反比例函数的图像上，点与点A关于点O对称，一次函数的图像经过点．函数、的图像相交于第一象限B点． (1)用无刻度的直尺与圆规作出点； (2)若，点B坐标为． ①分别求函数、的表达式； ②直接写出使成立的x的范围； (3)若点B的横坐标为，的面积为16，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)①，；② (3) 【分析】本题考查了作图—中心对称图形，一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法的应用； （1）连接并延长，在直线上截取即可； （2）①先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而得到点A坐标，然后利用待定系数法求出一次函数解析式即可；②画出函数图象，求出直线与x轴的交点坐标，再根据两个函数图象写出不等式解集即可； （3）连接，作轴交于E，求出直线的解析式，进而可得点E坐标，然后表示出，再根据列式求解即可． 【详解】（1）解：点如图所示， （2）①∵点B坐标为，且点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，， ∴， ∴ ∵点、在一次函数的图象上， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； ②一次函数与反比例函数图象如图所示，直线交x轴于C， 当时，解得：， ∴， ∴由函数图象可知，使成立的x的范围为． （3）如图，连接，作轴交于E， ∵的面积为16，， ∴， ∵点A，B在反比例函数的图像上， ∴，， 设直线的解析式为， 代入得：， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴， 解得：． 类型十一、反比例函数的简单应用 32．（2023八年级下·江苏·专题练习）如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化．电流与电阻之间的函数关系如图2所示．下列结论正确的是（　　） A． B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与应用，解题的关键是理解题意，掌握反比例函数的性质． 设电流与电阻之间的函数关系为，求出电流与电阻之间的函数关系为，进而逐项求解判断即可． 【详解】解：由图象可知，电流与电阻之间满足反比例函数关系， 设电流与电阻之间的函数关系为， ∵点在函数的图象上， ∴， 解得：， ∴电流与电阻之间的函数关系为，故A选项错误，不符合题意； 当时，则， ∴， 由函数图象可知，该函数在第一象限内y随x的增大而减小， ∴当时，，故B选项错误，不符合题意； 当时，则， ∴，故C选项错误，不符合题意； 当时，则， ∴， 由函数图象可知，该函数在第一象限内y随x的增大而减小， ∴当时，，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 33．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）如图所示，学校举行数学文化竞赛，图中的四个点分别描述了八年级的四个班级竞赛成绩的优秀率y（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数x的情况，其中描述1班和4班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（    ） A．1班 B．2班 C．3班 D．4班 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数图象与性质的实际应用，读懂题意，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解决问题的关键． 设反比例函数表达式为，过2班点，3班点作轴的平行线交反比例函数于，，设1班点为，2班点，3班点为，4班点，点为，点为，然后比较，，，与的大小即可得出答案． 【详解】解：设反比例函数的表达式为， 过2班点，3班点作轴的平行线交反比例函数于，，    设1班点为，2班点，3班点为，4班点，点为，点为， 由图象可知：，， 依题意得：，，，分别为1班，2班，3班，4班的优秀人数． 1班点，点，点，4班点在反比例函数的图象上， ， ，， ，， ， 即：2班优秀人数1班优秀人数4班优秀人数3班优秀人数， 2班的优秀人数为最多． 故选：B． 34．（21-22八年级下·江苏南京·期末）在制作拉面的过程中，用一定体积的面团做拉面，面条的总长度y（单位：cm）与面条的横截面积x（单位：cm2）成反比例函数关系，其图像如图所示，当面条的横截面积小于1cm2时，面条总长度大于 cm． 【答案】128 【分析】设反比例函数解析式为y＝ ，利用待定系数法求出k；根据x＜1得到关于y的不等式，求出y的取值范围即可． 【详解】解：由题意可以设y＝， 把（4，32）代入得：k＝128， ∴y＝（x＞0）． ∴x＝， ∵x＜1， ∴＜1， ∴y＞128， ∴面条总长度大于128cm． 故答案为：128． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，待定系数法求函数解析式，属于基础题目，根据图象找出函数图象经过的点的坐标是解题的关键． 类型十二、反比例函数与实际问题 35．（22-23八年级下·江苏盐城·期末））驾驶员血液中每毫升的酒精含量大于或等于微克即为酒驾，某研究所经实验测得，成人饮用某品牌度白酒后血液中酒精浓度（微克毫升）与饮酒时间（小时）之间函数关系如图所示（当时，与成反比例）． (1)根据图象直接写出：血液中酒精浓度上升阶段的函数解析式为 ；下降阶段的函数解析式为 ；（并写出的取值范围） (2)问血液中酒精浓度不低于微克毫升的持续时间是多少小时？ 【答案】(1)， (2)血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间小时 【分析】本题考查一次函数的应用、反比例函数的应用等知识. （1）当时，设直线解析式为：，当时，设反比例函数解析式为：，利用待定系数法即可解决问题； （2）分别求出时的两个x值，再求时间差即可解决问题． 【详解】（1）解：当时， 由图象可知，y是x的正比例函数，令，代入 ∴ ∴ ∴ 当时，y与x成反比例，令，代入 ∴ ∴ ∴ （2）解：当，则， 解得：， 当，则， 解得：， （小时）， 血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间小时． 36．（20-21八年级下·江苏盐城·期末）为预防某种流感病毒，某校对教室采取喷洒药物的方式进行消毒．在消毒过程中，先进行的药物喷洒，接着封闭教室，然后打开门窗进行通风．教室内空气中的含药量与药物在空气中的持续时间之间的函数关系如图所示，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数关系，在通风后满足反比例函数关系． (1)求药物喷洒后空气中含药量与药物在空气中的持续时间的函数表达式； (2)如果室内空气中的含药量达到及以上且持续时间不低于，才能有效消毒，通过计算说明此次消毒是否有效？ 【答案】(1)； (2)此次消毒有效，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数的应用：能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型，理解题意以及对函数的分类讨论是解题关键． （1）当时，y与x为反比例函数关系式，，可得反比例函数解析式； （2）计算正比例函数和反比例函数的函数值为5对应的自变量的值，则它们的差为含药量不低于的持续时间，然后与比较大小即可判断此次消毒是否有效． 【详解】（1）解：当时， 设，将代入， 则， ∴； （2）解：此次消毒有效．理由如下： 当时， 设，将代入， 则，解得：， ∴； 当时，，解得， 当时，，解得， ∵， ∴此次消毒有效． 37．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当时，求水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式； (2)求图中t的值； (3)有一天，小明在上午（水温），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，请问此时饮水机内水的温度约为多少？并求：在这段时间里，水温共有几次达到？ 【答案】(1) (2) (3)饮水机内水温约为，共有6次达到 【分析】本题考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可得出答案； （2）先求出反比例函数解析式进而得出的值即可得出答案； （3）先求出总时间，再利用每40分钟图象重复出现一次，即可得出答案． 【详解】（1）解：由图象可知，当时是一次函数， 设将代入得： ， 解得， ∴水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式为：； （2）在水温下降过程中，设水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式为， 依据题意得：，解得， ∴反比例函数解析式为：， 当时，， 解得：； （3）由（2），结合图象，可知每分钟图象重复出现一次， 经历时间为分钟， ， ∴当时，， 答：饮水机内水温约为，共有6次达到． 类型十二、反比例函数与一次函数的应用 38．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y随时间x分钟）变化的函数图像如图所示，当和时，图像是线段；当时，图像是反比例函数图像的一部分．    (1)求图中点A的坐标； (2)王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 【答案】(1)20 (2)能，理由见解析 【分析】（1）设反比例函数的解析式为，由求出，可得坐标，从而求出的指标值； （2）求出解析式，得到时，，由反比例函数可得时，，根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入得： ，解得， 反比例函数的解析式为， 当时，， ， ，即对应的指标值为20； （2）解：设当时，的解析式为，将、代入得： ，解得， 的解析式为， 当时，，解得， 由（1）得反比例函数的解析式为， 当时，，解得， 时，注意力指标都不低于36， 而， 张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36． 【点睛】本题考查函数图象的应用，涉及一次函数、反比例函数及不等式等知识，解题的关键是求出和时的解析式． 39．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻R的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻R(单位∶)与物体质量m(单位∶)之间的关系如图2所示，电流I(单位∶)与可变电阻 R之间关系为 (1)该小组先探究函数 的图像与性质，并根据I与R之间关系得到如下表格： R(kΩ) 0 1 2 3 4 5 6 7 … I(mA) 2 1.5 1.2 p 0.75 0.6 ①表格中的 ； ②请在图3 中画出 对应的函数图像； (2)该小组综合图2和图3发现，I随着m的增大而 ；(填“增大”或“减小”) (3)若将该款电子秤中的电路电流范围设定为(单位：)，判断该电子托盘秤能否称出质量为 的物体的质量？请说明理由． 【答案】(1)1 (2)见解析，增大 (3)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数关系式及其应用： （1）①选用相应的已知值代入函数解析式求解即可；②描点，连线得出函数图象， （2）观察函数图象解答即可； （3）先求出电子称通过最大电流时的电阻，再求出质量与电阻之间的函数关系式，代入最大电阻即可得出电子体重秤可称的最大质量，进而判断是否能称出质量为 的物体的质量． 【详解】（1）①解：∵， 当时，； ②描点，连线，如图： （2）观察图象可知，电流随可变电阻的增大而减小，可变电阻随物体质量m的增大而减小， 故电流随物体质量m的增大而增大， 故答案为：增大； （3）不能，理由如下： 当电流取最大时，电子秤所称重的质量最大，此时接入电阻值最小， 即，， ∴， 设， 当时，，代入得：； 当，代入得，，解得，； ∴与的关系式为； 当时，， 解得， 即电子体重秤可称的最大质量为千克， 所以该电子托盘秤不能称出质量为的物体的质量． 类型十三、反比例函数与探究性问题 40．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）“数形结合”是一种重要的数学思想，八上教材中，我们曾用函数观点看方程，也就是利用一次函数的图象求解二元一次方程组．类似的，学习了一次函数和反比例函数之后，我们也可以将方程的解的研究转化为已学函数图象交点的问题… (1)将方程的解转化为和这两个函数图像的交点问题，结合图象可以判断这个方程有 个实数解； (2)方程的解也可以转化为一次函数和反比例函数的图象交点问题．请直接写出一对符合要求的表达式 和 ，结合图象可以判断方程有 个解； (3)利用“数形结合”，仿照上述方法，不解方程，借助平面直角坐标系，判断方程的解的个数； (4)请根据的取值情况写出满足方程（均为非0常数）的的个数． 【答案】(1)2 (2)，，0 (3)图象见解析，方程的解的个数为1； (4)同号时，方程（均为非0常数）的的个数为2个．异号时，方程（均为非0常数）的的个数为0个． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，画函数图象，数形结合是本题的最大特点． （1）在同一直角坐标系中画出两个函数的图象即可得到答案； （2）方程两边除以x，变为，则可表示成一个一次函数与一个反比例函数的交点问题，从而可写出符合要求的表达式，在同一直角坐标系中画出两个函数的图象即可得到答案； （3）把变形为：，这样方程的解的个数可转化为两个函数的交点个数问题，借助函数图象即可解决； （4）分两种情况进行分析解答即可． 【详解】（1）在同一坐标系中，和这两个函数图象如下，有两个交点， ∴方程有2个实数解； 故答案为：2 （2）解： 方程两边除以x，得：， 即， ∴令，， 则方程的解转化为一次函数和反比例函数的图象交点问题．结合图象可以判断方程有0个解； 故答案为：，，0 （3）解：把变形为：， 设，， 方程的解的个数可转化为两个函数，，的图象的交点个数问题， 画出两个函数的图象如下： 观察图象知，两个函数，的图象的交点只有1个，表明方程只有1个解． （4）∵，均为非0常数 ∴， 当时，，即同号时，方程（均为非0常数）的的个数为2个． 当时，即异号时，方程（均为非0常数）的的个数为0个． 综上可知，同号时，方程（均为非0常数）的的个数为2个．异号时，方程（均为非0常数）的的个数为0个． 41．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了和的图象，两个函数图象交于两点，在线段上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图象于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究的长度与点P的横坐标之间的关系，小华进行了以下探究：    【探索发现】 （1）设点P的横坐标为x，则点P的纵坐标为________，点Q的纵坐标为________；（用x的代数式表示） 若设的长度为y，则y与x之间的函数关系式为________（）； （2）为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表、描点、连线的方法绘制函数的图像： ①列表： x 1 2 3 4 6 9 y 0 4 m 0 表中________； ②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点； ③连线：请在图2中画出该函数的图像．观察函数图像，发现：当_______时，y的最大值为_______． 【迁移应用】 利用（2）中的发现，解决问题： （3）已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长W与n存在函数关系，求m取最大值时矩形的对角线长． 【答案】（1），，；（2）①；②见解析；③3，10；（3） 【分析】（1）根据题意，点P的横坐标为x，由点P在的图象上即可得出纵坐标，点Q在的图象上即可得出纵坐标，的长度为y，根据的长等于纵坐标之差求解即可； （2）①根据表格数据将代入（1）中函数，即可求得的值； ②根据表格数据描点即可； ③根据函数图象直接求解即可 （3）由题意可知，，代入得：，即，根据（2）的结论求得最大值，进而求得对角线的长度． 【详解】解：（1）点P的横坐标为x， 点P的纵坐标为，点Q的纵坐标为， 的长度为y， ； （2）①当； ②如图所示；    ③当时，y有最大值为10； （3）由题意可知，， 代入得：，即， 由（2）可知，当时，y取最大值为10． 当时，m的取最大值为， 此时矩形的对角线长为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，画函数图象，根据函数图象获取信息，矩形的性质，勾股定理，数形结合是解题的关键． 类型十四、反比例函数与几何压轴问题 42．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图1，点A是反比例函数的图象上一动点，连接并延长交反比例函数于点B，设与x轴正半轴的夹角为， (1)①若，则______；②若，则______； (2)小红同学在数学老师的指导下，证明了命题“无论如何变化，的值始终不变”为真命题．如图2，点E、F在，点G在上，O、F、G在同一条直线上，仅用无刻度的直尺在的图象上作点H，使得； (3)如图3，过点B作x轴、y轴的垂线分别交于点C、D； ①试说明的面积为定值，并求出该值； ②若，连接并延长交x轴于点E，求∠DCE的度数． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)①说明见解析；；② 【分析】（1）过点A作轴于点E，轴于点F，当，设，，求出，，得出；当，设，，得出，，求出，即可得出答案； （2）连接并延长，交的图象于一点，该点即为所求； （3）①设点，则，，得出，，根据，即可得出结论； ②根据，得出，求出，得出，，，求出直线的解析式为：，得出，求出， ，，根据勾股定理逆定理判断为直角三角形，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点A作轴于点E，轴于点F，如图所示： 则， ∵， ∴和为等腰直角三角形， ∴，， ∴设，， ∵点A在反比例函数，点B在反比例函数上， ∴， 解得：，负值舍去，，负值舍去， ∴，， ∴，， ∴； ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 设，， ∵点A在反比例函数，点B在反比例函数上， ∴， 解得：，， ， ∴； （2）解：如图，连接并延长，交的图象于一点，该点即为点H； 连接，， ∵“无论如何变化，的值始终不变”为真命题， ∴根据解析（1）可知：， ∴， ∴，， ∴、分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴； （3）解：①设点，则，， ∴，， ∴， ∴的面积为定值． ②∵， ∴， 解得：， ∴，，， ∴根据解析（1）可知：此时， 即， ∴， 设直线的解析式为：， 把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴， ∵， ，， ∴， ∴为直角三角形，． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合应用，求一次函数解析，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，解题的关键是数形结合，作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 43．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为、，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上． (1)如图1，当D点坐标为时． ①求的值； ②求m，n的值； (2)如图2，当m，n满足什么关系时，，并说明理由； (3)如图3，当时，在的延长线上取一点E，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，对于每一个给定的m值，点E的纵坐标总是一个定值，则该定值为______．（用含m的代数式表示） 【答案】(1)①的值为4；②m，的值为1，3； (2)当时，； (3) 【分析】（1）①将点的坐标代入反比例函数解析式即可得出结论； ②过点作轴，可得，可用，表达点的坐标，建立关于，的二元一次方程组即可得出结论； （2）过点作轴于点，可得，可用，表达点的坐标，由此建立关于，的不等式，解之即可； （3）过点作轴于点，设，由等腰三角形的性质可表达点和点的坐标，由此建立关于的方程，解之即可． 【详解】（1）解：①将点代入反比例函数解析式， ； 即的值为4； ②如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，解得． ，的值为1，3； （2）解：当时，，理由如下： 如图，过点作轴于点， 同理（1）可得，， ，， ， ， ， 若，则， ，， ， 即当时，； （3）解：由（2）得，，又， ∴， ，， ，即， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 如图，过点作轴于点， 是等腰直角三角形， ， 设，， ，， 点是的中点， ； ， ， 点在上， ，整理得， （舍）或； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质等相关知识，用，表达出点，的坐标是解题关键． 《反比例函数》期末培优专项训练 一、单选题 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）对于一次函数，下列说法不正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标为 B．图象经过第二、三、四象限 C．若点在一次函数的图象上，则 D．图象可由直线向下平移4个单位长度得到 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的几何变换、一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，根据一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换进行分析判断． 【详解】解：A、令，则，所以图象与轴的交点为，故A正确，不符合题意； B、一次函数中的，，故函数图象经过第二、三、四象限，故B正确，不符合题意； C、一次函数中的，所以随的增大而减小，由得，故C错误，符合题意； D、直线的图象可由直线向下平移4个单位长度得到，故D正确，不符合题意． 故选：C． 2．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）在平面直角坐标系xOy中，若点，在反比例函数（，m为常数）的图像上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． ∵， ∴． 故选C． 3．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，正方形的顶点，在轴上，反比例函数的图像经过点和的中点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，正方形的性质，由四边形是正方形，得，轴，设，则，，，再根据中点坐标可得，最后代入解析式即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，轴， 设，则，，， ∵是中点， ∴， ∵在反比例函数图象上， ∴， 解得：，， 故选：． 4．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）若、都在函数的图象上，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意和反比例函数的性质可以解答本题．解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 【详解】解：∵，， 设，其中，则， 又∵、都在函数的图象上， ∴，， ∴， 故选：B． 5．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在坐标轴上，在第一象限，反比例函数的图像经过中点，与交于点，将矩形沿直线翻折，点恰好与点重合．若矩形面积为，则点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，掌握矩形与折叠的性质，勾股定理，矩形面积与反比例函数的中的关系是解题的关键． 根据题意设，则，，可求出反比例函数解析式，可得的纵坐标为b，根据折叠的性质可得，在直角中，根据勾股定理即求出b的值，由此即可求解 【详解】解：根据题意，设，则， ∴， ∵点是矩形对角线的中点， ∴，且点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵四边形是矩形， ∴，即点的纵坐标为， ∴把点的纵坐标代入反比例函数解析式得，， 解得，，即， ∴， ∵沿着折叠，点与点重合，如图所示，连接，则， 在中，， ∴，且，则， 解得，（负值舍去）， ∴， ∴， 故选：B ． 6．（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，一次函数的图像与反比例函数在第一象限的图像交于和两点，与x轴交于点C，下列说法：①反比例函数的关系式；②根据图像，当时，x的取值范围为或；③若点P在x轴上，且，点P的坐标．其中所有正确结论的序号是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象性质，一次函数与反比例函数交点问题，直线与坐标围成的三角形面积问题．①先把点代入中求出a得到，然后利用待定系数法即可得到反比例函数的表达式；②根据图象得出取值范围；③先求得，进而得出，设，则，利用三角形面积公式得到关于t的方程，求解即可． 【详解】解：把点点代入，得， ∴， 把代入反比例函数， ∴； ∴反比例函数的表达式为，故结论①正确； 把代入，得：， ∴， 根据图象可知，当时，x的取值范围为或，故结论②正确； 如图，连接，    对于， 当时，， ∴点， ∵， 又∵， ∴， 设，则， ∴， 解得：或， ∴或，故结论③错误． 故选：A． 7．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系中，P是反比例函数图象上的一点，把点P绕着顶点O顺时针旋转的对应点落在一次函数图象上，则代数式的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，根据点落在一次函数图象上得到，根据P1的坐标是由P旋转得到的得到，又由P是反比例函数图象上的一点，得到，把代数式进行加法运算后利用整体代入进行计算即可． 【详解】解：∵点落在一次函数图象上， ∴， ∴， ∵P1的坐标是由P顺时针旋转得到的，如图所示，作轴于点，作轴于点， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵P是反比例函数图象上的一点， ∴， ∴． 故选：C． 8．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小明通过改变动力臂L，测量出相应的动力F数据如表：（动力×动力臂=阻力×阻力臂） 动力臂（/） … … 动力（/） … … 请根据表中数据规律探求，当动力臂L长度为2.0m时，所需动力是（    ） A．150N B．90N C．75N D．60N 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用．依据题意，根据表中信息可知动力臂与动力成反比关系，选择利用反比例函数来解答即可得解． 【详解】解：由表可知动力臂与动力成反比的关系， 设方程为：， 从表中取一个有序数对， 可取代入， ． ． 把代入上式， ． 故选：C． 9．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图．已知正方形的面积为6．它的两个顶点是反比例函数的图像上两点，若点的坐标是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，然后表示出点B的坐标，再根据点，在反比例函数图象上列式计算即可． 【详解】解：∵正方形的面积为6， ∴， ∵点的坐标是， ∴点的坐标是， ∵点，是反比例函数（，）的图象上两点， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，二次根式的运算，正确表示出点的坐标是解题的关键． 10．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，等边三角形，点在反比例函数的图象上，轴，已知点的纵坐标为2，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据题意，作轴于，再作于，设，结合轴，，可得，从而，，又点的纵坐标为2，点在上，从而可得，进而求出，又在上，故，求出后可得的值，进而计算可以得解． 【详解】解：由题意，如图，作轴于，过点C作于点E，再作于． ∵是等边三角形， ∴， 设， 轴， ． ，由勾股定理得：． 点的纵坐标为2，点在上， ， ，． ， 又在上， ． ． ． （舍去）或． ，则 ∵，是等边三角形， ∴， ∴由勾股定理得： 等边的面积为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质，勾股定理，角的直角三角形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 二、填空题 11．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）已知点在反比例函数的图象上，则k的值是 ． 【答案】5 【分析】本题主经考查了反比例函数图象上点的坐标特征．熟练掌握反比例函数上的点的坐标适合解析式，从而确定比例系数，是解决本题的关键． 将点代入反比例函数即可求出k的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， 故答案为：5 12．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）若点都在反比例函数的图象上，则 填“”或“”或“”． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 根据反比例函数的性质可得反比例函数，图象在第一、三象限，然后根据每个象限上点的坐标特征即可得到结论． 【详解】解：反比例函数， 图象在第一、三象限，随的增大而减小， 点、都在反比例函数的图象上， 点与点都在第三象限， ， ． 故答案为：． 13．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）函数的图象与直线没有交点，那么的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，联立两函数解析式得到对应的一元二次方程，根据函数无交点即对应的一元二次方程无解进行求解即可． 【详解】解：联立得， ∵函数的图象与直线没有交点， ∴方程没有解， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（23-24八年级下·江苏南京·期末）已知一次函数与反比例函数，函数、与自变量的部分对应值如表所示： … … … … … … 则关于的不等式的解集是 ． 【答案】或． 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数图像上点的坐标特征，一次函数和反比例函数的性质，熟练掌握图像上点的坐标特征是解题的关键．本题先找到使两个函数图像的交点，再根据函数的性质得到相应取值范围． 【详解】解：从表格数据分析，两函数图像的交点坐标为，， 则反比例函数图像分布在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大； 一次函数随的增大而减小， ∴关于的不等式的解集是：或． 故答案为：或． 15．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，直线与双曲线交于点C，与x轴、y轴分别交于点A、B，D是双曲线上一点，且横坐标为a，若的面积大于2，则a的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，先求出点C的横坐标为，点B的坐标为，，分两种情况：当点D在点C的左侧，即时，当点D在点C的右侧，即时，分别画出图象，求出结果即可． 【详解】解：令， 解得：，负值舍去， ∴点C的横坐标为， 把代入得：， ∴点B的坐标为， 把代入得：， 解得：， ∴； ∵点D的横坐标为a， ∴， 当点D在点C的左侧，即时，过点D作轴，交直线于点E，如图所示： 把代入得： 解得：， ∴， ∴， ， 当的面积等于2时，， 解得：，负值舍去， ∵，点D越靠左，越大， ∴当时，的面积大于2； 当点D在点C的右侧，即时，过点D作轴，交直线于点E，如图所示： 把代入得： 解得：， ∴， ∴， ， 当的面积等于2时，， 解得：，负值舍去， ∵，点D越靠右，越大， ∴当时，的面积大于2； 综上分析可知：当或时，的面积大于2． 故答案为：或． 16．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，已知是x轴上的点，且，分别过点作x轴的垂线交反比例函数的图象于点，过点作于点，过点作于点……，记的面积为，的面积为……，的面积为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象找规律的问题，熟练掌握反比例函数的基础知识，用数学归纳法由个例总结出一般规律是解决本题的关键．由可得，，，…，的坐标，根据三角形的面积计算公式底×高÷2，计算出每一个三角形的底和高之后，分别列出每一个三角形的面积计算式，观察规律即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴设，，，…，， ∵，，，…，在反比例函数的图象上， ∴，，，…，， ∴； ∴； ； ； … ； ∴． 故答案为：． 17．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数 的图象在第一象限交于和两点．则的面积为 ；若点P在y轴上，点Q在反比例函数的图象上，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，写出所有符合条件的Q点的坐标： ． 【答案】 或 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，平行四边形的性质等知识，利用和两点在一次函数的图象上求出，得到，，即可求出反比例函数解析式，设一次函数与y轴交于点D，求出，得到， 求出的面积；分四边形是平行四边形和四边形是平行四边形两种情况，利用中点坐标公式分别进行解答即可． 【详解】解：∵和两点在一次函数的图象上， ∴， ∴，， ∵，在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， 设一次函数与y轴交于点D，如图， 当时，， 则， ∴， ∴； 故答案为：； （2）设Q为，， ∵，， ∴当四边形是平行四边形时，根据中点坐标公式可得，则，，解得，此时，，符合题意； 当四边形是平行四边形时，根据中点坐标公式可得，即，，解得，此时，，符合题意； 综上所述，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，Q坐标为或． 故答案为：或． 18．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形的顶点在反比例函数的图像上，点B在x轴正半轴上，将该菱形向上平移，使点B的对应点D落在反比例函数的图像上，则图中 ．      【答案】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，先求出值和的长，平移求出点的坐标，进而得到点的纵坐标，根据点在直线上，求出点坐标，进而求出的长即可． 【详解】解：∵菱形的顶点在反比例函数的图像上， ∴， ∴， ∴， ∵将该菱形向上平移，点B的对应点D落在反比例函数的图像上， ∴轴，的横坐标为，当时，， ∴，点的纵坐标为， ∵点在直线上，设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， ∴当时，， ∴， ∴； 故答案为：． 19．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，一次函数与的图象与反比例函数的图象在第一象限分别交于A、B两点，已知面积为3，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，两条直线平行问题，三角形的面积，设的图象与x轴的交点为C，连接，求得点C的坐标，即可求得，利用三角形面积求得A的纵坐标，代入求得横坐标，然后利用待定系数法求得k即可． 【详解】解：设的图象与x轴的交点为C，连接， 令，则， ， ， ∵直线与直线平行， ， ， 把代入，求得， ， ∵反比例函数的图象过点A， ， 故答案为：． 20．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，点在双曲线上，过作直线交双曲线于点，过作轴于，连接，若的面积为1，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查已知图形的面积求值，先求出点坐标进而求出的解析式，设，根据三角形的面积公式，求出点坐标，即可得出值． 【详解】解：点在双曲线上， ∴， ∴， ∴ 设直线的解析式为， 则：， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 21．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，点为反比例函数图像上的两个动点，其横坐标分别为，过点分别作轴的垂线交轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，矩形的面积为． (1)的值为 ； (2)若，求的值； (3)若，试比较的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见详解 【分析】本题主要反比例函数图象与结合图形的综合，理解矩形面积与反比例函数系数的关系，几何图形面积的计算，点坐标的计算方法是解题的关键． （1）根据点在反比例函数图形上，由，即可求解； （2）由（1）可得反比例函数解析式，根据点的横坐标为，点的横坐标为，可得，，则，再根据，即可求解； （3）由题意可得，根据当时，，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵点为反比例函数图像上的两个动点，矩形的面积为， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）可得，反比例函数解析式为， ∵点的横坐标为，点的横坐标为， ∴，， ∴ ， ∴， 解得，； （3）解：∵， ∴当时，，即， ∴． 22．（22-23八年级下·江苏盐城·期末）如图，已知：矩形的顶点B在反比例函数的图象上，且． (1)求反比例函数的关系式； (2)若动点E从A开始沿向B以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点F从B开始沿向C以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动，设运动时间为t秒， ①当t为何值时，是等腰直角三角形？ ②当时，在双曲线上是否存在一点M，使得四边形为平行四边形？说明理由； (3)若在（2）中的条件下，运动1秒时，在y轴上是否存在点D，使的周长最小？若存在，请求出的周长最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在， (3)存在， 【分析】（1）根据与的长，且B为第一象限角，确定出B的坐标，代入反比例函数解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式； （2）①如图1所示，若为等腰直角三角形，则有，列出关于t的方程，求出方程的解即可得到结果；②根据 题意得到M位于线段上方时，四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质得到，确定出此时M的坐标 即可； （3）若在（2）中的条件下，运动1秒时，在y轴上存在点D，使的周长最小，理由为：作出E关于y轴的对称点， 连接，与y轴交于点D，连接，此时周长最小，求出周长最小值即可． 【详解】（1）解：∵，且B在第一象限， ∴， 把B坐标代入，得：， 则反比例函数关系式为； （2）解：①由题意得：，， ， 当且仅当时，为等腰直角三角形， 即， 解得：， 则当时，是等腰直角三角形； ② ， ， 由题意得：M在线段上方时，四边形为平行四边形，如图1所示， ∴，此时M坐标为； （3）解：存在点D，使周长最小，理由为： 如图，作出E关于y轴的对称点，连接，与y轴交于点D，连接， 此时周长最小，即， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 在中，， 根据勾股定理得： ， 的周长最小值为． 【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定反比例函数解析式，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，对称的性质，勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 23．（20-21八年级下·江苏盐城·期末）【发现问题】 小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？ 【解决问题】 小明尝试从函数图象的角度进行探究： （1）建立函数模型 设一矩形的面积为，周长为，相邻的两边长为、，则，，即，，那么满足要求的应该是函数与的图象在第________象限内的公共点坐标． （2）画出函数图象 ①画函数的图象； ②在同一直角坐标系中直接画出的图象，则的图象可以看成是由的图象向上平移________个单位长度得到． （3）研究函数图象 平移直线，观察两函数的图象； ①当直线平移到与函数的图象有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为________，周长的值为________； ②在直线平移的过程中，两函数图象公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应周长的取值范围． 【结论运用】 （4）面积为的矩形的周长的取值范围为________． 【答案】（1）一；（2）①见解析；②；（3）① ；； ②见解析，个交点时，；个交点时，；个交点时，；（4） 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合，涉及画函数图象、函数图象的平移、解一元二次方程等知识，利用类比和数形结合思想求解是解答的关键． （1）根据x、y是边长求解即可； （2）①利用描点法画函数 的图象即可；②利用描点法画函数的图象，的图象即可，根据图象平移规则：上加下减求解即可； （3）①联立方程组，根据一元二次方程根的判别式求解即可； ②由①并结合图象可求解； （4）仿照前面求解思路，联立方程组，利用方程有实数根求解即可． 【详解】解：（1），都是边长，周长为， ，，， 满足要求的应该是函数与的图象在第一象限内的公共点坐标． 故答案为：一； （2）①的图象如图所示： ②的图象如图所示， 与轴的交点为， 的图象可以看成是由的图象向右平移个单位长度得到， 故答案为：； （3）①联立方程组可得：， 整理得：， 两图象有唯一交点， ， ， ， 解得：， 交点坐标为，周长， 故答案为：，； ②由①知：个交点时，；个交点时，；个交点时，； （4）设相邻的两边长为、，则，，即，， 联立方程组可得， 整理得：， 两函数有交点， ， ， 故答案为：． 24．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正方形的边交于点，与边交于点D，一次函数的图象经过点D，与边交于点F． (1)求点F的坐标： (2)连接，探究与的数量关系，并证明； (3)在x轴上找两点M，N（M在N的右侧），使，且使四边形的周长最小，则点M的坐标为 ，四边形的周长最小为 ． 【答案】(1) (2)；证明见解析 (3)； 【分析】（1）由正方形，，可得，将代入反比例函数表达式得：，则反比例函数的表达式为：，当时，，即，将代入，可求，则一次函数的表达式为：，当时，，可求，则； （2）待定系数法求直线的表达式为：；如图1，过点E作交过O作的角平分线于点G，过点G作于点N，设，则，证明，则，由勾股定理得，，，由勾股定理得，，即，可求，即，同理，直线的表达式为：，设交于点T，当时，，即，，证明，则，； （3）如图2，作点D关于x轴的对称点，将点向右平移2个单位使得，则，连接交x轴于点M，将点M向左平移2个单位得到点N，连接， 证明四边形为平行四边形，则，由四边形的周长为，可知此时四边形的周长最小，由勾股定理得，，，则四边形的周长的最小值为；同理，直线的表达式为，当时，，可求，则点M． 【详解】（1）解：∵正方形，， ∴， 将代入反比例函数表达式得：， ∴反比例函数的表达式为：， 当时，，即， 将代入得，， 解得，， ∴一次函数的表达式为：， 当时，， 解得，， ∴； （2）解：，理由如下： 设直线的表达式为， 将代入得，， 解得，， ∴直线的表达式为：； 如图1，过点E作交过O作的角平分线于点G，过点G作于点N， 设，则， ∵，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， 同理，直线的表达式为：， 设交于点T， 当时，，即， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图2，作点D关于x轴的对称点，将点向右平移2个单位使得，则，连接交x轴于点M，将点M向左平移2个单位得到点N，连接， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形的周长为， ∴此时四边形的周长最小， ∵， 由勾股定理得，，， ∴四边形的周长的最小值为； 同理，直线的表达式为， 当时，， 解得， ∴点M， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合，反比例函数解析式，一次函数解析式，正方形的性质，角平分线的性质定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质等知识，熟练掌握反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合，反比例函数解析式，一次函数解析式，正方形的性质，角平分线的性质定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质是解题的关键． 25．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求此反比例函数的表达式： (2)在轴上存在点，使得的值最小，求的最小值． (3)为反比例函数图象上一点，为轴上一点，是否存在点；使是以为底的等腰直角三角形?若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点使是以为底的等腰直角三角形，点坐标为或，理由见详解 【分析】（1）把，两点代入一次函数，运用求自变量，函数值的方法即可得到的坐标，再运用待定系数法即可求解反比例函数解析式； （2）如图所示，作点关于轴的对称点，可得，此时的值最小，运用两点之间的距离公式即可求解； （3）根据等腰直角三角形的判定和性质，图形结合分析，分类讨论：当点在点的右侧时；当点在点的左侧时；运用三角形全等的判定和性质列式求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴把，两点代入一次函数得，，， ∴，即，， 把代入反比例函数得，， ∴， ∴反比例函数的表达式为：； （2）解：如图所示，作点关于轴的对称点， ∴， ∴，此时的值最小， ∴，且， ∴， ∴的最小值为； （3）解：存在，理由如下， 设点，，且， 当点在点的右侧时，如图所示，过点作轴于点，过点作轴交的延长线于点， ∵是以为底的等腰直角三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，且， 解得，， ∴； 当点在点的左侧时，如图所示， 同理可得，，则，且，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴； 综上所述，存在点使是以为底的等腰直角三角形，点坐标为或． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握待定系数法求解析式，轴对称最短路径的计算方法，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，两点之间的距离公式等知识的综合是解题的关键． 26．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点、，与反比例函数的图象相交于点和．点为轴上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)求与的值； (2)①点的坐标是______（用含的代数式表示）； ②当点落在反比例函数图象上，求的值； (3)是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (4)当为何值时，的值最小？请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)①；②或 (3)或 (4)时最小值为 【分析】（1）根据函数图像上点的坐标特征，将点分别代入和即可得到与的值； （2）①过点作轴于点，结合点的坐标与旋转的性质证明，得，，即可得解； ②根据①的结论，将点的坐标代入求解即可； （3）过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作轴于点，根据勾股定理及等积法依次求出，，，，，确定，直线的解析式为，确定直线的解析式为，联立方程组，求解后确定，得，确定直线的解析式为，联立方程组，求解后确定，得，根据，得，求解即可； （4）先确定点的运动路径为直线，设直线交轴于点，交轴于点，点与其对称点的连线交于点，根据对称的性质得垂直平分，，继而得到，当点、、共线时取“”，此时取得最小值，结合点的坐标及等腰三角形三线合一性质确定 ，继而得到，，确定直线的解析式为，联立方程组，求解后确定，即可得解． 【详解】（1）解：∵点在直线和反比例函数的图像上， ∴，， 解得：，， ∴的值为，的值为； （2）由（1）知：直线的解析式为，反比例函数解析式为， ∵直线与轴、轴分别交于点、， 当时，得：；当时，得：，则， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ①过点作轴于点， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵点落在反比例函数的图像上， ∴， 解得：或， 经检验：或均为原方程的解且符合题意， ∴或； （3）过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作轴于点， 在中，，，，，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， 设直线的解析式为，过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵直线于点， 联立方程组，得：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 设直线的解析式为，过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵直线于点， 联立方程组，得：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 解得：或， ∴当或时，； （4）∵， ∴，即， ∴点的运动路径为直线， 设直线交轴于点，交轴于点，点与其对称点的连线交于点， ∴垂直平分，， ∴， 当点、、共线时取“”，此时取得最小值， ∵直线交轴于点，交轴于点， 当时，得：；当时，得：， ∴，， ∴， ∵，， ∴为边上的中线，即点为的中点， ∴点的坐标为，即， ∵点与点关于对称，设 ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 此时点为直线与的交点， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立方程组，得：， 解得：， ∴， 又∵， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数及几何的综合应用，考查了待定系数法确定函数解析式，坐标与图形，旋转的性质，对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，函数图像交点的确定方法，等积法及最短路径等知识点．掌握反比例函数的图像与性质，全等三角形的判定性质，勾股定理，旋转及对称的性质，确定点到直线的距离是解题的关键． 27．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了和的图像，两个函数图像交于两点，在线段上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图像于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题：    (1)设点P的横坐标为x，的长度为y，则y与x之间的函数关系式为 ； (2)为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图像： ①列表： x 1 2 3 4 6 9 y 0 m 4 n 0 表中 ， ； ②描点连线：根据上表中的数据，在图2中描出各点，并画出该函数的图像； ③观察图2中函数图像，当 时，y的最大值为 ． (3)已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长W与n存在函数，求m取最大值时矩形的对角线长； (4)如图3，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数 第一象限图像上的任意一点，过点M作轴于点C，轴于点D．直接写出四边形面积的最小值 ． 【答案】(1) (2)①，；②见解析；③3，4 (3) (4) 【分析】本题是反比例函数与一次函数综合题，主要考查了函数的图象与性质，函数图象的画法等知识，利用数形结合思想是解题的关键． （1）表示出点P、Q的坐标，从而得出y与x的函数解析式； （2）①将和，分别代入（1）中函数解析式即可；②③通过描点、连线，观察图象可得答案； （3）①将代入 中，得出m关于n的函数解析式，再根据（2）中结论求出最大值，从而解决问题． ②先求出点A，点B坐标，设点，可求，由四边形面积列式，即可求解． 【详解】（1）解：∵点P的横坐标为x, ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①当时，， 当时，， 故答案为：3.5，2.5； ②③如图所示，    观察函数图象，当时，y有最大值为4， 故答案为：3，4； （3）解：根据题意可得代入中，可以得到， 即， 由（2）可知函数，在时，y取得最大值为4， ∴当时，，即m取得最大值6， ∵， ∴在m取得最大值8时，矩形的对角线长为． （4）解：∵直线与坐标轴分别交于点A、B， ∴点，点， 设点， ∴点，点， ∴，， ∵四边形面积 即四边形面积的最小值为． 28．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为函数图象上一动点，过点作轴的平行线交直线于点，点坐标为．当时，点恰好落在的函数图象上．    (1)求函数的关系式； (2)若以为邻边作平行四边形，点在的左侧，且点在函数的图象上，点的横坐标为，求的值； 若以为邻边作正方形，求点坐标； (3)在点运动过程中始终存在一点，使恒成立，求的值． 【答案】(1)函数的解析式为； (2) ； 或； (3)． 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，平行四边形的性质，正方形的性质，坐标与图形等，熟练掌握知识点是解题的关键． （）用待定系数法直接求反比例函数解析式即可； （）根据平行四边形的性质先表示出点坐标，再代入解析式求解即可； 根据四边形的性质可得，据此建立关于的方程，求解即可； （）设，则，由得，最后解方程即可； 【详解】（1）解：由题意，当时，， ∴， ∴函数的解析式为； （2）由题意得：，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵点， ∴， ∵点C在函数图象上， ∴，解得， ∵， ∴； 若四边形为正方形，则，， ∴，， ∴，， ∴，解得或， ∴或； （3）设，则， ∴， 过作于，则， ∵， ∴， ∴ ∴， 由题意得：当取任意正实数时上式恒成立， 故且，解得． 29．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A（点A的横坐标为a），与x轴交于点，与y轴交于点，且点B是线段的中点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点D在这个反比例函数图像上，且它的横坐标为，的面积为，求n的值； (3)若P是平面直角坐标系内一点，以A、O、C、P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为；反比例函数解析式为 (2) (3)或或 【分析】（1）先根据待定系数法求出一次函数解析式，根据中点坐标公式求出点A的坐标，然后求出反比例函数解析式即可； （2）过点D作轴于点E，过点A作轴于点F，求出的坐标为，得出，根据的面积为，得出，求出n的值即可； （3）分三种情况进行讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，根据中点坐标公式求出结果即可． 【详解】（1）解：把点，点代入得： ， 解得：， ∴一次函数解析式为：； ∵点B是线段的中点， ∴， 解得：， ∴点A的坐标为， 把代入得：， ∴反比例函数解析式为； （2）解：过点D作轴于点E，过点A作轴于点F，如图所示： ∵点D在这个反比例函数图像上，且它的横坐标为， ∴的坐标为， ， ∵的面积为， ∴， 解得：或（舍去）， 即n的值为； （3）解：设点，，，， 当为对角线时，， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 当为对角线时，， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 当为对角线时，， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 综上，P点坐标为：或或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，平行四边形的性质，中点坐标公式，求一次函数解析式，求反比例函数解析式，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法． 30．（23-24八年级下·江苏·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，顶点C的坐标为，双曲线分别交于点D，E． (1)点D的坐标为______； (2)若点P是对角线上一点． ①连接，将线段绕点A逆时针旋转后得到线段．若点Q恰好在双曲线上，求此时点P坐标； ②连接，若，请画出图形探究并求的长． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由矩形的性质可得点D的纵坐标为6，据此利用反比例函数解析式即可求出点D的坐标； （2）①先利用矩形的性质求出，再证明，得到，设，则，再证明，得到，则，进而得到，解方程即可得到答案；②先利用勾股定理得到；如图所示，过点D作于H，证明，得到；求出，得到，再证明，得到，则． 【详解】（1）解：∵四边形四边形是矩形，顶点C的坐标为， ∴，，即轴， ∴点D的纵坐标为6， 在中，当时，， ∴； （2）解：①如图所示，分别过点P和Q作y轴的垂线，垂足分别为G、H， ∵四边形四边形是矩形，顶点C的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 设，则， ∵将线段绕点A逆时针旋转后得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点Q在反比例函数图象上， ∴， ∴或（舍去）， ∴； ②∵， ∴，， ∴， 如图所示，过点D作于H， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，反比例函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形的和相似三角形是解题的关键． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07反比例函数 （14大类型提分练+期末培优提升，优选73题） 目录 类型一、反比例函数的定义 1 类型二、反比例函数经过的点 1 类型三、反比例函数的增减性 1 类型四、反比例函数性质的叙述 2 类型五、反比例函数与一次函数的图象 2 类型六、利用反比例函数的k值求面积 3 类型七、已知图形面积求反比例函数的k值 4 类型八、反比例函数的对称性 4 类型九、反比例函数与一次函数、不等式问题 5 类型十、反比例函数与一次函数综合问题 6 类型十一、反比例函数的简单应用 7 类型十二、反比例函数与实际问题 8 类型十二、反比例函数与一次函数的应用 10 类型十三、反比例函数与探究性问题 11 类型十四、反比例函数与几何压轴问题 13 《反比例函数》期末培优专项训练 14 类型一、反比例函数的定义 1．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）下列函数中，变量y是x的反比例函数的为（     ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）若函数是反比例函数，则的值为 ． 3．（22-23八年级下·江苏·期末）当 时，函数是反比例函数． 类型二、反比例函数经过的点 4．（22-23八年级下·江苏连云港·期末）已知点在反比例函数（为常数，）的图象上，下列各点中，一定在该函数图像上的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·江苏常州·期末）反比例函数的图象经过，，三点，则的值为 ． 6．（22-23八年级下·江苏南京·期末）反比例函数的图像经过点、及，则 ． 类型三、反比例函数的增减性 7．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）若点、、都在反比例函数（为常数）的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若点、、都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图像上，则 ．（填 “”“”或“”）． 类型四、反比例函数性质的叙述 10．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）下列关于反比例函数的说法正确的是（    ） A．它的图象在第二、四象限 B．它的图象既是轴对称图形也是中心对称图形 C．当时， D．y随x的增大而减小 11．（22-23八年级下·江苏南京·期末）关于函数的图象有以下四个结论：①函数图象与坐标轴没有公共点；②函数图象关于直线对称；③函数图象关于直线对称；④函数图象关于成中心对称．其中正确的个数是(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 12．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）探究函数的图像发现，可以由的图像先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到．根据以上信息判断，下列直线中与函数的图像没有公共点的是（    ） A．经过点且平行于x轴的直线 B．经过点且平行于x轴的直线 C．经过点且平行于y轴的直线 D．经过点且平行于y轴的直线 类型五、反比例函数与一次函数的图象 13．（23-24八年级下·江苏·期末）一次函数（k为常数，且）图像上两点，，且，下列关于反比例函数图像性质的说法中，正确的是（    ） A．图像关于y轴对称 B．图像在第一、第三象限 C．y随x的增大而增大 D．当时， 14．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（    ） A．B．C． D． 15．（22-23八年级下·江苏南京·期末）函数在平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图像是（    ）    A．  B．   C．   D．   类型六、利用反比例函数的k值求面积 16．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，点O为坐标原点，菱形的边在x轴的正半轴上，对角线交于点D，反比例函数的图象经过点A和点D，若菱形的面积为6，则为（　　  ） A．2 B．1 C．3 D．6 17．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，点A、B分别是x轴、y轴上的点，过点A、B分别作x轴、y轴的垂线交于点C，反比例函数的图像分别与交于点D、E，连接，若，且的面积是9，则k的值为（    ）    A． B． C． D． 18．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）如图，平行于轴的直线与反比例函数和的图象交于两点，点是轴上任意一点，且的面积为，则的值为 ． 类型七、已知图形面积求反比例函数的k值 19．（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，和均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线上，与相交于点P，则图中的面积为（    ） A． B．6 C． D．5 20．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，点是反比例函数图象上的一点，作轴于点，轴于点，点、分别是、上的点，且的面积为，的面积为，则的面积为 ． 21．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）如图，四边形是平行四边形，点A、B分别在反比例函数和的图像上，点C、D都在x轴上，则的面积为 ．    类型八、反比例函数的对称性 22．（21-22八年级下·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过点，，则下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则、关于原点对称 D．若，，则 23．（21-22八年级下·江苏扬州·期末）若反比例函数与一次函数的图像的一个交点的坐标为，则关于的方程的解是 ． 24．（21-22八年级下·江苏无锡·期末）如图，过原点的直线交反比例函数图象于P、Q点，过点Р分别作x轴，y轴的垂线，交反比例函数的图象于A、B点，已知，则图中阴影部分的面积为 ；且当时，的值为 ． 类型九、反比例函数与一次函数、不等式问题 25．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，两点，当时，则自变量的取值范围是 ．    26．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，直线与双曲线交于点A和点B，已知点A的坐标是，则关于x的不等式的解集是 ． 27． （21-22八年级下·江苏淮安·期末）一次函数与反比例函数的图像交于和两点，若，则x的取值范围是 ． 28．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）一次函数与反比例函数交于A、B两点，其横坐标分别为2和，则不等式的解集是 ． 类型十、反比例函数与一次函数综合问题 29．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点，与x轴交于点B，连结并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点C． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，直接写出x的取值范围． 30．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于、两点． (1)求的值； (2)当时，的取值范围是__________； (3)当时，的取值范围是__________； (4)若轴上存在点，使得的面积为，求点的坐标． 31．（23-24八年级下·江苏南京·期末）平面直角坐标系中，横坐标为a的点A在反比例函数的图像上，点与点A关于点O对称，一次函数的图像经过点．函数、的图像相交于第一象限B点． (1)用无刻度的直尺与圆规作出点； (2)若，点B坐标为． ①分别求函数、的表达式； ②直接写出使成立的x的范围； (3) 若点B的横坐标为，的面积为16，求k的值． 类型十一、反比例函数的简单应用 32．（2023八年级下·江苏·专题练习）如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化．电流与电阻之间的函数关系如图2所示．下列结论正确的是（　　） A． B．当时， C．当时， D．当时， 33．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）如图所示，学校举行数学文化竞赛，图中的四个点分别描述了八年级的四个班级竞赛成绩的优秀率y（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数x的情况，其中描述1班和4班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（    ） A．1班 B．2班 C．3班 D．4班 34．（21-22八年级下·江苏南京·期末）在制作拉面的过程中，用一定体积的面团做拉面，面条的总长度y（单位：cm）与面条的横截面积x（单位：cm2）成反比例函数关系，其图像如图所示，当面条的横截面积小于1cm2时，面条总长度大于 cm． 类型十二、反比例函数与实际问题 35．（22-23八年级下·江苏盐城·期末）驾驶员血液中每毫升的酒精含量大于或等于微克即为酒驾，某研究所经实验测得，成人饮用某品牌度白酒后血液中酒精浓度（微克毫升）与饮酒时间（小时）之间函数关系如图所示（当时，与成反比例）． (1)根据图象直接写出：血液中酒精浓度上升阶段的函数解析式为 ；下降阶段的函数解析式为 ；（并写出的取值范围） (2)问血液中酒精浓度不低于微克毫升的持续时间是多少小时？ 36．（20-21八年级下·江苏盐城·期末）为预防某种流感病毒，某校对教室采取喷洒药物的方式进行消毒．在消毒过程中，先进行的药物喷洒，接着封闭教室，然后打开门窗进行通风．教室内空气中的含药量与药物在空气中的持续时间之间的函数关系如图所示，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数关系，在通风后满足反比例函数关系． (1)求药物喷洒后空气中含药量与药物在空气中的持续时间的函数表达式； (2)如果室内空气中的含药量达到及以上且持续时间不低于，才能有效消毒，通过计算说明此次消毒是否有效？ 37．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当时，求水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式； (2)求图中t的值； (3)有一天，小明在上午（水温），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，请问此时饮水机内水的温度约为多少？并求：在这段时间里，水温共有几次达到？ 类型十二、反比例函数与一次函数的应用 38．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y随时间x分钟）变化的函数图像如图所示，当和时，图像是线段；当时，图像是反比例函数图像的一部分． (1)求图中点A的坐标； (2)王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 39．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻R的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻R(单位∶)与物体质量m(单位∶)之间的关系如图2所示，电流I(单位∶)与可变电阻 R之间关系为 (1)该小组先探究函数 的图像与性质，并根据I与R之间关系得到如下表格： R(kΩ) 0 1 2 3 4 5 6 7 … I(mA) 2 1.5 1.2 p 0.75 0.6 ①表格中的 ； ②请在图3 中画出 对应的函数图像； (2)该小组综合图2和图3发现，I随着m的增大而 ；(填“增大”或“减小”) (3)若将该款电子秤中的电路电流范围设定为(单位：)，判断该电子托盘秤能否称出质量为 的物体的质量？请说明理由． 类型十三、反比例函数与探究性问题 40．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）“数形结合”是一种重要的数学思想，八上教材中，我们曾用函数观点看方程，也就是利用一次函数的图象求解二元一次方程组．类似的，学习了一次函数和反比例函数之后，我们也可以将方程的解的研究转化为已学函数图象交点的问题… (1)将方程的解转化为和这两个函数图像的交点问题，结合图象可以判断这个方程有 个实数解； (2)方程的解也可以转化为一次函数和反比例函数的图象交点问题．请直接写出一对符合要求的表达式 和 ，结合图象可以判断方程有 个解； (3)利用“数形结合”，仿照上述方法，不解方程，借助平面直角坐标系，判断方程的解的个数； (4)请根据的取值情况写出满足方程（均为非0常数）的的个数． 41．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了和的图象，两个函数图象交于两点，在线段上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图象于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究的长度与点P的横坐标之间的关系，小华进行了以下探究：    【探索发现】 （1）设点P的横坐标为x，则点P的纵坐标为________，点Q的纵坐标为________；（用x的代数式表示） 若设的长度为y，则y与x之间的函数关系式为________（）； （2）为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表、描点、连线的方法绘制函数的图像： ①列表： x 1 2 3 4 6 9 y 0 4 m 0 表中________； ②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点； ③连线：请在图2中画出该函数的图像．观察函数图像，发现：当_______时，y的最大值为_______． 【迁移应用】 利用（2）中的发现，解决问题： （3）已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长W与n存在函数关系，求m取最大值时矩形的对角线长． 类型十四、反比例函数与几何压轴问题 42．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图1，点A是反比例函数的图象上一动点，连接并延长交反比例函数于点B，设与x轴正半轴的夹角为， (1)①若，则______；②若，则______； (2)小红同学在数学老师的指导下，证明了命题“无论如何变化，的值始终不变”为真命题．如图2，点E、F在，点G在上，O、F、G在同一条直线上，仅用无刻度的直尺在的图象上作点H，使得； (3)如图3，过点B作x轴、y轴的垂线分别交于点C、D； ①试说明的面积为定值，并求出该值； ②若，连接并延长交x轴于点E，求∠DCE的度数． 43．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为、，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上． (1)如图1，当D点坐标为时． ①求的值； ②求m，n的值； (2)如图2，当m，n满足什么关系时，，并说明理由； (3)如图3，当时，在的延长线上取一点E，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，对于每一个给定的m值，点E的纵坐标总是一个定值，则该定值为______．（用含m的代数式表示） 《反比例函数》期末培优专项训练 一、单选题 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）对于一次函数，下列说法不正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标为 B．图象经过第二、三、四象限 C．若点在一次函数的图象上，则 D．图象可由直线向下平移4个单位长度得到 2．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）在平面直角坐标系xOy中，若点，在反比例函数（，m为常数）的图像上，则（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，正方形的顶点，在轴上，反比例函数的图像经过点和的中点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）若、都在函数的图象上，且，，则（    ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在坐标轴上，在第一象限，反比例函数的图像经过中点，与交于点，将矩形沿直线翻折，点恰好与点重合．若矩形面积为，则点坐标是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，一次函数的图像与反比例函数在第一象限的图像交于和两点，与x轴交于点C，下列说法：①反比例函数的关系式；②根据图像，当时，x的取值范围为或；③若点P在x轴上，且，点P的坐标．其中所有正确结论的序号是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 7．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系中，P是反比例函数图象上的一点，把点P绕着顶点O顺时针旋转的对应点落在一次函数图象上，则代数式的值是（　　） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小明通过改变动力臂L，测量出相应的动力F数据如表：（动力×动力臂=阻力×阻力臂） 动力臂（/） … … 动力（/） … … 请根据表中数据规律探求，当动力臂L长度为2.0m时，所需动力是（    ） A．150N B．90N C．75N D．60N 9．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图．已知正方形的面积为6．它的两个顶点是反比例函数的图像上两点，若点的坐标是，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，等边三角形，点在反比例函数的图象上，轴，已知点的纵坐标为2，则的面积是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）已知点在反比例函数的图象上，则k的值是 ． 12．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）若点都在反比例函数的图象上，则 填“”或“”或“”． 13．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）函数的图象与直线没有交点，那么的取值范围是 ． 14．（23-24八年级下·江苏南京·期末）已知一次函数与反比例函数，函数、与自变量的部分对应值如表所示： … … … … … … 则关于的不等式的解集是 ． 15．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，直线与双曲线交于点C，与x轴、y轴分别交于点A、B，D是双曲线上一点，且横坐标为a，若的面积大于2，则a的取值范围为 ． 16．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，已知是x轴上的点，且，分别过点作x轴的垂线交反比例函数的图象于点，过点作于点，过点作于点……，记的面积为，的面积为……，的面积为，则 ． 17． （23-24八年级下·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数 的图象在第一象限交于和两点．则的面积为 ；若点P在y轴上，点Q在反比例函数的图象上，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，写出所有符合条件的Q点的坐标： ． 18．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形的顶点在反比例函数的图像上，点B在x轴正半轴上，将该菱形向上平移，使点B的对应点D落在反比例函数的图像上，则图中 ．      19．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，一次函数与的图象与反比例函数的图象在第一象限分别交于A、B两点，已知面积为3，则k的值为 ． 20．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，点在双曲线上，过作直线交双曲线于点，过作轴于，连接，若的面积为1，则的值为 ．    三、解答题 21．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，点为反比例函数图像上的两个动点，其横坐标分别为，过点分别作轴的垂线交轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，矩形的面积为． (1)的值为 ； (2)若，求的值； (3)若，试比较的大小，并说明理由． 22．（22-23八年级下·江苏盐城·期末）如图，已知：矩形的顶点B在反比例函数的图象上，且． (1)求反比例函数的关系式； (2)若动点E从A开始沿向B以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点F从B开始沿向C以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动，设运动时间为t秒， ①当t为何值时，是等腰直角三角形？ ②当时，在双曲线上是否存在一点M，使得四边形为平行四边形？说明理由； (3)若在（2）中的条件下，运动1秒时，在y轴上是否存在点D，使的周长最小？若存在，请求出的周长最小值；若不存在，请说明理由． 23．（20-21八年级下·江苏盐城·期末）【发现问题】 小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？ 【解决问题】 小明尝试从函数图象的角度进行探究： （1）建立函数模型 设一矩形的面积为，周长为，相邻的两边长为、，则，，即，，那么满足要求的应该是函数与的图象在第________象限内的公共点坐标． （2）画出函数图象 ①画函数的图象； ②在同一直角坐标系中直接画出的图象，则的图象可以看成是由的图象向上平移________个单位长度得到． （3）研究函数图象 平移直线，观察两函数的图象； ①当直线平移到与函数的图象有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为________，周长的值为________； ②在直线平移的过程中，两函数图象公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应周长的取值范围． 【结论运用】 （4）面积为的矩形的周长的取值范围为________． 24．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正方形的边交于点，与边交于点D，一次函数的图象经过点D，与边交于点F． (1)求点F的坐标： (2)连接，探究与的数量关系，并证明； (3)在x轴上找两点M，N（M在N的右侧），使，且使四边形的周长最小，则点M的坐标为 ，四边形的周长最小为 ． 25．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求此反比例函数的表达式： (2)在轴上存在点，使得的值最小，求的最小值． (3)为反比例函数图象上一点，为轴上一点，是否存在点；使是以为底的等腰直角三角形?若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 26．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点、，与反比例函数的图象相交于点和．点为轴上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)求与的值； (2)①点的坐标是______（用含的代数式表示）； ②当点落在反比例函数图象上，求的值； (3)是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (4)当为何值时，的值最小？请直接写出的值． 27．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了和的图像，两个函数图像交于两点，在线段上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图像于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题：    (1)设点P的横坐标为x，的长度为y，则y与x之间的函数关系式为 ； (2)为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图像： ①列表： x 1 2 3 4 6 9 y 0 m 4 n 0 表中 ， ； ②描点连线：根据上表中的数据，在图2中描出各点，并画出该函数的图像； ③观察图2中函数图像，当 时，y的最大值为 ． (3)已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长W与n存在函数，求m取最大值时矩形的对角线长； (4)如图3，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数 第一象限图像上的任意一点，过点M作轴于点C，轴于点D．直接写出四边形面积的最小值 ． 28．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为函数图象上一动点，过点作轴的平行线交直线于点，点坐标为．当时，点恰好落在的函数图象上．    (1)求函数的关系式； (2)若以为邻边作平行四边形，点在的左侧，且点在函数的图象上，点的横坐标为，求的值； 若以为邻边作正方形，求点坐标； (3)在点运动过程中始终存在一点，使恒成立，求的值． 29．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A（点A的横坐标为a），与x轴交于点，与y轴交于点，且点B是线段的中点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点D在这个反比例函数图像上，且它的横坐标为，的面积为，求n的值； (3)若P是平面直角坐标系内一点，以A、O、C、P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 30．（23-24八年级下·江苏·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，顶点C的坐标为，双曲线分别交于点D，E． (1)点D的坐标为______； (2)若点P是对角线上一点． ①连接，将线段绕点A逆时针旋转后得到线段．若点Q恰好在双曲线上，求此时点P坐标； ②连接，若，请画出图形探究并求的长． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$