专题05分式及其运算（12大类型提分练+期末培优，优选67题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编（江苏专用）

专题05分式及其运算 （12大类型提分练+期末培优，共67题） 目录 类型一、分式的定义 1 类型二、分式有意义的条件 1 类型三、分式的基本性质 1 类型四、分式的值 2 类型五、分式的约分与通分 2 类型六、分式的乘除 2 类型七、分式的加减 3 类型八、分式的混合运算 3 类型九、分式的化简求值 4 类型十、根据条件求分式的值 4 类型十一、分式的规律探究 5 类型十二、分式的新定义材料阅读问题 5 《分式及运算》期末培优专项训练 8 类型一、分式的定义 1．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若是分式，则□不可以是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）下列各式： ，，，，，其中是分式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）两位同学分别说出了某个分式的一些特点，甲同学：这个分式只含有字母；乙同学：当时，分式的值为0．请你写出满足上述全部特点的一个分式 ． 类型二、分式有意义的条件 4．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）在下列式子中，可以取2和3的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）若式子有意义，则实数x的取值范围是 ． 6．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）当时，分式无意义，则 ． 类型三、分式的基本性质 7．（23-24八年级下·江苏南京·期末）若，则下列化简一定正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）将分式中的、的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（   ） A．缩小为原来一半 B．扩大为原来的2倍 C．无法确定 D．保持不变 9．（23-24八年级下·江苏南京·期末）把分式中的值都扩大倍，则的值 ． 类型四、分式的值 10．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若分式的值是负整数，则m的值可能为（    ） A． B． C．1 D．2 11．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）能使分式值为整数的整数x有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．8 12．（22-23八年级下·江苏盐城·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 13．（22-23八年级下·江苏常州·期末）已知，且，则的值为 ． 类型五、分式的约分与通分 14．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）下列各式，是最简分式的是（　  　） A． B． C． D． 15．（21-22八年级下·江苏扬州·期末）分式和的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24八年级下·江苏南京·期末）化简的结果是 ． 17．（23-24八年级上·江苏南通·期末）已知，则 ． 类型六、分式的乘除 18．（21-22八年级下·江苏常州·期末）下列计算中，一定正确的是（    ） A． B． C． D． 19．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）化简： ． 20．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）计算化简： (1)； (2)． 21．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）计算： (1)； (2)． 类型七、分式的加减 22．（24-25八年级上·江苏南通·期末）计算的结果等于（   ） A． B． C． D．2 23．（22-23八年级下·江苏镇江·期末）对于，，有以下两个结论：①若，则；②若，则．对于这两个结论，说法正确的是（    ） A．①对②不对 B．①不对②对 C．①②都对 D．①②都不对 24．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）计算：． 25．（23-24八年级下·江苏常州·期末）计算： (1)； (2)． 26．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）已知，． (1)当时，比较与0的大小，并说明理由； (2)设，若m为整数，求正整数y的值． (3)设，若m为整数，求正整数y的值． 类型八、分式的混合运算 27．（22-23八年级下·江苏·期末）化简：的结果是（　　） A． B．a C． D．1 28．（21-22八年级上·江苏苏州·期末）化简： ． 29．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）计算： (1) (2)． 30．（23-24八年级上·江苏·期末）计算： (1)； (2) 31．（22-23八年级下·江苏南京·期末）计算： (1)； (2)． 类型九、分式的化简求值 32．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）先化简，再代入求值：，其中． 33．（21-22八年级下·江苏淮安·期末）先化简：，再从，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 34．（24-25八年级上·江苏南通·期末）先化简：，再从，0，3中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 35．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）先化简，再在，，中选一个合适的数代入求值． 类型十、根据条件求分式的值 36．（24-25八年级上·江苏南通·期末）若，且，则的值为（   ）． A．1 B． C．3 D． 37．（23-24八年级下·江苏南通·期末）已知，是不为0的实数，且，若，，则的值为（    ） A．14 B．7 C． D．1 38．（23-24八年级上·江苏南通·期末）已知，则 ． 类型十一、分式的规律探究 39．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第4个等式：______； (2)试用含有正整数n的式子表示这个规律，并加以证明； (3)运用规律计算：． 40．（22-23八年级下·江苏南京·期末）探索发现：，，… (1)填空：______；______； (2)一个容器装有水，按照如下要求把水倒出；第1次倒出水，第2次倒出的水量是的，第3次倒出的水量是的，第4次倒出的水还是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，这水可以倒完吗？为什么？ 类型十二、分式的新定义材料阅读问题 41．（21-22八年级上·江苏南通·期末）［核心素养］【阅读材料】若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”． 例如与． 解：， ， 是的“关联分式”． 【解决问题】 （1）已知分式，则___________的“关联分式”（填“是”或“不是”）； （2）小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法． 解：设分式的“关联分式”为， 则， ， ． 请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”； 【拓展延伸】 （3）①观察（1）和（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”___________； ②用发现的规律解决问题：若是的“关联分式”，求实数，的值． 42．（21-22八年级上·江苏南通·期末）定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”． (1)下列3组分式： ①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有____________（只填序号）； (2)若正实数互为倒数，求证与属于“友好分式组”； (3)若均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，求分式的值． 43．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如果两个分式与的和为常数，且正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值也为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值． 《分式及运算》期末培优专项训练 一、单选题 1．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）将分式中的，的值同时扩大为原来的倍，则分式的值（ ） A．扩大为原来的倍 B．扩大为原来的倍 C．不变 D．扩大为原来的倍 2．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，过点的直线交x轴、y轴于点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．以上均不正确 3．（22-23八年级下·江苏徐州·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数（）与的图像交于点，则代数式的值为（    ）    A． B． C． D．2 4．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）下列各分式中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级上·福建厦门·阶段练习）若分式的值为零，则的值是（　　） A． B． C． D． 6．（20-21八年级下·江苏宿迁·期末）下列分式为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 7．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）分式：①；②；③；④中，最简分式的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（23-24八年级下·江苏南京·期末）若分式的值为0，则a的值是（    ） A．4 B．4或−4 C．−4 D．0 二、填空题 9．（24-25八年级上·江苏南通·期末）若分式的值为8，当，都扩大为原来2倍后，所得分式的值是 ． 10．（23-24八年级下·江苏南京·期末）与的最简公分母是 ． 11．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 12．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）当 时，分式值为0． 13．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）两位同学分别说出了某个分式的一些特点，甲同学：这个分式只含有字母；乙同学：当时，分式的值为0．请你写出满足上述全部特点的一个分式 ． 14．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）定义一种新的运算“*”：对于任意实数x、y，，根据此规则化简的结果为 ． 15．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）已知，且，则的值为 ． 16．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）八下数学《伴你学》第55页有这样一段表述：当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．任何一个假分式都能化成整式和真分式的代数和的形式．如： 阅读完这段文字后，小丽认为，当时，随着x的不断增大，的值会无限接近一个数．类比上述过程，当时，随着x的不断增大，的值会无限接近的一个数是 ． 三、解答题 17．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）（1）解分式方程： ； （2）先化简，再求值：，其中． 18．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）先化简，再求值：，其中． 19．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）根据条件求值： (1)化简求值：，其中，； (2)已知，，求的值． 20．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）先化简，再求值，请你从中找一个合适的a值代入求值． 21．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）【知识背景】 若分式与分式的差等于它们的积，，则称分式是分式的“友好分式”．如与，因为，，所以是的“友好分式”． 【知识应用】 （1）分式______分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）； （2）小明在求分式的“友好分式”时，用了以下方法： 设的“友好分式”为，则， ， ． 请你仿照小明的方法求分式的“友好分式”； 【拓展延伸】 （3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“友好分式”______； ②若是的“友好分式”，求的值． 22．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值； (3)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 23．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）我们规定：分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和． 例如，①， ②， ③． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (2)已知假分式． ①将该假分式化成一个整式与一个真分式的和的形式． ②直接写出当整数a为何值时，分式为正整数； (3)自然数A是的整数部分，则A的数字和为 ．（把组成一个数的各个数位上的数字相加，所得的和，就叫做这个数的数字和．例如：148的数字和就是1＋4＋8＝13）． 24．（23-24八年级上·江苏南通·期末）阅读：如果两个分式A与的和为常数，且为正整数，则称A与互为“关联分式”，常数称为“关联值”．如分式，则A与互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，判断A与是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”； (2)已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”． ①__________（用含的式子表示）； ②若为正整数，且分式的值为正整数，则的值等于__________； (3)若分式（为整数且），是的“关联分式”，且“关联值”，求的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05分式及其运算 （12大类型提分练+期末培优，共67题） 目录 类型一、分式的定义 1 类型二、分式有意义的条件 2 类型三、分式的基本性质 3 类型四、分式的值 4 类型五、分式的约分与通分 5 类型六、分式的乘除 6 类型七、分式的加减 8 类型八、分式的混合运算 11 类型九、分式的化简求值 13 类型十、根据条件求分式的值 15 类型十一、分式的规律探究 16 类型十二、分式的新定义材料阅读问题 18 《分式及运算》期末培优专项训练 22 类型一、分式的定义 1．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若是分式，则□不可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的定义，熟知分式的定义是解题的关键．根据分式的定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，据此求解即可． 【详解】解：A、，分母不含有字母，不是分式，符合题意； B、，是分式，不符合题意； C、，是分式，不符合题意； D、，是分式，不符合题意； 故选：A． 2．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）下列各式： ，，，，，其中是分式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了分式的判断，根据分式的定义逐个分析判断即可，一般地，如果、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母． 【详解】解：，，，，，其中，是分式，共2个，其他的为整式． 故选：A． 3．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）两位同学分别说出了某个分式的一些特点，甲同学：这个分式只含有字母；乙同学：当时，分式的值为0．请你写出满足上述全部特点的一个分式 ． 【答案】 【分析】根据当时，分式的值为0，写出一个分式即可． 【详解】解：∵当时，分式的值为0， ∴分子可以为， ∴分式为：． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，分式的值，掌握分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0是解题的关键． 类型二、分式有意义的条件 4．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）在下列式子中，可以取2和3的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，依次判断即可． 【详解】A.要使有意义，则，即， ∴可以取2和3，故本选项符合题意； B. 要使有意义，则，即， ∴可以取3，但不可以取2，故本选项不符合题意； C. 要使有意义，则，即， ∴可以取3，但不可以取2，故本选项不符合题意； D. 要使有意义，则，即， ∴可以取2，但不可以取3，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件．对于二次根式，当时有意义；对于分式，当时，分式有意义．熟练掌握以上知识是解题的关键． 5．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）若式子有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，掌握分母不为零且被开方数不小于零的条件是解题的关键． 根据分母不为零且被开方数不小于零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知，， 解得， 故答素为：． 6．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）当时，分式无意义，则 ． 【答案】 【分析】根据分式无意义，分母等于0列式计算即可得解；本题考查了分式无意义的条件． 【详解】当时，分式无意义， ∴ 解得： 故答案为：． 类型三、分式的基本性质 7．（23-24八年级下·江苏南京·期末）若，则下列化简一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质并能正确应用． 根据分式的基本性质，对每个选项逐一进行分析判断，看其是否符合性质要求． 【详解】解：A，，选项化简错误，不符合题意； B，，选项化简错误，不符合题意； C，，选项化简错误，不符合题意； D，，选项化简正确，符合题意． 故选：D． 8．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）将分式中的、的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（   ） A．缩小为原来一半 B．扩大为原来的2倍 C．无法确定 D．保持不变 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质．把分式中的、分别用、代替，求出所得分式与原分式相比较即可． 【详解】解：由题意得：， 即分式的值保持不变， 故选：D． 9．（23-24八年级下·江苏南京·期末）把分式中的值都扩大倍，则的值 ． 【答案】扩大为原来的倍 【分析】本题考查了用分式的基本性质判断分式值的变化，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行计算化简即可． 【详解】解：把分式中的值都扩大倍， 可得：， ∵， ∴如果把分式中的值都扩大倍，那么的值扩大为原来的倍． 故答案为：扩大为原来的倍． 类型四、分式的值 10．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若分式的值是负整数，则m的值可能为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查分式的值及其性质、解一元一次不等式，先化简原分式为，再根据分式的值为负整数得到m是且的整数，进而根据选项中的数可求解． 【详解】解：∵分式的值是负整数， ∴且的整数， 选项B中的数符号题意，选项A、C、D中的数不符合题意， 故选：B． 11．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）能使分式值为整数的整数x有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．8 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式的值，正确化简分式是解题关键．将转化为，进一步求解即可． 【详解】解：， ∵分式的值为整数， ∴的值为整数， ∴， ∵也是整数， ∴， 解得：； 故选D． 12．（22-23八年级下·江苏盐城·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据得到，再把整体代入所求式子中求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了分式的求值，正确推出是解题的关键． 13．（22-23八年级下·江苏常州·期末）已知，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的求值，整体代入法求值即可． 【详解】解：∵，且， ∴； 故答案为：． 类型五、分式的约分与通分 14．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）下列各式，是最简分式的是（　  　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查最简分式，解题的关键是掌握一个分式的分子与分母没有公因式时，这个分式叫最简分式．根据最简分式的定义进行分析判断． 【详解】解：A、该分式的分子与分母没有公因式，是最简分式，符合题意； B、 ， 该分式不是最简分式，不符合题意； C、 ， 该分式不是最简分式，不符合题意； D、 ， 该分式不是最简分式，不符合题意； 故选：A 15．（21-22八年级下·江苏扬州·期末）分式和的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照求最简公分母的方法计算即可． 【详解】解：分式和的最简公分母是， 故选：C． 【点睛】此题考查了最简公分母的取法，解题的关键是掌握确定最简公分母的方法有三步，分别为：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，三步得到的因式的积即为最简公分母． 16．（23-24八年级下·江苏南京·期末）化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的约分，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．先确定分式的分子、分母的公因式，再约分即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 17．（23-24八年级上·江苏南通·期末）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】题目主要考查分式的化简求值，先进行化简，然后约分，利用取值范围即可得出结果，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：， ∵， ∴原式， 故答案为：． 类型六、分式的乘除 18．（21-22八年级下·江苏常州·期末）下列计算中，一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】约分：利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．根据分式的约分规则和分式的乘除法对选项逐一分析求解． 【详解】解：A、中，分子分母没有公因式，不能约分，故错误．不符合题意． B、，约去公因数2，故正确．符合题意． C、中，分子分母没有公因式，不能约分，故错误．不符合题意． D、考查分式的乘除混合运算，，故错误．不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查分式的约分和分式乘除混合运算，解决本题的关键在熟练应用化简和计算法则，不混淆乘除法． 19．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）化简： ． 【答案】 【分析】根据分式的性质约分计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的约分，解题的关键是掌握约分法则． 20．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）计算化简： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）将分式的分子和分母进行因式分解，然后将除法改成乘法进行约分化简得出答案； （2）首先将两个分式转化为同分母，然后进行同分母的减法计算法则得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：． 【点睛】本题主要考查的是分式的计算问题，属于基础题型．在进行分式计算的时候，一定要学会将分式的分子和分母进行因式分解． 21．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据分式的加法运算法则求解即可； （2）根据分式的乘除混合运算法则求解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【点睛】此题考查了分式的加法运算和乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 类型七、分式的加减 22．（24-25八年级上·江苏南通·期末）计算的结果等于（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了同分母分式的加减运算，．先分子相加，再将分子提公因式后约分，即可得到答案． 【详解】 ． 故选：D． 23．（22-23八年级下·江苏镇江·期末）对于，，有以下两个结论：①若，则；②若，则．对于这两个结论，说法正确的是（    ） A．①对②不对 B．①不对②对 C．①②都对 D．①②都不对 【答案】C 【分析】根据分式的加减计算，进而判断①②，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ①若，则， ∴，故①正确； ②若，即，则，则，故②正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 24．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的加法运算，先通分化为同分母分式，再计算即可； 【详解】解： ； 25．（23-24八年级下·江苏常州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了分式的运算，解题的关键是： （1）利用同分母分式相加法则计算即可； （2）先计算括号内，同时把除法转化为乘法，最后约分化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式． ． 26．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）已知，． (1)当时，比较与0的大小，并说明理由； (2)设，若m为整数，求正整数y的值． (3)设，若m为整数，求正整数y的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)0或1或3 (3)1或0或 【分析】本题主要考查了分式的求值，分式的加减计算： （1）利用作差法得到，，得到，则； （2）先得到，再由y是正整数，得到或或，解之即可； （3）先求出，再由y是正整数，得到或或，解之即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴； （2）解：由题意得，， ∵y是正整数， ∴或或， ∴或或； （3）解：∵，， ∴， ∵y是正整数， ∴或或 ∴或或． 类型八、分式的混合运算 27．（22-23八年级下·江苏·期末）化简：的结果是（　　） A． B．a C． D．1 【答案】B 【分析】先计算括号里的，再把除法转化成乘法计算． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】本题考查的是分式的混合运算，对于一般的分式混合运算来讲，其运算顺序与整式混合运算一样，是先乘方，再乘除，最后算加减，如果遇括号要先算括号里面的． 28．（21-22八年级上·江苏苏州·期末）化简： ． 【答案】1 【分析】根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式= = =1 故答案为：1． 【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型． 29．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，需掌握的知识点：分式的混合运算的顺序和法则，分式的约分、通分，以及因式分解；熟练掌握分式的混合运算顺序和因式分解是解决问题的关键． （1）首先通分计算括号里面，进而根据分式的除法运算计算即可； （2）根据分式的加减乘除混合运算顺序进行计算，注意进行约分 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式 ． 30．（23-24八年级上·江苏·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查分式的化简，熟练掌握最简公分母的寻找规律、因式分解是关键． （1）按照分式的化简运算即可． （2）先算括号内的异分母分式加法，再化除为乘进行化简． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 31．（22-23八年级下·江苏南京·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据异分母分式的加减混合运算法则求解即可； （2）先计算括号内的，然后计算除法即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 类型九、分式的化简求值 32．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）先化简，再代入求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母的有理化，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，代入计算即可得解． 【详解】解： ， 当时，原式． 33．（21-22八年级下·江苏淮安·期末）先化简：，再从，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】，2 【分析】本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键． 先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值． 【详解】解：          ，                      ，， ，，     当时，原式． 34．（24-25八年级上·江苏南通·期末）先化简：，再从，0，3中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，先利用分式的运算法则化简，再取合适的x的值代入即可得出答案． 【详解】解： ， ∵，，， ∴，， ∴当时，原式． 35．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）先化简，再在，，中选一个合适的数代入求值． 【答案】； 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、分式的化简求值等知识点，掌握分式的运算及分式有意义的条件是解题的关键． 先通分计算括号内的减法，再把除法转化为乘法，然后约分即可化简，最后选取使原分式有意义的值代入计算即可． 【详解】解： ； ∵， ∴， ∴， ∴当时，原式． 类型十、根据条件求分式的值 36．（24-25八年级上·江苏南通·期末）若，且，则的值为（   ）． A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简求值，正确进行分式的化简是关键． 首先把所求的式子化成的形式，然后根据，即，，代入求解． 【详解】解： ， ，，， ∴原式． 故选：D． 37．（23-24八年级下·江苏南通·期末）已知，是不为0的实数，且，若，，则的值为（    ） A．14 B．7 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义，以及根与系数的关系，根据，，可得，可得是一元二次方程的两个根，根据跟与系数的关系即可解答，熟练掌握解的意义和根与系数的关系是解决问题的关键． 【详解】解：，， ， 是一元二次方程的两个根， 可得， ， 故选：B． 38．（23-24八年级上·江苏南通·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 令题目中三个式子相加化简得出，再将分子分母同时除以，化简带入数值即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 根据题意可得， ∴， 故答案为：． 类型十一、分式的规律探究 39．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第4个等式：______； (2)试用含有正整数n的式子表示这个规律，并加以证明； (3)运用规律计算：． 【答案】(1) (2)；证明见解析 (3) 【分析】本题考查数字规律型，观察已知的式子总结规律是解题的关键． （1）观察题中的式子求解即可； （2）根据题中的等式进行归纳总结即可求解； （3）利用（2）中的规律，再裂项进行计算即可． 【详解】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：； （2）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 第n个等式：； 左边， 右边 ， ∴左边右边； （3）解： ． 40．（22-23八年级下·江苏南京·期末）探索发现：，，… (1)填空：______；______； (2)一个容器装有水，按照如下要求把水倒出；第1次倒出水，第2次倒出的水量是的，第3次倒出的水量是的，第4次倒出的水还是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，这水可以倒完吗？为什么？ 【答案】(1)； (2)不能倒完，理由见解析 【分析】（1）观察各等式，找出分子分母中的数与序号的关系求解即可； （2）根据题意求出前n次倒水量之和，再与1进行比较即可． 【详解】（1）；， 故答案为：；； （2）由题意可得： 第次倒出水量：， ∴前次总共倒出水量： ， ∵， ∴这1L水不能倒完． 【点睛】本题主要考查了数字变化规律的问题，通过观察、分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题，解题的关键是发现分子分母中的数与序号的关系． 类型十二、分式的新定义材料阅读问题 41．（21-22八年级上·江苏南通·期末）［核心素养］【阅读材料】若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”． 例如与． 解：， ， 是的“关联分式”． 【解决问题】 （1）已知分式，则___________的“关联分式”（填“是”或“不是”）； （2）小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法． 解：设分式的“关联分式”为， 则， ， ． 请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”； 【拓展延伸】 （3）①观察（1）和（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”___________； ②用发现的规律解决问题：若是的“关联分式”，求实数，的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）①，②， 【分析】本题是考查了异分母分式的加减及分式的乘法，读懂题目中的新定义并熟练地掌握分式的混合运算是解决本题的关键. （1）根据关联分式的定义进行判断； （2）仿照题目中给到的方法进行求解； （3）①根据（1）（2）找规律求解；②由①推出的结论，类比形式求解即可. 【详解】解：（1） ， ， 是的“关联分式”， 故答案为：是； （2）设分式的“关联分式”是， 则， ， ， ，即分式的“关联分式”为． （3）①解：①设的“关联分式”为，则， ∴， ∴． 故答案为：； ②由题意得 ，． 42．（21-22八年级上·江苏南通·期末）定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”． (1)下列3组分式： ①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有____________（只填序号）； (2)若正实数互为倒数，求证与属于“友好分式组”； (3)若均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，求分式的值． 【答案】(1)②③ (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了分式的加减运算，求解分式的值，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义的理解是解题关键． （1）根据给出的“友好分式组”定义把每一组的分式相减看结果来判断； （2）根据a，b互为倒数，得ab=1，把 代入 计算出结果即可； （3）根据分式与属于“友好分式组”，得求出①a=-4b，②ab=4b2-2a2，分别把①②代入分式求出结果即可． 【详解】（1）解：① ② ； ③ 则 ∴属于“友好分式组”的有②③． 故答案为：②③ （2）∵a，b互为倒数， ∴，， ∴ ∴与属于“友好分式组” （3） ∵a，b均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”， 或 把①代入 把②代入 ∴的值为或 43．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如果两个分式与的和为常数，且正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值也为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值． 【答案】(1)与互为“和整分式”，“和整值”为 (2)；或或 【分析】本题考查的是新定义题型，涉及分式的加减运算，理解新定义是解题的关键． （1）把与相加，根据同分母的分式的加减运算化简即可判断； （2）①把与相加，根据异分母的分式的加法法则化简，再根据与互为“和整分式”且“和整值”求出答案； ②根据为正整数，分式的值也为正整数计算即可． 【详解】（1）解： ，， ， 故与互为“和整分式”， “和整值”为； （2）解：①， 由于“和整值”， ， 即， ； ②， 分式的值也为正整数， 或或， 解得或或． 《分式及运算》期末培优专项训练 1．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）将分式中的，的值同时扩大为原来的倍，则分式的值（ ） A．扩大为原来的倍 B．扩大为原来的倍 C．不变 D．扩大为原来的倍 【答案】B 【分析】将分式中的，的值同时扩大为原来的倍，进行计算后，再与原分式进行比较得出答案． 【详解】解：将分式中的，的值同时扩大为原来的倍，原分式可变为， 因此分式的值较原来扩大了倍， 故选：B． 【点睛】本题考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是正确判断的前提． 2．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，过点的直线交x轴、y轴于点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．以上均不正确 【答案】B 【分析】首先求出，所在直线的解析式为，然后将代入得到，然后代入变形为，利用换元法和完全平方公式得到，然后利用平方的非负性求解即可． 【详解】设，所在直线的解析式为 ∴，解得 ∴ ∴将代入得 整理得，即 ∴ 设 ∴原式 ∵ ∴ ∴的最小值为 ∴的最小值为． ∴的最小值为． 故选：B． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，分式的混合运算，二次根式的化简，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握以上知识点． 3．（22-23八年级下·江苏徐州·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数（）与的图像交于点，则代数式的值为（    ）    A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】可求，， ，即可求解． 【详解】解：函数（）与的图像交于点， ，， ，， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，整体代换法，分式加减运算，掌握求法是解题的关键． 4．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）下列各分式中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】最简分式是分子，分母中不含有公因式，不能再约分的分式．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无公因式．如果有互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【详解】解：A、，故原式不是最简分式，不符合题意； B、是最简分式，符合题意； C、，故原式不是最简分式，不符合题意； D、，故原式不是最简分式，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意． 5．（22-23八年级上·福建厦门·阶段练习）若分式的值为零，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的值为的条件，分式的值为的条件是分子为且分母不为． 先根据分式的值为的条件，列出关于的不等式组，求出的值即可． 【详解】解：∵分式的值为， ， 解得， 故选：C． 6．（20-21八年级下·江苏宿迁·期末）下列分式为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简分式，分式的基本性质．根据分式的基本性质进行约分，化出最简分式即可进行判断． 【详解】解：A、，不是最简分式，本选项不符合题意； B、，不是最简分式，本选项不符合题意； C、不能约分，是最简分式，本选项不符合题意； D、，不是最简分式，本选项不符合题意； 故选：C． 7．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）分式：①；②；③；④中，最简分式的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的性质，最简分式的定义，理解并掌握分式的性质化简及最简分式的定义是解题的关键． 根据分式的性质化简分式，最简分式的定义“分子和分母没有公因式，或者只含有公因式1的分式称为最简分式”，进行判定即可求解． 【详解】解：①，是最简分式； ②，原分式不是最简分式； ③，原分式不是最简分式； ④，是最简分式； ∴是最简分式的有：①④，共2个， 故选：B ． 8．（23-24八年级下·江苏南京·期末）若分式的值为0，则a的值是（    ） A．4 B．4或−4 C．−4 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，根据分母不为零且分子为零的条件进行解题即可得，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题可知，若分式的值为0， 则且， 解得， 故选：C． 二、填空题 9．（24-25八年级上·江苏南通·期末）若分式的值为8，当，都扩大为原来2倍后，所得分式的值是 ． 【答案】16 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．由题意得，将分式中，用，代替，利用分式的基本性质化简，再结合原分式的值即可得出答案． 【详解】解：将分式中，都扩大为原来2倍后，所得式子为： ， 若分式的值为8，则所得分式的值是． 故答案为：16． 10．（23-24八年级下·江苏南京·期末）与的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 先取3和4的最小公倍数，再取x的2次幂和y的2次幂，则它们的积为两分式的最简公分母． 【详解】解：与的最简公分母为． 故答案为：． 11．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，掌握其有意义的条件是解题的关键．根据分式分母不为零，二次根式被开方数大于等于零即可求解． 【详解】解： 在实数范围内有意义， ， ． 故答案为：． 12．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）当 时，分式值为0． 【答案】3 【分析】本题考查分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 根据分式的值为零的条件可以求出的值． 【详解】解：由分式的值为零的条件得． 由此，得，且， 综上，得的值为3． 故答案为：3． 13．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）两位同学分别说出了某个分式的一些特点，甲同学：这个分式只含有字母；乙同学：当时，分式的值为0．请你写出满足上述全部特点的一个分式 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，分式的值，掌握分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0是解题的关键．根据当时，分式的值为0，写出一个分式即可． 【详解】解：∵当时，分式的值为0， ∴分子可以为， ∴分式为：． 故答案为：（答案不唯一）． 14．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）定义一种新的运算“*”：对于任意实数x、y，，根据此规则化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，根据已知条件中的新定义，把所求式子写成两个分式相减的形式，然后进行通分，从而进行计算即可． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为： 15．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）已知，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值．由已知求得，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）八下数学《伴你学》第55页有这样一段表述：当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．任何一个假分式都能化成整式和真分式的代数和的形式．如： 阅读完这段文字后，小丽认为，当时，随着x的不断增大，的值会无限接近一个数．类比上述过程，当时，随着x的不断增大，的值会无限接近的一个数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键． 由，再结合的取值范围即可求解． 【详解】解：∵， ∵当时，随着的不断增大而减小，的值无限接近0， ∴的值无限接近2， 故答案为2． 三、解答题 17．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）（1）解分式方程： ； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2），． 【分析】（）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解； （）先计算括号中的异分母分式减法，同时将除法写成乘法，再计算乘法，最后将的值代入计算即可； 本题考查了解分式方程和分式的化简求值，熟练掌握解分式方程和分式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解：（1） 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解． （2）原式 ， 当时， 原式． 18．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，根据分式的除法法则、加法法则把原式化简，把 的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）根据条件求值： (1)化简求值：，其中，； (2)已知，，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（）通分，利用分式的性质对分式进行化简，再求出的值，最后代入到化简后的结果中计算即可求解； （）先求出的值，再利用完全平方公式对代数式变形，最后把的值代入到变形后的结果中计算即可求解； 本题考查了分式的化简求值，二次根式的运算，完全平方公式，掌握分式和二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， ， ， ， ∵，， ∴，， ∴原式； （2）解：∵，， ∴，， ∴原式． 20．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）先化简，再求值，请你从中找一个合适的a值代入求值． 【答案】， 【分析】此题考查了分式的化简求值，先利用分式的减法法则计算括号内部分，再计算除法，化简得到结果，根据分式有意义的条件选择合适的字母的值代入计算即可． 【详解】解： 当或或时，分式无意义， ∴， 当时， 原式 21．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）【知识背景】 若分式与分式的差等于它们的积，，则称分式是分式的“友好分式”．如与，因为，，所以是的“友好分式”． 【知识应用】 （1）分式______分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）； （2）小明在求分式的“友好分式”时，用了以下方法： 设的“友好分式”为，则， ， ． 请你仿照小明的方法求分式的“友好分式”； 【拓展延伸】 （3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“友好分式”______； ②若是的“友好分式”，求的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）①；②． 【分析】本题是创新探究类题目，读懂题目中的新定义并熟练地掌握分式的混合运算是解决本题的关键． （1）根据友好分式的定义进行判断； （2）仿照题目中给到的方法进行求解； （3）①根据（1）（2）找规律求解；②由①推出的结论，类比形式求解即可． 【详解】解：（1）∵, ∴与是“友好分式” 故答案为：是； （1）设的“友好分式”为N，则， ， ； （3）①设的“关联分式”为，则， ∴， ∴． 规律是：将原分式的分母加上分子,分子保持不变,则所新得的分式是原分式的“友好分式”. 故答案为：； ②将原分式的分母加上分子,分子保持不变,则所新得的分式是原分式的“友好分式”. 据此可得， 整理得 ∴． 22．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值； (3)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 【答案】(1)①③； (2)，； (3)是，理由见解析． 【分析】题考查了分式的化简、因式分解．二元一次方程组的解法，解决本题的关键是弄清楚“巧分式”的定义． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据“巧分式”的定义，得到关于的恒等式，求解即可； （3）根据给出的“巧分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； （2）解：分式（m，为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为， ， ， ∴， 解得：； （3）解：分式的“巧整式”为． ， ； ， 又是整式， 是“巧分式”． 23．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）我们规定：分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和． 例如，①， ②， ③． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (2)已知假分式． ①将该假分式化成一个整式与一个真分式的和的形式． ②直接写出当整数a为何值时，分式为正整数； (3)自然数A是的整数部分，则A的数字和为 ．（把组成一个数的各个数位上的数字相加，所得的和，就叫做这个数的数字和．例如：148的数字和就是1＋4＋8＝13）． 【答案】(1) (2)①；②2或者6 (3)52 【分析】本题考查了分式的化简求值，读懂阅读材料中的方法并熟练掌握分式加减的运算法则是解题的关键． （1）先把分式的分子化为，再化为整式与真分式的和的形式即可； （2）将分子转化为的形式，再化成一个整式与一个真分式的和的形式； （3）先把分子转化为，再化成一个整数与一个真分数的和的形式，进而求出自然数A． 【详解】（1）解： （2）解：①； ②∵分式为正整数， ∴为整数且， ∴或6． （3）解： ∴， 所以A的数字和为． 故答案为：52． 24．（23-24八年级上·江苏南通·期末）阅读：如果两个分式A与的和为常数，且为正整数，则称A与互为“关联分式”，常数称为“关联值”．如分式，则A与互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，判断A与是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”； (2)已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”． ①__________（用含的式子表示）； ②若为正整数，且分式的值为正整数，则的值等于__________； (3)若分式（为整数且），是的“关联分式”，且“关联值”，求的值． 【答案】(1)是， (2)①；② (3)c的值为4或16 ． 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，理解新定义是解本题的关键． （1）先计算，再求出结果即可； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式D的值为正整数．x为正整数，可得或，从而可得答案； （3）计算，整理得：，确定，根据题意求解即可． 【详解】（1）解：A与B是互为“关联分式”，理由如下： ∵， ∴ ． ∴A与B是互为“关联分式”， “关联值”； （2）解：①∵， ∴ ∵C与D互为“关联分式”，且“关联值”， ∴， ∴； ②∵，且分式D的值为正整数．x为正整数， ∴或， ∴（舍去）； （3） ， ∵， ∴原式， ∴，即， ∴， ∴， ∵a，b为整数， ∴一定为5的约数， ∴或或1或5， 解得：或0或6或10， ∴或4或10或6， ∴或1， ∴c的值为4或16 ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$