专题01 第18题考前押题抢分篇（十五大题型）-2025年高考数学最后冲刺题型秒杀专项训练（上海专用）

专题01 第18题考前押题抢分篇（十五大题型） 目录： 题型1：三角函数—传统单调性、最值问题 题型2：三角函数—抽象、复合函数 题型3：三角函数—零点问题 题型4：三角函数—零点+抽象、复合函数问题 题型5：三角函数—双变量问题 题型6：三角函数—三角函数与数列 题型7：函数—类对勾函数综合 题型8：函数—分式二次函数 题型9：函数—指数函数+复合函数 题型10：函数—函数与数列 题型11：函数—实系数一元二次方程、函数 题型12：函数—绝对值二次函数 题型13：函数—绝对值三角不等式与函数 题型14：解三角形综合 题型15：解三角形、三角函数、平面向量三大模块综合题 题型1：三角函数—传统单调性、最值问题 1．已知函数，． (1)求的单调递增区间； (2)求在区间上的最大值和最小值． 题型2：三角函数—抽象、复合函数 2．已知函数，． (1)若函数的图象关于轴对称，求的值，并求函数的单调减区间； (2)当时，若存在，使等式成立，求实数的取值范围． 3．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 1 0 (1)请在答题卷上将上表处的数据补充完整，并直接写出函数的解析式； (2)设，求函数的值域； 题型3：三角函数—零点问题 4．已知函数． (1)求函数的在上单调递减区间； (2)若函数在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围． 题型4：三角函数—零点+抽象、复合函数问题 5．已知函数，记，，，. (1)若函数的最小正周期为，当时，求和的值； (2)若，，函数有零点，求实数的取值范围. 6．设． （1）若，求的值； （2）设，若方程有两个解，求的取值范围． 7．已知函数，其中. (1)求在上的解； (2)已知，若关于的方程在时有解，求实数m的取值范围. 题型5：三角函数—双变量问题 8．已知函数. (1)设，为偶函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围； (2)已知函数的图象过点，设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 9．已知向量，，令函数. (1)求函数的表达式及其单调增区间； (2)将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，且满足，当最小时，存在实数、使得，求的最小值. 10．已知函数. (1)求的单调减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意，，求实数的最小值. 题型6：三角函数—三角函数与数列 11．已知函数的表达式为，. (1)解不等式：； (2)若存在实数，使得，，成等比数列，求实数的最小值. 12．已知函数. (1)求函数的单调减区间； (2)如果函数在上的零点从小到大排列后构成数列，求的前12项和. 13．已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前2024项和． 题型7：函数—类对勾函数综合 14．已知函数. (1)证明函数在上严格增； (2)若函数在定义域上为奇函数，求不等式的解集. 15．已知. (1)当时，求不等式的解集； (2)若时，有零点，求的范围. 16．已知定义域为的函数. （1）试判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； （2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 题型8：函数—分式二次函数 17．已知 (1)当时， 判断函数的奇偶性; (2)若函数的图像经过点， 且函数在上有两个不相等的零点，求实数的值以及实数的取值范围. 题型9：函数—指数函数+复合函数 18．已知函数，（且） (1)若，求方程的解； (2)已知，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的最大值. 题型10：函数—函数与数列 19．已知函数，其中. (1)解关于的不等式； (2)若存在唯一的实数，使得依次成等差数列，求实数的取值范围. 20．对于函数，其中. (1)若函数的图像过点，求的解集； (2)求证：当时，存在使得成等差数列. 题型11：函数—实系数一元二次方程、函数 21．已知关于的方程在复数集内有两个根，且满足， (1)求实数的值； (2)若，存在实数，使得不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 题型12：函数—绝对值二次函数 22．已知函数，. （1）当时，判断的奇偶性，并说明理由； （2）当，时，若，求的值； （3）若，且对任意不等式恒成立，求实数的取值范围. 23．设函数，为常数. （1）若为偶函数，求的值； （2）设，，为减函数，求实数的取值范围. 题型13：函数—绝对值三角不等式与函数 24．已知函数，． （1）当时，对任意的，关于x的不等式总有解，求实数a的取值范围． （2）当时，求不等式的解集． 题型14：解三角形综合 25．在中，、、分别是内角、、的对边，，，. (1)求的值； (2)求的值. 26．在三角形中，内角所对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，三角形的面积为，求三角形的周长. 27．在中，角的对边分别为.已知，，. (1)求的值; (2)求的值. 28．在中，角的对边分别为． (1)若，求 (2)若， 的面积，求外接圆半径的最小值． 29．在中，分别为角的对边，且满足. (1)求角大小； (2)若，求的面积的最大值. 题型15：解三角形、三角函数、平面向量三大模块综合题 30．已知函数. (1)求的最大值及取得最大值时的值； (2)在中，内角所对应的边为，若，成等差数列，且，求的值. 31．已知向量. (1)若，求； (2)记，若对于任意恒成立，求的最小值. 32．已知向量和向量，且. （1）求函数的最小正周期和最大值； （2）已知的三个内角分别为，若有，，，求的长度. 33．已知向量． (1)求函数的单调递减区间； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围． 34．已知函数，的最大值为2． （1）求函数在上的值域； （2）已知外接圆半径，，角、所对的边分别是、，求的值． 35．对于函数，其中，． (1)求函数的单调增区间； (2)在锐角三角形中，若，，求的面积． 36．已知，其中，. (1)若，函数的最小正周期T为，求函数的单调减区间； (2)设函数的部分图象如图所示，其中，，求函数的最小正周期T，并求的解析式. ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 第18题考前押题抢分篇（十五大题型） 目录： 题型1：三角函数—传统单调性、最值问题 题型2：三角函数—抽象、复合函数 题型3：三角函数—零点问题 题型4：三角函数—零点+抽象、复合函数问题 题型5：三角函数—双变量问题 题型6：三角函数—三角函数与数列 题型7：函数—类对勾函数综合 题型8：函数—分式二次函数 题型9：函数—指数函数+复合函数 题型10：函数—函数与数列 题型11：函数—实系数一元二次方程、函数 题型12：函数—绝对值二次函数 题型13：函数—绝对值三角不等式与函数 题型14：解三角形综合 题型15：解三角形、三角函数、平面向量三大模块综合题 题型1：三角函数—传统单调性、最值问题 1．已知函数，． (1)求的单调递增区间； (2)求在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)， (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据给定条件，利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数单调性求解作答. （2）求出（1）中函数的相位范围，再利用正弦函数性质求解作答. 【解析】（1）， 令，，解得，， 所以的单调递增区间为. （2）由（1）知，，当时，则， 所以当，即时，取最大值，为， 当，即时，取最小值，为． 题型2：三角函数—抽象、复合函数 2．已知函数，． (1)若函数的图象关于轴对称，求的值，并求函数的单调减区间； (2)当时，若存在，使等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据函数的对称性求出，再根据余弦函数的性质求出其单调递减区间. （2）先求出，再换元，令，，等价为在上成立，求出二次函数的最值即得解. 【解析】（1）因为函数的图象关于轴对称， 所以，解得， 又，所以或； 当时，， 所以的单调减区间为，； 当时，， 所以的单调减区间为，； 综上可得：当时的单调减区间为，； 当时的单调减区间为，. （2）当时， 因为，所以， ， 所以，令，， 则等式成立等价为在上成立， ， 当时，取得最小值；当时，取得最大值， 故的取值范围是 题型3：三角函数—零点问题 3．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 1 0 (1)请在答题卷上将上表处的数据补充完整，并直接写出函数的解析式； (2)设，求函数的值域； 【答案】(1)补充表格见解析， (2) 【分析】（1）由表得，解方程组即可得，进一步可据此完成表格； （2）由题意结合二倍角公式、诱导公式以及辅助角公式先化简的表达式，进一步通过整体换元法即可求解. 【解析】（1）由题意，解得， 所以函数的解析式为， 令时，解得，当时，， 将表中处的数据补充完整如下表： 0 0 1 0 0 （2）若， 则 ， 因为，所以， 进而， 所以函数的值域为. 4．已知函数． (1)求函数的在上单调递减区间； (2)若函数在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用二倍角公式及和差角公式化简函数解析式，再求出相位的范围，并借助正弦函数的性质求出递减区间. （2）由的取值范围求出的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可. 【解析】（1）依题意， ， 当时，，由，得， 所以函数的在上的单调递减区间为. （2）当时，，又函数在区间上有且只有两个零点， 即函数在只有两个零点， 因此，解得， 所以的取值范围为. 题型4：三角函数—零点+抽象、复合函数问题 5．已知函数，记，，，. (1)若函数的最小正周期为，当时，求和的值； (2)若，，函数有零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用三角函数的周期公式求得，再利用三角函数的值域与周期性求得，从而得解； （2）根据题意，利用换元法将问题转化为在有解，从而利用参变分离法或二次函数根的布分即可得解. 【解析】（1）因为函数的最小正周期，所以， 则当时，， 所以，得， 因为，所以取得， （2）解法一： 当，时，，， 设， 由题意得，在有解，化简得， 又在上单调递减， 所以，则. 解法二： 当，时，，， 设， 由题意得，在有解， 记，对称轴为， 则由根的分布可得，即，解得， 所以. 6．设． （1）若，求的值； （2）设，若方程有两个解，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）化简函数由正余弦二倍角公式，结合已知条件即可求解函数值； （2）化简，根据的范围得，又因为因为在内有两解，列出不等式组即可求解参数范围． 【解析】解：（1）， 因为，且， 所以， 所以， ， 所以； （2）， 因为，且 ， 因为在内的解为 所以解得 故的取值范围为 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于用整体法代换求解角的取值范围从而求得参数范围． 7．已知函数，其中. (1)求在上的解； (2)已知，若关于的方程在时有解，求实数m的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意得方程，然后通过的范围解方程即可； （2）代入，然后利用三角公式化简，再将方程有解问题转化为函数值域问题，利用正弦函数的性质求值域即可. 【解析】（1）由已知， 又，所以， 所以或， 所以或， 即在上的解为或； （2）由已知 ， 则在时有解，即在时有解， 因为，所以， 所以， 所以. 题型5：三角函数—双变量问题 8．已知函数. (1)设，为偶函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围； (2)已知函数的图象过点，设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由函数为偶函数得，结合已知即可得，再应用三角恒等变换化简并确定区间值域，由不等式能成立有，即可求范围； （2）根据已知得，将问题化为，结合三角函数、二次函数的性质求最值，进而列不等式求参数范围. 【解析】（1）由为偶函数，则，，又，则， 所以，则 ， 存在，使不等式成立，则， 所以在上能成立，而， 所以； （2）由题设，且，则， 所以， 而，则，所以， 对任意的，总存在，使成立， 所以，即， 令，则，故， 当，则在上单调递增，此时，可得； 当，则在上单调递减，此时，可得； 当，则在上单调递增，在上单调递减，此时，可得； 综上，. 9．已知向量，，令函数. (1)求函数的表达式及其单调增区间； (2)将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，且满足，当最小时，存在实数、使得，求的最小值. 【答案】(1)，单调增区间， (2)最小值为 【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标公式，利用三角函数的二倍角公式以及辅助角公式，整理可得函数解析式，根据复合函数单调性法则，结合正弦函数的单调性，可得答案； （2）根据图象变换以及函数是偶函数，求出的解析式，然后根据等式关系进行去求解即可. 【解析】（1） ， 由，，解得，， 即的单调递增区间为，. （2）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象， 。 满足，是偶函数，则，， ，当时，最小，此时， 此时， 由，则， 即，则只有，时方程有解， 即，，，， 解得，，，， 故，， 当时，最小，最小值为. 10．已知函数. (1)求的单调减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意，，求实数的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式可得，最后利用复合函数单调性求出单调递减区间即可. （2）根据函数平移及伸缩求出的解析式，求解即可. 【解析】（1）. 由，解得， 所以函数的单调递减区间为； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，可得到函数 ， 再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，即， 当时，，则，则， 对任意的、，， 则， 故实数的最小值为. 题型6：三角函数—三角函数与数列 11．已知函数的表达式为，. (1)解不等式：； (2)若存在实数，使得，，成等比数列，求实数的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用对数函数和指数函数的单调性解不等式即可； (2)利用复合函数思想，由内到外分别求正弦型函数和对钩函数的值域，从而可求最小值. 【解析】（1）由已知代入可得不等式：， 根据对数函数的单调性可得：且， 则且， 解得： （2）由已知可得： 则 令， 因为，所以，即， 则， 此时在上单调递增，则， 要使得等式，则， 故的最小值为. 12．已知函数. (1)求函数的单调减区间； (2)如果函数在上的零点从小到大排列后构成数列，求的前12项和. 【答案】(1). (2) 【分析】（1）化简的解析式，利用整体代入法求得的单调递减区间. （2）根据三角函数的零点、等差数列前项和公式以及分组求和法来求得的前12项和. 【解析】（1）. 令 得. 因此，函数的减区间是. （2）函数的最小正周期为， 当时，， 令，即， 故或，解得或， 所以函数在上的零点分别为，. 所以数列是以为首项，为公差的等差数列； 数列是以为首项，为公差的等差数列， 则 所以的前12项和为. 13．已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前2024项和． 【答案】(1) (2)1012 【分析】（1）由等差数列、等比数列基本量的计算求得即可； （2）得到表达式后，发现（），故由分组求和法即可求解. 【解析】（1）设等差数列的公差为， 由题意可知，，即，解得， 所以； （2）由（1）可知，， 对于任意，有， 所以， 故数列的前2024项和为 ． 题型7：函数—类对勾函数综合 14．已知函数. (1)证明函数在上严格增； (2)若函数在定义域上为奇函数，求不等式的解集. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用函数的单调性定义证明即得； （2）根据函数的奇偶性求出值，再求出方程的解，分别利用函数在和上的单调性即可求得不等式的解集. 【解析】（1）因，任取，且， 由 ， 因，则，，故， 即. 故函数在上严格增； （2）因为函数在定义域上为奇函数，则， 所以． 所以，即， 所以， 由得：，即， 所以或， 解得或， 所以不等式的解集为. 15．已知. (1)当时，求不等式的解集； (2)若时，有零点，求的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简不等式，再求解即可； （2）转化为方程有解，再分离参数，求函数的值域即可. 【解析】（1）当时，， 所以由可得， 即，所以，解得， 故不等式的解集为. （2）因为时，有零点， 所以在上有解， 即在上有解， 令， 因为，， 所以，故， 所以. 16．已知定义域为的函数. （1）试判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； （2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）函数在上单调递减，证明见解析；（2）. 【分析】（1）由单调性的定义证明（可根据复合函数的单调性判断）； （2）再确定函数的奇函数，然后由奇函数性质变形不等式，由单调性化简转化为一元二次不等式恒成立，从而易得参数范围． 【解析】（1）函数在上单调递减. 证明如下：任取，且， ， 因为，所以，，， 即，故函数在上单调递减. （2）因为， 故为奇函数， 所以， 由（1）知，函数在上单调递减， 故，即对于任意恒成立， 所以，令，则， 因为，所以， 所以， 即实数的取值范围是. 题型8：函数—分式二次函数 17．已知 (1)当时， 判断函数的奇偶性; (2)若函数的图像经过点， 且函数在上有两个不相等的零点，求实数的值以及实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2)，且 【分析】（1）利用奇偶函数的判断，直接判断即可； （2）根据图像过的点坐标，即可求出的值，结合因式分解，利用函数在区间内有两个不同的零点转化为方程在固定范围有两个不同的根，即可求出的范围. 【解析】（1）当时，， 因为， 当时，， 所以函数既不是奇函数也不是偶函数； 当时，，函数是偶函数； （2）因为函数的图像经过点， 所以，则，且， 所以， 令， 则， 因为函数在上有两个不相等的零点， 所以且，解得， 综上，，且. 题型9：函数—指数函数+复合函数 18．已知函数，（且） (1)若，求方程的解； (2)已知，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由求出幂函数解析式，再利用换元法，结合一元二次方程和指数与对数函数的关系求解即可； （2）由幂函数的单调性得到关于的不等式再分离参数，结合基本不等式求解即可. 【解析】（1）即解得，于是 ， 方程即为， 令，则有即， 求得（舍负） ， 所以方程的解为 . （2）由已知得， 整理得 ， 因为，所以 ， 从而对任意恒成立， 因为（当且仅当取等号）， 所以， 即实数的最大值为. 题型10：函数—函数与数列 19．已知函数，其中. (1)解关于的不等式； (2)若存在唯一的实数，使得依次成等差数列，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由在单调递增，得即可求解； （2）原问题等价于关于的方程恰有一个实数解，即在上恰有一个实数解，令，则在上恰有一个实数解，利用数形结合即可求解. 【解析】（1）由函数在单调递增， 所以 （2）原问题等价于关于的方程恰有一个实数解，求实数的取值范围. 即在上恰有一个实数解. 等价于在上恰有一个实数解. 在上恰有一个实数解. 令，则在上恰有一个实数解. 画出关于的二次函数在上的图像可知，时只有一个交点； . 20．对于函数，其中. (1)若函数的图像过点，求的解集； (2)求证：当时，存在使得成等差数列. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数解析式，利用单调性解不等式即可； （2）利用等差中项的性质可得，根据对数运算化简可得，所以，即，由判别式可知方程有解，即可得证. 【解析】（1）已知函数的图像过点， 所以，即，因为，所以， 则. 函数的定义域为，且在定义域上单调递增. 由可得， 解得，所以不等式的解集为. （2）当时，， . 若成等差数列，则， 即. 所以， 即， 即，则，移项可得. 对于一元二次方程，， 所以方程有实数解，即存在使得成等差数列. 题型11：函数—实系数一元二次方程、函数 21．已知关于的方程在复数集内有两个根，且满足， (1)求实数的值； (2)若，存在实数，使得不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分有两个实根和有两个共轭虚根两种情况讨论，根据题意结合韦达定理分析运算； （2）根据题意分析可得，先根据对数函数单调性分析可得对任意恒成立，再根据恒成立问题分析运算. 【解析】（1）①当方程有两个实根时，则，即，可得，， ∵，解得； ②当方程有两个共轭虚根时，则，即， 设，则，可得，， 所以，，解得或， 即方程两根分别为，，则； 综上所述：或. （2）若，由（1）得， 由存在实数，使得不等式， 则， ∵，且在定义域内为增函数，则 ∴，则对任意恒成立， 设，则，解得， 故实数的取值范围为. 题型12：函数—绝对值二次函数 22．已知函数，. （1）当时，判断的奇偶性，并说明理由； （2）当，时，若，求的值； （3）若，且对任意不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）或（3） 【分析】（1）当时，为奇函数；当时，为非奇非偶函数.运用奇偶性的定义，即可得到结论； （2）当，时，若，即为，当，当，去掉绝对值，由指数方程的解法，即可得到所求的值； （3）只需考虑的情况，此时，不等式即，即，故.利用函数的单调性求得和，从而求得的取值范围. 【解析】解：（1）当时，， 当时，为奇函数； 当时，为非奇非偶函数. 理由：当时，， ， 为奇函数； 当时，， 且，则为非奇非偶函数； （2）当，时，若， 即为， 当，即时，， 解方程可得或（舍去）； 当，即时，， 解方程可得. 则或； （3）当时，不等式即，显然恒成立， 故只需考虑的情况， 此时，不等式即，即， 故. 由于函数在上单调递增， 故. 对于函数，， 当时，， 当且仅当时，的最小值. 此时，要使存在，必须有， 即，此时的取值范围是. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题. 23．设函数，为常数. （1）若为偶函数，求的值； （2）设，，为减函数，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据偶函数的定义求解即可； （2）化简函数，根据函数减函数的定义确定a的范围. 【解析】（1）因为为偶函数，且，所以 即 即 所以对一切成立，所以 （2）因为，且 所以， 任取， 因为，所以且 又在区间上为减函数，所以 即，所以又，所以. 题型13：函数—绝对值三角不等式与函数 24．已知函数，． （1）当时，对任意的，关于x的不等式总有解，求实数a的取值范围． （2）当时，求不等式的解集． 【答案】（1）；（2）当时，的解集为；当时，的解集为． 【分析】（1）当时，，原问题转化为成立，根据二次函数的性质和绝对值三角不等式可求得实数a的取值范围； （2）当，时．分类讨论可求得函数的解析式，作出的大致图象如图所示，分和两种情况，求得不等式的解集. 【解析】（1）当时，， 因为对任意得，关于x的不等式总有解，所以， 又，当且仅当时取最小值1， ，当且仅当时取等号， 故只需，解得，， 即实数a的取值范围为； （2）当，时． 作出的大致图象如图所示； 令，得， 令，得， 结合图象可得， 当时，得解集为， 当时，得解集为． 【点睛】方法点睛：绝对值不等式的常见解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 题型14：解三角形综合 25．在中，、、分别是内角、、的对边，，，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意和余弦定理计算即可求解； （2）根据同角的三角函数关系求出，由正弦定理求出，结合二倍角的余弦公式计算即可求解. 【解析】（1）由余弦定理知，即， 整理得，解得或（舍负），故. （2）∵，且，∴， 由正弦定理知，即，得， ∴. 26．在三角形中，内角所对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，三角形的面积为，求三角形的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由正弦定理进行边角互化可得，结合两角差的余弦公式及同角三角函数的基本关系可求出，即可求出. (2)由三角形的面积公式可得，结合及余弦定理即可求出，即可得出结果. 【解析】（1）由正弦定理得，所以 所以，整理得， 因为，所以，因此，所以， 所以. （2）由的面积为，得，解得， 又,则，. 由余弦定理得，解得，， 所以的周长为. 27．在中，角的对边分别为.已知，，. (1)求的值; (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理化简可得结果. （2）根据两角和差公式，由二倍角公式得到和的值，利用正弦定理得到的值，同角三角函数的关系得到的值，最后代入求解. 【解析】（1）在中，由余弦定理得. 将题目条件代入得，解得. （2）由于为三角形内角，故， 进而有，， 在中，由正弦定理得. 由于，故为锐角，得. 因此有. 28．在中，角的对边分别为． (1)若，求 (2)若， 的面积，求外接圆半径的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理化简即可 （2）根据三角形的面积公式可得，再根据基本不等式可得，再根据正弦定理求解即可 【解析】（1）因为，由正弦定理，，所以，因为，所以 （2）由已知，，所以，                                 所以     因为 所以（当时取等号）          所以 所以的最小值为（当时取得） 29．在中，分别为角的对边，且满足. (1)求角大小； (2)若，求的面积的最大值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用三角形的内角和，结合条件．得关于A的三角方程，即可求得A的大小； （2）因为b+c＝3，利用基本不等式，可得，从而可求△ABC的面积的最大值． 【解析】（1）∵A+B+C＝π,∴， ∴,∴，∵0＜A＜π，∴A＝60°． （2）由基本不等式得，∵，（当且仅当，不等式等号成立）．∴. ∴，所以△ABC的面积的最大值为． 【点睛】本题的考查了二倍角公式的运用，考查三角形的面积公式，基本不等式的运用，属于基础题． 题型15：解三角形、三角函数、平面向量三大模块综合题 30．已知函数. (1)求的最大值及取得最大值时的值； (2)在中，内角所对应的边为，若，成等差数列，且，求的值. 【答案】(1)时，最大值 (2) 【分析】（1）化简函数，结合三角函数的性质，即可求解； （2）由，求得，再题意得到和，结合余弦定理，即可求得的值. 【解析】（1）解：由函数 ， 当时，即，此时函数取得最大值. （2）解：由函数， 因为，即，即， 又因为，可得，可得，解得， 因为成等差数列，可得， 又因为，可得，所以， 又由余弦定理可得， 即，所以. 31．已知向量. (1)若，求； (2)记，若对于任意恒成立，求的最小值. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）计算出，利用数量积公式求出答案； （2）利用三角恒等变换化简得到，整体法求出时，的最值，从而得到，求出的取值范围，得到答案. 【解析】（1）因为，所以， 所以. （2） . 因为，所以，所以. 当，即时，取得最小值； 当，即时，取得最大值1. 因为恒成立， 且 所以，故的最小值为. 32．已知向量和向量，且. （1）求函数的最小正周期和最大值； （2）已知的三个内角分别为，若有，，，求的长度. 【答案】（1）最小正周期为，最大值为2；（2）2. 【分析】由整理可得：；（1）根据正弦型函数的最小正周期和最值的求解方法直接求得结果；（2）利用求得，利用正弦定理求得结果. 【解析】由得： 则： （1）最小正周期为： 当时， （2）由得：，则 由正弦定理可知：，即 【点睛】本题考查三角函数中的正弦型函数的最小正周期、最值的求解、解三角形中的正弦定理的应用，涉及到平面向量共线定理、辅助角公式的应用. 33．已知向量． (1)求函数的单调递减区间； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）由数量积的坐标形式结合三角变换公式可得，由整体法可求函数的单调减区间； （2）函数在给定区间上的零点问题可转化为与的图象在上有两个不同的交点，利用正弦函数的性质可求参数的取值范围. 【解析】（1）， 令，则，其中， 故函数的单调递减区间为，. （2）由题设有在有两个不同的零点， 而，故在有两个不同的解， 故与的图象在上有两个不同的交点， 而在为增函数，在为减函数， 且，故， 故. 34．已知函数，的最大值为2． （1）求函数在上的值域； （2）已知外接圆半径，，角、所对的边分别是、，求的值． 【答案】（1）；（2）； 【分析】（1）利用辅助角公式求出，即可得到的解析式，再根据的取值范围，求出的取值范围，再结合正弦函数的性质计算可得； （2）依题意可得，再由正弦定理将角化边，最后根据外接圆的半径计算可得； 【解析】解：（1）因为，所以的最大值为，所以． 而，于是， 所以． 因为，所以，所以，则 所以函数在上的值域为； （2）因为， 所以， 由正弦定理可得， 因为的外接圆半径为，所以． 所以． 35．对于函数，其中，． (1)求函数的单调增区间； (2)在锐角三角形中，若，，求的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由二倍角正弦、余弦公式及辅助角公式化简，根据复合函数的单调性求出结果； （2）由（1）及条件求出角A，根据数量积的定义及三角形面积公式可得结果. 【解析】（1） 令，则，函数为增函数， 当时函数为增函数， 即，得， 所以函数的单调增区间是． （2）（2）由已知，所以， 因为，所以，即，所以， 又，所以， 所以的面积． 36．已知，其中，. (1)若，函数的最小正周期T为，求函数的单调减区间； (2)设函数的部分图象如图所示，其中，，求函数的最小正周期T，并求的解析式. 【答案】(1) (2)，. 【分析】（1）根据求出，求出的解析式，利用整体代换法计算即可求解； （2）由图可知，，利用平面向量数量积的定义和坐标表示求出，进而求，将点D代入解析式计算即可求解. 【解析】（1）由题，，解得，故. 令， 所以的单调减区间为. （2）由题，可得，， 因此，，又，得. 由，得. 再将代入，即. 由，解得. 因此的解析式为. ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$