专题06分式方程及应用（11大类型提分练+期末培优，优选68题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编（江苏专用）

专题06分式方程及应用 （11大类型提分练+期末培优，优选68题） 目录 类型一、分式方程的解 1 类型二、解分式方程 2 类型三、分式方程的无解与增根 4 类型四、由分式方程的解求字母的范围 6 类型五、分式方程的新定义问题 8 类型六、列分式方程 9 类型七、分式方程与行程问题 11 类型八、分式方程与工程问题 12 类型九、分式方程与销售问题 15 类型十、分式方程与和差问题 17 类型十一、分式方程与阅读探究问题 20 《分式方程及应用》期末培优专项训练 23 类型一、分式方程的解 1．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）分式方程 的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键．将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： ， 去分母得，， 解得：． 检验：， 是原方程的解． 故选：B． 2．（21-22八年级下·江苏宿迁·期末）方程的解为 ． 【答案】 【分析】根据解分式方程的步骤，先去分母，把分式方程化为整式方程，求解并验根即可． 【详解】方程两边同乘，得， 解这个整式方程，得， 经检验，是原分式方程的解． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 3．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）分式方程：的解 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式方程的解法，根据解分式方程的一般步骤解方程即可求解． 【详解】解： 方程两边同乘以得， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 故答案为： 类型二、解分式方程 4．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)方程无解 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题关键．需注意的是，解分式方程一定要进行检验． （1）方程两边同乘以化成整式方程，再解一元一次方程求出的值，然后进行检验即可得； （2）方程两边同乘以化成整式方程，再解一元一次方程求出的值，然后进行检验即可得． 【详解】（1）解：， 方程两边同乘以，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是分式方程的解， 所以方程的解为． （2）解：， 方程两边同乘以，得， 移项，得， 合并同类项，得， 经检验，不是分式方程的解， 所以方程无解． 5．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)原方程无解 【分析】本题主要考查解分式方程，能把分式方程转化为整式方程是解答本题的关键，注意解分式方程一定要进行检验． （1）方程两边同乘以，得整式方程，求出整式方程的解，然后再进行检验即可； （2）方程两边同乘以，得整式方程，求出整式方程的解，然后再进行检验即可． 【详解】（1）解： 去分母，得， 解得 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为； （2）解：， 去分母，得， 解得， 经检验：时，， ∴原方程无解． 6．（23-24八年级上·江苏南京·期末）解下列分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原分式方程无解 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：可化为， 方程两边都乘，得， 去括号移项得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为． （2）解：可化为， 去分母，得， 去括号得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 类型三、分式方程的无解与增根 7．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）若关于x的方程无解，则m的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程，掌握解分式方程的步骤和分式方程有无解的条件是解决本题的关键．先解分式方程，再根据分式方程无解得关于的方程，求解即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项并合并，得， 当时，方程无解， ， ． 故选：B． 8．（21-22八年级下·江苏连云港·期末）关于的分式方程有增根，则增根是( ) A．1 B．2 C．-2 D．-1 【答案】A 【分析】分式方程有增根，令最简公分母为0，即可求出增根． 【详解】解：分式方程有增根， 最简公分母， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题考查分式方程增根的问题，解题的关键是掌握分式方程增根的由来．分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值． 9．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）关于的分式方程有增根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，先去分母，根据分式方程有增根的条件求解即可． 【详解】解： 分式方程有增根 解得： 综上，时，分式方程有增根 故答案为：． 10．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）若分式方程无解，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式方程无解的情况，分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到，代入整式方程即可求出m的值． 【详解】解： 去分母得：， 将代入得：， 则． 故答案为：1． 11．（22-23八年级下·江苏连云港·期末）已知关于x的分式方程． (1)若分式方程有增根，求a的值； (2)若分式方程无解，求a的值． 【答案】(1)； (2)a的值为或2． 【分析】（1）先将分式方程化为整式方程，根据方程有增根，可得到，然后代入整式方程，即可求解； （2）根据方程无解，可分两种情况：原分式方程有增根和整式方程无解，即可求解． 【详解】（1）解： 方程两边同乘得 整理可得： ∵原方程有增根 ∴，即或， 当时，，故应舍去， 当时，，解得， ∴时，方程有增根； （2）解：由（1）知：时，原方程无解 当，方程无解 ∴时，原方程无解 综上所述，a的值为或2． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，理解增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值是解题的关键． 类型四、由分式方程的解求字母的范围 12．（23-24八年级下·江苏常州·期末）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查解含有字母的分式方程，解题的关键是注意最后得到的结果，一定要考虑增根的情况．先将m视为常数，求解出分式方程的解(包含m)，然后根据解的条件判断m的取值范围． 【详解】解∶去分母，得， 解得， ∵分式方程的解为正数， ∴且， 解得且， 故选∶C． 13．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）关于x的方程的解是负数，则m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】可解得，由方程的解是负数，可求，可求，即可求解． 【详解】解：， ， 方程的解是负数， ， 解得：， ， ， ， m的取值范围是且． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了分式方程中参数的取值范围求法，解分式方程，掌握解法，通过检验最简分母公分母不能为零来确定最终范围是解题的关键． 14．（24-25八年级上·江苏南通·期末）若关于的分式方程的解是负数，则的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，首先根据解分式方程的步骤，求出关于的分式方程解是多少，然后根据分式方程的解为负数，求出的取值范围即可，掌握相应的运算法则是关键． 【详解】解：化简分式方程可得，， 解得：， 且， 且 故答案为：且． 15．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程的解为； (2)当取何值时，此方程会产生增根； (3)当此方程的解是正数时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】本题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式，熟练掌握方程和不等式的解法是解题的关键． （1）把分式方程化为整式方程，解之得到，把代入方程即可得出k的值； （2）根据增根的定义，得出增根，从而得出k的值； （3）根据解为正数，建立不等式求解，即可得出k的取值范围． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， 方程的解为， ，解得， 当时，此方程的解为； （2）解：方程会产生增根， ， ，解得， 当时，此方程会产生增根； （3）解：方程的解是正数， 且， 解得且． 当此方程的解是正数时，的取值范围是且． 类型五、分式方程的新定义问题 16．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算、解分式方程，根据新运算的法则，列出分式方程求解即可． 【详解】解：∵，方程， ∴， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴方程的解是， 故答案为：． 17．（23-24八年级下·江苏南京·期末）定义两种新运算“”和“”，其运算规则为，，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数新定义运算，解分式方程，根据题意列得分式方程，解方程即可． 【详解】解：由题意可得， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为， 故答案为：． 18．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）定义运算“※”：，若，则的值为 ． 【答案】1或5/5或1 【分析】分两种情况，当或，列出算式进行解答即可． 【详解】解：当时，可化为， 解得，经检验是原分式方程的解； 当，可化为， 解得，经检验是原分式方程的解． 故答案为：1或5． 【点睛】本题考查了新定义运算，弄清题中的新定义是解本题的关键，解题时注意分类讨论思想． 类型六、列分式方程 19．（24-25八年级上·江苏南通·期末）甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做5个，甲做100个所用的时间与乙做75个所用的时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少个．如果设乙每小时做x个，那么所列方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用．设乙每小时做x个，则甲每小时做个，根据甲做100个所用的时间与乙做75个所用的时间相等，可列方程． 【详解】解：设乙每小时做x个，则甲每小时做个， 由题意，得：， 故选：B． 20．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球．已知每个篮球的价格比每个足球的价格多30元，用1800元购进篮球的数量比用900元购进足球的数量多4个．如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，直接利用根据单价，表示出篮球与足球价格，再利用1800元购进篮球的数量比用900元购进足球的数量多4个得出等式即可． 【详解】解：设每个足球的价格为x元，根据题意可列方程为： ， 故选：A． 21．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）为了改善生态环境，防止水土流失，某地决定在荒坡上种树960棵．由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的倍，结果提前4天完成任务．设原计划每天种树x棵，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】审题，明确等量关系：计划天数实际天数，列方程． 【详解】解：根据题意，实际天数为天，于是 故答案为：． 【点睛】本题考查分式方程的应用，审题明确等量关系是解题的关键． 22．（22-23八年级下·江苏南京·期末）某化肥厂原计划五月份生产化肥120吨，由于采用了新技术，每天多生产化肥3吨，实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等．设原计划每天生产化肥吨．根据题意，列方程为 ． 【答案】 【分析】关键描述语是：实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等，等量关系为：原计划生产120吨的时间实际生产180吨的时间，据此列出方程． 【详解】解：设原计划每天生产化肥吨， 由题意可得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列分式方程，找到关键描述语，找到相应的等量关系是解决问题的关键． 类型七、分式方程与行程问题 23．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）小明和小亮相约到森林公园健身步道上参加健步走活动，他们同时同地出发，线路长度为公里．已知小明的速度是小亮的倍，小明比小亮提前分钟走完全程，设小亮的速度为，则下列方程中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设小亮的速度为，则小明的速度为，根据时间路程速度结合小明比小亮提前分钟走完全程，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：分钟小时， 设小亮的速度为，则小明的速度为， 根据题意，得， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 24．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）我国自主研发的五代隐形战机“歼20”的最大飞行速度是大飞机“C919”最大飞行速度的3倍，两架飞机均以最高速飞行1500千米，“歼20”比“C919”快1小时，求“歼20”最大飞行速度． 【答案】“歼20”最大飞行速度为3000． 【分析】本题考查分式方程的实际运用，解题的关键是找出题干中的等量关系．设“C919”的最大飞行速度为x，则“歼20” 的最大飞行速度为 ，根据“歼20”比“C919”快1小时建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设“C919”的最大飞行速度为x，则“歼20” 的最大飞行速度为 ， 根据题意得：，解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：“歼20”最大飞行速度为3000． 25．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）问题：“某中学组织学生去离学校的综合实践基地进行综合实践活动，先遣队与大队同时出发，______，结果先遣队比大队早到，先遣队和大队的速度各是多少？” 条件： ①先遣队的速度是大队速度的倍； ②大队的速度比先遣队的速度慢． 在上述的2个条件中选择1个条件补充在问题的横线上，并完成解答． 【答案】大队的速度是，则先遣队的速度是 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程；设大队的速度是，表示出先遣队的速度，再根据先遣队比大队早到，列出方程，解方程即可． 【详解】解：添加条件①， 设大队的速度是，则先遣队的速度是， ， 解得， 经检验是该分式方程的解， ， 答：大队的速度是，则先遣队的速度是． 添加条件②， 设大队的速度是，则先遣队的速度是， ， 解得：， 经检验是该分式方程的解， ， 答：大队的速度是，则先遣队的速度是． 26．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）从智能家居到核心医疗，从手机到汽车，成熟的AI技术能够以极快的速度准确处理新信息，这使得其对于复杂的场景（例如无人驾驶汽车、图像识别程序和虚拟助理）非常有用．李老师在感受最新智驾汽车时，从涟水到盱眙共120公里，返程时为了避免堵车多绕行了24公里，李老师发现返程时平均速度是去时平均速度的1.2倍，往返共行驶了4小时，求李老师驾驶汽车去盱眙时的速度是多少？ 【答案】去时速度为 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设去时速度为，则返程速度为，根据“往返共行驶4小时”列分式方程，解方程即可． 【详解】解：设去时速度为，可得方程， 化为整式方程得， 解得， 经检验：是原方程的解． 答：去时速度为． 类型八、分式方程与工程问题 27．（21-22八年级下·江苏宿迁·期末）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．比较两个队的施工速度是（    ） A．甲比乙快 B．乙比甲快 C．甲乙一样快 D．无法比较 【答案】B 【分析】由“甲队单独施工1个月完成了总工程的三分之一”知甲的工作效率为，设乙的工作效率为，根据甲的工作效率+乙的工作效率，由此可列方程． 【详解】解：设乙队如果单独施工x个月能完成总工程． 依题意列方程：． 解方程得：． 经检验：是原分式方程的解． 答：乙队单独施工1个月可以完成总工程，所以乙队的施工进度快． 故选：B． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 28．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）某项工程，若由甲队单独施工，刚好如期完成；若由乙队单独施工，则要超期3天完成．现由甲、乙两队同时施工2天后，剩下的工程由乙队单独做，刚好如期完成．则规定的工期是 天． 【答案】6 【分析】首先设规定的工期是天，则乙队单独施工需要天，根据题意可得等量关系：甲、乙两队的工作效率乙的工作效率，根据等量关系列出方程，再解即可．此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，表示出甲和乙工作效率，再找出等量关系，列出方程． 【详解】解：设规定的工期是天， 由题意得， 解这个方程得， 经检验是原方程的解且符合题意， 答：规定工期是6天． 故答案为：6 29．（22-23八年级下·江苏南京·期末）题目如下：“甲、乙两位同学做中国结，已知，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数．”阴影部分为被墨迹弄污的条件，根据图中的解题过程，被墨迹弄污的条件应是 ． 【答案】甲每小时比乙数少做6个 【分析】本题考查了分式方程的应用，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 设乙每小时做个，则甲每小时做个，根据甲乙的工作时间相同，可列方程． 【详解】解：根据方程可得设乙每小时做个，甲每小时做个， ∴被墨迹弄污的条件应是甲每小时比乙数少做6个， 故答案为：甲每小时比乙数少做6个． 30．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）某工厂用A、B两种型号机器人搬运原料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运，且A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料． 【答案】A、B两种型号机器人每小时分别搬运和原料 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，依据题意，正确建立分式方程是解题关键．设A型号机器人每小时搬运原料，先求出B型号机器人每小时搬运原料，再根据“A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等”建立方程，然后求解即可． 【详解】解：设A型号机器人每小时搬运原料， 则， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴B型号机器人每小时分别搬运， 答：A、B两种型号机器人每小时分别搬运和原料． 31．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，且A型机器人搬运材料所用的时间与B型机器人搬运材料所用的时间相同． (1)求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料． (2)该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于则至少购进A型机器人多少台？ 【答案】(1)150，120 (2)17 【分析】本题考查分式方程应用，一元一次不等式应用． （1）设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运材料，根据题意建立方程求出其解即可得； （2）设购进A型机器人台，根据每小时搬运材料不得少于列出不等式进行求解即可得． 【详解】（1）解：设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运千克材料， ∴， 解得， 经检验，是所列方程的解， 当时，， 答：A型机器人每小时搬运材料，B型机器人每小时搬运材料； （2）解：设购进A型机器人台，则购进B型机器人台， ， 解得：， ∵是整数， ∴， ∴a的最小值为， 答：至少购进A型机器人17台． 类型九、分式方程与销售问题 32．（22-23八年级下·江苏·期末）某汽车测评机构对A款电动汽车与B款燃油汽车进行对比调查，发现A款电动汽车平均每公里充电费用比B款燃油车平均每公里燃油费用少0.6元．当充电费和燃油费用均为200元时，A款电动汽车的行驶里程是B款燃油车的4倍．则A款电动汽车平均每公里充电费用为 元． 【答案】0.2/ 【分析】设B款燃油车平均每公里燃油费用为x元，则A款电动汽车平均每公里充电费用为元，再结合题意可列出关于x的分式方程，解出x的值，再检验，即可求出A款电动汽车平均每公里充电费用． 【详解】解：设B款燃油车平均每公里燃油费用为x元，则A款电动汽车平均每公里充电费用为元， 根据题意有：， 解得：， 经检验该解是原方程的解， ∴A款电动汽车平均每公里充电费用为（元）． 故答案为：0.2． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键． 33．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）为加快公共领域充电基础设施建设，规范居民安全用电行为，某县计划新建一批智能充电桩．经调研，市场上有A型、B型两种充电桩比较合适，已知A型充电桩比B型充电桩的单价少，用12万元购买A型充电桩与用16万元购买B型充电桩共40个． (1)求A型、B型充电桩的单价各是多少？ (2)该市决定购买A型、B型充电桩共150个，且花费不超过100万元，则至少购买A型充电桩多少个？ 【答案】(1)型充电桩的单价为0.6万元，型充电桩的单价为0.8万元． (2)至少可购买种充电桩100个． 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设B型充电桩的单价为万元，则A型充电桩的单价万元，根据“用12万元购买A型充电桩与用16万元购买B型充电桩共40个”列出分式方程，求解即可； （2）设购买型充电桩个，则购买型充电桩个，根据购买总费用不超过100万元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设B型充电桩的单价为万元，则A型充电桩的单价万元． 根据题意得： 解得： 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 万元． 答：型充电桩的单价为0.6万元，型充电桩的单价为0.8万元． （2）设购买型充电桩个，则购买型充电桩个， 由题可得：， 解得：， 答：至少可购买种充电桩100个． 34．（19-20八年级上·广东广州·期末）春节前夕，某超市用6000元购进了一批箱装饮料，上市后很快售完，接着又用8800元购进第二批这种箱装饮料．已知第二批所购箱装饮料的进价比第一批每箱多20元，且数量是第一批箱数的倍． (1)求第一批箱装饮料每箱的进价是多少元？ (2)若两批箱装饮料按相同的标价出售，为加快销售，商家决定最后的10箱饮料按八折出售，如果两批箱装饮料全部售完利润率不低于（不考虑其他因素），那么每箱饮料的标价至少多少元？ 【答案】(1)一批箱装饮料每箱的进价是200元 (2)每箱饮料至少标价296元 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据题意找出题目所给的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解． （1）设第一批箱装饮料每箱的进价是x元，根据第二批数量是第一批箱数的倍，列方程求解； （2）设每箱饮料的标价是y元，根据全部售完后总利润率不低于，列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设第一批箱装饮料每箱的进价是元， 依题意列方程得， 解得：， 经检验，是所列方程的解， 答：第一批箱装饮料每箱的进价是200元． （2）解：设每箱饮料的标价是y元， 依题意得， 解得：， 答：至少标价296元． 35．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）某文具店王老板用240元购进一批笔记本，很快售完；王老板又用600元购进第二批笔记本，所购本数是第一批的2倍，但进价比第一批每本多了2元． (1)第一批笔记本每本进价多少元？ (2)王老板以每本15元的价格销售第二批笔记本，售出后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批笔记本的销售总利润不少于192元，剩余的笔记本每本售价最低打几折？ 【答案】(1)第一批笔记本每本进价为8元 (2)剩余的笔记本每本最低打七折 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用； （1）设第一批笔记本每本进价为元，则第二批每本进价为元，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解． （2）设剩余的笔记本每本打折，根据题意列出不等式，解不等式，根据题意，即可求解． 【详解】（1）解：设第一批笔记本每本进价为元，则第二批每本进价为元， 由题意得： 解之得： 经检验，为原方程的解 答：第一批笔记本每本进价为8元． （2）第二批笔记本有：（本） 设剩余的笔记本每本打折， 由题意得： 解得： 答：剩余的笔记本每本最低打七折． 类型十、分式方程与和差问题 36．（21-22八年级下·江苏镇江·期末）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记载了“关于油、漆的交易和调和”的一个问题：今有漆三得油四，油四和（huo，即调和）漆五．今有漆三斗，欲令分以易油，还自和（huo）余漆．若设分出x斗漆去得（换）油，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】理解题意：今有漆三斗，设分出x斗漆去得(换)油，所以余下漆(3- x)斗，因为漆三得油四，所以x斗漆得油x斗，根据油四和(huo， 即调和)漆五，可以列方程为． 【详解】∵今有漆三斗，分出x斗漆去得(换)油， ∴余下漆(3- x)斗， ∵漆三得油四， ∴x斗漆得油x斗， ∵油四和(huo， 即调和)漆五， ∴列方程为： 故选：D． 【点睛】本题主要考查分式方程，解题的关键是理解题意，假设未知数，找出等量关系，列分式方程． 37．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）某社区计划对固定区域进行绿化，经招标，甲、乙两个工程队中标，全部绿化工作由甲、乙两个工程队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．求甲工程队每天能完成绿化的面积． 【答案】甲工程队每天能完成绿化的面积为． 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设乙工程队每天能完成绿化的面积为，则甲工程队每天能完成绿化的面积为，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合两队独立完成面积为区域的绿化时甲队比乙队少用4天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设乙工程队每天能完成绿化的面积为，则甲工程队每天能完成绿化的面积为， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：甲工程队每天能完成绿化的面积． 38．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）某社区为了增强社区居民的文明意识和环境意识，准备购买甲、乙两种分类垃圾桶．通过市场调研得知：乙种分类垃圾桶的单价比甲种分类垃圾桶的单价多40元，且用4800元购买甲种分类垃圾桶的数量与用6000元购买乙种分类垃圾桶的数量相同． (1)求甲、乙两种分类垃圾桶的单价； (2)该社区计划用不超过3600元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共20个，则最少需要购买甲种分类垃圾桶多少个？ 【答案】(1)甲：160元/个，乙：200元/个 (2)甲至少需要购买10个 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，解题的关键是： （1）设甲元/个，乙元/个，根据“用4800元购买甲种分类垃圾桶的数量与用6000元购买乙种分类垃圾桶的数量相同”列方程求解即可； （2）设需购买甲个，乙个，根据“计划用不超过3600元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共20个”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲元/个，乙元/个， ， ， 经检验是原方程的解， ， ， 答：甲：160元/个，乙：200元/个． （2）解：设需购买甲个，乙个， ， ， 答：甲至少需要购买10个． 39．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）小明用元买软面笔记本，小丽用元买硬面笔记本．已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵元． (1)设软面笔记本每本元，则小丽买硬面笔记本______本； (2)小明和小丽能买到相同数量的笔记本吗？ 【答案】(1) (2)不能 【分析】（1）根据每本硬面笔记本比软面笔记本贵元，可表示出每本硬面笔记本的价格，用金额除以价格即可表示出数量； （2）假设所买的笔记本数量相同，列出分式方程算出数量，根据结果不为整数可以做出判断即可． 【详解】（1）解：设软面笔记本每本元，则硬面笔记本每本元， 则小丽买硬面笔记本本， 故答案为：； （2）假设所买的笔记本数量相同可得， 解得：， 经检验，是原方程的根， ，不是整数，不符合实际意义，所以不能买到相同数量的笔记本． 【点睛】本题考查了列分式方程及分式方程的应用，找准等量关系列出方程是解答本题的关键，注意最后要验根． 类型十一、分式方程与阅读探究问题 40．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）对于形如（、为常数）的分式方程，若，，容易验证，是分式方程的解． 例如：可化为，所以，是方程的解；又如可化为，所以，是方程的解． 根据上面材料解答下列问题： 【材料理解】 （1）方程的两个解分别为______，______（）； 【类比引申】 （2）若，分别是方程的两个解，求的值； 【拓展提升】 （3）若关于的方程的两个解分别为（），求的值． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题属于材料分析题，考查分式方程的解、代数式求值． （1）可以化为，根据题意即可求解； （2）根据，分别是方程的两个解得到 代入即可求解； （3）设，方程可化为，根据题意求出方程的解，代入即可求解． 【详解】解：（1）∵可以化为， ∴方程的两个解分别为，； 故答案为：，； （2）∵，分别是方程的两个解， ∴ ∴ （3）解：由题意得可化为， 设，方程可化为， 易知k和是这个方程的解， ∵k为自然数， ∴， ∴必有，， ∴，， ∴． 41．（23-24八年级上·江苏南通·期末）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得．又因为，所以关于x的方程的解为． (1)理解应用：方程的解为： ______， _______； (2)知识迁移：若关于x的方程的解为，求的值； (3)拓展提升：若关于x的方程的解为，求的值． 【答案】(1)3， (2)21 (3) 【分析】本题主要考查了分式方程的解、完全平方公式、代数式求值等知识点，理解阅读材料的方法是解题的关键． （1）根据材料所给的结论解答即可； （2）由题意可得，再由完全平方公式可得，然后代入计算即可； （3）由可得,令，则， 进而得到，即，然后验证其符合题意，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程的解为， ∴，即的解为：． 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， 令，则， ∵关于x的方程的解为， ∴方程的解为：，即， ∴， ∵， ∴符合题意， ∴． 42．（20-21八年级下·江苏扬州·期末）对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为0，则x＝a或x＝b． 因为，所以关于x的方程x＋＝a＋b的两个解分别为x1＝a，x2＝b． 利用上面建构的模型，解决下列问题： （1）若方程x＋＝q的两个解分别为x1＝﹣2，x2＝4，则p＝ ，q＝ ； （2）已知关于x的方程2x＋＝2n的两个解为x1，x2（x1＜x2）．求的值． 【答案】（1）-8；2；（2）1 【分析】此题涉及的知识点是分式的综合应用，难度较大，解题时先搞清楚规律． (1)方程,理解p=ab，q=a+b，然后根据题目中已知条件进行计算即可； (2)关于x的方程的两个解分别为x1、x2，对方程进行化简即可得出结果． 【详解】（1）应用上面的结论，x1=-2=a、x2=4=b，p=ab=-8，q=a+b=2 故答案为：-8，2 （2）解：∵ ∴ ∴ ∴或 ∴或 ∵ ∴ ∴ 【点睛】此题重点考查学生对分式的实际应用能力，把握已知的结论是解本题的关键． 《分式方程及应用》期末培优专项训练 一、单选题 1．（22-23八年级下·江苏常州·期末）若关于的方程的解为正数，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，注意分式方程的解为正数包含两个含义，（1）所得整式方程的解不是增根，即使分式分母不为0，（2）解为正数． 先解分式方程，根据分式方程的解为正数和分式方程无意义的情况，即可得出m的取值范围． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， 由分式方程的解为正数，得到，且， 解得：且， 故选：B． 2．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是(   ) A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】先解关于x的方程得到用m的代数式表达的x的值，再根据原方程的解为正数，列出关于m的不等式组，解此不等式组即可求得m的取值范围． 【详解】解：由题意可知 解关于x的方程得：， ∵关于x的方程的解为正数， ∴ ， 解得：且． 故选：B． 【点睛】本题考查分式方程的根，解不等式组，解题的关键是理解m的取值需同时满足以下两个条件：（1）解关于x的方程所得的不能是增根，即；（2）． 3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）小丽与小明为艺术节做小红花，两人每小时共做38朵．已知小明做100朵与小丽做90朵所用时间相等，小明、小丽每小时各做小红花多少朵？若设小明每小时做小红花x朵，则根据题意，可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设小明每小时做小红花x朵，则小丽每小时做小红花朵，根据小明做100朵与小丽做90朵所用时间相等，列出方程即可． 【详解】解：设小明每小时做小红花x朵，则小丽每小时做小红花朵，根据题意得： ， 故选：C． 4．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）已知关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】先求解分式方程，根据“方程无增根”和“解是正数”即可求出的取值范围． 【详解】解：去分母： 解得： ∵ ∴ ∵方程的解是正数 ∴ ∴ 综上：且 故选：A 【点睛】本题考查根据分式方程的解求解参数．正确解出分式方程是求解此题的前提． 5．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）《姑苏繁华图》是清代苏州籍宫廷画家徐扬的作品，全长，反映的是当时苏州“商贾辐辏，百货骈阗”的市井风情．如图，已知局部临摹画面装裱前是一个长为，宽为的矩形，装裱后的长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等．设边衬的宽度为x（m），根据题意可列方程（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据装裱后的长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等，列出方程即可． 【详解】解：由题意，得：， 故选：D． 【点睛】本题考查分式方程的应用．根据题意，正确的列出方程，是解题的关键． 6．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为 （ ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为正数确定出的范围即可． 【详解】解：∵， 在方程两边同乘以，得：， 解得：， ∵该分式方程有解， ∴， ∴， ∵该分式方程的解是正数， ∴， ∴， ∴的取值范围为且． 故选：D． 【点睛】本题考查分式方程的解，解题的关键是熟练运用分式方程的解法． 7．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批橡的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶材料的木杆）设这批椽有株，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，列出方程即可． 【详解】解：∵如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱， ∴可列方程为：； 故选D． 【点睛】本题考查根据实际问题列分式方程．解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程． 8．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）若关于x的分式方程的解是正数，则a的值可以是（　　） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】先解分式方程，再根据方程的解是正数，求出a的取值范围，即可求解． 【详解】解：A、当时，则 去分母得：， ∴为的实数， 故此选项不符合题意； B、当时，则 方程无解， 故此选项不符合题意； C、当时，则 去分母得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且解是正数， 故此选项符合题意； D、当时，则 去分母得：， 解得：， 故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查根据分式方程解的情况求参．熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 二、填空题 9．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程，求不等式的解集，理解分式方程的解为非负数，解分式方程的方法，求不等式的解集的方法是解题的关键． 先根据解分式方程的方法用含的式子表示出的值，再根据分式方程的解为非负数，分式方程有意义，求不等式的解集的计算方法即可求解． 【详解】解： ∴， ∴关于的方程的解为， ∵解为非负数， ∴，即， 解得，， ∵分式方程有意义，即， ∴， 解得，， ∴则的取值范围是且， 故答案为：且 ． 10．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）若关于x的方程有增根，则m的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查分式方程的增根：熟练掌握分式方程的求解方法，分式方程增根与分式方程根之间的联系是解题的关键． 若原分式方程有增根，则，解得x的值，再代入去分母后的整式方程中，即可解得m值． 【详解】解： 去分母得， 若原分式方程有增根，则，所以 当 时，，得， 所以若原分式方程有增根，则， 故答案为 ：2． 11．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解是解题的关键．根据运算法则计算分式方程，根据题意即可得到取值范围． 【详解】解：， 两边同时乘以，得， ， 检验得，当时，方程有增根， ， 解得， 由于关于的分式方程的解为非负数， ， 解得， 故的取值范围是且， 故答案为：且． 12．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）若关于x的分式方程有增根，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 由分式方程有增根，得到， 解得：， 把代入，可得：， 解得：． 故答案为：． 13．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了利用分式方程的解求参数的取值范围，先求出分式方程的解，根据关于x的分式方程的解为正数，分式有意义的条件，可得且，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵关于x的分式方程的解为正数， ∴且，即，， ∴且， ∴且， 故答案为：且． 14．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了解分式方程．先求出原方程的解，再根据题意可得且，即可求解． 【详解】解： 去分母得：， 解得：， ∵分式方程的解是正数， ∴且， ∴，且， 解得：且． 故答案为：且 15．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）关于x的方程有增根，则m的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了分式方程的增根，解决增根问题的步骤：①确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 根据分式方程有增根，确定出x的值，分式方程去分母转化为整式方程，把x的值代入整式方程计算即可求出m的值． 【详解】解： 去分母得，， ∴， ∵方程有增根， ∴， ∴ ∴． 故答案为：2． 16．（23-24八年级下·江苏南京·期末）已知关于x的方程有增根，则m的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了已知分式方程的根的情况求参数，将分式方程去分母得整式方程，根据分式方程有增根，代入整式方程求出m的值即可，熟练掌握分式方程的增根的确定方法是解题的关键． 【详解】解：去分母得，， ∵分式方程有增根， ∴， ∴， 解得 故答案为：． 三、解答题 17．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）解分式方程 (1) (2) 【答案】(1)原分式方程无解 (2) 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （）先确定最简公分母是，方程两边同时乘以最简公分母约去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为，检验即可求解； （）先确定最简公分母是，方程两边同时乘以最简公分母约去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为，检验即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， 方程两边同时乘以可得：， 去括号可得：， 移项合并同类项可得：， 系数化为得：， 检验：当时，， ∴不是原分式方程的解，原分式方程无解； （2）解: 方程两边同时乘以可得：， 去括号可得：， 移项合并同类项可得：， 系数化为得：， 检验：把代入， ∴是分式方程的解． 18．（22-23八年级上·江苏南通·期末）我们把形如（不为零），且两个解分别为的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为 再如为十字分式方程，可化为 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______， ______ (2)若十字分式方程的两个解分别为，求的值． (3)若关于x的十字分式方程的两个解分别为，，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了利用完全平方公式求值、因式分解的应用等知识点，理解十字分式方程的定义是解此题的关键． （1）将方程改写成，再根据十字分式方程的定义即可得解； （2）先根据十字分式方程的定义得出，，再化简代入计算即可得出答案； （3）先根据十字分式方程的定义得出，，从而可得，，代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵为十字分式方程，可化为， ∴，； （2）解：∵十字分式方程的两个解分别为， ∴，， ∴ ； （3）解：∵方程是十字分式方程，可化为， 当时，， ∵关于x的十字分式方程的两个解分别为，， ∴，， ∴，， ∴． 19．（22-23八年级上·江苏南通·期末）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得，．又因为，所以关于x的方程的解为，． (1)理解应用：方程的解为：______，______； (2)知识迁移：若关于x的方程的解为，，求的值； (3)拓展提升：若关于x的方程的解为，，且，求k的值． 【答案】(1)3， (2) (3) 【分析】（1）类比题目中的例子可得或； （2）由题意可得，再由完全平方公式可得； （3）方程变形为，根据，得方程，求解即可． 【详解】（1）解：的解为，， 的解为或， 故答案为：3，； （2）解：， ，， ； （3）解：可化为， ， ， ． 【点睛】本题考查分式方程的解，一元二次方程的根与系数的关系，理解题意，灵活求分式方程的解，并结合完全平方公式对代数式求值是解题的关键． 20．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）六月无锡的味道，总是有那么些酸酸甜甜．本地醉李和杨梅纷纷上市，锡城市民在酸甜中感受初夏的味道．某水果店月初推出醉李和杨梅两种季节性水果，已知每筐杨梅比每筐醉李多元，且用元购买到的醉李与用元购买到的杨梅的筐数相同． (1)求每筐醉李和杨梅的价格分别是多少元？ (2)月份第一周醉李和杨梅按原售价分别卖出筐和筐．因为这两种水果的采摘季只有天左右，又不耐储存，所以第二周该水果店对这两种水果进行降价促销，醉李每筐降元，销量比第一周增加了；杨梅每筐降价元，销量比第一周增加了筐，结果第二周这两种水果的销售总额比第一周增加了元．此时杨梅的价格仍然高于醉李的价格，求杨梅此时每筐多少元？ 【答案】(1)每筐醉李元，每筐杨梅元； (2)元． 【分析】（）设每筐醉李元，则每筐杨梅元，根据题意列出分式方程即可求解； （）根据题意列出二元一次方程，解方程求出的值，再结合杨梅的价格仍然高于醉李的价格即可求解； 本题考查了分式方程和二元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设每筐醉李元，则每筐杨梅元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：每筐醉李元，每筐杨梅元； （2）解：由题意得，， 整理得，， 解得，， 当时，杨梅每筐的价格为，符合题意； 当时，杨梅每筐的价格为，不合题意，舍去； 答：杨梅此时每筐元． 21．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台，已知每台A型设备月处理污水量为2200吨，每台B型设备月处理污水量为1800吨，而每台A型设备的价格比每台B型设备的价格贵3万元，且用90万元购买A型设备的台数与用75万元购买B型设备的台数刚好相同． (1)求每台A型设备和每台B型设备各需要多少万元？ (2)由于受资金限制，指挥部用于购买问水处理设备的资金不超过165万元，问如何购买可使每月处理污水量的吨数最多？并求出最多吨数． 【答案】(1)18万元；15万元 (2)购买5台型设备，5台型设备可使每月处理污水量的吨数最多，最多为20000吨 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设每台型设备需要万元，则每台型设备需要万元，利用数量总价单价，结合用90万元购买型设备的台数与用75万元购买型设备的台数刚好相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值(即每台型设备的价格），再将其代入中，即可求出每台型设备的价格； （2）设购买台型设备，则购买台型设备，利用总价单价数量，结合总价不超过165万元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设购买的10台设备每月处理污水量为吨，利用每月处理污水的总量每台型设备的月处理污水量购买型设备的数量十每台型设备的月处理污水量购买型设备的数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设每台型设备需要万元，则每台型设备需要万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：每台型设备需要18万元，每台型设备需要15万元； （2）解：设购买台型设备，则购买台型设备， 根据题意得：， 解得：． 设购买的10台设备每月处理污水量为吨，则， ， ， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为，此时． 答：购买5台型设备，5台型设备可使每月处理污水量的吨数最多，最多为20000吨． 22．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.4万元，用24万元购买甲型充电桩与用16万元购买乙型充电桩的数量相等． (1)甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共30个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？ 【答案】(1)甲型充电桩的单价是元，乙型充电桩的单价是元； (2)购买甲型充电桩10个，乙型充电桩20个，所需最少费用为28万元． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用等知识点， （1）设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是元，根据用24万元购买甲型充电桩与用16万元购买乙型充电桩的数量相等，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为个，根据乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，列出一元一次不等式，解得，再设所需费用为w元，求出w与m的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可得出结论； 【详解】（1）解：设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲型充电桩的单价是元，乙型充电桩的单价是元； （2）解：设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为个， 由题意得：， 解得：， 设所需费用为w元， 由题意得：， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时， ∴w取得最小值为28万元， 此时，， 答：购买甲型充电桩10个，乙型充电桩20个，所需最少费用为28万元． 23．（23-24八年级下·江苏南京·期末）甲、乙两地相距，一辆汽车从甲地匀速开往乙地，实际行驶的速度比原计划的速度增加，结果提前到达，求汽车实际行驶的时间？ 甲同学所列的方程为，； 乙同学所列的方程为：． (1)甲同学所列方程中的x表示______；乙同学所列方程中的y表示_______． (2)选择甲、乙两同学中的一个方法解答这个题目． 【答案】(1)汽车原计划行驶的时间，汽车实际行驶的速度 (2) 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． （1）根据题目中的方程即可得到结论； （2）设汽车原计划需行驶的时间为 ，则汽车实际行驶的时间为，根据题意列方程，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：甲同学所列方程中的表示汽车原计划需行驶的时间；乙同学所列方程中的表示汽车实际行驶的时间， 故答案为：汽车原计划需行驶的时间；汽车实际行驶的时间； （2）解：选择甲同学的方法， 设汽车原计划需行驶的时间为 ，则汽车实际行驶的时间为， 根据题意得，， 解得：， 经检验，是原方程的解， ， 答：汽车实际行驶的时间为． 24．（23-24八年级上·江苏南通·期末）张师傅近期准备换车，他看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元／千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：________元 (1)新能源车每千米行驶费用为________元（用含的代数式表示）； (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，分别求出这两款车的每千米行驶费用． 【答案】(1) (2)燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元． 【分析】本题主要考查分式方程的应用、列代数式等知识点，明确题意、列出相应的分式方程是解题的关键． （1）根据表中的信息，列出新能源车的每千米行驶费用的代数式即可； （2）根据等量关系“燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元”列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：新能源车的每千米行驶费用为：元． 故答案为：． （2）解：∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元， ∴，解得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴元，元． 答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元． 25．（22-23八年级下·江苏镇江·期末）某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由5台机器分拣6000件快件的时间，比20个人工分拣同样数量的快件节省4小时． (1)求人工每人每小时分拣多少件？ (2)若快递公司每天需要分拣10万件快件，机器每天工作时间为16小时，则至少需要多少台这样的分拣机． 【答案】(1)人工每人每小时分拣60件 (2)至少需要6台这样的分拣机 【分析】（1）设人工每人每小时分拣x件，则每台机器每小时分拣件，根据“5台机器分拣6000件快件的时间，比20个人工分拣同样数量的快件节省4小时”，列出方程求解即可； （2）设需要y台这样的分拣机，根据“每天需要分拣10万件快件，机器每天工作时间为16小时”，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设人工每人每小时分拣x件，则每台机器每小时分拣件， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 答：人工每人每小时分拣60件； （2）解：设需要y台这样的分拣机， ， 解得：， ∵y为整数， ∴y最小值为6， 答：至少需要6台这样的分拣机． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是掌握正确理解题意，根据题意找出数量关系，列出方程和不等式求解． 26．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）某中学在商店购进了A、两种品牌的篮球购买品牌篮球花费了元，购买品牌篮球花费了元，且购买A品牌篮球数量是购买品牌篮球数量的倍，已知购买一个品牌篮球比购买一个品牌篮球多花元． (1)求购买一个A品牌、一个品牌的篮球各需多少元？ (2)购买后仍供不应求，学校决定再次购进A、两种篮球共个，恰逢该商店对这两种品牌售价进行调整，A品牌售价比第一次购买时提高了元，品牌按第一次购买时售价的折出售如果学校要求此次购买的总费用不超过元，那么该中学此次至少可购买多少个A品牌篮球？ 【答案】(1)购买一个A品牌的篮球需元，购买一个品牌的篮球需元 (2)该中学此次至少可购买个A品牌篮球 【分析】（1）设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个品牌的篮球需元，根据购买A品牌篮球花费了元，购买品牌篮球花费了元，且购买A品牌篮球数量是购买品牌篮球数量的倍，列出分式方程，解方程即可． （2）设中学此次可购买个A品牌篮球，则购买个品牌篮球，根据学校要求此次购买的总费用不超过元，列出一元一次不等式，解不等式，即可解决问题． 【详解】（1）解：设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个品牌的篮球需元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：购买一个A品牌的篮球需元，购买一个品牌的篮球需元． （2）设中学此次可购买个A品牌篮球，则购买个品牌篮球， 由题意得：， 解得：， 是整数， 的最小值是， 答：该中学此次至少可购买个A品牌篮球． 【点睛】此题考查分式方程的应用与一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06分式方程及应用 （11大类型提分练+期末培优，优选68题） 目录 类型一、分式方程的解 1 类型二、解分式方程 1 类型三、分式方程的无解与增根 2 类型四、由分式方程的解求字母的范围 2 类型五、分式方程的新定义问题 3 类型六、列分式方程 3 类型七、分式方程与行程问题 4 类型八、分式方程与工程问题 4 类型九、分式方程与销售问题 5 类型十、分式方程与和差问题 6 类型十一、分式方程与阅读探究问题 7 《分式方程及应用》期末培优专项训练 9 类型一、分式方程的解 1．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）分式方程 的解是（     ） A． B． C． D． 2．（21-22八年级下·江苏宿迁·期末）方程的解为 ． 3．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）分式方程：的解 ． 类型二、解分式方程 4．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）解方程： (1)； (2)． 5．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）解分式方程： (1)； (2)． 6．（23-24八年级上·江苏南京·期末）解下列分式方程： (1)； (2)． 类型三、分式方程的无解与增根 7．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）若关于x的方程无解，则m的取值为（    ） A． B． C． D． 8．（21-22八年级下·江苏连云港·期末）关于的分式方程有增根，则增根是( ) A．1 B．2 C．-2 D．-1 9．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）关于的分式方程有增根，则的值为 ． 10．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）若分式方程无解，则m的值为 ． 11．（22-23八年级下·江苏连云港·期末）已知关于x的分式方程． (1)若分式方程有增根，求a的值； (2)若分式方程无解，求a的值． 类型四、由分式方程的解求字母的范围 12．（23-24八年级下·江苏常州·期末）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 13．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）关于x的方程的解是负数，则m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 14．（24-25八年级上·江苏南通·期末）若关于的分式方程的解是负数，则的取值范围是__________． 15．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程的解为； (2)当取何值时，此方程会产生增根； (3)当此方程的解是正数时，求的取值范围． 类型五、分式方程的新定义问题 16．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是 ． 17．（23-24八年级下·江苏南京·期末）定义两种新运算“”和“”，其运算规则为，，若，则 ． 18．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）定义运算“※”：，若，则的值为 ． 类型六、列分式方程 19．（24-25八年级上·江苏南通·期末）甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做5个，甲做100个所用的时间与乙做75个所用的时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少个．如果设乙每小时做x个，那么所列方程是（   ） A． B． C． D． 20．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球．已知每个篮球的价格比每个足球的价格多30元，用1800元购进篮球的数量比用900元购进足球的数量多4个．如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（   ） A． B． C． D． 21．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）为了改善生态环境，防止水土流失，某地决定在荒坡上种树960棵．由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的倍，结果提前4天完成任务．设原计划每天种树x棵，则可列方程为 ． 22．（22-23八年级下·江苏南京·期末）某化肥厂原计划五月份生产化肥120吨，由于采用了新技术，每天多生产化肥3吨，实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等．设原计划每天生产化肥吨．根据题意，列方程为 ． 类型七、分式方程与行程问题 23．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）小明和小亮相约到森林公园健身步道上参加健步走活动，他们同时同地出发，线路长度为公里．已知小明的速度是小亮的倍，小明比小亮提前分钟走完全程，设小亮的速度为，则下列方程中正确的是（ ） A． B． C． D． 24．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）我国自主研发的五代隐形战机“歼20”的最大飞行速度是大飞机“C919”最大飞行速度的3倍，两架飞机均以最高速飞行1500千米，“歼20”比“C919”快1小时，求“歼20”最大飞行速度． 25．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）问题：“某中学组织学生去离学校的综合实践基地进行综合实践活动，先遣队与大队同时出发，______，结果先遣队比大队早到，先遣队和大队的速度各是多少？” 条件： ①先遣队的速度是大队速度的倍； ②大队的速度比先遣队的速度慢． 在上述的2个条件中选择1个条件补充在问题的横线上，并完成解答． 26．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）从智能家居到核心医疗，从手机到汽车，成熟的AI技术能够以极快的速度准确处理新信息，这使得其对于复杂的场景（例如无人驾驶汽车、图像识别程序和虚拟助理）非常有用．李老师在感受最新智驾汽车时，从涟水到盱眙共120公里，返程时为了避免堵车多绕行了24公里，李老师发现返程时平均速度是去时平均速度的1.2倍，往返共行驶了4小时，求李老师驾驶汽车去盱眙时的速度是多少？ 类型八、分式方程与工程问题 27．（21-22八年级下·江苏宿迁·期末）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．比较两个队的施工速度是（    ） A．甲比乙快 B．乙比甲快 C．甲乙一样快 D．无法比较 28．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）某项工程，若由甲队单独施工，刚好如期完成；若由乙队单独施工，则要超期3天完成．现由甲、乙两队同时施工2天后，剩下的工程由乙队单独做，刚好如期完成．则规定的工期是 天． 29．（22-23八年级下·江苏南京·期末）题目如下：“甲、乙两位同学做中国结，已知，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数．”阴影部分为被墨迹弄污的条件，根据图中的解题过程，被墨迹弄污的条件应是 ． 30．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）某工厂用A、B两种型号机器人搬运原料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运，且A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料． 31．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，且A型机器人搬运材料所用的时间与B型机器人搬运材料所用的时间相同． (1)求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料． (2)该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于则至少购进A型机器人多少台？ 类型九、分式方程与销售问题 32．（22-23八年级下·江苏·期末）某汽车测评机构对A款电动汽车与B款燃油汽车进行对比调查，发现A款电动汽车平均每公里充电费用比B款燃油车平均每公里燃油费用少0.6元．当充电费和燃油费用均为200元时，A款电动汽车的行驶里程是B款燃油车的4倍．则A款电动汽车平均每公里充电费用为 元． 33．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）为加快公共领域充电基础设施建设，规范居民安全用电行为，某县计划新建一批智能充电桩．经调研，市场上有A型、B型两种充电桩比较合适，已知A型充电桩比B型充电桩的单价少，用12万元购买A型充电桩与用16万元购买B型充电桩共40个． (1)求A型、B型充电桩的单价各是多少？ (2)该市决定购买A型、B型充电桩共150个，且花费不超过100万元，则至少购买A型充电桩多少个？ 34．（19-20八年级上·广东广州·期末）春节前夕，某超市用6000元购进了一批箱装饮料，上市后很快售完，接着又用8800元购进第二批这种箱装饮料．已知第二批所购箱装饮料的进价比第一批每箱多20元，且数量是第一批箱数的倍． (1)求第一批箱装饮料每箱的进价是多少元？ (2)若两批箱装饮料按相同的标价出售，为加快销售，商家决定最后的10箱饮料按八折出售，如果两批箱装饮料全部售完利润率不低于（不考虑其他因素），那么每箱饮料的标价至少多少元？ 35．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）某文具店王老板用240元购进一批笔记本，很快售完；王老板又用600元购进第二批笔记本，所购本数是第一批的2倍，但进价比第一批每本多了2元． (1)第一批笔记本每本进价多少元？ (2)王老板以每本15元的价格销售第二批笔记本，售出后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批笔记本的销售总利润不少于192元，剩余的笔记本每本售价最低打几折？ 类型十、分式方程与和差问题 36．（21-22八年级下·江苏镇江·期末）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记载了“关于油、漆的交易和调和”的一个问题：今有漆三得油四，油四和（huo，即调和）漆五．今有漆三斗，欲令分以易油，还自和（huo）余漆．若设分出x斗漆去得（换）油，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 37．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）某社区计划对固定区域进行绿化，经招标，甲、乙两个工程队中标，全部绿化工作由甲、乙两个工程队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．求甲工程队每天能完成绿化的面积． 38．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）某社区为了增强社区居民的文明意识和环境意识，准备购买甲、乙两种分类垃圾桶．通过市场调研得知：乙种分类垃圾桶的单价比甲种分类垃圾桶的单价多40元，且用4800元购买甲种分类垃圾桶的数量与用6000元购买乙种分类垃圾桶的数量相同． (1)求甲、乙两种分类垃圾桶的单价； (2)该社区计划用不超过3600元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共20个，则最少需要购买甲种分类垃圾桶多少个？ 39．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）小明用元买软面笔记本，小丽用元买硬面笔记本．已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵元． (1)设软面笔记本每本元，则小丽买硬面笔记本______本； (2)小明和小丽能买到相同数量的笔记本吗？ 类型十一、分式方程与阅读探究问题 40．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）对于形如（、为常数）的分式方程，若，，容易验证，是分式方程的解． 例如：可化为，所以，是方程的解；又如可化为，所以，是方程的解． 根据上面材料解答下列问题： 【材料理解】 （1）方程的两个解分别为______，______（）； 【类比引申】 （2）若，分别是方程的两个解，求的值； 【拓展提升】 （3）若关于的方程的两个解分别为（），求的值． 41．（23-24八年级上·江苏南通·期末）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得．又因为，所以关于x的方程的解为． (1)理解应用：方程的解为： ______， _______； (2)知识迁移：若关于x的方程的解为，求的值； (3)拓展提升：若关于x的方程的解为，求的值． 42．（20-21八年级下·江苏扬州·期末）对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为0，则x＝a或x＝b． 因为，所以关于x的方程x＋＝a＋b的两个解分别为x1＝a，x2＝b． 利用上面建构的模型，解决下列问题： （1）若方程x＋＝q的两个解分别为x1＝﹣2，x2＝4，则p＝ ，q＝ ； （2）已知关于x的方程2x＋＝2n的两个解为x1，x2（x1＜x2）．求的值． 《分式方程及应用》期末培优专项训练 一、单选题 1．（22-23八年级下·江苏常州·期末）若关于的方程的解为正数，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 2．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是(   ) A． B．且 C． D．且 3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）小丽与小明为艺术节做小红花，两人每小时共做38朵．已知小明做100朵与小丽做90朵所用时间相等，小明、小丽每小时各做小红花多少朵？若设小明每小时做小红花x朵，则根据题意，可列方程（    ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）已知关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 5．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）《姑苏繁华图》是清代苏州籍宫廷画家徐扬的作品，全长，反映的是当时苏州“商贾辐辏，百货骈阗”的市井风情．如图，已知局部临摹画面装裱前是一个长为，宽为的矩形，装裱后的长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等．设边衬的宽度为x（m），根据题意可列方程（    ）    A． B． C． D． 6．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为 （ ） A． B．且 C． D．且 7．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批橡的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶材料的木杆）设这批椽有株，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）若关于x的分式方程的解是正数，则a的值可以是（　　） A． B．0 C． D． 二、填空题 9．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是 ． 10．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）若关于x的方程有增根，则m的值为 ． 11．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 12．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）若关于x的分式方程有增根，则 ． 13．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围是 ． 14．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是 ． 15．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）关于x的方程有增根，则m的值为 ． 16．（23-24八年级下·江苏南京·期末）已知关于x的方程有增根，则m的值是 ． 三、解答题 17．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）解分式方程 (1) (2) 18．（22-23八年级上·江苏南通·期末）我们把形如（不为零），且两个解分别为的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为 再如为十字分式方程，可化为 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______， ______ (2)若十字分式方程的两个解分别为，求的值． (3)若关于x的十字分式方程的两个解分别为，，求的值． 19．（22-23八年级上·江苏南通·期末）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得，．又因为，所以关于x的方程的解为，． (1)理解应用：方程的解为：______，______； (2)知识迁移：若关于x的方程的解为，，求的值； (3)拓展提升：若关于x的方程的解为，，且，求k的值． 20．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）六月无锡的味道，总是有那么些酸酸甜甜．本地醉李和杨梅纷纷上市，锡城市民在酸甜中感受初夏的味道．某水果店月初推出醉李和杨梅两种季节性水果，已知每筐杨梅比每筐醉李多元，且用元购买到的醉李与用元购买到的杨梅的筐数相同． (1)求每筐醉李和杨梅的价格分别是多少元？ (2)月份第一周醉李和杨梅按原售价分别卖出筐和筐．因为这两种水果的采摘季只有天左右，又不耐储存，所以第二周该水果店对这两种水果进行降价促销，醉李每筐降元，销量比第一周增加了；杨梅每筐降价元，销量比第一周增加了筐，结果第二周这两种水果的销售总额比第一周增加了元．此时杨梅的价格仍然高于醉李的价格，求杨梅此时每筐多少元？ 21．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台，已知每台A型设备月处理污水量为2200吨，每台B型设备月处理污水量为1800吨，而每台A型设备的价格比每台B型设备的价格贵3万元，且用90万元购买A型设备的台数与用75万元购买B型设备的台数刚好相同． (1)求每台A型设备和每台B型设备各需要多少万元？ (2)由于受资金限制，指挥部用于购买问水处理设备的资金不超过165万元，问如何购买可使每月处理污水量的吨数最多？并求出最多吨数． 22．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.4万元，用24万元购买甲型充电桩与用16万元购买乙型充电桩的数量相等． (1)甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共30个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？ 23．（23-24八年级下·江苏南京·期末）甲、乙两地相距，一辆汽车从甲地匀速开往乙地，实际行驶的速度比原计划的速度增加，结果提前到达，求汽车实际行驶的时间？ 甲同学所列的方程为，； 乙同学所列的方程为：． (1)甲同学所列方程中的x表示______；乙同学所列方程中的y表示_______． (2)选择甲、乙两同学中的一个方法解答这个题目． 24．（23-24八年级上·江苏南通·期末）张师傅近期准备换车，他看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元／千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：________元 (1)新能源车每千米行驶费用为________元（用含的代数式表示）； (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，分别求出这两款车的每千米行驶费用． 25．（22-23八年级下·江苏镇江·期末）某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由5台机器分拣6000件快件的时间，比20个人工分拣同样数量的快件节省4小时． (1)求人工每人每小时分拣多少件？ (2)若快递公司每天需要分拣10万件快件，机器每天工作时间为16小时，则至少需要多少台这样的分拣机． 26．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）某中学在商店购进了A、两种品牌的篮球购买品牌篮球花费了元，购买品牌篮球花费了元，且购买A品牌篮球数量是购买品牌篮球数量的倍，已知购买一个品牌篮球比购买一个品牌篮球多花元． (1)求购买一个A品牌、一个品牌的篮球各需多少元？ (2)购买后仍供不应求，学校决定再次购进A、两种篮球共个，恰逢该商店对这两种品牌售价进行调整，A品牌售价比第一次购买时提高了元，品牌按第一次购买时售价的折出售如果学校要求此次购买的总费用不超过元，那么该中学此次至少可购买多少个A品牌篮球？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$